新高考数学一轮复习精讲精练10.2 平面向量的数量积（提升版）（解析版）

10.2平面向量的数量积（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一平面向量的坐标运算【例1】（2022·广州模拟）（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A,B,C【解析】SKIPIF1<0，A符合题意；SKIPIF1<0，B符合题意；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，C符合题意；SKIPIF1<0，D不符合题意.故答案为：ABC.【一隅三反】1．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0，故选：B.2．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）（多选）已知向量SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AB【解析】对于A：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A正确；对于B：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故B正确；对于C：当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，故C错误；对于D：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故D错误；故选：AB3．（2022·福建·三明一中模拟预测）（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，A对；对于B选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，C错；对于D选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0，D对.故选：ABD.考点二平面向量的数量积【例2-1】（2022·新高考Ⅱ卷）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．-6 B．-5 C．5 D．6【答案】C【解析】由已知条件可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：C【例2-2】（2022·陕西模拟）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：B．【例2-3】（2022·新疆三模）如图在△ABC中，SKIPIF1<0，F为AB中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：A【一隅三反】1．（2022·安徽蚌埠·一模）若平面向量SKIPIF1<0两两的夹角相等，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】由平面向量SKIPIF1<0两两的夹角相等,得夹角为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当夹角为SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0当夹角为SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：A2．（2022·云南·高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A，B，C错误.故选：D．3．（2022·四川成都·模拟预测（理））△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0边上的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在三角形内，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．3C．6 D．12【答案】C【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0故选：C．考点三巧建坐标【例3】（2022·淄博模拟）如图在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．-15 B．-13 C．13 D．14【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；故答案为：C．【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CN与BM交于点P，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如图直角坐标系，则SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）如图，点SKIPIF1<0位于以SKIPIF1<0为直径的半圆上（含端点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，则SKIPIF1<0的取值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．4【答案】BC【解析】如图所示，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：BC.3．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则可能成立的结果为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于选项A、B，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，如图，动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足SKIPIF1<0，圆C方程是SKIPIF1<0SKIPIF1<0当B在圆C上运动时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当且仅当O，A，B三点共线时取等号，又由图易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选项A不满足，选项B满足；对于选项C、D，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，选项C，D满足.故选：BCD考点四取值范围【例4-1】（2022·天津市模拟）如图，在菱形ABCD中SKIPIF1<0，E、F分别为BC、CD上的点.SKIPIF1<0，点M在线段EF上，且满SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若点N为线段BD上一动点，则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个三等分点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【例4-2】（2022·湖北模拟）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形SKIPIF1<0的边长为4，中心为SKIPIF1<0，四个半圆的圆心均在正方形SKIPIF1<0各边的中点（如图2）．若点SKIPIF1<0在四个半圆的圆弧上运动，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】以SKIPIF1<0原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示因为正方形SKIPIF1<0的边长为4，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0上的动点，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0同理可知，当SKIPIF1<0在右侧圆弧上运动时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0综上可知，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0故答案为：D【一隅三反】1．（2022·浙江模拟）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，根据对称性，可只考虑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的交点时，等号成立，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·和平模拟）如图.在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】2；SKIPIF1<0【解析】连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·天津市模拟）在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若动点F在线段AC上，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0；-6【解析】第一空：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；第二空：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值-6.故答案为：SKIPIF1<0；-6.10.2平面向量的数量积（精练）（提升版）题组一题组一平面向量的坐标运算1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数m的值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D．2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为7 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角【答案】AC【解析】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选项A正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选项B错误；由题得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取得最小值，故选项C正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角不为钝角，故选项D错误．故选：AC．3．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】AB【解析】对于A，由题可得SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以A正确；对于B，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以B正确；对于C，因为SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以C不正确；对于D，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，所以D不正确．故选：AB4．（2022·山东日照·二模）（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故A错误；对于B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，符合题意，故B正确；对于C，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正确.故选：BD.5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0，则以下结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故A不正确；对于B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正确；对于D，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD.6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A选项，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故A正确；对于B选项，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角，则SKIPIF1<0，故B错误；对于C选项，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，故C正确；对于D选项，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．若向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的夹角为锐角，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】对于A，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以A正确.对于B，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以B正确.对于C，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，为SKIPIF1<0，所以C正确.对于D，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的夹角为锐角，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共线时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，所以D不正确.故选：ABC.题组二题组二平面向量的数量积1．（2022·昆明模拟）四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2 B．1 C．4 D．3【答案】D【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

故答案为：D.2．（2022·江苏）在△ABC中，若SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.3．（2022·江苏南京·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．方法一：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方法二：以SKIPIF1<0坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由方法一可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．（2022·浙江·高三开学考试）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题组三题组三巧建坐标1．（2022·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一动点，则满足SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0的个数为______．【答案】4【解析】以SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设SKIPIF1<0的边长为4，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，也就是以SKIPIF1<0为直径的圆，易知该圆与SKIPIF1<0的三边有4个公共点．故答案为：SKIPIF1<02．（2022·全国·模拟预测）在△ABC中，H，D分别是边BC，AC上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】12【解析】如图，以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，HD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习（文））已知SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点（包含端点），则SKIPIF1<0的取值范围为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：−4．（2022·山西二模）在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0所在平面内，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．-3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，直线SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴建立直角坐标系，如图，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0。故答案为：C．5．（2022·湖北模拟）（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0最大值为1C．SKIPIF1<0最大值是2 D．SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0【答案】B,C,D【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A不符合题意；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，B符合题意；SKIPIF1<0，C符合题意；SKIPIF1<0，D符合题意．故答案为：BCD.6（2020高三上·连云港期中）（多选）已知SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，那么（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A,C【解析】建立平面直角坐标系如下图所示：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，A．因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0成立，故正确；B．因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故错误；C．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正确；D．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故错误，故答案为：AC.7．（2022·广东二模）（多选）如图，已知扇形OAB的半径为1，SKIPIF1<0，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且SKIPIF1<0，点E为SKIPIF1<0上的任意一点，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0的最小值为0 B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为1 D．SKIPIF1<0的最小值为0【答案】BCD【解析】以SKIPIF1<0为原点建立如图所示的直角坐标系，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为-1，A不符合题意；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，B符合题意；设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为0，CD符合题意.故答案为：BCD.8．（2021高三上·五华月考）如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的半圆上有一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】建立如图平面直角坐标系，

由题意知，点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x-2)2+y2=4(0≤y≤2)，

则其参数方程为SKIPIF1<0，

其中A(0，-3)，B(4，-3)，D(0，0)，P(x，y)

则SKIPIF1<0

则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0

当SKIPIF1<0时，λ+μ取得最大值为SKIPIF1<0

故答案为：SKIPIF1<0

题组四最值题组四最值1．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则SKIPIF1<0的最大值是（