新高考数学一轮复习精讲精练8.3 分布列（提升版）（解析版）

8.3分布列（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一超几何分布【例1】（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（SKIPIF1<0）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为SKIPIF1<0.(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)X的分布列见解析，SKIPIF1<0【解析】（1）由题意知共有SKIPIF1<0个集团，取出2个集团的方法总数是SKIPIF1<0，其中全是小集团的情况有SKIPIF1<0，故全是小集团的概率是SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．若2个全是大集团，共有SKIPIF1<0种情况；若2个全是小集团，共有SKIPIF1<0种情况；故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为SKIPIF1<0．（2）由题意知，随机变量SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0数学期望为SKIPIF1<0．【一隅三反】1．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到SKIPIF1<0亿元，较2018年约增长SKIPIF1<0．从全球应用北斗卫星的城市中选取了SKIPIF1<0个城市进行调研，上图是这SKIPIF1<0个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求产值小于SKIPIF1<0万元的调研城市个数；(2)在上述抽取的SKIPIF1<0个城市中任取SKIPIF1<0个，设SKIPIF1<0为产值不超过SKIPIF1<0万元的城市个数，求SKIPIF1<0的分布列及期望和方差．(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取SKIPIF1<0个城市，求恰有SKIPIF1<0个城市的产值超过SKIPIF1<0万元的概率．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于SKIPIF1<0万元的频率为SKIPIF1<0，所以产值小于SKIPIF1<0万元的调研城市个数为SKIPIF1<0（个）；（2）由（1）得产值不超过SKIPIF1<0万元的调研城市有SKIPIF1<0个，超过SKIPIF1<0万元的调研城市有SKIPIF1<0（个），所以随机变量SKIPIF1<0的取值可能为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可得分布列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0；方差SKIPIF1<0；（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过SKIPIF1<0万元的概率为SKIPIF1<0，设任取SKIPIF1<0个城市中城市的产值超过SKIPIF1<0万元的城市个数为SKIPIF1<0，可知随机变量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习（理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.(1)求选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率；(2)设SKIPIF1<0为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，期望为SKIPIF1<0【解析】(1)解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件SKIPIF1<0，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件SKIPIF1<0,由于事件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相互独立，且SKIPIF1<0，所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为SKIPIF1<0.(2)解：由题意，随机变量SKIPIF1<0可能的取值为0，1，2，3，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以随机变量SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<00123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以随机变量SKIPIF1<0的数学期望SKIPIF1<0.考点二二项分布【例2】（2022·商丘模拟）大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一．某校组织全校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，测试结果（单位：米）均在SKIPIF1<0内，整理数据得到如下频率分布直方图．学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则为不达标．（1）若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练．请你通过计算，判断该校男学生是否还需加强立定跳远训练；（2）为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生立定跳远的距离SKIPIF1<0（单位：米）近似服从正态分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．再从该校任选3名男生进行测试，X表示这3人中立定跳远达标的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．【答案】见解析【解析】（1）解：由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以该校男生还需加强立定跳远训练．（2）解：因为SKIPIF1<0近似服从正态分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列为X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0．【一隅三反】1．（2022·东城模拟）为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图组别每天日间户外活动时间（单位：h）人数1SKIPIF1<01202SKIPIF1<02503SKIPIF1<0604SKIPIF1<070甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表（1）根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；（2）已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.【答案】见解析【解析】（1）解：根据表中数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间25%分位数在第2组.（2）解：由频率分布直方图可知，乙校参与调查的学生每天日间户外活动时间不低于SKIPIF1<0的频率为SKIPIF1<0.由此估计乙校全体学生每天日间户外活动时间不低于SKIPIF1<0的概率约为0.3.X的所有可能取值为0，1，2.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列为X012P0.490.420.09SKIPIF1<0.（3）解：不能.若甲校参与调查的学生每组中的数据恰好都取区间中点值，则甲校参与调查的学生每天的日间户外活动时间的平均值SKIPIF1<0.若乙校参与调查的学生每组中的数据恰好都取相应区间的左端点值，则乙校参与调查的学生每天的日间户外活动时间的平均值SKIPIF1<0.此时，SKIPIF1<0.2．（2022·马鞍山模拟）从2021年10月16日起，中央广播电视总台陆续播出了3期《党课开讲啦》节目，某校组织全校学生观看，并对党史进行了系统学习，为调查学习的效果，对全校学生进行了测试，并从中抽取了100名学生的测试成绩（满分：100分），绘制了频率分布直方图．（1）求m的值；（2）若学校要求“学生成绩的均值不低于85分”，若不低于要求，不需要开展“党史进课堂“活动，每班配发党史资料，学生自由学习；若低于要求，需要开展“党史进课堂”活动，据以往经验，活动开展一个月能使学生成绩平均分提高2分，达到要求后不再开展活动．请判断该校是否需要开展“党史进课堂”活动，若需要开展，需开展几个月才能达到要求？