人教A版选择性必修第二册第5章51512导数的概念及其几何意义学案

.2导数的概念及其几何意义

学习任务核心素养

1.经受由平均变化率到瞬时变化率的过程，体1.通过导数概念和导

会导数概念的实际背景.数几何意义的学习，培

2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.育数学抽象及直观想

3.依据导数的几何意义，会求曲线上某点处的象的核心素养.

切线方程.(重点)2.借助切线方程的求

4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的解，提升数学运算核心

切线，并会求其方程.(易混点)素养.

［情境导学•探新知］情境趣味导学•预习素养感知

畲情境与问题

跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种，奥运会、世界

锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水依据起跳方向和动作结构分向前、向后、向

内、反身、转体和臂立6组.竞赛时，男子要完成4个有难度系数限制的自选动

作和6个无难度系数限制的自选动作，女子要完成4个有难度系数限制的自选动

作和4个无难度系数限制的自选动作.每个动作的最高得分为10分，以全部动

作完成后的得分总和评定成果.

如以下图，表示跳水运动中运发动的重心相对于水面的高度随时间变化的函

数/★生+11的图象，依据图象，请描述比拟曲线力⑺在，=如力，我四周的变化

状况.

■Ik

学问点1函数y=/(x)在x=x()处的导数

假如当Ar-O时，平均变化率需无限趋近于一个确定的值，即图有极限，

那么称y=/(x)在x=xo处可导,并把这个确定的值叫做y=/(x)在x=xo处的导数

(也称为瞬时变化率),记作广(X0)或/L,即fXxo)=lim_==lim

iZZAQAx-o空Ax-0

届+Ax)一届)

鱼,

简记：函数y=/(x)在x=xo处的导数就是函数y=/(x)在(xo,/(xo))处的瞬时

变化率.

gl尸(沏)>0和/(xo)VO反映了怎样的意义？

[提示]/'(xo)>O反映了瞬时变化率呈增长趋势，/'(xo)VO反映了瞬时变化

率呈下降趋势.

体验」./⑴=%2在X=1处的导数为()

A.2xB.2C.2+AxD.1

2

(1+AX)2—I、

B[f(l)=lim-----'----=lim(2+Ax)=2.应选B.]

学问点2导数的几何意义

(1)导数的几何意义

如图，割线PoP的斜率)1=L.记、=X—XO,当点尸沿着曲线y=/(x)

无限趋近于点Po时，即当加一0时，左无限趋近于函数y=/a)在x=xo处的导数，

因此，函数y=/(x)在x=xo处的导数fTxo)就是切线PoT的斜率ko,即ko=lim

Ax-0

A-Vo+Ax)-/(xo)

XT=f(x0).

(2)切线方程

曲线y=/(x)在点(xo,/(xo))处的切线方程为丫一〃九0)='(期)(无一左。).

»12.函数y=/(x)在x=xo处的导数/(xo)的几何意义是()

A.在点(xo,/(xo))处与y=/(x)的图象只有一个交点的直线的斜率

B.过点(xo,/(祀))的切线的斜率

C.点(沏，/(沏))与点(0,0)的连线的斜率

D.函数y=/(x)的图象在点(xo,/(xo))处的切线的斜率

D［依据导数几何意义的规定知，只有D正确.在(xo,/(加))处的切线可能

与函数有多个交点.］

学问点3导函数

对于函数y=/(x),当x=xo时,广(xo)是一个唯一确定的数，当光变化时,f'(x)

就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数)，即/，(x)=y=lim

/(x)

Ax,

住验设3.求函数/(尢)=-f+3尤的导数.

［解］由于\y=f(x+Ar)—/(X)=［—(X+AX)2+3(X+AX)］—(—X2+3X)=—

(Ax)2—2x-Zkx+3,ZLr,

所以会=一心一级+3・

故函数的导数/(x)=lim竽=lim(―Ax—2x+3)=—2x+3.

Ax-0AA—>0

［合作探究•祥疑难］疑难问题解惑•学科素养形成

□类型1利用定义求函数在某点处的导数

【例1】(1)函数/(X)在x=xo处可导，假设

./(xo+2Ax)一△■¥()).,

hm—1，那么/(xo)—()

Ax-*0XA

A.2B.1C.1D.0

(2)求函数y=/(x)=x—：在x=—1处的导数.

«xo+2Ax)—/(尤o)Axo+2Ax)-y(xo)1

(1)C[VlimT，••灯2Ax.2,即/Qo)一

Ar-oAx

於°+2Af°)《应选c.]

lim

A.r-*o2At

(2)［解］由于Ay=/(—1+-)—/(-1)=一1+Ax0=

—1+Ax

—2AX+(AX)2

—1+Ax

、Ay-2AX+(AX)2—2+AX

以Ax(—l+Ax)Ax—1+Ax'故函数在x=1处的导数y|x=-i=lim

△x-o

△y-2+Ax

=lim—1+AX=2

AxAx-o

r......••成思领悟.....

i.利用定义求函数/(X)的导数的步骤

(1)求函数值的转变量△y=/(x+Ax)—/(x)；

△y/(x+Ax)-/(x)

求函数的平均变化率

(2)AxAx

(3)取极限,得—(x)=lim笑.

