d925隐函数求导省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第九章机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定隐函数及其导数二、方程组所确定隐函数组及其导数隐函数求导方法第二节偏导数与全微分第1页一、一个方程所确定隐函数及其导数定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证实从略，仅就求导公式推导以下：①含有连续偏导数;某邻域内可唯一确定一个在点某一邻域内满足②③满足条件机动目录上页下页返回结束导数第2页两边对x求导在某邻域内则机动目录上页下页返回结束此方法常惯用来进行实际计算！第3页若F(x,y)二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有机动目录上页下页返回结束第4页例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导显函数解:令连续,由定理1可知,①导显函数则②③在x=0

某邻域内方程存在单值可且机动目录上页下页返回结束并求第5页机动目录上页下页返回结束第6页两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时实用方法—直接（免记忆）求导法机动目录上页下页返回结束第7页定理2.若函数某邻域内含有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束如可继续求导，则有,余者类推。第8页两边对x求偏导一样可得则机动目录上页下页返回结束第9页例2.设解法1直接求导法机动目录上页下页返回结束再对x求导代入第10页解法2

公式法：令则机动目录上页下页返回结束第11页二、方程组所确定隐函数组及其导数隐函数存在定理还能够推广到方程组情形.由F、G偏导数组成行列式称为F、G雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数情况为例,即雅可比目录上页下页返回结束理论上第12页定理3.某一邻域内含有连续偏设函数则方程组③单值连续函数且有偏导数公式:①在点②某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；机动目录上页下页返回结束第13页定理证实略.仅推导偏导数公式以下机动目录上页下页返回结束第14页有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P某邻域内公式目录上页下页返回结束故得系数行列式第15页一样可得机动目录上页下页返回结束利用克莱姆法则求解二元一次方程组第16页定理3′某一邻域内含有连续偏导数；设函数则方程组③且有偏导数公式:①在点②某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:机动目录上页下页返回结束单值连续函数第17页例4.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求机动目录上页下页返回结束答案:故有②①式①×x+式②×y，得：第18页例5.

设解:方程组两边对x求导，得机动目录上页下页返回结束解得②①式①×2z—式②，得：第19页例6.设函数在点(u,v)某一求解:

对x,y偏导数.邻域内有连续偏导数,且机动目录上页下页返回结束求反函数偏导数.①①式两边对x求导,得②第20页机动目录上页下页返回结束从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得第21页例6应用:计算极坐标变换逆变换之偏导数.一样有所以因为机动目录上页下页返回结束第22页例7.设F(x,y)含有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确定隐函数,则已知方程机动目录上页下页返回结束故第23页对方程两边求微分:解法2微分法.机动目录上页下页返回结束第24页内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思索与练习设求机动目录上页下页返回结束第25页提醒:

机动目录上页下页返回结束第26页解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节目录上页下页返回结束由dy,dz系数即可得第27页补充题分别由以下两式确定:函数有连续一阶偏导数,又设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(考研)机动目录上页下页返回结束解得所以第28页解:二元线性代数方程组解公式第29页雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论基础.