2024秋高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题达标检测含解析新人教A版必修5

PAGE1-高度、角度问题A级基础巩固一、选择题1．从A处望B处的俯角为α，从B处望A处的仰角为β，则α，β的关系为()A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：由仰角和俯角的概念得α＝β.答案：B2．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km，参考数据：eq\r(3)≈1.732)()A．11.4km B．6.6km C．6.5km D．5.6km解析：因为AB＝1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50,3)，C＝75°－30°＝45°，所以BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50,3\r(2)).所以航线离山顶h＝eq\f(50,3\r(2))×sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin(45°＋30°)≈11.4.所以山高为18－11.4＝6.6(km)．答案：B3．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B动身以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A．eq\f(150,7)分钟 B．eq\f(15,7)分钟C．21.5分钟 D．2.15分钟解析：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cosC(CD)2＝(10－4x)2＋36x2＋2×(10－4x)×6x×eq\f(1,2)＝28x2－20x＋100当x＝eq\f(5,14)小时即eq\f(150,7)分钟时距离最小．故选A.答案：A4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100eq\r(2)米 B．400米C．200eq\r(3)米 D．500米解析：由题可得下图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处．则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，所以在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝eq\r(3)h，在△ABC中，AB＝h，AC＝eq\r(3)h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(eq\r(3)h)2＝5002＋h2－2·500·h·cos120°，所以h＝500(米)．答案：D5．如图所示，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30° B．45° C．60° D．75°解析：依题意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得，cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案：B二、填空题6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析：依据图示，AC＝100eq\r(2).在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)⇒AM＝100eq\r(3).在Rt△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．答案：1507．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的马路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得马路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从C点到B点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236)．解析：由题意，AB＝200m，AC＝100eq\r(2)m，由余弦定理可得BC＝eq\r(40000＋20000－2×200×100\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))≈316.23m，所以这辆汽车的速度为316.23÷14≈22.6m/s.答案：22.68．如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛四周n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船接着东行，当α与β满意条件__________时，该船没有触礁危急．解析：在△ABM中，由正弦定理得eq\f(BM,sin（90°－α）)＝eq\f(m,sin（α－β）)，故BM＝eq\f(mcosα,sin（α－β）)，要使该船没有触礁危急需满意BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sin（α－β）)>n.．答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)三、解答题9．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解：在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15.依据正弦定理，eq\f(15,sin2.8°)＝eq\f(AT,cos18.6°)，AT＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°).塔的高度为AT×sin21.4°＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°)×sin21.4°≈106.19(m)．10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶，到A处时测得马路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1m)．解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，依据正弦定理，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝eq\f(5sin15°,sin10°)≈7.4524(km)．CD＝BC·tan∠DBC≈BC·tan8°≈1047(m)．B级实力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，接着在地面上前进200eq\r(3)m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200m B．300m C．400m D．100eq\r(3)m解析：＝600，BC＝DC＝200eq\r(3).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋（200\r(3)）2－（200\r(3)）2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)．答案：B2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．解析：由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，由正弦定理eq\f(MP,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)得MN＝68×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝34eq\r(6).所以速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/时)．答案：eq\f(17,2)eq\r(6)3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点须要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，因为∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(5（3＋\r(3)）·sin45°,sin105°)＝eq\f(5（3＋\r(3)）·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)（\r(3)＋1）,\