福建省莆田二十四中学2024届中考数学模拟试题含解析

福建省莆田二十四中学2024学年中考数学模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，若△A8C内接于半径为K的。O,且NA=60。，连接。5、OC,则边BC的长为（）

A.ORB.2RC.—RD.限

22

2.在RtAABC中，ZC=90°,AC=5,AB=13,贝!IsinA的值为（）

C.两人出相同手势的概率为』D.小明胜的概率和小亮胜的概率一样

2

4.如图，80为。。的直径，点A为弧的中点，NABO=35。，则NO8C=（）

A.20°B.35°C.15°D.45°

5.已知a,b为两个连续的整数，且avJTTvb,则a+b的值为（）

A.7B.8C.9D.10

6.某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的

一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

1112

A.—B.—C.—D.一

9633

7.若关于%的方程/+（左一2）工+公=。的两根互为倒数，则人的值为（）

A.±1C.-1D.0

8.如图，在平行四边形ABCD中,NABC的平分线BF交AD于点F,FE/7AB.若AB=5,AD=7,BF=6,则四边

A.48B.35C.30D.24

9.若分式ttl的值为零，则x的值是（）

x+1

A.1C.±1D.2

10.某运动会颁奖台如图所示,它的主视图是（)

‘1"g

A.B.目D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，则m的取值范围是.

12.甲、乙两点在边长为100m的正方形ABCD上按顺时针方向运动，甲的速度为5m/秒，乙的速度为10m/秒，甲从

A点出发，乙从CD边的中点出发，则经过一秒，甲乙两点第一次在同一边上.

13.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11

个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律,

第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.

14.为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照这样的规律，摆第"个图，需用火

柴棒的根数为.

>>0>»>0>>>>

00>

⑵

15.某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子

餐厅的网络，那么他输入的密码是.

:XueZiCanTing

5〶3㊉2=151025

咨9㊉2㊉4=183654

一8㊉6④3=482472

学子餐厅欢迎你！一

7㊉2㊉5="

16.分式方程3二—2吾x+42=1的解为_______.

x-22-x

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如图抛物线y=ax?+bx,过点A(4,())和点B(6,273)»四边形OCBA是平行四边形，点M(t,0)

为x轴正半轴上的点，点N为射线AB上的点，且AN=OM,点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；

(2)当AAMN的周长最小时，求t的值；

(3)如图②，过点M作ME_Lx轴，交抛物线y=ax?+bx于点E,连接EM,AE,当△AME与ADOC相似时.请直

接写出所有符合条件的点M坐标.

18.(8分)如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC,P是△ABC外接圆。O上的一动点(点P与点C位于直

线AB的异侧)连接AP、BP,延长AP到D,使PD=PB,连接BD.

(1)求证：PC〃BD；

(2)若。O的半径为2,NABP=60。，求CP的长;

的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明.

19.(8分)如图,在AABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，且AF=CE=AE.

(1)说明四边形ACEF是平行四边形；

(2)当NB满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.

20.(8分)已知边长为2”的正方形A3CO,对角线AC、BO交于点。，对于平面内的点尸与正方形48C。，给出如

下定义：如果。<PQ<&。，则称点P为正方形48CZ)的“关联点”.在平面直角坐标系xOy中，若4(-1,1),B

(-1,-1),C(1,-1),D(1,1).

y

(1)在片正方形ABCD的“关联点”有

(2)已知点E的横坐标是〃?，若点E在直线y="c上，并且E是正方形A3。的“关联点”，求"，的取值范围;

(3)若将正方形A3。沿x轴平移，设该正方形对角线交点。的横坐标是〃，直线y=gx+l与x轴、y轴分别相交

于"、N两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求〃的取值范围.

21.（8分）计算：瓜-（-2016）°+|-3|-4cos45°.

22.（10分）如图，矩形ABC。中，点E为上一点，。尸，AE于点F,求证：NAEB=NCDF.

