第6章空间向量与立体几何单元综合检测（练习）-高二数学课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

第6章空间向量与立体几何单元综合检测

一、单选题

1.下列说法正确的是(????)

A.任一空间向量与它的相反向量都不相等

B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

D,不相等的两个空间向量的模必不相等

【答案】C

【分析】根据空间向量的基本概念及性质，结合各选项中空间向量的描述判断正误即可.

【解析】A：零向量与它的相反向量相等，故错误；

B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；

C:空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；

D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；

故选：C

2.已知三棱柱ABC-44G，点P为线段耳G的中点，则AP=(????)

A.-AB+AC+-AA,B.AB+-AC+-AA

22122、

C.-AB+-AC-AA.D.-AB+-AC+AA.

22、22、

［答案］D

【旋析】根据空间向量的线性运算求解即可

【解析】解：在三棱柱ABC-A4G，点尸为线段BC的中点，则

AB=ABC=BCi,BF=PG,

所以=M+=

=AA,+AB+^(BA+AC)

=^AB+^AC+AAt,

故选：D

3.若4：a,b.c是三个非零向量；q：{a,b，c}为空间的一个基底，则p是q的?？(？??？)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.

【解析】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，

若a,h,。是三个共面的非零向量，则S,b,C不能作为空间的一个基底；

但若伍，b,C为空间的一个基底，则a,b,C不共面，

所以4,b,c是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.

故选：B.

4.在正三棱柱"C-4内£中，若加=血网，则4%与8a所成的角的大小是（？??？）

A.60B.75c.90D.105

【答案】C

【分析】取BC的中点M,连接AA1,gM,可证明进而可得与ML8G，再由正三

棱柱的性质可得A"，BG，由线面垂直的判定定理可证明80_1面人用“，可得BG_LAB_即可求解.

【解析】如图：取8c的中点M,连接AM,B{M,

设A8=0a，则B4=a,BG=6a,

0

在RtBB、M中，0aQ,

'a2

在Rt,B4G中，tanZBlC,B=-^-=^.

所以NBgM=NgC18,

所以NB|GB+=NBBM+NMBg=90,

所以B|M_L8G，

因为三棱柱A8C-ABg是正三棱柱，

所以B81_L面ABC,AWu面A8C,所以

因为ABC是等边三角形，所以AM_L8C,

因为8qBC=B,所以AMI面BCGB-

因为8£u面BCCg,所以AMLBG，

因为AMc耳M=M,所以8GJ.而ABM，

因为AB|U面A印0,所以

所以Ag与所成的角的大小是90,

5.下列四个命题中，正确命题的个数是（????）

①若他力,。}是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得

p=M+yb+zc；

②若两条不同直线/，，〃的方向向量分别是a，b，则回〃Oa//〃；

③若｛QA,O8,OC｝是空间的一个基底，且。。=goA+：OB+goC,贝lj4B,C,。四点共面；

④若两个不同平面a,夕的法向量分别是“,v,且“=。,2,-2),v=(-2,-4,4),则a*.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法

向量的定义判断.

【解析】①若｛a,Ac｝是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x,z),

使得〃=xa+)力+zc,由空间向量基本定理知，正确；

②若两条不同直线/,机的方向向量分别是a，b.则似机=a〃A，由方向向量的定义知，正确；

③若｛。4,。8,0。｝是空间的一个基底，且0O=ga4+g08+；0C,则A,B,C,。四点共面，由空间向

量共面定理知，正确；

④若两个不同平面a/的法向量分别是"“，且〃=(1，2,-2),v=(-2,Y,4),则a瞅由法向量的定义知，

正确.

故选：D

6.如图，在正四棱柱ABCD-A4GR中，0是底面ABC。的中心，£尸分别是84,。。的中点，则下列

结论正确的是(????)

A.A.O//EF

B.\O±EF

C.A0〃平面E/隹

D.•平面

［答案］B

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.

