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文档简介
广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题
分类汇编
目录:
广东省14市2019届高三上期末考试数学理试题分类汇编:
圆锥曲线
广东省14市2019届高三上期末理试题分类汇编:排列组合
与二项式定理
广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题分类汇
编:函数
广东省14市2019届高三上期末考试数学理试题分类汇编:
三角函数
广东省14市2019届高三上期末考试数学理试题分类汇编:
导数及其应用
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数列
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编:不等式
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统计与概率
广东省14市2019届高三上期末考试数学理试题分类汇编:
圆锥曲线
一、选择、填空题
22
1、(珠海市2019届高三上学期期末)已知双曲线二-3=1(。〉0力>0)的左、右焦点
CTb
分别为Fi、F2,过FI作圆》2+:/=02的切线,交双曲线右支于点M,若NFIMF2=45°,
则双曲线的渐近线方程为()
A、y=±41xB、y=±\/3xC、y=±xD、y=±2x
2、(广州市2019届高三12月调研考试)已知抛物线y2=2px(〃>0)与双曲线
22
二一与=1(。>0,。>0)有相同的焦点产,点A是两曲线的一个交点,且轴,则
ab
双曲线的离心率为
A.^2+1B.+1C.^/5+1D.>^2.+2
3、(惠州市2019届高三第三次调研考试)已知口是抛物线f=4y的焦点,M,N是该
抛物线上两点,I“月+|N月=6,则MN的中点到准线的距离为()
3
A.-B.2C.3D.4
2
4、(江门市2019届普通高中高三调研)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是双曲线
《一驾=1的右焦点,则此双曲线的离心率为()
3P2
A.42B.3C.2。.石
5、(揭阳市2019届高三上学期期末)若点A(2,2啦)在抛物线。::/=2/次上,记抛物线
C的焦点为P,直线AF与抛物线的另一交点为5,则=
A.-10B.5/2—3C.—3D.
2
fV2
6、(雷州市2019届高三上学期期末)已知双曲线C:r-4=1(4>0,力>0)的离心率
a'b~
为亚,则C的渐近线方程为
2
A.y=±-xB・y=±-xC.y=±-xD.y=±x
432
22
7、(茂名市2019届高三上期末)已知双曲线二一与=1(〃>0/>0)的左,右焦点Fi,
ab
bh
F,右顶点为A,P为其右支上一点,PF1与渐近线V=--X交于点Q,与渐近线V=—无
2aa
交于点R,RQ的中点为M,若RF2,PF”且AMJLPF”则双曲线的离心率为()
正
A、石+1B、2C、垃D、2
22
8、(汕尾市2019届高三上学期期末)已知双曲线C:5-斗=1(。>0,。>0)的一条渐近
ab
线方程为丁=一48,则曲线C的离心率为
G53
A.y5B.—C.-D.2
22
9、(汕尾市2019届高三上学期期末)已知抛物线C:/=2川(〃>0)的焦点为F,P(L%)
是抛物线上一点,过点P向抛物线C的准线/引垂线,垂足为D,若APDF为等边三
角形,则〃=。
22
10、(韶关市2019届高三上学期期末)设点M为双曲线E:三一[=1(。>0,8>0)和
ab"
圆C:x2+y2=a2+》2的一个交点,若NMF]F2=2NMF2F1,其中F1,F2为双曲线E的
两焦点,则双曲线E的离心率为
A、2B、G+lC、GD、&
11、(韶关市2019届高三上学期期末)设抛物线V=8x的焦点为F,其准线与x轴的交
点为Q,过点Q作斜率为k(k<0)的直线交抛物线于A、B两点,若IAF|=2IBFI,
则k的值为
272C、T一旦
A、D、
12、(肇庆市2019届高三上学期期末)已知双曲线C的中心为坐标原点,一条渐近线方程
为尸缶,点叩庭,-a)在C上,则C的方程为
22222292
xyxyx~yVX~.
