2024-2025学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示（教学用书）教案 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（教学用书）教案新人教A版选修2-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容本节课的教学内容来自于2024-2025学年高中数学第3章“空间向量与立体几何”，具体是3.1节“空间向量及其运算”中的3.1.4节“空间向量的正交分解及其坐标表示”。教材为新人教A版选修2-1。本节课主要内容有：

1.理解空间向量的正交分解的概念。

2.掌握空间向量的正交分解的坐标表示方法。

3.能够运用正交分解解决立体几何中的实际问题。

教学重点是空间向量的正交分解及其坐标表示方法的掌握，教学难点是理解并能够运用正交分解解决立体几何中的实际问题。二、核心素养目标本节课的核心素养目标在于培养学生的空间想象能力、数学运算能力和逻辑推理能力。通过学习空间向量的正交分解及其坐标表示，学生能够建立空间向量的坐标系，运用坐标运算进行空间向量的计算，从而提高数学运算能力。同时，通过解决立体几何中的实际问题，学生能够运用空间向量的正交分解方法，提高空间想象能力和逻辑推理能力。此外，通过小组讨论和交流，学生能够培养团队合作意识和沟通能力。三、教学难点与重点1.教学重点：

本节课的核心内容是空间向量的正交分解及其坐标表示。具体重点包括以下几点：

（1）理解空间向量的正交分解的概念，掌握正交分解的意义及其在立体几何中的应用。

（2）掌握空间向量的正交分解的坐标表示方法，能够根据坐标表示进行向量的计算。

（3）能够运用正交分解解决立体几何中的实际问题，如求解空间中的距离、角度等。

2.教学难点：

本节课的难点在于理解并能够运用正交分解解决立体几何中的实际问题。具体难点包括以下几点：

（1）理解正交分解的意义及其在立体几何中的应用。学生需要理解为什么需要进行正交分解，以及如何利用正交分解解决立体几何中的问题。

（2）掌握正交分解的坐标表示方法。学生需要理解如何将空间向量表示为正交基底的线性组合，并能够进行相应的坐标计算。

（3）能够运用正交分解解决立体几何中的实际问题。学生需要能够将实际问题转化为向量问题，并利用正交分解方法进行求解。

为了帮助学生突破难点，教师可以采取以下教学方法：

（1）利用实物模型或图形进行讲解，帮助学生直观地理解正交分解的意义和应用。

（2）通过例题讲解和练习，引导学生掌握正交分解的坐标表示方法，并能够灵活运用。

（3）提供一些立体几何的实际问题，引导学生运用正交分解方法进行求解，并解释解题思路。四、教学方法与手段1.教学方法：

（1）讲授法：在讲解空间向量的正交分解及其坐标表示时，教师可以通过系统地讲解相关概念和理论，帮助学生建立知识框架。

（2）讨论法：在解决立体几何实际问题时，教师可以组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享解题思路和心得，从而提高他们的逻辑推理能力和团队合作意识。

（3）实践法：通过让学生动手操作实物模型或利用教学软件进行模拟，使学生更加直观地理解正交分解的意义和应用，提高他们的空间想象能力。

2.教学手段：

（1）多媒体设备：利用多媒体课件，以图片、动画和视频等形式展示空间向量正交分解的直观效果，提高学生的学习兴趣和理解程度。

（2）教学软件：运用数学软件或在线教学平台，进行空间向量的计算和演示，帮助学生更好地掌握正交分解的坐标表示方法。

（3）实物模型：使用立体几何模型和教具，让学生直观地感受空间向量的正交分解，增强他们的空间想象力。

（4）在线资源：引入相关的在线教学资源和案例，丰富教学内容，拓宽学生的知识视野。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“空间向量的正交分解及其坐标表示”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解“空间向量的正交分解及其坐标表示”知识点。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解“空间向量的正交分解及其坐标表示”课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“空间向量的正交分解及其坐标表示”课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解“空间向量的正交分解及其坐标表示”知识点，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握空间向量的正交分解方法。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验空间向量的正交分解的实际应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解“空间向量的正交分解及其坐标表示”知识点。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握空间向量的正交分解方法。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解“空间向量的正交分解及其坐标表示”知识点，掌握空间向量的正交分解方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据“空间向量的正交分解及其坐标表示”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与“空间向量的正交分解及其坐标表示”课题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的“空间向量的正交分解及其坐标表示”知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。六、教学资源拓展1.拓展资源：