B、EC

23.（12分）如图，AABC中，ZA=90°,AB=AC=4,D是BC边上一J点，将点D绕点A逆时针旋转60。得到点E,

连接CE.

A

（1）当点E在BC边上时，画出图形并求出NBA。的度数；

（2）当4CDE为等腰三角形时，求NR4Q的度数；

（3）在点D的运动过程中，求CE的最小值.

（参考数值:si〃75°=R+6,cos750=八一四,tan75°=2+73）

44

24.如图，0O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,ZDEB=30。，求弦CD长.

D

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解题分析】

延长BO交圆于D,连接CD,贝！|NBCD=90°,ND=NA=60。；又BD=2R,根据锐角三角函数的定义得BC=gR.

【题目详解】

解：延长BO交。O于D,连接CD,

则NBCD=90°,ZD=ZA=60",

.•,ZCBD=30°,

VBD=2R,

.*.DC=R,

.•.BC=V5R,

故选D.

【题目点拨】

此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30。角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.

2、C

【解题分析】

先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可.

【题目详解】

如图，根据勾股定理得，BC1AB2=而二^12,

/.sinA=^£_生

AB=73

【题目点拨】

本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键.

3、D

【解题分析】

利用概率公式，一一判断即可解决问题.

【题目详解】

A、错误.小明还有可能是平；

B、错误、小明胜的概率是1，所以输的概率是也是1；

33

C、错误.两人出相同手势的概率为工；

3

D、正确.小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是g;

故选D.

【题目点拨】

本题考查列表法、树状图等知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

4、A

【解题分析】

根据NAB0=35。就可以求出4力的度数，再根据8。=180°，可以求出AB，因此就可以求得NA8C的度数，从而求

得NO5c

【题目详解】

解：VZABD=35°,

二俞的度数都是70°,

•••80为直径，

二篇的度数是180°-70°=110°,

,••点A为弧5DC的中点，

孩的度数也是110°,

二商的度数是110。+110。-180°=40°,

.".ZDBC=^X40°=20。，

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力.

5、A

【解题分析】

,.,9<11<16,

囱<而<后，

即3<而<4，

•；a,b为两个连续的整数，且a<jn<。,

Aa=3,b=4,

a+b=7,

故选A.

6、C

【解题分析】

分析：将三个小区分别记为A、B、C,列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可.

详解：将三个小区分别记为A、B、C,

列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为;=%

故选：C.

点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树

状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

7、C

【解题分析】

根据已知和根与系数的关系％%=£得出标=1，求出左的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的"的

a

值.

【题目详解】

解：设』、人是/+伏一2»+公=0的两根，

由题意得：玉％2=1，

由根与系数的关系得：m尤2=/，

解得k=l或T,

•••方程有两个实数根，

则△=(左一2)2—4/=—3/一4攵+4〉()，

当4=1时，4=-3-4+4=-3<0,

.,.#=1不合题意，故舍去，

当Q-1时，△=-3+4+4=5>0,符合题意，

二人-1,

故答案为：-1.

【题目点拨】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键.

8、D

【解题分析】

分析：首先证明四边形ABEF为菱形，根据勾股定理求出对角线AE的长度，从而得出四边形的面积.

详解：VAB//EF,AF〃BE,二四边形ABEF为平行四边形，TBF平分NABC,

二四边形ABEF为菱形，连接AE交BF于点O,VBF=6,BE=5,.,.BO=3,EO=4,

.*.AE=8,则四边形ABEF的面积=6x8+2=24,故选D.

点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理，属于中等难度的题型.解决本题的关键就是根据题意得出四边形

为菱形.

9、A

【解题分析】

试题解析：•••分式上■的值为零，

x+1

A|x|-1=0,x+1和,

解得：x=l.

故选A.

10、C

【解题分析】

从正面看到的图形如图所示：

故选c.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、m<l.