（3）以样本分布的频率作为总体分布的概率，从全校学生中随机抽取4人，记其中成绩不低于85分的学生数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】见解析【解析】（1）解：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）解：学生成绩的均值的估计值为：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以需要开展“党史进课堂”活动，又85－81.5＝3.5，所以需开展2个月才能达到要求；（3）解：由频率分布直方图可知，从全校学生中随机抽取1人成绩不低于85分的概率为SKIPIF1<0．X的取值可能为0，1，2，3，4，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故X的分布列为：X01234P0.24010.41160.26460.07560.0081SKIPIF1<03．（2022·萍乡模拟）北京冬奥会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某高校组织了20000名学生参加线上冰雪运动知识竞赛活动，并抽取了100名参赛学生的成绩制作了如下表格：竞赛得分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频率0.050.250.450.200.05（1）如果规定竞赛得分在SKIPIF1<0为“良好”，在SKIPIF1<0为“优秀”，以这100名参赛学生中竞赛得分的频率作为全校知识竞赛中得分在相应区间的学生被抽中的概率．现从该校参加知识竞赛的学生中随机抽取3人，记竞赛得分结果为“良好”及以上的人数为SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的分布列及数学期望；（2）已知此次知识竞赛全校学生成绩SKIPIF1<0近似服从正态分布SKIPIF1<0，若学校要对成绩不低于SKIPIF1<0分的学生进行表彰，请估计获得表彰的学生人数．附：若随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】见解析【解析】（1）解：由题意知，SKIPIF1<0的可能取值0，1，2，3．由题可知，任意1名学生竞赛得分“良好”及以上的概率为SKIPIF1<0，竞赛得分是“良好”以下的概率为SKIPIF1<0．若以频率估计概率，则SKIPIF1<0服从二项分布SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（或SKIPIF1<0）（2）解：SKIPIF1<0估计获得表彰的学生人数为SKIPIF1<0人.考点三独立事件【例3】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为SKIPIF1<0，乙获胜的概率为SKIPIF1<0，丙获胜的概率为SKIPIF1<0，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在SKIPIF1<0局以内（含SKIPIF1<0局）赢得比赛的概率；(2)记SKIPIF1<0为比赛决出胜负时的总局数，求SKIPIF1<0的分布列和均值（数学期望）．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，SKIPIF1<0【解析】（1）示“第SKIPIF1<0局丙获胜”，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）解：依题意SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线SKIPIF1<0的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线SKIPIF1<0将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心SKIPIF1<0的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆SKIPIF1<0中，得3分，冰壶的重心落在圆环SKIPIF1<0中，得2分，冰壶的重心落在圆环SKIPIF1<0中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；甲、乙得2分的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；甲、乙得1分的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，期望为：SKIPIF1<0【解析】（1）由题意知甲得0分的概率为SKIPIF1<0，乙得0分的概率为SKIPIF1<0，甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0可能取值为0，1，2，3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，随机变量SKIPIF1<0的分布列为：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习（理））为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为SKIPIF1<0，乙答对每道题目的概率为SKIPIF1<0，且两人每道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学最终得10分的概率；(2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析，X的数学期望为SKIPIF1<0【解析】（1）记“乙同学最终得10分”为事件A，则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，则SKIPIF1<0，所以乙同学得10分的概率是SKIPIF1<0.（2）甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.X的分布列为X05101520PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以X的数学期望为SKIPIF1<0.3．（2022·济宁模拟）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为SKIPIF1<0，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为SKIPIF1<0，且每关闯关成功与否互不影响.（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（2）设小李所得总奖金为SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的分布列及其数学期望.【答案】见解析【解析】（1）解：根据题意得，小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，其概率为：SKIPIF1<0；第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，其概率为：SKIPIF1<0；记“小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件SKIPIF1<0：则SKIPIF1<0.（2）解：根据题意得：SKIPIF1<0的可能取值为：0，600，1500，3000，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0060015003000SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的期望为：SKIPIF1<0.考点四条件概率【例4】（2022·衡阳模拟）将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，SKIPIF1<0表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；SKIPIF1<0表示事件：“《西游记》分给同学甲”；SKIPIF1<0表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（）A．事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立 B．事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有SKIPIF1<0种基本事件，事件A包含的基本事件数为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，事件AB包含的基本事件数为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，事件AC包含的基本事件数为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，A不符合题意；因为SKIPIF1<0，B不符合题意；因为SKIPIF1<0，C符合题意；因为SKIPIF1<0，D不符合题意；故答案为：C【一隅三反】1．（2022·湖北模拟）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有SKIPIF1<0个基本事件，它们等可能．