Ar-oa

其中，在其次步求平均变化率时，要留意对党的变形与约分，假如变形或约

分不彻底，可能导致极限把若不存在；在对图取极限时，必需将多变形到当

Ax-O时，分母是一个非零常数的形式.

2.求函数/(X)在某一点xo处的导数，通常可以有两种方法：一是直接利用

函数在某一点次处的导数的定义求解；二是先利用导数的定义求出函数的导函

数，再计算导函数在祀处的函数值.

［跟进训练］

X

1.建筑一栋面积为xn?的房屋需要本钱y万元，y是龙的函数，y=/(九)=行

+杀，求尸(10°)，并解释它的实际意义.

［解］依据导数的定义，得

/,(100)=lim%

Ar-o4

Xioo+Ax)-Xioo)

=lim----------7-------------

1OO+AX++1OO+AX+3-(1OO+^/T55+3)

=lim1AA

Ar-。10AX

(1,^100+Ax-10^

一出lw+lOAx)

=•11+广］—

=灯L1010X(-7100+Ax+10).

」+—1—

10^10X(10+10)

=0.105.

一(100)=0.105表示当建筑面积为100IT?时，本钱增加的速度为1050元/n?.

类型2导数几何意义的理解与应用

【例2】函数/(x)在R上有导函数，且/(*)的图象如下图，那么以下不等

式正确的选项是()

A.f'(a)<f\b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)

C./'(a)V/'(c)V/@D.f'(c)<f'(a)<f\b)

(2)如下图，点A(2,1),8(3,0),E(x,0)(x20),过点E作。8的垂线/.记

AAOB在直线l左侧局部的面积为S,那么函数S=/(x)的图象为以下选项中的

()

尝试与发现

利用导数的几何意义去理解，导数值越大，变化率越大.

(1)A(2)D[⑴由题意可知，/⑷，尸(与，/'(c)分别是函数/(x)在x=a、x

=分和》=,处切线的斜率，那么有广(。)<0勺•，3KT(C),应选A.

(2)函数的定义域为［0,+°°).

当xW［0,2］时，在单位长度变化量Ar内面积变化量AS越来越大，即图象

切线的斜率/<x)在［0,2］内越来越大，因此，函数S=/(x)的图象是上升的，且

图象是下凸的；

当xd(2,3)时，在单位长度变化量Ar内面积变化量AS越来越小，即图象

切线的斜率/<x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S=/(x)的图象是上升的，且

图象是上凸的；

当xS［3,+8)时，在单位长度变化量Ax内面积变化量AS为0,即图象切

线的斜率尸(x)在［3,+8)内为常数0,此时，函数图象为平行于x轴的射线.应

选D.］

厂.....•・成思领悟••....................

导数几何意义理解中的两个关键

关键点一：y=/(x)在点x=xo处的切线斜率为那么%>O%Xro)>O；k<

0^f'(x0)<0；k=O^f'(xo)=O.

关键点二：/(祝)|越大台在即处瞬时变化越快；r'(xo)i越小台在必处瞬时变

化越慢.

［跟进训练］

2.(1)函数/(X)的图象如图，设/(X)是/(X)的导函数，那么尸(心)与尸(XB)的

大小关系正确的选项是()

A.f'(XA)>f'(XB)

B.f'(XA)<f'(xB)

C.C(XA)=/'(XB)

D./(心)与尸(XB)的大小关系不确定

⑵某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据猜测，这四

种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务。0,各种方案的运输总量。与

时间，的函数关系如下所示.在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)

逐步提高的是()

ABCD

(1)A(2)B[(1)由导数的几何意义可得，那么广(右)与/'(XB)分别为A,B

处的切线斜率，结合图象可知，/(X4)#(XB).

(2)从函数图象上看，要求图象在[0,刃上越来越陡峭，在各选项中，只有B

项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提

高.应选B.]

□类型3求切线方程

【例3】曲线C：y=_A

(1)求曲线C在横坐标为x=l的点处的切线方程；

(2)求曲线。过点(1,1)的切线方程.

[解](1)将x=l代入曲线。的方程得y=l,二切点P(l,1).

..堡..(1+Ax)3—1

=

yv=iliniA=lim----;-----

71Al战…―

=lim[3+3Ar+(Ar)2]=3.

二仁外=i=3.

曲线在点尸(1,1)处的切线方程为y—l=3(x—l),

即3x—y—2=0.

(2)设切点为Q(xo,加)，由⑴可知y'|_=3品由题意可知ZPQ=)，|_,

X-xoX-X0

Vf)—[]

即1r=3xo,又如=焉，所以7=3看，即2x8—3高+1=0,解得枇=1

xo~1xo~1

*1

或xo=-2'

①当x()=l时，切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x—y—2=0.

