广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习第5章点直线平面之间的位置关系教师用书教案

PAGE1-第5章点、直线、平面之间的位置关系考纲展示考情汇总备考指导点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行.◆定理：空间中假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为动身点，相识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.◆假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆假如一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直.理解以下性质定理.◆假如一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆假如两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简洁命题.2024年1月T212024年1月T212024年1月T21本章的重点和难点都是空间直线、平面之间平行、垂直关系的证明，娴熟驾驭直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行判定和性质定理、垂直的判定定理是解决此类问题的关键，另外此类问题在学业水平考试中常以解答题的形式出现，所以要留意解题步骤的完整.空间平行关系的判定和性质[基础学问填充]1．空间点、直线、平面之间的位置关系(1)平面的基本性质①公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．③公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：过直线和直线外一点，可确定一个平面．推论2：过两相交直线，可确定一个平面．推论3：过两条平行直线，可确定一个平面．④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．⑤等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中直线与直线之间的位置关系①空间中两条直线有三种位置关系：平行、相交、异面．②相交直线与平行直线统称为共面直线．③异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线，所成的角的范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系①直线与平面相交——有且只有一个公共点．②直线在平面内——有多数个公共点．③直线与平面平行——没有公共点．④空间中两平面的位置关系——平行、相交．2．直线、平面平行的判定及其性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(3)平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(4)平面与平面平行的性质定理假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．[学考真题对练](2024·1月广东学考)如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PB＝BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E.(1)证明：EF∥平面ABP；(2)证明：BD⊥AC．[证明](1)∵DE垂直平分PC，∴E为PC的中点，又∵F为BC的中点，∴EF为△BCP的中位线，∴EF∥BP，又∵EF⊄平面ABP，BP⊂平面ABP，∴EF∥平面ABP.(2)连接BE，∵PB＝BC，E为PC的中点，∴PC⊥BE，∵DE垂直平分PC，∴PC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴PC⊥平面BDE，又∵BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD，∵PA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD，又∵PC∩PA＝P，PC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又∵AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC．1.推断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．[最新模拟快练]1．(2024·江门学考模拟)若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行、相交或异面D[画图可知两直线可平行、相交或异面，故选D．]2．(2024·深圳高一期末)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒α∥a；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,a∥γ))⇒a∥α.A．④⑥ B．②③⑥C．②③⑤⑥ D．②③C[由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．]3．(2024·揭阳学考模拟)如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：PA∥平面COD；(2)求三棱锥P­ABC的体积．[解](1)证明：∵O，D分别是AB，PB的中点，∴OD∥AP.又PA⊄平面COD，OD⊂平面COD，∴PA∥平面COD．(2)连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB又∵平面PAB⊥平面ABC，∴OP⊥面ABC，且OP＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(2)＝eq\r(6).∴三棱锥P­ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC×OP＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×eq\r(6)＝eq\f(2\r(6),3).4.(2024·广东省一般中学数学学业水平考试模拟题)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝2eq\r(3)，求EF与平面ABC所成的角．[解](1)证明：如图所示，取A1B1的中点D，连接DE，BD．因为E是A1C1所以DE綊eq\f(1,2)B1C1.又因为BC綊B1C1，BF＝eq\f(1,2)BC，所以DE綊BF.所以四边形BDEF为平行四边形．所以BD∥EF.又因为BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，所以EF∥平面AA1B1B．(2)如图所示，取AC的中点H，连接HF，EH.因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．