事件A含有的基本事件数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，事件AB含有的基本事件数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0事件AC含有的基本事件数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，A、B不正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：C．2．（2022·浙江·高三开学考试）（多选）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【解析】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故A正确．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确．事件A，B，C不可能同时发生，故SKIPIF1<0，故C错误；SKIPIF1<0，故D错误．故选：AB．3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．事件B与事件SKIPIF1<0相互独立 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两互斥【答案】AD【解析】因为事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0任意两个都不能同时发生，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两两互斥的事件，故D正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是相互独立事件，故B，C不正确．故选：AD．考点五正态分布【例5-1】（2022·西安模拟）已知随机变量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则二项式的展开式SKIPIF1<0中有理项的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由题可知，x轴上，0和a关于1对称，a＝2；SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，为有理项.故答案为：B.【例5-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．成绩X[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125]人数Y62442208(1)已知本次质检中的数学测试成绩SKIPIF1<0，其中μ近似为样本的平均数，SKIPIF1<0近似为样本方差SKIPIF1<0，若该市有5万考生，试估计数学成绩介于90~120分的人数；（以各组的区间的中点值代表该组的取值）(2)现按分层抽样的方法从成绩在[75，85）以及[115，125]之间的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行试卷分析，记被抽取的3人中成绩在[75，85）之间的人数为X，求X的分布列以及期望E（X）．参考数据：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)X的分布列见解析；SKIPIF1<0【解析】(1)根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试成绩样本的平均数为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故所求人数为SKIPIF1<0．(2)依题意成绩在SKIPIF1<0之间的抽取3人，成绩在SKIPIF1<0之间的抽取4人，故X的可能取值为0，1，2，3．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故X的分布列为SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故ESKIPIF1<0．【一隅三反】1．（2022·德州二模）设随机变量X服从正态分布N(1，SKIPIF1<0)，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【答案】C【解析】由题，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，故SKIPIF1<0故答案为：C2．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））某学校高三有SKIPIF1<0名学生，按性别分层抽样从高三学生中抽取SKIPIF1<0名男生，SKIPIF1<0名女生期末某学科的考试成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图.(1)试计算男生考试成绩的平均分SKIPIF1<0（每组数据取区间的中点值）；(2)根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布SKIPIF1<0，试计算男生成绩落在区间SKIPIF1<0内的概率及全校考试成绩在SKIPIF1<0内的男生的人数（结果保留整数）；(3)若从抽取的SKIPIF1<0名学生中考试成绩优秀（SKIPIF1<0分以上包括SKIPIF1<0分）的学生中再选取SKIPIF1<0名学生，作学习经验交流，记抽取的男生人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列与数学期望.参考数据，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)概率约为SKIPIF1<0，人数约为SKIPIF1<0人【解析】(1)解：男生的平均分为SKIPIF1<0.(2)解：由（1）知SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0.可知成绩落在SKIPIF1<0内的概率为SKIPIF1<0，所求考试成绩在SKIPIF1<0内的男生的人数大约为SKIPIF1<0（人）.(3)解：根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在SKIPIF1<0的人数为SKIPIF1<0，女生的人数为SKIPIF1<0，可知随机变量SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，随机变量SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0.3．（2022·海南海口·二模）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布SKIPIF1<0，以（2）中所求的样本平均数作为SKIPIF1<0的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在SKIPIF1<0以外的人数为Y，求SKIPIF1<0．附：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】(1)由频率分布直方图可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为SKIPIF1<0．(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(3)由（2）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该校男生短跑成绩在SKIPIF1<0以外的概率为SKIPIF1<0根据题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．8.3分布列（精练）（提升版）题组一题组一超几何分布1.（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用SKIPIF1<0表示取到的豆沙粽的个数，求SKIPIF1<0的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由条件可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列，如下表，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率SKIPIF1<0.2.（2022·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用SKIPIF1<0表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量SKIPIF1<0的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）【解析】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（II）由题意SKIPIF1<0所有可能的取值为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．所以随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<01234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0随机变量SKIPIF1<0的均值为SKIPIF1<0．3．（2022·湖南永州·三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：摸取到的红球个数234中奖等级三等奖二等奖一等奖(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【解析】(1)解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件SKIPIF1<0，则事件SKIPIF1<0包含的基本事件有：SKIPIF1<0,