A.-----------=1B.------------=1C.----------=1D.-----------=1
4271424147
22
13、(肇庆市2019届高三上学期期末)已知椭圆C:5+当=1(。>〃>0)的左右顶点分
a~b~
别为A,B,P是椭圆上异于A,B的一点,若直线PA的斜率与直线P8的斜率第8乘积
kPAkpB=一;,则椭圆C的离心率为
14、(佛山市2019届高三上学期期末)
.双曲线C的左、6,士止分别为6.6,I";恰为抛物线=4x的4点,设双曲线C'j该抛物线的
个交点为A,若=优用|.则双曲线C的离心率为()
A.I+V2B.I+V3C.2+72D.2+6
参考答案
一、填空题
1、A2、A3、C4、A5、D
2
6、C7、B8、C9、-10、B
3
11、A12、B13、D14、A
二、解答题
1、(珠海市2019届高三上学期期末)已知椭圆E:「+4=1(。>5>0)经过点1>(一6,
ab
-),且右焦点F2(V3,0)o
2
(I)求椭圆E的方程;
(II)若直线/:y=m:+0与椭圆E交于A,B两点,当|ABI最大时,求直线/的方
程。
尤,y2
2、(广州市2019届高三12月调研考试)已知椭圆C:7+6y=1(。>5>0)的离心率为
点P6,坐J在C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设与,6分别是椭圆C的左,右焦点,过层的直线/与椭圆C交于不同的两点A,3,
求MAB的内切圆的半径的最大值.
3、(惠州市2019届高三第三次调研考试)已知椭圆二+与=1(。>匕>0)过点2[1,3
abI
且左焦点与抛物线V=-4x的焦点重合。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线/:丁="+加(%。0)与椭圆交于不同的两点加、N,线段的中点记为A,
且线段MV的垂直平分线过定点求k的取值范围。
4、(江门市2019届普通高中高三调研)在平面直角坐标系。9中,A(-2,0),3(2,0),P为
不在x轴上的动点,直线PA、的斜率满足⑥人⑥8=-;.
(1)求动点P的轨迹「的方程;
(2)若T(3,0),"、N是轨迹「上的两点,kMN=1,求△TMN面积的最大值.
5、(揭阳市2019届高三上学期期末)已知椭圆C:;•+与=1(。>匕〉0)的上顶点为A,
ab
以A为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,1+6)、(0,1-73).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不经过点A的直线/与椭圆C交于P、Q两点,且AP-AQ=0,试探究直线/是
否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
22
6、(雷州市2019届高三上学期期末)设片、工分别是椭圆E:?+卓=1的左、右焦
点,若P是该椭圆上的一个动点,丽.港的最大值为1.
(I)求椭圆E的方程;
(H)设直线犬=。-1与椭圆E交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为A'(4与B
不重合),试判定:直线A'B与x轴是否交于定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结
论;否则,请说明理由.
7、(茂名市2019届高三上期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0),点G与抛物线C的
焦点F关于原点对称,动点Q到点G的距离与到点F的距离之和为4.
(I)求动点Q的轨迹;
(11).若〃=26,设过点D(0,-2)的直线/与Q的轨迹相交于A,B两点,当aOAB
的
面积最大时,求直线/的方程.
8、(清远市2019届高三上期末)如图,已知椭圆T+?=1(a>b>0)的左、右焦点
分别为耳,鸟,短轴的两端点分别为4,4,线段。耳,。鸟的中点分别为用,与,且四边形
4442员是面积为8的矩形.
(D求椭圆c的方程;
(II)过用作直线/交椭圆于P,Q两点,若B2P・Bg=8,求直线/的方程.
9、(汕头市2019届高三上学期期末)已知椭圆E:=+==1(。>8>0)的离心率为
a-b-2
且过点(出,立).