【解析】在正四棱柱A8CO-AA62中，以点。为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

令==2仇”>0⑦>0),。是底面A3C。的中心，E尸分别是8片,OR的中点，

则0(a,a,0)，A(2a,0,2b),E(2a,2a,6)，K(2a,2“,23,F(0,0,))，=(a,-a,2b),FE=(2a,2a,0),EBi=(0,0,A),

对于A,显然。4,与此不共线，即4。与EF不平行，A不正确；

对于B,因。4"E=a・2a+(—a>2a+0•»=0,则04\*■五E，即AO_LEF,B正确；

对于C,设平面Eg的法向量为〃=(x,y,z),则0,令x=],得〃=(1,一1,0),

-EB、=hz=0

OAcn=2a>0,因此与〃不垂直，即4。不平行于平面E尸，C不正确；

对于D,由选项C知，。4与〃不共线，即A0不垂直于平面D不正确.

故选：B

7.己知四棱柱A8CQ-A//G功的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB/。/的

距离为平，则直线BQ与平面A8Q所成角的余弦值为(????)

“3MR377_sflO「近

10101010

【答案】A

【分析】先由等面积法求得AA的长，再以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,运用

线面角的向量求解方法可得答案.

【解析】如图，连接AG交用。于。点，过点c作于〃，

则CH1平面ABR,则CH=生普，

设A4,二〃，

则AO=CO=J/+2,AC=2&,

贝I」根据三角形面积得W=^xAOxC//=ixACx,

代入解得a=20.

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z.

则40,0,2忘),旦(2,0,0),2(0,2,0),。(0,2,2应),4〃=(0,2,-2&),。旦=(2,0,-20),用。=(一2,2,2及),

设平面A4。]的法向量为，=(x,y,z),

n-AD\=0即卜-2斤。,

令工=应,得“=(&,在i).

n•AB\—02x-2\/2z=0

EC\BDnx/10

cos(B,D,n)=-!t-------=------,

\BtD\\n\10

所以直线与。与平面A£GR所成的角的余弦值为噜,

故选：A.

8.如图，在菱形ABCD中，AB=—,/皿＞=60。，沿对角线8。将△AB。折起，使点A,C之间的距

3

离为2万，若尸，Q分别为线段BO,C4上的动点，则下列说法错误的是(????)

A.平面平面BC。

B,线段PQ的最小值为近

C.当4Q=QC,4包＞=。3时，点。到直线尸。的距离为巫

14

D.当P,Q分别为线段3。，C4的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为亚

4

［答案］C

【5■析】取89的中点。，易知，BD,OCLBD,结合条件及线面垂直的判定定理可得0A±平面BDC,

进而有平面平面BOC,即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.

【解析】取BO的中点。，连接。AOC,

回在菱形ABC。中，AB=—,ZBAD=60°,

3

I2OA=OC=2,又AC=2&,

SOA2+OC2=AC2,所以O4_L8,

又易知。4,8£),0C，8O,

因为Q4J_OC,OALBD,OC「BD=O,

所以OAl-平面BDC,

因为OAu平面ABO,

所以平面ABD_L平面BOC,故A正确；

以。为原点，O8,OC,OA分别为％%z轴建立坐标系，

贝IjB¥，O,O]C(O,2,O),A(O,O,2)，4吟

当AQ=QC,4P£>=£>B时，Q(O,1,1),-率。,0),

PQ=DP=性。,0),

1

,PQ-DP3历

所以点。到直线P。的距离为"=’而广方=方，故C错误;

V3

设P(a,0,0),设C0"C4=4(O,-2,2),可得。(0,2-24,22),

|PQ|=M+(2_21)2+(24)2=卜2+80-g)+2,

当。=0,2=3时，|PQ1mhi=&,故B正确；

当尸，。分别为线段8。，C4的中点时，

P(0,0,0),2(0,1,1),PQ=(O,U),AD=，¥，0,-2),

设PQ与AO所成的角为。，

aPQAD|276

则2丽=*F，

所以PQ与所成角的余弦值为手，故D正确；

故选：C.

二、多选题

9.在空间直角坐标系。-小中，平面a的法向量”=(2,2,1),直线/的方向向量为m，则下列说法正确的

是(????)

A.x轴一定与平面a相交B.平面a一定经过点。

C.若"?=(-1,-1,-；),贝!!/_LaD.若，"=(-1,0,2),则〃/a

【答案】AC

【分析】A选项，设设x轴的方向向量设为a=(U),0),通过计算公〃片0可以得到两者一定相交；B选项直

接可以作出判断；C选项通过观察发现〃=_2〃?，可以作出判断，D选项通过计算机.〃=0,可以得到〃/C或

/在平面a上.