【解题分析】

试题分析：由题意知，△=4-4m>0,故答案为mSl.

考点：根的判别式.

12、1

【解题分析】

试题分析：设x秒时，甲乙两点相遇.根据题意得：10x-5x=250,解得：x=5(),

相遇时甲走了250m,乙走了500米，则根据题意推得第一次在同一边上时可以为1.

13、9n+l.

【解题分析】

•.•第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，

,正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+1；

•.•第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，

,正方形和等边三角形的和=11+10=21=9x2+1；

•.•第1个图由16个正方形和14个等边三角形组成，

:.正方形和等边三角形的和=16+14=10=9x1+1,

•••,

...第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+l.

故答案为9n+l.

14、6n+l.

【解题分析】

寻找规律：不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，即：

第1个图形有8根火柴棒，

第1个图形有14=6x1+8根火柴棒，

第3个图形有10=6x1+8根火柴棒，

第n个图形有6n+l根火柴棒.

15、143549

【解题分析】

根据题中密码规律确定所求即可.

【题目详解】

50302=5x3xl0000+5x2xl00+5x(2+3)=151025

902®4=9x2xl()000+9x4xl00+9x(2+4)=183654,

8®603=8x6xl0000+8x3xl00+8x(3+6)=482472,

，7(8)2(8)5=7X2X10000+7X5X100+7X(2+5)=143549.

故答案为：143549

【题目点拨】

本题考查有理数的混合运算，根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键.

16、x=l

【解题分析】

根据解分式方程的步骤，即可解答.

【题目详解】

方程两边都乘以x—2,得：3-2x-2=x-2,

解得：x=1»

检验：当x=l时，X-2=1-2=-1H0,

所以分式方程的解为x=l,

故答案为x=1♦

【题目点拨】

考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式方程一定

注意要验根.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)y=^x2-空x,点D的坐标为(2,-巫);(2)t=2；(3)M点的坐标为(2,0)或(6,0).

633

【解题分析】

(1)利用待定系数法求抛物线解析式；利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标；

(2)连接AC,如图①，先计算出AB=4,则判断平行四边形OCBA为菱形，再证明△AOC和AACB都是等边三角

形，接着证明△OCMgZkACN得到CM=CN,ZOCM=ZACN,则判断△CMN为等边三角形得到MN=CM,于是

△AMN的周长=OA+CM,由于CM_LOA时，CM的值最小，△AMN的周长最小，从而得到t的值；

(3)先利用勾股定理的逆定理证明AOCD为直角三角形，ZCOD=90°,设M(t,0),则E(t,且叵t),根

63

据相似三角形的判定方法，当则=箜时，△AMEsaCOD,即忙-4|：4=|"t?-垣t|：迪，当出=陛时，

OCOD633ODOC

AAME-ADOC,即|t-4|：逋=|立t?.2叵t|:4,然后分别解绝对值方程可得到对应的M点的坐标.

