第一章 空间向量与立体几何诊断性检测 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

济南三中2023级单元测试题高二数学答案解析1．C由题意取，则，所以到的距离为.2．A，即，解得.3．C因为，又，所以，所以，解得，4．C【分析】由得两个平面的法向量共线，再由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】因为，所以，则，解得，故.故选：C.5．A【分析】依题意可得，即可，即可判断.【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，所以，所以，所以或.故选：A6．B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，故，设直线与平面所成角为，则.7．A【分析】建立空间直角坐标系，求出点设点到平面的距离和三角形的面积，再利用体积公式即可求解AC,利用等体积法求解CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的边长为2.

对于A,所以设平面的一个法向量为，则令则，所以设点到平面的距离为，则易知为等边三角形，边长为，所以，所以.对于B，易求得,点B到平面的距离为1，所以；对于C，所以设平面的一个法向量为，则，令则，所以设点到平面的距离为，则,易求得所以；对于D，易求得,点A到平面的距离为1，所以;所以A选项的体积最大.故选：A.8．D【分析】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断A；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断BC；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断D.【详解】对于A，当平面过或时，截面为三角形.易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时，由对称性可知，此时平面与交于点，且，此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足，且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；

对于BC，设，由余弦定理得，，由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和，当三点共线时取得最小值，由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值，所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误；对于D，记与的交点为，由对称性，，所以，，因为，所以，所以，记，则，因为，所以，由二次函数性质可知，，即，所以，故D正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是找到正四面体的对称性，根据对称性判断截面形状，利用余弦定理求周长，利用空间向量求距离，然后可得面积，题目综合性强，对学生的直观想象能力有较高的要求.9．ABC【分析】对于A，根据空间向量的性质分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据向量的性质分析判断，对于D，根据共线向量的定义分析判断.【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题；对于B，由知，，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B是假命题；对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题；对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题．故选：ABC10．BCD【分析】将四面体放入长方体中，根据四面体的棱长求解长方体的长宽高，即可建立空间直角坐标系，结合选项利用向量法求解.【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为，则，所以解得，建立如图所示的空间直角坐标系，则,故故，所以直线与所成的角为，A错误，由于，故，直线与所成的角为，B正确，对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到距离的最小，且最小值为长方体的高，即为，C正确，对于D，取中点，连接,由于，，所以,故为所求角，,故，故D正确.故选：BCD11．CD【分析】由平行关系得到与所成角等价于与所成的角，又为等边三角形，由等边三角形的性质可知与所成角，最大角为，可判断A；找到所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，可判断B；由三棱锥的高和底面面积都为定值可判断体积不变，可判断C；建系用两点间距离公式可判断D.【详解】

对于A，如图一，在正方体中，易知，所以与所成角等价于与所成的角，当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.对于B，如图二，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，所以在中，，由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故B错误.对于C，如图三，因为在面内，面到平面的距离等于，而面积不变，故体积为定值，故C正确.对于D，如图四，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，因为，由，所以，故D正确.故选：CD.12．【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面所成的角的大小.【详解】因为平面，底面为正方形，，所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0则，，由题知，平面PAD的法向量为，设平面PBC的法向量为m=则，令，则，所以，设平面与平面所成的角为，则，又，所以，所以平面与平面所成的角的大小为，故答案为：.13．①②④【分析】对于①，通过证明得到，即可判断；对于②，只需分别证明，，即可判断；对于③，利用反证法推翻命题即可判断；对于④⑤，建立适当的空间直角坐标系即可说明.【详解】对于①，因为平面，平面，，又因为，所以，所以直角三角形全等于直角三角形，因为，，所以，又因为，所以直角三角形全等于直角三角形，所以，所以，∴，又平面，平面，∴平面，∴①正确；对于②，因为，，平面，所以平面，同理平面，又平面，平面，所以，，因为，，平面，所以平面，而平面，从而，同理，又，平面，所以平面，∴②正确；对于③，由②可知，平面，而平面，所以，∴与必相交（否则若，注意到，所以，又，而同一条直线不可能同时垂直两条相交直线，故矛盾），假设平面，由平面，与相交，平面，可得平面平面，显然矛盾，∴③错误；对于④，若，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，而平面，所以，由题意点分别是的中点，且，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，，，因为三点共线，所以设，所以，所以，而，且由③可知，所以，解得，符合题意，所以，所以，∴点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上，∴④正确；对于⑤，连接，取的中点M，连接，则，因为平面，所以平面，而，，A0,0,0，，由已知可得，所以，，，，所以，即，根据对称性可知，四边形的面积为，∴四棱锥的体积，∴⑤错误．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：判断④⑤的关键在于，适当利用空间向量这一工具，由此即可顺利得解.14．①②④【分析】使用空间向量设出各点的坐标，再对逐个选项分别求解.【详解】设的重心分别是.以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，且.三个内切圆的半径均为，且可设：；；.所以有，，.对于①，当确定后，取为关于平面的对称点，则垂直于平面，所以垂直于，①正确；对于②，当，时，有，.故，，.直接计算可知，所以此时满足条件，②正确；对于③，此时位于最上方，即.这时，点到平面的距离为.所以此时，③错误；对于④，此时，根据对称性有，故，故此时在处取到最大.此时的纵坐标都是，故点到平面的距离为，④正确.15【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB，平面PAC，所以PA面ACB，又因为平面PBC，所以PA，又因为AB是圆的直径，所以，因为平面，所以平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，所以，则，设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则而，设直线AC与面PBC所成角为，则，所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为.16【详解】（1）因为，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，平面，所以平面；（2）取的中点，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为，故可建立如图所示的空间直角坐标系.在四边形中，因为，，，，所以，所以，因为，所以，所以A0,0,0，，D0,1,0，，，，，，，设，则，设为平面的法向量，则，即，故取，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，两边同时平方得所以，解得，或（舍去），所以，所以.

17【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可.（2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可（3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径.【详解】（1）连接，由题意得，，则为等边三角形，，在中，，由余弦定理得，所以，由，则，故.若平面平面，由平面平面，平面，，则平面，平面，则，所以.下面证明当时，平面平面.证明：由，则，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故当时，平面平面；（2）由（1）知，，则平面平面.在平面内过作，由平面平面，平面，则平面，平面，则.如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，由，，因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，化简得，解得或（舍去），故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；

（3）设点到平面的距离为，由，其中为定值，则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大，取中点，连接，则，当平面时，点到平面的距离最大，此时，由平面，则平面平面，由（1）知，，为直角三角形，.则，，，在中，，取中点，则，且，所以，设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，其中，，故，故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为.【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得.18、【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得.（2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小.（3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.【详解】（1）取中点，连接，由N为PB中点，得，依题意，，则，于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，由，得，而平面PAM⊥平面，平面平面平面，则平面，过作，则平面，又平面，于是，在矩形中，，，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线BC与平面所成的角为，则，所以直线BC与平面所成角的大小为.（3）连接，由，得，而，则为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则A1,0,0，，，显然平面，平面，则平面平面，在平面内过作于点，则平面，设，而，则，，，即，，所以，于是，，设平面PAM的法向量为n1=x令，得，设平面的法向量为，因为，，则，令，得，设平面和平面为，则令，，则，即，则当时，有最小值，所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．19、【分析】（1）①建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解；②根据条件，得出，即可求解；(2）设，从两个方面结合参考公式给出证明即可．【详解】（1）以C为原点，方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，①设平面CAD的法向量，则，即，取，设平面BAD的法向量为，则，即，取，所以，即二面角的余弦值为；②，，，所以；（2）设，，，下证，设S中任意不同的两