【解析】不妨设x轴的方向向量设为。=(1,0,0),则。・〃=(1,0,0)-(2,2,1)=2=0,故x轴一定与平面a相交，

A正确；平面a不一定经过点。，B错误；因为(2,2,1)=-2(-1,-1,-；),即〃=_2〃?，故/，a,C正确；因

为“〃=(-1,0,2>(2,2,1)=-2+2=0,所以所以〃/a或/在平面a上，故D错误.

故选：AC

10.如图，在平行六面体ABCO-AB|G。中，以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是

60。，M为AG与的交点，若钻=4")=。,9=。，则下列正确的是(????)

A.BM=-a--b+cB.AC,=a-^b-\-c

221

c.AG的长为右D.cos(AB,AC)=q

【答案】BD

［分析)AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可;C选项，在B选项的基础上，平方后计算出|北『=6,

从而求出口乙卜八；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A选项，BM=BBf+BlM=AAl+-[BA+BC)=-b--a+c,A错误，

对于B选项，AC,=AB+AD+CCt=a+b+c,B正确：

2222

对于C选项，ACj=a+b+cf则|AC||=(a+b+c)=a+b+c+2a-b+2a-c+2b-c=6f

Kij|ACi|=V6,C错误：

……ABAC.V6

对于ABAG=a^a+b+c^=a2+a-b+a-c=2则C'AC=阿网二行'D正确•

故选：BD.

TT

11.在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为菱形，NA8C=§,PAL平面ABC£>,B4=A3=2,E为棱P8的

中点，尸为棱BC上的动点，则下列结论正确的为(????)

TT

A.平面平面P3CB.上9与平面A5C。所成角的最大值为工

c.E到面抬C的距离为亚D.AE与PC所成角的余弦值为:

24

【答案】CD

【分析】取8c的中点M,可证得AM,ARAP两两垂直，所以以A为原点，以AM,ARAP所在直线分别

为x，%z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断.

【解析】取8c的中点M,连接AM,AC,

TT

因为底面ABCD为菱形，ZABC=y,

所以AW_L8C,

因为PAJ_平面ABC。，AM,A。u平面ABC。，

所以P4_LAM,PA_L4。，

所以4W,AE),AP两两垂直，所以以A为原点，以A〃,AQ,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，则

A(0,0,0),8(6,-1,0),C(6,1,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

因为E为棱尸B的中点，所以E・，-5/，

(22J

设尸(g,a,0)(-l<a<l),

对于A,设平面AEF的法向量为〃7=(%,如4),平面PBC的法向量为〃=(々,%*2)，

因为AE==(G,a,0),尸8=(6,—1,—2),尸C=(6,1,-2),

(22]

V31n

m-AEyF+4=0n-PB=\/3x2-y2-2Z2=0

所以

n-PC=V3X2+y2-2z2=0

m•AF=+ay1-0

令x、=也,z=有,

若平面AEFJL平面尸BC,则帆•〃=3=0,解得〃=3不合题意，所以A错误,

4a

对于B,平面ABC。的一个法向量为"=(0,0,2),£/=停”+；,-1,

设所与平面4BCD所成角为氏则

I/\|APEF21

sin0=cos(AP,EF)=---n---=—.=

1、71AF^EF)3^.,J/+a+2，

2J—+1+。+。+—

V44

因为a?+a+2=[a+‘]+—>—,所以sin94,

[2J447

因为迈>_[,所以。大于g,所以B错误，

726

对于C,设平面PAC的法向量为匕=(x,y,z),AP=(0,0,2),AC=(石,1,0),

令x=G则匕=(6-3,0),

所以E到面南C的距离为上空=212=立，

所以C正确,

\b\y/3+92

对于D,设AE与PC所成角为a,

AEPC2~2~

所以cosa=jcos^AE,尸C)卜

所以D正确,

A剧“出+；+1-V3+1+44

故选：CD

M

12.如图，已知P为棱长为1的正方体对角线8R上的一点，且BP=4BR,，€((),1)下面结论中正确的

有(????)

A.

B.AP可能与面APB垂直

2

C.当AP+P。取最小值时，

717乃

D.若4e(O,l),则NAPCe

【答案】AC

【分析】以。为坐标原点,。4。。，。2分别为苍了*轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐

一分析即可.