363

【题目详解】

解：(1)把A(4,0)和B(6,2^/3)代入y=ax?+bx得

16&+4Q0”6

<「，解得°厂，

36ci+f)b=2.y/32>/3

ih=———

.•・抛物线解析式为y=走x2•幽x；

63

二点D的坐标为(2,-WE)；

3

(2)连接AC,如图①，

AB=J(4-6y+(2局=4,

而OA=4,

・・・平行四边形OCBA为菱形,

AOC=BC=4,

：.c(2,2百),

；•AC=42_4)2+(2布丫=4

：.OC=OA=AC=AB=BC,

/.△AOC和小ACB都是等边三角形，

二ZAOC=ZCOB=ZOCA=60°,

而OC=AC,OM=AN,

.".△OCM^AACN,

；.CM=CN,ZOCM=ZACN,

VZOCM+ZACM=60°,

.•.ZACN+ZACM=60°,

.,.△CMN为等边三角形，

；.MN=CM,

AAAMN的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM,

当CM_LOA时，CM的值最小，△AMN的周长最小，此时OM=2,

：.t=2；

(3)VC(2,2月)，D(2,-^1),

3

.•.CD=^,

3

.*.OD2+OC2=CD2,

.♦.△OCD为直角三角形，ZCOD=90°,

设M(t,0),则E(t,It?-汉It),

63

VZAME=ZCOD,

.♦.当=蟠时，△AME^ACOD,即|t-4|：4=1@t2-2^t|：仁后,

OCOD633

121

整理得|二2-；t|=：|t-4|,

633

121

解方程一t?--t=-（t-4）得万=4（舍去），t2=2,此时M点坐标为（2,0）；

633

121

解方程—t2--1=--（t-4）得ti=4（舍去），t2=-2（舍去）；

633

当国£=箜时，AAMEsZXDOC,即|t-4|：生8=|比t2一名叵t|：4,整理得|="4|,

ODOC36363

12

解方程——t=t-4得ti=4（舍去），t2=6,此时M点坐标为（6,0）；

63

12

解方程—t2--t=-（t-4）得万=4（舍去），t2=-6（舍去）;

63

综上所述，M点的坐标为（2,0）或（6,0）.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和菱形

的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；熟练掌握相似三角形的判定方法；会运用分

类讨论的思想解决数学问题.

18、（1）证明见解析；（2）76+72;（3）竺等的值不变，PA：：B=0

PCPC

【解题分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到NABC=45。，ZACB=90°,根据圆周角定理得到NAPB=90。，得至ljNAPC=ND,根

据平行线的判定定理证明；

（2）作BH±CP,根据正弦、余弦的定义分别求出CH、PH,计算即可；

（3）证明△CBP-AABD,根据相似三角形的性质解答.

【题目详解】

（1）证明：T△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC,

/.ZABC=45°,ZACB=90°,

AZAPC=ZABC=45°,

・・・AB为。O的直径，

:.ZAPB=90°,

VPD=PB,

.\ZPBD=ZD=45°,

AZAPC=ZD=45°,

APC/7BD；

（2）作BHJ_CP,垂足为H,

B

TOO的半径为2,NABP=60。,

：.BC=2y/2,NBCP=NBAP=30。，ZCPB=ZBAC=45°,

在RtABCH中，CH=BC«cosZBCH=V6»

BH=BOsinNBCH=0，

在R3BHP中，PH=BH=0,

-,.CP=CH+PH=V6+V2;

,、PA+PB

(3)---的值不变,

PC

VZBCP=ZBAP,NCPB=ND,

.,.△CBP-^AABD,

ADAB

•——=——=V2，

PCBC

PA+PD「PA+PB/-

•---------=6,即an----------=72.

PCPC

【题目点拨】

本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，掌握圆周角定理、相似三角形的判定

定理和性质定理是解题的关键.

19、(1)说明见解析；(2)当NB=30。时，四边形ACEF是菱形.理由见解析.

【解题分析】

试题分析：(1)证明AAECgZiEAF,即可得到EF=CA,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断;

(2)当NB=30。时，四边形ACEF是菱形.根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC,根据菱形的定义即可判断.

(1)证明：由题意知NFDC=NDCA=90。,

.♦.EF〃CA,

.,.ZFEA=ZCAE,

VAF=CE=AE,

...NF=NFEA=NCAE=NECA.

在AAEC和AEAF中，

，ZF=ZECA

v<ZFEA=ZCAE

EA=AE

/.△EAF^AAEC(AAS),

.*.EF=CA,

•••四边形ACEF是平行四边形.

(2)解：当NB=30。时，四边形ACEF是菱形.

理由如下：VZB=30°,ZACB=90°,

/.AC=-AB,

2

：DE垂直平分BC,

:.ZBDE=90°

:.NBDE=NACB

；.ED〃AC

又：BD=DC

.•.口卫是4ABC的中位线，

；.E是AB的中点，

.,.BE=CE=AE,

又；AE=CE,

.*.AE=CE=-AB,

2

又：AC=2AB,

2

.\AC=CE,

•••四边形ACEF是菱形.