基本事件总数为：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为SKIPIF1<0.(2)解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以取0，15，20，200，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<001520200SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的数学期望SKIPIF1<0由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值SKIPIF1<0，所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.题组二题组二二项分布1．（2022·广东汕头·一模）足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是SKIPIF1<0.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为SKIPIF1<0，乙队每名球员射进点球的概率为SKIPIF1<0.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能取值为：0,1,2,3，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.X的分布列为：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事件SKIPIF1<0，或“甲VS乙：3:1”记为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥.依题意有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2．（2022·广东茂名·一模）为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以SKIPIF1<0取胜的同学积3分，负的同学积0分；以SKIPIF1<0取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为SKIPIF1<0，记小强同学所得积分为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望.附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.1500.1000.050k00.4550.7801.3232.0722.7063.841SKIPIF1<0【答案】(1)表格见解析，没有；分布列见解析，SKIPIF1<0.【解析】(1)由题意得到如下的2×2列联表，有兴趣没兴趣合计男8515100女8020100合计16535200SKIPIF1<0，由表格得到SKIPIF1<0，所以没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”.(2)由题意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布为SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以期望SKIPIF1<0.题组三题组三独立事件1．（2022·广东·一模）小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：运动项目篮球羽毛球游泳能量消耗/卡500400600求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.【答案】(1)第三天打羽毛球的可能性最大(2)分布列见解析，期望为1428卡【解析】(1)用A，B，C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别表示第n天小王进行A，B，C三种运动项目的概率.因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.第3天小王做三项运动的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.(2)小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9种，运动能量消耗总数用X表示，有1200，1300，1400，1500，1600共5种可能，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为X12001300140015001600P0.010.090.570.270.06能量消耗总数X的期望SKIPIF1<0（卡）所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的期望为1428卡.2（2022·广东韶关·一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有SKIPIF1<0三道题，答对SKIPIF1<0分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题SKIPIF1<0的概率分别为SKIPIF1<0，乙同学答对问题SKIPIF1<0的概率均为SKIPIF1<0，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)乙【解析】(1)设甲同学三道题都答对的事件为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为SKIPIF1<0.(2)设甲同学本次竞赛中得分为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0分，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的概率分布列为：SKIPIF1<002468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0设乙同学本次竞赛中得分为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0分SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的概率分布列为：SKIPIF1<002468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以乙的得分能力更强.3．（2022·广东茂名·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为SKIPIF1<0．乙答对每道题目的概率为SKIPIF1<0，且两人各道题目是否回答正确相互独立．(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列见解析，SKIPIF1<0.【解析】(1)由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，所以乙同学得100分的概率为SKIPIF1<0.(2)由题意，甲同学的累计得分SKIPIF1<0可能值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；分布列如下：SKIPIF1<0050100150200SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以期望SKIPIF1<0.题组四题组四条件概率1．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以SKIPIF1<0，故选项A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项B正确；因为SKIPIF1<0，故选项C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：C.2．（2022·东城模拟）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216【答案】A【解析】设事件SKIPIF1<0为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件SKIPIF1<0为抽取的一人完成加强免疫接种，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0