【解析】以。为坐标原点，分别为xy，z轴建立如图空间直角坐标系，

则B(l,1,0),0,(0,0,1),设P(x,y,z).

因为=AG(0,1),

所以BP=2BR,BP(x—1,j—1,z)=A(—1,—1,1),

解得「(1-41-/").

对于A,因为A(1，0,1)，0(0,0,0),C,(0,1,1),

所以AO=(—1,0,—i),Cf=(l—4—1),

则AZ>GP=_ix(iT)+oxD+(_i)*(;i_i)=o,

所以ADLC7,故A正确，

对于B,因为A(l，0,l)，4(1，0,0)，8(1，1,0),£>|(0,0,1),

所以”=(-4-1),阴=(T,0,l),AB=(0,l,0),

AD.•n=0

设〃=(x,y,z)为面A8R的法向量，贝Ij

ABn=0

即〈n，令尤=1，则”=(1,0,1)，

u=。

假设AP与面APB垂直，即Af与面ABA垂直，

故A尸=〃〃,即(一41--1)=〃(1Q,1)=(〃,0,〃),

-2=〃

得1-％=0,此方程组无解，

/-1=//

即A/不可能与面AP8垂直，故B错误，

对于c,A,P+PD=7(l-/l-l)2+(l-A)2+(2-l)2+V(l-A)2+(l-/l)2+22

=2,3无-42+2=+-|,

2

则当时，AP+PO取最小值，故c正确，

对于D,因为A(l,0,0),C(o,1,0),

所以PA=-1,-2),PC=(2-1,2,-2),

PAPC3Z2-22

则c-阿网

3储-2/1+13储-2/1+1

2111

因为4«0,1),所以彳433一24+1<2,则一彳W1-《万一1〈彳，

323Z--2/1+12

11(jr27r

则-2<cosZAPC<展则cosZAPC£仁,可，故D错误.

故选:AC

三、填空题

13.已知｛凡6,c｝是空间的一个单位正交基底，向量p=4+2b+3c,｛a+b,Q-b,c｝是空间的另一个基底，用

基底0|十"4-。，＜'｝表示向量p=.

【答案】g(a+A)-g(〃-0)+3c

【分析】设p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zC9然后整理解方程组即可.

【解析】设〃=a+2Z?+3c=x(a+/?)+y(a-b)+zcf

即有。+28+3c=(x+y)a+(x—y)h+zc,

因为｛。，4已是空间的一个单位正交基底，

3

x=—

x+y=I2

所以有＜x_y=2n«y=_/,

z=3々

iz=3

31

pJrliiP=-(a+b)--(a-b)+3c.

故答案为：++

14.已知正方体ABC。-AACQ的棱长为6,E为棱AR的中点，F为棱Ag上的点，且4尸：尸片=1:5,

则EF-BC、=.

【答案】18

【分加】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求解.

【解析】建立如图所示空间直角坐标系：

X

则E（6,0,3）,F（6,l,6）,B（6,6,0），G（0,6,6）,

所以即=（0,1,3）,BC；=（-6,0,6）,

所以ERBG=18,

故答案为：18

15.在平行六面体ABCD-AAGR中，底面ABC。为正方形，AB=2,M=3,^AB=A\AD=e,

若AC1=5,则cos0=__________.

【答案】|

【分析】利用向量运算表示,耳，由此求得cos。.

2

【解析】AC^AB+AD+AArAC,=（AB+AD+AAi^

__2_2.2__

=AB^+AD+AA,+2ABAD+2ABAA.+2ADAA,

=4+4+9+0+2x2x3cos9+2x2x3cos9

=17+24cos0=25,cos3=—.

3

故答案为：g

16.如图，在棱长为1的正方体ABC。-AgGR中，点M为线段8R上的动点，下列四个结论:

①存在点M，使得直线AM与直线片。夹角为30。；

②存在点M，使得C.M与平面AB,C夹角的正弦值为与;

③存在点M,使得三棱锥D「C、DM的体积为看；

④存在点M,使得a>〃，其中a为二面角的大小，夕为直线M4,与直线A3所成的角.