2
⑴求椭圆E的方程;
(2)设直线y=Ax+/n(胆#0)与椭圆E交于A、B两点,与x轴、y轴分别交于
C、D两点(且C、。在A、B之间或同时在A、B之外).问:是否
存在定值k,使得△Q4C的面积与△05。的面积总相等,若存在,求k的值,
并求出实数m取值范围;若不存在,说明理由.
10、(汕尾市2019届高三上学期期末)已知椭圆C:5+方=1(。>。>0)经过点y-J
离心率为
3
(I)求椭圆C的方程;
(II)过点M(2,0)的直线/交椭圆于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,若
FA・FB=-1,求直线/的方程。
11、(韶关市2019届高三上学期期末)已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆
的一个顶点为(0,-72),右焦点F到直线x-y+3=0的距离为2垃.
(1)求椭圆E的标准方程'
(2)若过F作两条互相垂直的直线d12,且有交椭圆E于A,C两点,6交椭圆E于B、
D两点,求四边形ABCD的面积的取值范围。
12、(肇庆市2019届高三上学期期末)已知椭圆。:亍+方=1(〃>人>0)经过点
直线/:>="+|与椭圆C交于AB两点,0是坐标原点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求A0A8面积的最大值.
13、(佛山市2019届高三上学期期末)
己知过小〃(4.0)的直线/9插MC:y+r=l交丁不同的两点/(.%“),8(士,心),北中
.v,.r,工0,。为坐标原点.
(I)若一=0.求AO48的曲枳:
(II)在x轴上是否存在定点T,使得在线",TS与j,轴附成的三角形始终为等腰三现形.
参考答案
二、解答题
1.解:⑴设椭圆E的左焦点耳(-石,0),则2。=。6+沙=4=4=2…….2分
2
又。=6=从=/一。2=],所以椭圆E的方程为L+y2=l..................4分
4
⑵由<’n(1+4女2)f+80区+4=0,设/4(不凹),8(%2,%)........6分
22
x+4y=4
由A=128%2-16(1+4/)>0=/>',且r+x,=_8",中=4.....7
41-1+4/121+4公
分
22一:-分
|=J1+1-y1(^+x2)-4X,X2=2J(?4.-~~y..............8
y1।QK1।^TK,
设”一二,则re(0一),|AB|=2,—6产+f+1=2J—6(/—+生W地….10分
11
1+必22V12246
当r=_L,即%=±且时,|4B|有最大值班,此时/:y=±®x+J2
12分
1221162
C_1
~a~2"〃=2,
2、解:(1)依题意有<片=/+。2,解得<匕=也,3分
c=l.
[3靛+后3=1,
故椭圆。的方程为土+匕=1.....................................4分
43
(2)设4>],,),3(9,必),设MAB的内切圆半径为厂,
第45的周长为|4周+|4闾+忸用+忸引=4。=8,
所以S",A8=gx4。♦r=4r.........................................5分
解法一:
根据题意知,直线/的斜率不为零,可设直线/的方程为了=冲+1...........6分
工+匕=1
由,43,得(3加+4)>2+6冲—9=0.........................7分
x=my+1
22
A=(6m)+36(3m+4)>(),meR9
由韦达定理得%+%=丁&\,凶必=『二,............................8分
3/n+43m+4
•••S^AS=g16闾Ix-必ITy-必I=J(x+y2『-4%%=:%+?......i0分
令1=J"+l’贝心21,•,工的•=宝一j"=一「•
"+1t+—
3t
令/«)=/+(,则当后1时,尸⑺=1-*〉0,/⑺单调递增,
4
/(r)>/(l)=-,.........................................11分
SAFIAR<3,
3
即当,=1,m=0时,5的相的最大值为3,此时丁x=j.
3
故当直线/的方程为x=1时,AHAB内切圆半径的最大值为I.................12分
解法二:
当直线/,X轴时,4(1,|),,1,—怛用|"|=3..................6分
当直线/不垂直于x轴时,设直线/的方程为y=A:(x-1),
x2y2.
