2024年高考数学一轮复习综合测试卷三含解析新人教A版

PAGEPAGE1综合测试卷(三)时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024北京八中10月月考,1)已知集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,那么m的值可以是 ()A.-1B.0C.1D.2答案D由A∪B=R结合数轴,可得m>1,因此m的值可以是2,故选D.易错警示本题易错认为m≥1,事实上m=1时,A=(1,+∞),B=(-∞,1),不满意A∪B=R.2.(2024江西临川其次中学10月月考,2)已知i为虚数单位,若复数z=3-i1+i,则|z|=A.1B.2C.2D.5答案D因为z=3-i1+i=(3-i)·(1-i)3.(2024北京西城月考,5)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(2m,m+1),若AB∥OC,则实数m的值为 ()A.-17B.-3C.-35答案BOA=(3,-4),OB=(6,-3),则AB=OB-OA=(3,1).∵AB∥OC,OC=(2m,m+1),∴3(m+1)-2m=0,∴m=-3,故选B.易错警示向量a=(x1,y1)与非零向量b=(x2,y2)共线的充分必要条件是存在μ使得a=μb,其坐标表示为x1y2-x2y1=0.要留意与两向量垂直的坐标表示区分,此处简单混淆.4.(2024内蒙古包头二模,5)已知a,b∈R,下列四个条件中,使a<b成立的必要而不充分条件是 ()A.a<b-1B.a<b+1C.a2<b2D.2a<2b答案B∵a<b-1⇒a<b,反之不成立,∴a<b-1是使a<b成立的充分而不必要条件;∵a<b⇒a<b+1,反之不成立,∴a<b+1是使a<b成立的必要而不充分条件;a2<b2是使a<b成立的既不充分也不必要条件;∵2a<2b⇔a<b,∴2a<2b是使a<b成立的充分必要条件.故选B.解题关键正确理解充分条件和必要条件的定义,弄清晰前后推出关系是解决此类问题的关键.5.(2024北京十三中开学摸底,3)投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本领件空间是Ω={1,2,3,4,5,6},设事务A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是 ()A.A,C为对立事务B.A,B为对立事务C.A,C为互斥事务,但不是对立事务D.A,B为互斥事务,但不是对立事务答案C本题考查互斥事务、对立事务的定义,考查学生对概念的理解,运用概念分析问题的实力,体现逻辑推理的核心素养.∵投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本领件空间是Ω={1,2,3,4,5,6},事务A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},当掷出的点数是3时,A,B同时发生,故A,B不是互斥事务,故A,B也不是对立事务,故B,D错误.A,C不行能同时发生,故A,C为互斥事务,但A∪C={1,2,3,4,6}≠Ω,故A,C不是对立事务,故A错误,C正确,故选C.思路分析结合已知中基本领件空间是Ω={1,2,3,4,5,6},事务A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},分析A,B,C是否满意互斥事务和对立事务的定义,可得结论.6.(2024福建邵武第一中学开学考试,4)已知a>0且a≠1,函数f(x)=ax,x≥1,ax+a-2A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2]答案D∵f(x)=ax,x≥1,ax+a-2,x<1(a>0,且a≠1)在R7.(2024吉林南关模拟,7)2024年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来,文化事业发展更加快速,下图是从2013年到2024年六年间我国公共图书馆业机构个数与对应年份编号的散点图(为便于计算,将2013年编号为1,2014年编号为2,…,2024年编号为6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从1到6作为自变量进行回来分析),得到回来直线y^=13.743x+3095.7,其相关指数R2=0.9817,给出下列结论,其中正确的个数是 (①公共图书馆业机构个数与年份的正相关性较强;②公共图书馆业机构个数平均每年增加13.743;③可预料2024年公共图书馆业机构个数为3192.A.0B.1C.2D.3答案D由散点图中各点散布状况可知公共图书馆业机构个数与年份成正相关,又R2=0.9817趋近于1,所以相关性较强,所以①正确;由回来直线方程为y^=13.743x+3095.7,知②正确由回来直线方程y^=13.743x+3095.7知当x=7时,y^=13.743×7+3095.7=3191.其估计值为3191.901≈3192,所以③正确.综上所述,正确的命题个数为3.故选D.思路分析由散点图中各点分布状况和R2的值推断①;由回来直线方程推断②;由回来直线方程计算x=7时y^的值从而推断③8.(2024天津耀华中学二模,5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,A.3B.23C.5D.25答案D依据题意,点(-2,-1)在抛物线的准线上,∵抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2,∴p∴抛物线的焦点坐标为(2,0),又∵双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,∴双曲线的左顶点的坐标为(-2,0),即a=2,∵点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,∴渐近线的斜率k=ba=12,∴b=1,∴c=b2∴双曲线的焦距为2c=25.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.2024年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国扩散.