（1）多媒体课件：教师可以制作包含动画、视频等多媒体元素的课件，以更直观地展示空间向量的正交分解及其坐标表示，帮助学生更好地理解知识点。

（2）立体几何模型：可以使用各种立体几何模型，如正方体、长方体等，让学生直观地感受空间向量的正交分解，增强他们的空间想象力。

（3）数学软件：利用数学软件，如Matlab、GeoGebra等，进行空间向量的计算和演示，帮助学生更好地掌握正交分解的坐标表示方法。

（4）案例分析：提供一些实际案例，如建筑设计、机器人导航等，让学生了解空间向量正交分解在实际问题中的应用。

2.拓展建议：

（1）让学生利用网络资源，查找空间向量正交分解在工程、科研等领域的应用实例，以拓宽视野，提高学生的应用能力。

（2）引导学生阅读数学论文或书籍，了解空间向量正交分解的最新研究动态和发展趋势，以提高学生的学术素养。

（3）组织学生进行小组讨论，探讨空间向量正交分解在解决实际问题中的优势和局限性，以培养学生的批判性思维。

（4）鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，将空间向量正交分解的知识运用到实际问题中，以提高学生的实践能力。

（5）推荐学生阅读与空间向量正交分解相关的科普文章，以提高学生的数学素养，激发他们对数学的兴趣。七、板书设计①空间向量的正交分解概念：明确正交分解的概念和意义，强调其在立体几何中的应用。

②空间向量的正交分解坐标表示方法：详细介绍正交分解的坐标表示方法，让学生了解如何将空间向量表示为正交基底的线性组合。

③空间向量正交分解的实际应用：举例说明正交分解在解决立体几何实际问题中的应用，如求解空间中的距离、角度等。

2.板书设计应简洁明了。教师在设计板书时，应尽量简洁，避免冗长的文字描述，以便于学生理解和记忆。例如，可以采用图表、图形等直观的方式来展示空间向量的正交分解及其坐标表示。

3.板书设计应具有艺术性和趣味性。为了激发学生的学习兴趣和主动性，教师可以采用一些有趣的方式来设计板书。例如，可以利用颜色、字体、图片等元素来吸引学生的注意力，使板书更加生动有趣。

例如，在讲解空间向量的正交分解概念时，可以画出一个坐标系，并用箭头表示空间向量，然后用不同颜色的箭头表示正交分解后的向量，让学生更容易理解正交分解的概念。在讲解空间向量的正交分解坐标表示方法时，可以画出一个正方体，并用不同颜色的点表示向量，然后用线条连接这些点，让学生更容易理解坐标表示方法。在讲解空间向量正交分解的实际应用时，可以画出一个建筑物的平面图，并用箭头表示空间向量，然后用线条连接这些箭头，让学生更容易理解正交分解在实际问题中的应用。八、课后作业1.题目：已知空间向量α=（1，2，3），β=（4，5，6），求向量α与向量β的点积。

答案：向量α与向量β的点积为α·β=1*4+2*5+3*6=41。

2.题目：已知空间向量α=（1，2，3），β=（4，5，6），求向量α与向量β的夹角。

答案：向量α与向量β的夹角为cosθ=(α·β)/(||α||*||β||)=(41)/(√(1^2+2^2+3^2)*√(4^2+5^2+6^2))=0.629。

3.题目：已知空间向量α=（1，2，3），β=（4，5，6），求向量α与向量β的叉积。

答案：向量α与向量β的叉积为α×β=（2*6-3*5，3*4-1*6，1*5-2*4）=（12-15，12-18，5-12）=（-3，-6，-7）。

4.题目：已知空间向量α=（1，2，3），β=（4，5，6），求向量α在向量β上的投影向量。

答案：向量α在向量β上的投影向量为（1*4/||β||^2，2*5/||β||^2，3*6/||β||^2）=（0.8，1，1.8）。

5.题目：已知空间向量α=（1，2，3），β=（4，5，6），求向量α与向量β的混合积。

答案：向量α与向量β的混合积为α×β×α=（2*6-3*5，3*4-1*6，1*5-2*4）×（1，2，3）=（-12+15，-12+18，5-12）=（3，6，-7）。课堂（1）提问评价：教师可以通过提问的方式来了解学生对空间向量的正交分解及其坐标表示的掌握情况。例如，可以提问学生正交分解的概念、坐标表示方法以及在立体几何中的应用等。

（2）观察评价：教师可以通过观察学生的课堂表现来了解他们的学习情况。例如，可以观察学生在小组讨论、角色扮演、实验等活动中的参与程度和表现。

（3）测试评价：教师可以设计一些课堂小测验，测试学生对空间向量的正交分解及其坐标表示的掌握情况。例如，可以设计一些选择题、填空题、计算题等。

2.作业评价：

（1）批改作业：教师需要认真批改学生的课后作业，检查他们的解题思路和方法是否正确，计算是否准确。

（2）点评作业：教师需要在作业批改后给予学生详细的点评，指出他们的优点和不足，鼓励他们继续保持和改进。

（3）反馈学习效果：教师需要及时向学生反馈他们的学习效果，鼓励他们继续努力，提高他们的学习动力。

3.学生自评：

（1）自我反思：学生需要对自己的学