在Rt△EHF中，FH＝eq\r(3)，EH＝AA1＝3，所以∠EFH＝60°.故EF与平面ABC所成的角为60°.5．(2024·梅州高一期中考试)如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形．求证：CD∥平面EFGH.[证明]∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.6.(2024·广东省一般中学数学学业水平考试模拟题)已知四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD．[证明](1)连接AC交BD于O，连接EO，∵E，O分别为PA，AC的中点，∴EO∥PC．∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD．(2)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．空间垂直关系的判定和性质[基础学问填充]直线、平面垂直的判定及其性质(1)直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．(3)平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(4)平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．[学考真题对练](2024·1月广东学考)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1(1)证明：DE∥平面ACC1A1(2)若BB1＝1，证明：C1D⊥平面ADE.[解](1)证明：连接A1B，A1C在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A因为点E是AB1的中点，所以点E是A1B的中点，又因为点D是BC的中点，所以DE∥A1C因为DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1所以DE∥平面ACC1A1(2)连接B1D，在直三棱柱ABC­A1B1C1因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BC⊥AD，又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，又C1D⊂平面B1BCC1，所以AD⊥C1D，由BC＝2，得BD＝1，又BB1＝CC1＝1，所以DB1＝C1D＝eq\r(2)，所以DBeq\o\al(2,1)＋C1D2＝B1Ceq\o\al(2,1)，所以C1D⊥DB1，DB1∩AD＝D，所以C1D⊥平面ADB1，即C1D⊥平面ADE.1.判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．[最新模拟快练]1．(2024·广东省一般中学数学学业水平考试模拟题)已知相互垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满意m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵n⊥β，且α，β交于直线l.l⊂β，∴n⊥l.]2．(2024·惠州高一期末)如图，在三棱锥P­ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面相互垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.(1)证明：PC⊥平面BOH；(2)若OH＝OB＝eq\r(3)，求三棱锥A­BOH的体积．[解](1)证明：∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且BO⊂平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴PC⊥平面BOH.(2)∵△HAO与△HOC面积相等，∴VA­BOH＝VB­HAO＝VB­HOC，∵BO⊥平面PAC，∴VB­HOC＝eq\f(1,3)S△OHC·OB，∵OH＝eq\r(3)，∠HOC＝30°∴HC＝1，∴S△OHC＝eq\f(1,2)CH·OH＝eq\f(\r(3),2)，∴VB­OCH＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(1,2)，即VA­BOH＝eq\f(1,2).3.(2024·江门市学考模拟题)如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝PC＝5，PB＝4，AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ACB＝30°.(1)求证：AC⊥PB；(2)求三棱锥P­ABC的体积．[解](1)证明：取AC中点D，连接PD、BD，在△ABC中：AB＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC，在△PAC中PA＝PC，D为AC中点，∴PD⊥AC．又∵BD∩PD＝D，BD、PD⊂面PBD，∴AC⊥面PBD，∵PB⊂面PBD，∴AC⊥PB．(2)法一：VP­ABC＝VP­ABD＋VP­BCD＝VA­PBD＋VC­PBD在△ABC中，AB＝BC，∠ACB＝30°，D是AC中点，∴BD＝eq\r(3)，AD＝DC＝3，在△PCD中，PD⊥DC，PC＝5，DC＝3，∴PD＝4.∴S△PBD＝eq\f(1,2)×eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2))×eq\r(3)＝eq\f(\r(183),4).VA­PBD＝eq\f(1,3)×S△PBD×AD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(183),4)×3＝eq\f(\r(183),4)，又VC­PBD＝VA­PBD＝eq\f(\r(183),4)，∴VP­ABC＝VA­PBD＋VC­PBD＝eq\f(\r(183),2).法二：取BD中点M，连接PM，由(1)可知AC⊥面PBD，又∵PM⊂面PBD，∴AC⊥PM，在△ABC中，∵AB＝BC，∠ACB＝30°，D是AC中点，∴BD＝eq\r(3)，AD＝DC＝3，在△PCD中，∵PD⊥DC，PC＝5，DC＝3，∴PD＝4，∴PBD为等腰三角形，∴PM⊥BD，又∵AC∩BD＝D，AC、BD⊂面ABC，∴PM⊥面ABC，即PM为三棱锥P­ABC的高h，易得PM＝eq\f(\r(61),2).∴VP­ABC＝eq\f(1,3)S△ABCh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×eq\r(3)×eq\f(\r(61),2)＝eq\f(\r(183),2).4．(2024·广东学考模拟)在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA＝60°，∠SAD＝30°，AD＝SD＝2eq\r(3)，BA＝BS＝4.(1)证明：BD⊥平面SAD；(2)求点C到平面SAB的距离．[解](1)证明：△ADB中，由余弦定理可得BD＝2，∴BD2＋AD2＝AB2，∴AD⊥BD．取SA的中点E，连接DE，BE，则DE⊥SA，BE⊥SA，∵DE∩BE＝E，∴SA⊥平面BDE，∴SA⊥BD，∵SA