疫情就是吩咐,防控就是责任.在党中心的坚毅领导和统一指导下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民斗争.下面的图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情改变状况.依据该折线图推断,下列结论正确的是 ()A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和答案BC由题图可知,16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势,但详细到每一天有增有减,故A错误;因为每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量,所以16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数,故B正确;易知16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000,故C正确;20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,故D错误,故选BC.10.已知P是双曲线C:x23-y2m=1上任一点,A,B是双曲线上关于坐标原点对称的两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|≥t恒成立,且实数t的最大值为23A.双曲线的方程为x23-yB.双曲线的离心率为2C.函数y=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图象恒过C的一个焦点D.直线2x-3y=0与C有两个交点答案AC设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y)(x1≠x,y1≠y),则x123-y12m=1,x23-y2m=1,两式相减得x12-x23+y2-y12m=0,即x2-x123=y2-y12m,∴(x-x1)(x+x1)3=(y-y1)(y+y1)m,∴m3·x+x1y+y1=y-y1x-x1,∴|k1|+|k2|=y-y1x-x1+y+y1x+x1=y+y1x+x1+m311.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M分别为棱CD,CC1的中点,Q为面对角线A1B上任一点,则下列说法正确的是 ()A.平面APM内存在直线与A1D1平行B.平面APM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为9C.直线AP和DQ所成角可能为60°D.直线AP和DQ所成角可能为30°答案BC易知直线A1D1∥平面ABCD,平面ABCD∩平面APM=AP,直线AP与直线A1D1不平行,故A错误;平面APM截正方体所得截面为四边形APMB1,且四边形APMB1为等腰梯形,S四边形APMB1=1222+2×122+12-2-2222=98,故B正确;当Q与A1重合时,两直线的夹角最小12.关于函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是 ()A.当a=1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时,f(x)存在唯一微小值点x0且-1<f(x0)<0C.对随意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点答案ABD当a=1时,f(x)=ex+sinx,x∈(-π,+∞),∴f(0)=1,切点为(0,1),f'(x)=ex+cosx,∴f'(0)=2,∴切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0,故A正确;a=1时,f'(x)=ex+cosx,f″(x)=ex-sinx>0(x>-π)恒成立,∴f'(x)单调递增,f'-3π4=e-3π4+cos-3π4<0,f'-π2=e-π2>0,故f(x)存在唯一微小值点x0,且x0∈-3π4,-π2,则f'(x0)=0,即ex0+cosx0=0,f(x0)=ex0+sinx0=sinx0-cosx0=2sinx0-π4∈(-1,0),故B正确;f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),令f(x)=0,则ex+asinx=0,当x=kπ,k>-1且k∈Z时,明显没有实根,故x≠kπ,k>-1且k∈Z,∴a=-exsinx,令h(x)=-exsinx,∴h'(x)=ex(cosx-sinx)sin2x,令h'(x)=0,得x=π4+kπ,k≥-1,k∈Z,∴h(x)在-π,-3π4上单调递减,在-3π4+2kπ,2kπ,2kπ,π4+2kπ(k∈N)上单调递增,在π4+2kπ,π+2kπ,π+2kπ,5π4+2kπ(k∈N)上单调递减,∴h(x)的微小值为h三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a答案1解析关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即x-a+4x-a≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+4x-a≥2(x-a)·4x-a=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时14.(2024甘肃兰州4月诊断考试,15)大自然是特别奇异的,比如蜜蜂建立的蜂房.蜂房的结构如图所示,开口为正六边形ABCDEF,侧棱AA',BB',CC',DD',EE',FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明白蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B'C'D'=109°28'16″.已知一个蜂房中,BB'=DD'=53,AB=26,tan54°44'08″=2,则此蜂房的表面积是.

