储运设备可靠性分析设计作业

储运设备可靠性分析设计作业

《》

课程作业

学科专业：油气储运工程

指导教师：刘丽川

学生姓名：陈涛

成绩评定：

一、用中心点法设计?150管道壁厚，工作压力为15~18MPa,试求不

同可靠性要求的壁厚设计计算公式。

管径：D=150±2mm；工作压力P=16.5±1.5MPa；应力Uy=300MPa,

oy=20MPa；管道厚度的变异系数Ct=0.03~0.05

强度可靠性设计基本式：r?s>O

管道强度s=PDPD2t上式变为：r?2t>0,简化不等式r?PRt>O（式中:

r为

应力，t为管道壁厚，P为工作压力，R为管道半径）

设管道壁厚、工作压力、应力和管径都服从正态分布，则可靠的系数：

口？口B=?rs

又：us=U11Uto2s=HtU2U22UU222oR+。P+otUHtt

2式中ot可用变异系数Ct和均值Ut表示为ot2=u2tCt

那么可靠度系数B变为：

|i|i|ir?P=?no2+rt2|i22|i|i2222aR+oP+|itCttt

进一步化简得到:

22222222222^t2P2a2r?pr+戊?2叩国"+0

|iPoR+|iRaP+|iP|iRCt?nP|iR=O

2若令：A=02o2r?Ur

B=2nPnr|iR

2222222c=02|iP2o2R+|iRoP+|iP|iRCt?|1P|1R

即可根据一元二次方程求解：Ut=?B±2A

当可靠性要求为：10?4,变异系数Ct=0.04此时得出B=?4.26489；

A=?82724；B=742500；C=?1251677

带入计算式得Htl=2.25mm（舍去）；Ut2=6.73mm

当可靠性要求为：允许破坏概率为10?3,变异系数Ct=0.4此时得出8

=?3.09；A=?86180；B=742500；C=?1384568

带入计算式得口t3=2.73mm（舍去）；Ut4=5.89mm

根据传统方法t=PD2r算t=4.125mm,取两值中与传统t值相近的那个

值为终值，经公称圆整后即可得到设计壁厚。

二、设备可靠性设计概率安全系数与传统安全系数有什么本质区别

（1）传统（平均）安全系数nc?式

中?r-----材料的强度均值；

?s——结构危险界面的应力均值；nc——传统安全系数。

式?？

?y?

y

?r?s

?

?r??s?

2r

??

2s

、??

?y?

y

?

In?r?ln?s

C?C

2r

2s

定义的可靠度系数，把应力、

?r?s

强度和实效概率三者之间的关系联结在一起。仿照式nc?系数的定义,

他们尚可进一步作如下阐述。

?r

?r??s2r

所表示的平均安全

因为??

??

2s

?

(

?s?r?s

2

?1

?

2

2

nc?lnC?C

2c

2r

2s

)Cr?Cs

或者nc?

1??

Cs?Cr??CrCsl??Cr

2

2

22222

?

?r?s

上两式把平均安全系数与结构可靠度(其值与?相对应)之间的关系

连接在一起，赋予平均安全系数新的含义。

(2)概率安全系数

在可靠性工程中，定义概率安全系数nR为：在某一概率值(a%)下材料

的最小强度(ra(min))与另一概率值(b%)卜可能出现的最大应力(sb(max))之

比。

nR?

ra(min)sb(max)

假设强度和应力均服从正态分布，？r,?$分别代表它们的均值，？r,?s

代表它们的标准差。

?(?ra(min)sb(max)

?1

ra??r

?r

?

)?a

，?(

?1?1

sb??s

?s

?

)?b

?1?1

nR?

?r??r??s??s?

C

?1

(a)(b)

2s2

?r(l?Cr??s{l?Cs?

2

2r

2s

2

(a))(b))

所以

(l?Cr?

(a))l(??

2

r

?C??CC)

(l?Cs?(b))l(??Cr)

例如：a?95%,b?99%,根据nR的定义,有

nR?

95%材料的最小强度有99%可能性出现的最大应力

(l?1.65Cr)(l??

2

2

2

2

2

?

Cr?Cs??CrCs)

2

2

r

(l?2.33Cs)(l??C)

式(2—7)列出概率安全系数与可靠度系数及强度和应力统计特征值

之间的关系。

综上：传统安全系数nc=

2222

l±pC2r+Cs?pCrCs

l?pCr

RUS

B=

ncCr+Cs

概率安全系数

nR?

ra(min)sb(max)

?1

?

?r??r??s??s?

C

?1

?1?1

(a)(b)

2

s2

?

?r(l?Cr??s{l?Cs?

2

2r

2s

2

?1?1

(a))(b))

?

(l?Cr?

(a))(l??