由《丁丁,得(4公+3)f—8k2%+4公-12=0...........................7分
y=Z(x—l)
A=(8F)2-4(4F+3)(4A:2-12)=144俨+1)>0,
AL2_1O
由韦达定理得斗+W,菁/=2.................................8分
4k+34k+3
•*,SMAB=3忻外||M一%|=|%一必|=卜(占一工2)|
16x9/(左2+1)
......................10分
(4F+3y
,11
令f=4公+3,贝(JfN3,0<y<-,
963)(r+l)
,2
3
综上,当直线/的方程为x=l时,%避8的最大值为3,内切圆半径的最大值为
.......................12分
3、(1)K解法1】抛物线y2=-4x的焦点为F(-1,0),
依题意知,椭圆的左右焦点坐标分别为%(-1,°),七(1,。)..........1分
又椭圆过点小3•••由椭圆的定义知,2a=|P&|+|PF2|=4,.......2分
:.a=2,又c=l,;.b=y/3...............................3分
f2
•二椭圆的方程为1=1.................................4分
43
(1)K解法2』抛物线y2=-4x的焦点为F(-1,0),
依题意知,椭圆的左右焦点坐标分别为尸】(-1,°),七(1,0)..........1分
'a2-b2=\
又椭圆过点3],二,2......2分
2j
14+4=i
ab
解得a=2,6......3分
22
•••椭圆的方程为±+±=1.................4分
43
(1)K解法3】抛物线产=-4阴j焦点为F(-1,0),
依题意知,椭圆的左右焦点坐标分别为0(-1,°),七(1,°)..........1分
又椭圆过点.•.2=3......2分
Ia2
2-1q
.•.^^=士=>2a2_3a-2=O,':a>0二可解得a=2,b=#......3分
a2
.•.椭圆的方程为三+二=1.................4分
43
y=kx+m
(2)R解法12由/2消去)、整理得
—+—=1
43
(3+4左2)X2+8相区+4m2_]2=o,............................5分
直线与椭圆交于不同的两点,
...A=64m2k2-4(3+4A:2)(W-12)>0,整理得加?<4左2+3……①.....6分
设M(x,,yJ,N(w,y2),线段MN的中点A(%%),
8mk4//72-12
则x{+x2=京市'中2=工^,7分
4mk4mk23m
:.%=kx+m=-+m=
••尤03+4公[)3+4/3+4小
4mk3m)
...点A的坐标为3+4二’3+408分
3m
3+4公_24m
・・•直线AG的斜率为&AG
4mk_1--32mk-3-4A:2
3+4/一8
又直线AG和直线MN垂直,
24m.,3+4公
--------------丁攵=-1,..m=--------10分
—32/TZZ—3—4公8k
3+4/2
将上式代入①式,可得<4公+3,
8k,
整理得42>],解得人>91或%<一1....................11分
201010、
实数k的取值范围为-8,-,+00.12分
1010
J7
(2)R解法2』设A/(X|,x),N(X2,y2),4x,y)
2222
则2+3=1,三+与=1,两式相减得..................5分
4343
X;-X;=);-£即必一丁2=3X]+%
43
3
・••点A满足方程>=一元"①,,6分
又♦.■直线AG工M?V且过点G(:,0)
O
・・•点A也满足方程),=一:(》一:)
②,,7分
k8
1313
联立①②解得工=产=-嬴,即/,京,8分
22
-
,.0点A在椭圆内部---1■士<19分
43
13
/.--F----<110分
1664k2
k2>—11分
201010
k的取值范围为-00,-,4-CO12分
1010
J7
2
4、(1)设P(x,y)为轨迹「上任意一点,依题意,2分
x+2x—24
2
整理化简得七+V=1(yH())4分
4
2
(注:,,"。,,1分,写在本小问解答区任何地方均可给分;,,%'』,,或与之等价形式
均给1分)
(2)设MN:y=x+b5分
2
A2_i<
+y
由!~4,得。2+2笈+(/-1)=0,4=5-/>07分
,4
y=x+b
84
设阳天,%),则%+%=一《瓦西工2=M("9一1),
=夜归-司=—,5-卜,8分
