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文档简介

迭代法收敛性邹昌文第1页迭代法矩阵写法A=-L-UD第2页Jacobi迭代阵第3页Gauss-Seidel迭代阵第4页迭代法收敛性/ConvergenceofIterativemethods/收敛条件充分条件:||B||<1必要条件:？定义设：AAkk=

lim是指ijkijkaa=

)(lim对全部1

i,j

n成立。等价于对任何算子范数有第5页定义定理第6页对任意非零向量成立定理设存在唯一解，则从任意出发，迭代收敛

0

kB证实：Bk

0||Bk||0“”：对任意非零向量有“”：取则第i位对任意非零向量成立从任意出发，记，则ask

收敛那什么条件可确保Bk

收敛呢？第7页定理

Bk0

(B)<1证实：“

”若

是Beigenvalue,则

k是Bkeigenvalue。

则[

(B)]k=[max|

|]k=|

mk|

(Bk)

||Bk||0

(B)<1

“

”首先需要一个引理/Lemma/对任意

>0,存在算子范数||·||使得||A||

(A)+

。

由

(B)<1可知存在算子范数||·||使得||B||<1。||Bk||||B||k0ask

Bk

0迭代从任意向量出发收敛Bk0

(B)<1证实：对A做Jordan分解，有，其中，，

i为Aeigenvalue。令，则有易证：是由导出算子范数。所以只要取

<

，就有||A||

<

(A)+

。第8页定理第9页第10页注：第11页定理

（充分条件）若A为严格对角占优阵

/strictlydiagonallydominantmatrix/则解Jacobi和Gauss-Seidel迭代均收敛。证实：首先需要一个引理/Lemma/若A为SDD阵，则det(A)0，且全部aii0。证实：若不然，即det(A)=0，则A是奇异阵。存在非零向量使得记显然我们需要对Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代分别证实：任何一个|

|1都不可能是对应迭代阵特征根，即|IB|0

。Jacobi:BJ=D

1(

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