答案2162解析本题主要考查多面体表面积的计算,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.连接BD,B'D',则BDB'D',因为底面ABCDEF是边长为26的正六边形,所以BD=2×26cos30°=62,所以B'D'=62.连接OC',因为四边形OB'C'D'为菱形,∠B'C'D'=109°28'16″,tan∠B'C'D'2=tan54°44'08″=12B'D'12OC'=2,所以OC'=B'D'2=6,所以B'C'=(32)2+32=33,所以CC'=BB'-B思路分析由正六边形的性质求出BD,由菱形的性质求出OC',由此求出B'C',CC',从而求出梯形BB'C'C的面积,进而求得此蜂房的表面积.15.(2024山东潍坊三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切,且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合答案x2-y2解析由双曲线的渐近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切可得2ba2+b又双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,所以c=2,故b=3,又a2=c2-b2,所以a=1,所以双曲线的方程为x2-y2316.(2024五省创优名校其次次联考,16)在数列{an}中,a1=14,a2=15,且1nan+1-1(n-1)an=-4n(n-1)(答案3750解析本题考查了累加法及裂项相消法求通项及求和的方法,考查了等差数列的证明及求和公式,考查了运算实力及推理论证实力.因为1nan+1-1(所以12a3-1a213a4-12a……1(n-1)an将以上等式累加可得1(n-1)即an=1n+3(n≥3).因为a1=14,a2=15符合上式,所以a则1an=n+3.所以1an是以4故1a10+1a11+…+1a84思路分析1nan+1-1(n-1)an=-4n(n-1)=41n-四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024黑龙江哈师大附中9月月考,20)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+C2=(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解析(1)由asinA+C2=bsinA及正弦定理可得sinAcosB2=sinBsinA∴cosB2=sinB=2sinB2cosB2⇒sinB2=∴B=π3(2)解法一:由asinA=csinC得a=∴S△ABC=12a32=3432tanC+由△ABC为锐角三角形可得0<C<π2,0<2π3-C<所以△ABC面积的取值范围为38解法二:由余弦定理得b=a2由题意得a2+1>b2,则S=12a32=34a即△ABC面积的取值范围为3818.(12分)(2024北京潞河中学10月月考文,17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}满意a1=b1=1,S3=b3+2,S5=b5-1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)假如数列{bn}为递增数列,求数列{anbn}的前n项和Tn.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则由题意得3+3即9d2-4d-5=0,解得d=1或d=-59(舍)所以q=±2.所以an=n,bn=2n-1或bn=(-2)n-1.(2)因为数列{bn}为递增数列,所以bn=2n-1,所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1,2Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,相减得-Tn=20+21+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n,所以Tn=1+(n-1)2n.19.(12分)(2024北京二十七中期中,18)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客运用自由购的状况,随机抽取了100人,统计结果整理如下:顾客年龄20以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]运用人数31217642未运用人数00314363(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在[30,50)且未运用自由购的概率;(2)从被抽取的年龄在[50,70]且运用自由购的顾客中,随机抽取3人进一步了解状况,用X表示这3人中年龄在[50,60)的人数,求随机变量X的分布列及数学期望;(3)为激励顾客运用自由购,该超市拟对运用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预料有5000人购物,试估计该超市当天至少应打算多少个环保购物袋.