T到直线MN的距离……9分
V2
△TMN的面积S=gx|MN|xd=21/1右一/=[J(b+3)2(5—/)……10分
设/(x)=(x+3f(5一/),则f\x)=-2(x+3)(x—l)(2x+5)
解尸(x)=O得x=l或x=—|或x=-3.......11分
因为A=5>o,即/(x)=0有且仅有一个解x=l,
O___________1f:
△TMN面积的最大值为§J(1+3)2(5-1)=可……12分
5、解:(1)依题意知点A的坐标为(0/),则以点A圆心,以。为半径的圆的方程为:
X2+('_12=/,1分
令X=O得y=b±a,由圆A与y轴的交点分别为(0,1+6)、(0,1-6)
/?+4Z—1+5/3I—
可得《解得b=l,a=6-----------------------------------------3分
b-a=l—yj3
2
故所求椭圆C的方程为工+V=1.......................................................................4分
3-
(2)解法1:由AP・AQ=0得APLAQ,可知PA的斜率存在且不为0,
设直线如:y=Ax+l.................①贝4:y=-Jx+l................②..................6分
K
将①代入椭圆方程并整理得(1+3公)f+6日=0,
6k2
可得不>=------,贝!IVp=---------7-1,...............................................................8分
1+3/-------“1+3/
6k6
类似地可得血分
/+3,%―—公+3,...........................................................9
氏-11
由直线方程的两点式可得:直线/的方程为y=---%--,..........................11分
4k2
即直线/过定点,该定点的坐标为(0,—g)........................................................12分
【解法2:若直线/垂直于x轴,则AP不垂直于AQ,不合题意,
可知/的斜率存在,又/不过点(0,1),设/的方程为y=履+〃?(,找N1),
又设点尸(石,/)、Q(x2,y2),则解=(七,乂一1),4。=(孙必一1),
由AP-AQ=O得不w+x%一(必+%)+1=0,
y-kx+m...
由,,,,消去y得(3左2+1)%2+6.+3m2-3=0,..................6分
y+3/=3
△=12(3公一加2+1),当△>()即弘2一根?+1>0时,
6km3/〃2—3
%+工2=....①中2..............②-7分
3A2+13公+1
又X为必2方9+〃必入1+工2)+加2,y+%=%('+%)+2加,...........8分
2
于是有(k+1)X|W+(〃成一女)(%+x2)+nr—2m+i—0,.......③..........9分
将①②代入③得仅2+1),-(mk-k)罟土+m2-2/n+l=0
3k+\3k+1
整理得:m=--,....................................................11分
2
满足△>(),这时直线/的方程为y=fcc-g,直线/过定点(0,-g)..........12分】
6、解:(I)由题得a=2,c="―庐,.....................................1分
•••。2<4,F,“-庐,0),尸2“4-庐,0),...............................2分
222
设P(x,y),谓.超=(_"_庐_x,_y)(』4一户_x-y)=x+y-4+b
=x2+b2--4+Z?2=(1-—)X2+2/72-4............................3分
44
Vxer-2,2],故当x=±2,即点尸为椭圆长轴端点时,港1.尾有最大值1,……4分
h2
即:1=(1——)X4+2〃2-4,解得人2=I.
4
彳2
故所求的椭圆方程为Fy2=1...............................................5分
4-
(U)设4(西,力),8(巧,乃),则A(和一H),
卜=价一12k_3
由《』2I得:(/+4))2一20一3=0,故M+乃=7^~7,y「y,=K^.