②当M)=-g时，切点坐标为(一g,—相应的切线方程为y+"=3x+；),

即3x-4y+l=0.

［母题探究］

1.(变条件)把题中条件"y=炉"改成,求曲线在尤=1点处的切线

方程.

［解］把x=l代入y=e得y=F=i.

即切点P(l,1),

2

,,..竺r(1+Ar)-!

外=i=hmA=hm瓦

加-0aAx-0a

=lim(Ar+2)=2,

zkr-o

：.k=y'l^［=2.

...曲线丁=/在P(l,1)处的切线方程为

y—1=2(x—1),即2x~y—1=0.

2.(变条件)把题中条件"y=V"改成,求曲线过点(1,1)的切

线方程.

「砌Ay_(x+Ai，)3+1T—1

阚AA-

—一Ax

=3xAx+3f+(Ax)2,

Ay

那么lim~7~=3X2,因此y』？％2.

△x-o"

设过点M(l,1)的直线与曲线yuR+l相切于点p(xo,%8+1),依据导数的

几何意义知曲线在点尸处的切线的斜率为攵=3焉①，过点M和点尸的切线的斜

率攵=君+111②,由①一②得3了=")1,解得项=0或刈=之所以攵=0或Z

xo—1X0—1L

27

=彳，因此过点M(l,1)且与曲线y=V+l相切的直线有两条，方程分别为V一

27

l=W(x—1)和y=l,即27x—4y—23=0和y=l.

厂.....•成思领悟.........................

利用导数的几何意义求切线方程的方法

(1)假设点(M),泗)在曲线上，求在点(孙，泗)处的切线方程，先求出函数y=/(x)

在点M）处的导数，然后依据直线的点斜式方程，得切线方程y-y（）=/'（xo）（x-xo）.

（2）假设点（xo,泗）不在曲线上，求过点（祀，声）的切线方程，首先应设出切点

坐标，然后依据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.

[当堂达标-夯基础]课堂知识检测•小结问题点评

1.下面说法正确的选项是（）

A.假设/（xo）不存在，那么曲线y=/（x）在点（xo,/（次））处没有切线

B.假设曲线y=/（x）在点（配，/（祀））处有切线，那么尸（血）必存在

C.假设尸（期）不存在，那么曲线y=/（x）在点（xo,/（xo））处的切线斜率不存在

D.假设曲线y=/（x）在点（xo,/（烦））处没有切线，那么广（xo）有可能存在

C[依据导数的几何意义及切线的定义知曲线在（加，泗）处有导数，那么切

线肯定存在，但反之不肯定成立，故A,B,D错误.]

2.广㈤是/（是的导函数,且广⑴=3,那么lim/⑴-C2A^）=（）

C//3

A.3B.6C.-6D.-2

「「•”，”、Q川）一铝+2敛）-2[A1+2AX-）-AD]”

C[•/'⑴=3,..hm--------------=lrim--------忘-------=-21im

△x-oaAx-o/aAx-o

川+2Ax）—川）A广、舜「]

----丞-----=-4（1）=-6,应选C.]

3.某司机观察前方50m处有行人横穿公路，这时司机开头紧急刹车，在刹

车的过程中，汽车的速度。是关于刹车时间r的函数，其图象可能是（）

A[依据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排解选项C,D;由于

是紧急刹车，那么汽车速度下降特别快，那么图象较陡，排解选项B,应选A.]

4.设曲线/（九）=加在点（1,0处的切线与直线2x—y—6=0平行，那么a

等于.

a(l+Ax)2-aXl2

1[由L于广⑴=lim-----太------

加ta

2必％+。(祠2

=lim-----T------=lim(2Q+QAX)=2Q,

Ax-oAx-o

所以2。=2,所以a=l.]

5.曲线>=2^—7在点P处的切线方程为8x—y—15=0,那么切点P的坐

标为•

(2,1)[设切点P(m,n),切线斜率为k,

”[2(x+Ax)2—7]—(2/—7)

由y=hmAx=lim瓦

Ar-oaAx-oa

=lim(4x+2Ax)=4x,

Ax-o

得女=y'|x=m=4/77.

由题意可知4"2=8,.,.m=2.

代入y=2f—7得n=1.

故所求切点尸为(2,1).]

(-------------------1陶园03囹।-------------

回忆本节学问，自我完成以下问题：

(l)/'(xo)是如何反映函数y=/(x)的图象特征的？

［提示］曲线的升降、切线的斜率与尸(次)的关系如下:

尸(的)的曲线)(X)在x=xo四切线的

切线的倾斜角

口

付万周的升降状况斜率k

/(次)>0上升k>0锐角

尸(项)VO下降k<0钝角

零角(切线与X轴平

尸(xo)=o平坦k=O