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定.

20、(1)正方形的“关联点”为尸3；(2)<变或L；(3)—</7<>/2--.

222233

【解题分析】

(1)正方形A8C。的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间(包括两个圆上的点)，由此画出图形即可判断;

(2)因为£是正方形ABCZ)的“关联点”，所以E在正方形A3C。的内切圆和外接圆之间(包括两个圆上的点)，因

为E在直线y=J§x上，推出点E在线段尸G上，求出点F、G的横坐标，再根据对称性即可解决问题；

(3)因为线段MN上的每一个点都是正方形48。的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN与小。。相切于点F,

求出此时点。的横坐标；②M如图4中，落在大上，求出点。的横坐标即可解决问题；

【题目详解】

(1)由题意正方形A5CZ)的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间(包括两个圆上的点)，

—A_J_-4—I-----_

\、1°//X

C

图1

观察图象可知：正方形ABC。的“关联点”为尸2,尸3；

(2)作正方形A8C。的内切圆和外接圆，

X

华日C

/图2

/

0F=ItOG=yfl>>

是正方形A8CD的“关联点”，

••.E在正方形A8C。的内切圆和外接圆之间(包括两个圆上的点),

••,点E在直线y=上，

...点E在线段FG上.

分别作/F，_Lx轴，GG，J_x轴，

'：OF=1,0G=6,

：.0F'^-,0G'=—.

22

••.3般正.

22

根据对称性，可以得出一也〈加《―L

22

V2f6■//1

—<m<或----<zn<——

2222

(3),:M——,0、N(0,1),

：.OM=—ON=L

39

:.NOMN=60。.

•・•线段MN上的每一个点都是正方形ABCD

的“关联点%

①MN与小。。相切于点F,如图3中，

V3

字。、

7

②M落在大。。上，如图4中,

***OQ=y/2—.

3

二Q25/2--^-,0.

综上：—<n<y[2-—.

33

【题目点拨】

本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置

解决数学问题，属于中考压轴题.

21、1.

【解题分析】

根据二次根式性质，零指数幕法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值依次计算后合并即可.

【题目详解】

解：原式=1&-1+3-4x^—-=1.

2

【题目点拨】

本题考查实数的运算及特殊角三角形函数值.

22、见解析.

【解题分析】

利用矩形的性质结合平行线的性质得出NC0F+NA。尸=90。，进而得出/。尸=/。4尸，由AO〃3C,得出答案.

【题目详解】

•.•四边形是矩形，

：.ZADC=90a,AD//BC,

：.ZCDF+ZADF=9Q°,

,••OF_LAE于点F,

:.ZDAF+ZADF=90°,

NCDF=Z.DAF.

'.,AD//BC,

:.NDAF=NAEB,

:.NAEB=NCDF.

【题目点拨】

此题主要考查了矩形的性质以及平行线的性质，正确得出ZCDF=ZDAF是解题关键.

23、(1)ZBAD=15°；(2)NBAC=45°或NBAD=60°；(3)CE=R_垃.

【解题分析】

(1)如图1中，当点E在8c上时.只要证明△即可推出N8AZ)=NC4E=1(90°-60°)=15°；

2

(2)分两种情形求解①如图2中，当BD=DC^,易知AQ=S=DE,此时AOEC是等腰三角形.②如图3中，当CD=CE

时，△DEC是等腰三角形；

(3)如图4中，当E在BC上时，E记为£7,。记为。，连接EE，.作于M,E"_LAC于N,DEAE'

于O.首先确定点E的运动轨迹是直线EE，(过点E与8C成60。角的直线上)，可得EC的最小值即为线段CM的长

(垂线段最短).

【题目详解】

解：(1)如图1中，当点E在BC上时.

A