2r

?C??CC)

(l?Cs?(b))(l??Cr)

由于这里不能求出B的具体函数解析式，根据原函数和反函数的单调

一致性，我们就以上式来讨论nR和B的关系。

图中：系列1为8和Nc相关曲线，系列2为B和Nr相关曲线

可知当B一样时，Nc>；Nr,也就是当安全系数Nc=Nr时，用概率安

全系数算出的可靠性系数8r>Be,即可以看出用概率安全系数作出的

设计更合理。

三、推导应力正态分布，强度为对数正态分布时，可靠度计算式

装置或零部件因受到载荷作用产生的应力和材料强度之间的关系，是

决定装置或零部件失效与否的重要内容之一。

应力用s表示；材料的强度或称抗力、用r表示。假设应力和材料强

度服从任一分布，且认为强度低于应力则装置或零部件失效。令fs(s)和fr(r)

分别表示应力和材料强度的概率密度函数，参阅3-1.图中阴影部分表示干

涉面积，它示出了失效概率。即：

Pf?F(t)?P(r?s)?P[(r?s)?O]

式中Pf,F(t)——分别表示失效概率和不可靠度。

现将干涉面积的区域放大，示如图3-2。应力s在ds内的概率为：

P(sO?

ds2

?s?sO?

ds2

)?fs(sO)ds

而材料强度r大于sO的概率为：

P(r?sO)?

?

?s0

fr(r)dr

如果应力在ds内的概率与材料强度大于sO的概率是两个相互独立的

事件，则它们同时发生的概率为：

fs(sO)ds[?

?s0

fr(r)dr]

装置或零部件的可靠度是材料强度大于应力的概率。上式对sO任意取

值均应成立。故有：

R(t)?

????

?s

?fs(s)[?

fr(r)dr]ds

反之，如果定义装置或零部件的可靠度是应力小于材料强度的概率,

仿上述步骤的相应表达式为：

P(rO?

dr2

?r?rO?

dr2

)?fr(r)dr

P(s?rO)?

?

rO

rO??

fs(s)ds

fr(rO)dr[?R(t)?

??r??

fs(s)ds]

fs(s)ds]dr

?

????

fr(r)[?

应力为正态分布,其密度函数：

fr=

Irlr?|i2

?r

强度为对数正态分布，其密度函数:

fs=

则可靠度为：

4-00

sllnx?A2

?s

R(t)=

4-oo

?oo

frrfssdsdr

?0°r

r

?oo

lnx?Xs<s

lr+8?8+8

lr?|i2

?r

1

?0°sllns?入2

?

esdsdr

lr

lr?|i2

?

r

lnr?Xs

11

?u2

dudr

?oo

?oo

lnr?As

11

?u2

edud①

lnr?As

?oo

r?|irr

1

?u2

du

2

r?|ir

①？

r?8

分部积分变换

+8

1+

?oo

lnr?Ar?|irlnr?Xl?l①sdr

ors=O

-1-00

r?|irlnr?入s

?(Drs

llnr?X2

?s

+

?oo

lnr?Als?

r?|ir

1?

u2

dudr

?oo

最终得出可靠度的计算式为：

r?|i2

+°°lnr?lnu?121Inr?Xsu2rr?urlnr?Xsssll??s?0+①？edudr

rs?oo?oo

2式中：or为应力的标准差；ur为应力的平均值；Cs=ln1+Cs为Ins

的标准差、Cs为变异系数；入s=lnns?2c2s为Ins的平均值。

1

四、设置不同标准差，分别推导Q235刚屈服应力正态分布和对数正

态分布的分布函数，并绘制分布曲线。

(1)正态分布：概率密度函数可用下式表示，X为连续型随机变量。

fx(x)?

l?x??x?

???!dx,

2??x?2

???x???

累积概率分布函数为：

l?x??x?

Fx(x)??exp[?2???]dx,??x??

x

2

式中：x?随机变量；？x?均值，?x?E(X)；?x?

标准差，?x?

正态分布可记为数值的大小表征分布曲线中心线距离坐

N(?x,?x)o?x

标基准点的位置，而?x数值的大小则表征随机变量离散的程度、或者分布

曲线的陡坦程度。

?x?l当?x?0,时，称X服从标准正态分布。记为N?O,1?。其概率密

度

函数和累积分布函数分别用?x(x)和?x(x)表示，即

?x(x)?

?

X

2

2

x??

x],?????

?x(x)?

?

x

ex?p2

2

dx]

一般，经过变量置换，可以将非标准正态分布函数化为标准正态分布

函数。令U?

x??x

?x

,得：

x??x

Fx(x)?

?

?x

??

exp[?

u

2

2

2

]du??(

x??x

?x

)

或者P(a?X?b)?

ba

exp[?

12

x??x

?x

u

2

)]dx

b??x

?

?

