第01讲 等腰三角形和等边三角形（解析版）

第01讲等腰三角形和等边三角形思维导图核心考点聚焦1.根据等腰三角形等边对等角求解2.根据等腰三角形三线合一进行求解3.根据等腰三角形三线合一进行证明4.等腰三角形的性质和判定综合应用5.等边三角形的性质6.等边三角形的性质和判断综合应用1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）图形：如下所示；符号：在中，AB＝AC，2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.1.利用等腰三角形的定义解决多解问题.2.等腰三角形和等边三角形的判定.3.利用三线合一解决求值和证明的相关问题.考点剖析考点一、根据等腰三角形等边对等角求解例题1.等腰三角形的底角等于，则它的顶角是．【答案】100【解析】等腰三角形的底角等于，又等腰三角形的底角相等，顶角等于．故答案为：100．【变式训练】1．一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为．【答案】8【解析】①若一腰长为，则底边为，则第三边的长为，，故能组成三角形；②若一腰长为，则底边为，则第三边的长为，，故不能组成三角形．故答案为：8．2．已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为．【答案】或【解析】分两种情况：当的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数；当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，故它的底角度数是或．故答案为：或．考点二、根据等腰三角形三线合一进行求解例题2.如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为．【答案】【解析】如图，作，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，根据勾股定理，，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【变式训练】1．如图，在中，，平分并交于点，则．【答案】10【解析】，平分，，，故答案为：10．2．两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知．(1)求的长．(2)求的长．【解析】（1）连接，如下图，根据题意，，，∴，∴，∵为中点，∴，且，∴，∴，∴；（2）根据题意，，又∵，，∴在中，，∴．考点三、根据等腰三角形三线合一进行证明例题3.如图，点，在的边上，，(1)若求的度数；(2)求证：【解析】（1）∵，，，∴，，∴，（2）过点作于.∵，∴，∴.【变式训练】1．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且．(1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为（用含a的式子表示）；(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．①求证：；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【解析】（1）当点E与点C重合时，，∵，∴，∵，∴，若，过点A作于点M，如图1：则，∵，∴，在与中，∴，∴，即的长为，故答案为：；（2）①证明：过点A作于点M、点N，如图2：则，∴，∵，即，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴；②，证明如下：在上截取，连接，如图3：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．考点四、等腰三角形的性质和判定综合应用例题4：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E．(1)若，求的度数；(2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形．(3)若平分的周长，的周长为15，求的周长．【解析】（1），，∵，∴，，为的中点，，，∴；（2）证明：平分，，又∵，∴，∴，，是等腰三角形；（3）的周长为15，，，，即，平分的周长，，的周长．【变式训练】1．如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．(1)求证：是等腰三角形(2)若，求线段的长．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，，∴，∵，∴．2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，，(1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由．(2)求重叠部分的面积．【解析】（1）是等腰三角形．理由如下：∵四边形是长方形，∴，∴，由图形折叠的性质可知：，∴．∴是等腰三角形；（2）设，则，在中，，解得：，∴，∴．故重叠部分的面积为10．考点五、等边三角形的性质例题5：如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．(1)求证：；(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．【解析】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∴．（2）∵，∴∴在中，．∴．∵，∴．∴．【变式训练】1．如图，点为等边三角形中边上一点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接(1)的度数；(2)求线段之间的数量关系【解析】（1）∵，∴，∴，∵和为等边三角形，∴，∴，∴，∵∴（2）由（1）得∵∴2．如图，与△ADE均为等边三角形，点在边上，于点F，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长．【解析】（1）证明：为等边三角形，，，，在中，，为等边三角形，，，即；（2）为等边三角形，，，，平分（“三线合一”），即，在与中：，，；（3）由（1）得，在中，，由（2）得，在中，，在等边三角形中，．考点六、等边三角形的性质和判断综合应用例题6：如图，点O是等边内一点，．连接，．(1)求证：是等边三角形；(2)求的度数；(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．【解析】（1）证明：∵，∴，，，是等边三角形，，，∴是等边三角形；（2），，，，，；（3）当为或或时，是等腰三角形，，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∵是等腰三角形，①当时，∴，∴，∴；②当时，∴，∴，∴；③当时，∴，∴，∴，∴当为或或时，是等腰三角形．【变式训练】1．如图，在等边中，平分交于点，交于点．(1)求证：是等边三角形；(2)试判断与的数量关系，并说明理由．【解析】（1）∵是等边三角形，∴，∵∴，∴，∴是等边三角形；（2）∵是等边三角形，平分交于点，∴，∵是等边三角形；∴即．2．如图，在四边形中，，对角线相交于点，点为边上一点，且．(1)求证：是等边三角形；(2)求证：；(3)若，求的长．【解析】（1）证明：，，又，是等边三角形；（2）如图，连接，，是等边三角形，，，即在和中，，，；（3），，由（2）知：，，，在等边中，，，，，，，，．过关检测一、选择题1．已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长为（）A．8 B． C． D．或【答案】D【解析】∵等腰三角形，∴当第三边长为3时，三角形的三边分别为3、3、4，能组成三角形，∴周长为；当第三边长为4时，三角形的三边分别为3、4、4，能组成三角形，∴周长为，∴三角形的周长为或．故选：D．2．如图，中，，，以下结论中不一定正确的是（