则上述结论正确的有.(填上正确结论的序号)

【答案】②③

【分析】对①：由连接4R,BC,,由4CL平面4BGR,即可判断；对③：设M到平面CDRG的距离

为万，则斓z1,所以/一他“=%/卬>=京的/?即可判断；对④：以C为坐标原点建立如图所示的空间直

角坐标系C-盯z,设8M=28〃(隐儿1),利用向量法求出cosa与cos)，比较大小即可判断；对②：设GM

与平面ABC夹角为凡利用向量法求出sin6=gs<G"，m>|，即可求解判断.

【解析】解：对①：连接AQ,BG，在正方体A8CZ)-AAGA中，由平面8CC百，可得A8,4C,

又BC1BC-ABIB3=B,所以4C_L平面ABCQ,所以qC_LAM,故①错误；

对③：设M到平面CQRC,的距离为〃，则啖加I,所以5—=Vv/-G°Q=§SG"D"=5x|x,2e[°^]>故③

正确；

对④：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系c-盯Z,设=28自(瞬儿1),

则AB=(-1,0,0),AA=(0,0,1),BDt=(1,-1,1),BM=(2,-A,,所以,A,M=(A-1,

—A，2-1),

cosB=|cos<AM,AB>|=|1=,j------,

“'IAMII4B|依―2

设平面w的法向量为九z),则0嘉二。。Jz=0

即1(/i-l)x-2^+(2-l)z=0

取〃=Q,X-1,0),又OA=(0,1,0)是平面ABgA的一个法向量,

又二面角M-AA.-B为锐二面角或直角,

n-DA.1—A1—A

所以cosa=1cos<〃,DA>|=l-------1=,==.=,

'I"IIDA|“2+([_])2以2-24+1

3A2-4/l+2-(2/l::-2/i+l)=22-22+l=(2-l)2>0,

二.3元-4A+222A~—2A+1,1—A..0,

.〔cos以,cosa,:.a„p，故④错误.

对②：由④的解析知，C,M=(A,1-2,A-1),C4=(l,l,0),CB,=(0,1,1),

,n.—0a+b=0

，即

mCB=0b+c=0

(}

取a=l,则〃?=(1,一1,1),

设C|M与平面ABC夹角为e,令sing=bos<CM%>|=〔一_尸=坐，即3分-44+1=0,又

11V322-4>1+2XV33

0珊1,解得4=1或：，故②正确.

故答案为：（2）（3）.

四、解答题

17.如图，在四棱锥中，底面A8CO是正方形，平面43a＞,24=2舫=4,点M是必

的中点.

⑴求证：BDLCM­

（2）求直线PC与平面MC。所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定定理即可证明；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过线面角相关公式进行计算即可.

【解析】（1）如图，连接AC,

回四边形ABC。是正方形，^\AC1BD.

又F4_L平面ABC。，8Z）u平面ABC。，^\PALBD,

回PA,4Cu平面PAC,PA-AC=A,

团平面PAC,

又CMu平面PAC,

^BD±CM

（2）易知A8,AD,AP两两垂直，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-“z.

^PA=2AB=4,0A（O,O,O）,P（0,0,4）,M（0,0,2）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,

回MC=（2,2,—2）,MD=（0,2,-2）,PC=（2,2,Y）.

“z、fn-A/C=2x+2y-2z=0

设平面MCD的法向量为”=（x,y,z）,则1八c二八，

、'[n-MD=2y-2z=0

1TC

令y=l,得”=（0,1,1）.设直线PC与平面MS所成角为。，由图可知0＜。＜,，

则讣峭:叱-冈=B

1'八|〃|附|庐岛历西了6

即直线PC与平面MCD所成角的正弦值为正.

6

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD,AD=CD=BC=PA=PC=-AB,BC1PA.

2

(1)证明：平面P3C1平面PAC；

(2)若PB=2插,求点8到平面PAD的距离.

【答案】⑴证明过程见详解

(2)处

【分析】(1)由已知可证AC上8C,结合BCJPA,可证8C人平面PAC,即可证结论；

(2)结合(1)先证明PO,OE,两两垂直，并得出需要的线段长，再建立空间直角坐标系，求出平

面PAD的一个法向量与A3,代入公式即可解答.