?x

a??x?x

exp?[

2

du]

??(

b??x

?x

a??x

)???x

)

可见，变量置换后，上式已具有标准正态分布函数的形式。可以看出,

欲求

[a,b]区间非标准正态分布的累积概率值，只要求得(

b??x

?x

)和(

a??x

?x

)

两者标准

正态累积分布函数的差即可。

(2)对数正态分布：它的概率密度函数和累积概率分布函数分别为：

fx(x)?

llnx??2()],0?x??2?

P(a?X?b)?

?

ba

llnx??2

()]dx2?

式中InX的均值:??E(lnX)；InX

的标准差：？?对数正态分布的统计参量可求之如下。令:y?lnx,即x?ey。

随机变量X的求得:

?x?E(X)?

?

???

xfx(x)dx

???

?

??

?

xp?12

lxn??2

?

dx)]

?

???

ly??2

()]xdy2?

2

2

?1

?l?y??(??

exp?????

2??

?

e?x?p?

2

12

)

?exp?(??

2

1

2

)

上式中｛•｝括号内为正态概率分布函数N(???2),?的总和，其值为1。

因

??ln?x?

12

?

2

根据概率统计关系式，有：D(X)?E(X2)?[E(X)]2

而E(X)?

2

?

???

exp(2y)?exp[?

Iy??22()]dy2?

2?(??exp[?

2

)]

12

故D(X)?exp[2(???2)]?exp[2(???2)]

??x2(e??l)

由此得？2?ln(l?

D(X)

)?ln(l?Cx)

2

2

?x

2

式中Cx为变异系数。如果Cx?0.3,则ln(l?Cx2)?Cx2。因而得：

??Cx?

?

?x?x

?x

经过变量置换，对数正态分布的概率可以利用标准正态分布表进行计

算令U?

Inx??

?

,根据前面式子得：

Inb??

P(a?X?b)?

?

?

Ina??

exp[?

u

2

?

2

]du

??(

Inb??

?

)??lan??

?

)

可以看出，欲求[a,b]区间对数正态分布的累积概率值，只要求得

(Inb??

)和(

Ina??

)两者标准正态累积分布函数的差即可。

??

在实际计算中，常常用随机变量X的中位值(Xm)表示对数正态变量的

中心值。中位值的定义为：

p(X?Xm)?0.5

由式(2-30)

?(

InXm??

?

)?0.5,InXm?????

?1

(0.5)?0

所以，??

InXm

??ln?x?

12

?

2

?ln?x?

12

ln(l?Cx)?ln

2

由此得：

??lnXm?ln

?

累积概率分布函数也可以写成：

P(X)?F(x)??(lnx??

?)??(lnx?lnXmln)??(xXm

??)

图中系列1为。=3%ux,系列2为。=7%UX,设强度为正态分布的情

况图中系列3为。=3%ux,系列4为。=7%nx,设强度为对数正态分布

的情况

五、设置不同？、k值，分别绘制I、II、III型极值分布函数的分布曲线。

(1)极值I型(极小值)函数为:Fxx=l?exp?exp?(a(x?k))

图中系列1为a=0.2,k=2；系歹！J2为a=0.4,k=2；系列3为a=0.2,

k=4；系列4为a=0.4,k=4o可以看出：k值不变时a越大函数收敛越慢,

a值不变时k值越大函数收敛越慢。

极值I型(极大值)函数为：Fxx=exp?(?exp?(?a(x?k)))

可以看出：k值不变时a越小数收敛越快，a值不变时k值越大收敛

越快(2)极值H型函数为：Fxx=exp?(?(ax)k)x20

可以看出：k值不变时a越小函数收敛越快，a值不变时k值越大收

敛越快

（3）极值ni型函数为：

Fxx=l?exp?（?（xa）k）x20

绘制图形如下：

可以看出：k值不变时a值越大函数收敛越快；a值不变时k值越小

函数收敛越快。

六、说明提高Rs和即的方法，并进行举例分析。

（1）可靠度串联系统模型

若设模型中各单位的可靠度为Rlt、R2t…Rnt,则系统的可靠度

为

nn

Rst=Rlt?R2t???Rnt=Rit=Rit

i=li=l

且有：Rst<??????Rit

由上式可以看出可靠性串联的系统，总的可靠度小于系统中各单位可

靠度中的最小值，也就是说，串联系统可靠度随着串联单位的增加而减少。

系统故障率为：

n

Xit

i=l

（2）可靠度并联系统模型

若设模型中各单位的可靠度为Rlt、R2t-Rnt,则系统的可靠度

为

RPt=l?l?Rlt?l?R2t...l?Rnt

nn

=l?Rit=l?Rit

i=li=l

且有：RPt>??????Rit

由上式可以看出可靠性串联的系统，总的可靠度大于系统中各单位可

靠度中的最小值，也就是说，并