新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第17题 导数综合应用（解答题）（原卷版）

导数综合应用（解答题）考点4年考题考情分析导数综合2023年新高考Ⅰ卷第19题2023年新高考Ⅱ卷第22题2022年新高考Ⅰ卷第22题2022年新高考Ⅱ卷第22题2021年新高考Ⅰ卷第22题2021年新高考Ⅱ卷第22题2020年新高考Ⅰ卷第21题2020年新高考Ⅱ卷第22题导数大题难度中等或较难，纵观近几年的新高考试题，主要求极值最值、用导数研究函数单调性问题及参数范围求解、不等式证明问题、零点及恒成立问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以导数综合问题之单调性、极值最值、求解及证明问题为背景展开命题，难度会降低．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）（1）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，求a的取值范围．3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线SKIPIF1<0，其与两条曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个不相等的正数，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第22题）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：SKIPIF1<0只有一个零点①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．导函数与原函数的关系SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减极值极值的定义SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处先↗后↘，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处先↘后↗，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值两招破解不等式的恒成立问题(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．常用函数不等式：①SKIPIF1<0，其加强不等式SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，其加强不等式SKIPIF1<0.③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0放缩SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）转化为证明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），进而构造辅助函数SKIPIF1<0；（2）转化为证不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），进而转化为证明SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），因此只需在所给区间内判断SKIPIF1<0的符号，从而得到函数SKIPIF1<0的单调性，并求出函数SKIPIF1<0的最小值即可.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）：①首先构造函数SKIPIF1<0，求导，确定函数SKIPIF1<0和函数SKIPIF1<0的单调性；②确定两个零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由函数值SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系，得SKIPIF1<0与零进行大小比较；③再由函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，从而证明相应问题；（2）证明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都为正数）：①首先构造函数SKIPIF1<0，求导，确定函数SKIPIF1<0和函数SKIPIF1<0的单调性；②确定两个零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由函数值SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系，得SKIPIF1<0与零进行大小比较；③再由函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式SKIPIF1<0证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到SKIPIF1<0；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.1．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极值SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最值．2．（2024·河北·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0轴．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的单调区间．3．（2024·广东韶关·二模）已知函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线平行于SKIPIF1<0轴．(1)求实数SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的单调区间和极值．4．（2024·广东·一模）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间.(2)讨论方程SKIPIF1<0的根的个数.5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值．6．（2024·江苏徐州·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，求a的取值范围：(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象相切，求a的值．7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0．8．（2024·辽宁·一模）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0的方程；(2)讨论SKIPIF1<0的极值.9．（2024·辽宁·二模）已知函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的单调区间和极值.10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求证：SKIPIF1<0的极大值恒为正数．11．（2024·广东广州·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间和极小值；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.12．（2024·湖南·二模）已函数SKIPIF1<0，其图象的对称中心为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)判断函数SKIPIF1<0的零点个数.13．（2024·湖南邵阳·二模）设函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极值；(2)若对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值.14．（2024·山东济南·一模）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)讨论SKIPIF1<0极值点的个数.15．（2024·山东青岛·一模）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为1，求该切线的方程；(2)讨论SKIPIF1<0的单调性．16．（2024·福建漳州·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)证明：曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性．17．（2024·江苏南通·二模）设函数SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0的图象的两条相邻对称轴间的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；(2)设l为曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线，证明：l与曲线SKIPIF1<0有唯一的公共点.18．（2024·重庆·一模）（1）已知函数SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为自然对数的底数），记SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；（2）若对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．19．（2024·河北唐山·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程：(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值域．20．（2024·辽宁大连·一模）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范围；(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0．21．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围．22．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)证明：SKIPIF1<0是其定义域上的增函数；(3)若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值．23．（2024·山东枣庄·一模）已知SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．24．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．25．（2024·浙江·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的值域；(2)若函数SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.26．（2024·浙江·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)如果1和SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个极值点，且SKIPIF1<0的极大值为3，求SKIPIF1<0的极小值；(2)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(3)当SKIPIF1<0时，且函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上最大值为2，最小值为SKIPIF1<0．求SKIPIF