【解析】(1)取A8的中点为E,连接CE,可知四边形ADCE是平行四边形，回CE=；AB,

团点C在以A8为直径的圆上，SAC1BC.

又BC上PA,PAAC=A，且P4,ACu平面PAC,G1BC/平面P4C,

又3Cu平面P8C,回平面PBC1平面PAC.

(2)(3BCJ.平面PAC,PCu平面PAC,®BC_LPC,

由尸8=2&，BC=PC,得8c=2,AC=2石.

138c上平面PAC,又BCu平面A8C£>,团平面A8CD/平面PAC,

连接£>E交AC于点。，则。为AC的中点，连接PO,则PO_LAC,且PO=1,

13平面A5CD工平面PAC,平面ABCDc平面R4C=AC,回尸0人平面ABC。，

^POIOE,由题意可知，OE//BC,^OEIAC,

故以点。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

A（"0,0）,尸（0,0,1）,B（-G,2,0）,£>(0-1,0)

则AD=（-8,-1,0）,AP=（-73,0,1）,^=(-273,2,0),

ADn=0-yfix-y=0

设平面PAD的法向量为九=（x,y,z）,【，得

APn=0-至ix+z=0

令x=l,则〃,

点B到平面PAD的距离为|土声|=|书'g⑨.

19.如图，将长方形0/14。（及其内部）绕0。旋转一周形成圆柱，其中04=1,OQ=2,劣弧AM的长

为J,A8为圆。的直径.

O

⑴在弧A3上是否存在点C（＜7,用在平面。44。的同侧），使8（?，4用，若存在，确定其位置，若不存在,

说明理由；

（2）求平面A0B与平面40#夹角的余弦值.

【答案】⑴存在，当BC为圆柱。。的母线，BCVAB,

（2）^1

17

【分析】（1）当8c为圆柱OQ的母线，证明BC上平面A8,C，从而得出BC_LA与；

（2）以。为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面4。田与平面片。8夹角的余弦值.

【解析】（1）存在，当AC为圆柱。。的母线，BCLAB,.

连接8cAe,8C，因为BC为圆柱。«的母线，所以4C，平面ABC,

又因为3Cu平面ABC,所以

因为A8为圆。的直径，所以3CLAC.

BC±AC,BlCA.BC,ACr>B,C=C,所以BCJ,平面A0C，

因为Agu平面AB。，所以BC_LAB1.

(2)以。为原点，0AOQ分别为y,z轴，垂直于y,z轴直线为X轴建立空间直角坐标系，如图所示.

A(0,1,2),q(0,0,2),3(0,-1,0),

因为A内的长为£,所以“。百=5，.[，坐,2],。或=(0,-1,一2),

6o122

。蜴=

设平面的法向量zn=(x,y,z),

-y-2z=0,

'1y/3令x=-3，解得y=石,z=,

-x+—y=0,2

[22

(

所以《?=-3,6,---.

\/

因为X轴垂直平面A。或，所以设平面AOB的法向量7=(1,0,0).

cos(m,n

所以

所以平面4。超与平面片。田夹角的余弦值为噜.

20.如图，在三棱柱ABC-44G中，BC=CCt,AC=AB[.

(1)证明：平面A8G，平面BCCg；

⑵若BC=6AC,AB=B.C,/CBBI=60°,求直线84与平面A4G所成角的正弦值.

【答案】⑴见解析；

喈.

【分析】(1)设BGBC=。,连接A0,由题意可得。为8G，8c的中点，又因为8C=CG，AC=ABt,所

以CO_LBG，A01BtC,从而可得qCJL平面ABG，即可证明平面ABC；，平面BCC内；

(2)建立以。为坐标原点，。仇。用所在的直线分别为x轴，y轴，z轴的空间坐标系，利用向量法求解.