）A． B．是的角平分线C．为的中点 D．【答案】D【解析】∵中，，∴是等腰三角形，∵，∴由等腰三角形的性质可知，，是的角平分线，为的中点，∴A、B、C正确，故不符合要求；∵与不一定相等，∴D错误，故符合要求；故选：D．3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于点M交于点N，若，则线段的长（）A．大于9 B．等于9 C．小于9 D．不能确定【答案】B【解析】平分，平分，，，，，，，，，故选：B．4．如图，在等腰中，，点D、E、F分别是边上的点，与相交于点G，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故选C．5．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；

⑤．其中正确结论的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】∵和为等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，故①正确；∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，故③正确；∴是等边三角形，故④正确；∴，∴，故⑤正确；∵，∴，∴，∵，∴，故②正确；故选：A．二、填空题6．在等腰三角形中，，则．【答案】/35度【解析】当为顶角等于时，∴底角，是等腰三角形，当为底角时，，不符合题意，舍去．故答案为：．7．如图，已知等边边长为4，为边上的中线，延长至点E使得，连接，则．【答案】【解析】∵是边长为4的等边三角形，是边上的中线，∴，，平分，，∴，∴，∵，∴．∵，且为的外角，∴，∴，∴，∴，故答案为：．8．如图，与均为等边三角形，点在边上，若，则的度数为【答案】/28度【解析】与均为等边三角形，，，，，，故答案为：．9．在中，，是边上一点，连接，若，，，则．（用含，的式子表示）【答案】/【解析】如图，延长到E，使，连接．∵在中，，∴，∴，∵，，∴是等腰三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∵，∴．故答案为：．10．如图，在等腰中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是【答案】①③④【解析】如图1，连接，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，故①正确；由①知，，∵点是线段上一点，∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，故③正确；如图2，在上截取，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，故④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故答案为：①③④，三、解答题11．如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形．【解析】证明∵是等边三角形，∴，．∵，∴．在和中，∴（），∴．同理，∴，∴是等边三角形．12．如图，点，在上，，，

(1)求证：；(2)若与的交点为点，求证：是等腰三角形【解析】（1）证明：∵，∴，即，∵，，∴；（2）证明：由（1）得：，∴，∴，∴是等腰三角形13．如图，在中，点D、E在上，．(1)从①，②中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明；条件：，结论：(填序号)．(2)在(1)的条件下，当时，求的度数．【解析】（1）①条件：；结论：；证明：∵，∴，在和中，，∴，∴；条件：；结论：；证明：∵，，∴,∵,∴,在和中，，∴，∴．（2）∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．14．在中，已知，，．(1)求m的取值范围；(2)若是等腰三角形，求的周长及m的值．【解析】（1）∵，且，，，∴，∴，∴，（2）当时，∴，∴∵∴是等腰三角形成立，∴的周长为：．当时，∴，∴∵∴是等腰三角形成立，∴的周长为：．15．如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点．(1)求的度数；(2)求证：．【解析】（1）是等边三角形，，，，，，；（2）证明：是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，，，．16．如图，是等边三角形，D、E分别是边上的点