—+y=1k+4k-+4
6分
,y+Vix-x,
经过点4(司,一%),8(叼,乃)的直线方程为=-----....................7分
%+必12-X\
令y=0,则>上土必+百="2』121^=里U1....8分
y+为y+必必+%
又•.・X]=-1,刀2=松一1,.......................................9
分
.•.当y=0时,
%2>1+$》2_®一1)必+(如一1)必
x——,
%+必必+y2
6k2k
=2h1>2-(弘+乃)=d+4左2+4
2k-2k'犷
M+4『+4
这说明,直线A'B与x轴交于定点(-4,0)...............................12分
7、解:(I)①当,>4时,。的轨迹不存在...................................1分
②当,=4时,。的轨迹为一线段,方程为y=0(-2<x<2).............2分
③当()<〃<4时,。的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,
x24y2
方程为丁+井丁=1(0<〃<4).............3分
416-p
2
(II)若〃=2/,则。的轨迹方程为?+V=1.......................4分
当/_Lx轴时不合题意,故设厂丁=%后2,A(xj)旦
2
将y=Ax-2代入工+9=1得(1+4/房—16日+12=0................5分
4
由△>()得(1金)2—48(1+4产)>0..・公〉:解得左<一手或女>个.........6分
16人1122
由韦达定理得%+X2T7记中2=77至........................7分
2
I阴=/(%一%丫+(%一丫2)=J(1+%2)KXI+%)2-4%也]
,(1+42)[(16k4,1+父小一3
)2-..............8分
1+4Z4r+1
2
又点。到直线AB的距离d=..................................9分
J攵*+1
,SA°AB=回二4,4,一3卜(卫或k>2...............10分
AOAB2114k2+122
______4/
令d4k2-3=,,则S8OAB~,2+4/>°
11分
4万
当且仅当/=一即f=2,左=±业时等号成立,
t2
所以,当AQ4屈勺面积最大时,/的方程为y=gx-2或>=-乎%-2.........
…12分
2
方法二:若p=2g,则。的轨迹方程为5+V=1............................4
分
当/_Lx轴时不合题意,故设厂y=左行2,A(x,y)用口2,且网>|与|
将y=fcc—2代入工+>2=1得(1+4%2)》2_]6履+12=0.................5分
4
3
由△>()得(1金)2—48(1+4-)>0.•.42>7解得
kJ1或Q店
6分
22
由韦达定理得
16k12
+x...................................7分
2T7标'中21+4k2
X—X
S^OAB=SAODB-SAO/M=—|(?o||x2|——1(?0||%]|~2(,21—1*1D=|2\\8分
=(16k丫484d4k-3
V(1+4^2Jl+4k21+4公
k<.B或心显.........10分
22
.______4/
令公一3=/,则%AB=p7^,,〉0
/=i
入4z+44.......11分
4万
当且仅当,=一即,=2,%=±±时等立,
t2
所以,当AOA屈勺面积最大时,[的方程为y=^x-2或丁=-Ex-2
22...12分
8、(1)在矩形AAAB2中,OB、=OB?=j,OA]=O%=b
所以四边形444员是正方形
S^B1aBz=(5>+〃=8
...................2分
,2
又a2=b2+c2
a1=20,b1=4,c2=16».................3分
22
...椭圆C的方程为二+匕=1.................4分
204
(2)由(1)可知片(—2,0),为(2,0),
1)当直线/的斜率不存在时,/的方程为x=-2,
x=-2
寻口…靠"意……5分
4
・・.巴。=(-4,7),与。=(一4,一
B2PB2e=16-y^8
.*./:x=-2不满足题意...6分
2)当/的斜率为k时,设/的方程为y=-x+2),P(x,y),Q(w,y2)
y=Z(x+2)
由V/y2(5攵~+l)x?+20Kx+20k2—20=0...7分
1204
20k220公一20
贝!J%+x———,X.X->=-----——8分
25k2+11-5女2+1
1642
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