解析本题考查古典概型概率、随机变量的分布列及数学期望、随机抽样,考查学生分析处理数据的实力,体现数据分析的核心素养.(1)在随机抽取的100名顾客中,年龄在[30,50)且未运用自由购的顾客共有3+14=17(人),所以随机抽取1名顾客,估计该顾客年龄在[30,50)且未运用自由购的概率为P=17100(2)X全部的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C41C22C63=15P(X=3)=C43C所以X的分布列为X123P131所以X的数学期望EX=1×15+2×35+3×1(3)在随机抽取的100名顾客中,运用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44(人),所以估计该超市当天至少应打算环保购物袋的个数为44100×5000=2200思路分析(1)利用古典概型概率公式求解即可;(2)求出X的全部可能取值,求出概率,得到分布列,然后求解期望即可;(3)在随机抽取的100名顾客中,运用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44人,然后求解即可.20.(12分)(2024北京朝阳期中,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,E为PD的中点,AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2,AD=4.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)求二面角E-AC-D的余弦值;(3)直线AB上是否存在点Q,使得PQ∥平面ACE?若存在,求出AQAB的值;若不存在,说明理由解析(1)如图,取PA的中点F,连接EF,BF.因为E为PD的中点,AD=4,所以EF∥AD,EF=12AD=2又因为BC∥AD,BC=2,所以EF∥BC,EF=BC,所以四边形EFBC为平行四边形,所以CE∥BF.又因为CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB.(2)取AD的中点O,连接OP,OB.因为△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.因为OD∥BC,OD=BC=2,所以四边形BCDO为平行四边形.因为CD⊥AD,所以OB⊥OD.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,3),P(0,0,23).所以AC=(2,4,0),AE=(0,3,3).设平面ACE的法向量为n1=(x,y,z),则n1·令x=-2,则n1=(-2,1,-3).明显,平面ACD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>=n1·n2|由图可知,二面角E-AC-D为锐角,所以二面角E-AC-D的余弦值为64(3)直线AB上存在点Q,使得PQ∥平面ACE.理由如下:设AQ=λAB.因为AB=(2,2,0),PA=(0,-2,-23),所以AQ=λAB=(2λ,2λ,0),PQ=PA+AQ=(2λ,2λ-2,-23).因为PQ∥平面ACE,所以PQ·n1=0,即(2λ,2λ-2,-23)·(-2,1,-3)=0,解得λ=2.所以直线AB上存在点Q,使得PQ∥平面ACE,此时AQAB=221.(12分)(2024北京东直门中学期中,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为(1)求椭圆E的方程;(2)若C,D分别是椭圆E上的左,右顶点,动点M满意MD⊥CD,连接CM,交椭圆E于点P,证明:OM·OP为定值(O为坐标原点).解析本题考查椭圆的标准方程,圆锥曲线的定值问题,主要通过直线与圆锥曲线的综合问题考查学生运用化归转化的思想方法解决问题的实力,体现数学运算与逻辑推理的核心素养.(1)由椭圆E的焦距为22,得2c=22,所以c=2,因为e=ca=22,所以a=2因为a2=b2+c2,所以b2=2.所以椭圆的方程为x24+y(2)证明:因为直线CM不在x轴上,故可设lCM:x=my-2,由x24+y22=1,x=∴yP=4mm2+2,xP=2m在x=my-2中,令x=2,得yM=4m,即M2∴OM·OP=4m2-8∴OP·OM为定值4.思路分析(1)依据题意,分析可得椭圆中c的值,结合椭圆的离心率公式可得a的值,计算可得b的值,即可得椭圆方程.(2)依据题意,设lCM:x=my-2,联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系分析,用m表示P的坐标,结合直线的方程分析可得M的坐标,进而可以用m表示OM·OP,化简可得答案.22.(12分)(2024天津