【解析】(1)证明：设8》8c=。,连接A。,如图所示：

则。为的中点，

因为BC=CG，

所以CO_LB£,

即8cBG,

又因为4C=Ag,

所以AOJ.BC，

又因为AOcBG=0,

所以BQ_L平面A8G，

又因为4Cu平面BCG国，

所以平面ABC,1平面BCC同；

(2)解：因为NC8B1=60°,

所以CBq为正三角形，四边形BCC£为菱形，

因为8C="4C，4B=8|C,

设AC=1,则A8I=1,BC=g，

所以ACg为等腰直角三角形，

所以以=也，

2

又因为四边形8CG片为菱形，

所以CO=O81=也，80=旦夜=立，

'222

又因为他=4。=0,

所以OI+OB?=2+色=2=AB。，

44

所以OALBG，

即OABCrgC两两垂直，

以。为坐标原点，。脱。片,04所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系:

z

A1

CL.

y

所以3(《-,0,0),B](0,^-,0)JC(0,——,0),A(0,0,-^-),C,(——,0,0)>

设A(Xo，%，Zo),

UliUULUg、万/

由CA=CjA1可得(0,-^-,/-)=(x()+-^-,y(),Zo),

所以x°=一半，%=¥，z°=孝，

所以A(-半，争4

所以威=(一向孝当,熊=(_手,一字。),第=普,0净,

设平面A/G的法向量为〃=a，y,z),

AG•〃=0

4AH=O

^^

-X-

-2-2)，=0

UHP^^

--

X+

-22z=0

令z=6,Mx=1,y=-5/3,

所以屋=(1,-6,6)，

设直线M与平面4片G所成角为0,

则有sin0=|cos<BA,n>|=J.

V7-V77

所以直线BAt与平面AqG所成角的正弦值为逅.

7

21.如图1,4。分别是矩形A8CA上的点，AB=2AA.=2AD=2f0C=2。。，把四边形沿A。

折叠，使其与平面A5CQ垂直，如图2所示，连接A1,。。得到几何体A8A-DC。.

⑴当点E在棱AB上移动时，证明：D.EVA.D.

⑵在棱43上是否存在点E,使二面角A-EC-。的平面角为g?若存在，求出AE的长；若不存在，请

0

说明理由.

【答案】⑴证明见解析:

（2）存在，|AE|=2-3.

【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，

求得AR.E，由此可证得A。；

（2）利用（1）中结论，求出平面。CE与平面RCE的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标公式得

到关于％的方程，解之即可.

【解析】（1）由图1易知图2中，有

又因为面AACRJ■面ABCD,面\ADD,'面ABCD=AD,CDu面ABCD,

所以CDJ_面AAOA，又£>2u面AA。。，故C£>，£>2，

故以。为原点，边所在直线分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，如图，

则0（0,0,0）,D\（0,0,1）,A（1,0,1）,c（0,2,0）,

不妨设4E=%,0<%<2,则E（l,%,0）,故4。=（一1,0,—1）,£>£=（1,%,—1）,

所以故。ELAQ.

（2）假设存在矶1,%,0）使二面角。-EC-。的平面角为g其中04%42,

6

因为。R，平面所以OR=（0,0,1）可作为平面。CE的一个法向量，

因为C.=（0,-=

r-D,E=0fx+yy—z=0

设平面〃CE的一条法向量为厂=（x,y,z）,则1,upn八,

r-CDt=0[-2y+z=0

令y=l,则x=2-%,z=2,故r=（2-%,1,2）,

因为二面角A-EC-Z）的平面角为

0

所以卜os<£)Z)[,r'=cos^=等1

2-%)2+1+4

整理得3升_12%+11=0,解得%=2-4或%=2+4（舍去），

所以|AE|=%=2-9，

故在棱AB上存在点E,使二面角A-EC-。的平面角为，且|叫=2-巨

22.如图①所示，长方形A5CO中，4）=1,AB=2,点M是边CD的中点，将^ADM沿4W翻折到/\PAM,

连接尸8,PC,得到图②的四棱锥P-ABCM.

p

⑴求四棱锥P-ABCM的体积的最大值；

⑵若棱依的中点为N,求CN的长；

⑶设P-AM-O的大小为6,若。,求平面R4"和平面P8C夹角余弦值的最小值.

【答案】⑴立

4

⑵且

2

(吟

【分析】(1)作出辅助线，得到当平面尸AM团平面ABC"时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥

P-A8CM的体积取得最大值，求出「G=』AM=也，从而得到体积最大值；(2)作出辅助线，证明出

22

四边形CNQM为平行四边形，从而得到CN=MQ==—;(3)作出辅助线，得到回PGO为

2

尸-AM-D的平面角，即NPGD=e,建立空间直角坐标系,用含e的关系式表达出平面