广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题

分类汇编

目录：

广东省14市2019届高三上期末考试数学理试题分类汇编：

圆锥曲线

广东省14市2019届高三上期末理试题分类汇编：排列组合

与二项式定理

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编：函数

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三角函数

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导数及其应用

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数列

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编：不等式

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统计与概率

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圆锥曲线

一、选择、填空题

22

1、（珠海市2019届高三上学期期末）已知双曲线二-3=1（。〉0力>0）的左、右焦点

CTb

分别为Fi、F2,过FI作圆》2+:/=02的切线，交双曲线右支于点M,若NFIMF2=45°,

则双曲线的渐近线方程为（）

A、y=±41xB、y=±\/3xC、y=±xD、y=±2x

2、（广州市2019届高三12月调研考试）已知抛物线y2=2px（〃>0）与双曲线

22

二一与=1（。>0,。>0）有相同的焦点产，点A是两曲线的一个交点，且轴，则

ab

双曲线的离心率为

A.^2+1B.+1C.^/5+1D.>^2.+2

3、（惠州市2019届高三第三次调研考试）已知口是抛物线f=4y的焦点，M,N是该

抛物线上两点，I“月+|N月=6,则MN的中点到准线的距离为（）

3

A.-B.2C.3D.4

2

4、（江门市2019届普通高中高三调研）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是双曲线

《一驾=1的右焦点，则此双曲线的离心率为（）

3P2

A.42B.3C.2。.石

5、（揭阳市2019届高三上学期期末）若点A（2,2啦）在抛物线。：：/=2/次上，记抛物线

C的焦点为P，直线AF与抛物线的另一交点为5,则=

A.-10B.5/2—3C.—3D.

2

fV2

6、（雷州市2019届高三上学期期末）已知双曲线C：r-4=1（4>0,力>0）的离心率

a'b~

为亚，则C的渐近线方程为

2

A.y=±-xB・y=±-xC.y=±-xD.y=±x

432

22

7、（茂名市2019届高三上期末）已知双曲线二一与=1（〃>0/>0）的左，右焦点Fi，

ab

bh

F,右顶点为A,P为其右支上一点，PF1与渐近线V=--X交于点Q,与渐近线V=—无

2aa

交于点R,RQ的中点为M,若RF2，PF”且AMJLPF”则双曲线的离心率为（）

正

A、石+1B、2C、垃D、2

22

8、（汕尾市2019届高三上学期期末）已知双曲线C:5-斗=1（。>0,。>0）的一条渐近

ab

线方程为丁=一48,则曲线C的离心率为

G53

A.y5B.—C.-D.2

22

9、（汕尾市2019届高三上学期期末）已知抛物线C:/=2川（〃>0）的焦点为F,P（L%）

是抛物线上一点，过点P向抛物线C的准线/引垂线，垂足为D,若APDF为等边三

角形，则〃=。

22

10、（韶关市2019届高三上学期期末）设点M为双曲线E：三一[=1（。>0,8>0）和

ab"

圆C：x2+y2=a2+》2的一个交点，若NMF]F2=2NMF2F1，其中F1，F2为双曲线E的

两焦点，则双曲线E的离心率为

A、2B、G+lC、GD、&

11、（韶关市2019届高三上学期期末）设抛物线V=8x的焦点为F,其准线与x轴的交

点为Q,过点Q作斜率为k（k<0）的直线交抛物线于A、B两点，若IAF|=2IBFI,

则k的值为

272C、T一旦

A、D、

12、（肇庆市2019届高三上学期期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，一条渐近线方程

为尸缶，点叩庭,-a）在C上，则C的方程为

22222292

xyxyx~yVX~.

A.-----------=1B.------------=1C.----------=1D.-----------=1

4271424147

22

13、（肇庆市2019届高三上学期期末）已知椭圆C:5+当=1（。＞〃＞0）的左右顶点分

a~b~

别为A,B,P是椭圆上异于A,B的一点，若直线PA的斜率与直线P8的斜率第8乘积

kPAkpB=一;，则椭圆C的离心率为

14、（佛山市2019届高三上学期期末）

.双曲线C的左、6,士止分别为6.6，I"；恰为抛物线=4x的4点，设双曲线C'j该抛物线的

个交点为A，若=优用|.则双曲线C的离心率为（）

A.I+V2B.I+V3C.2+72D.2+6

参考答案

一、填空题

1、A2、A3、C4、A5、D

2

6、C7、B8、C9、-10、B

3

11、A12、B13、D14、A

二、解答题

1、（珠海市2019届高三上学期期末）已知椭圆E：「+4=1（。＞5＞0）经过点1＞（一6,

ab

-）,且右焦点F2（V3,0）o

2

（I）求椭圆E的方程；

（II）若直线/：y=m：+0与椭圆E交于A,B两点，当|ABI最大时，求直线/的方

程。

尤,y2

2、（广州市2019届高三12月调研考试）已知椭圆C：7+6y=1（。＞5＞0）的离心率为

点P6,坐J在C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设与，6分别是椭圆C的左，右焦点，过层的直线/与椭圆C交于不同的两点A,3,

求MAB的内切圆的半径的最大值.

3、(惠州市2019届高三第三次调研考试)已知椭圆二+与=1(。＞匕＞0)过点2[1,3

abI

且左焦点与抛物线V=-4x的焦点重合。

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线/:丁="+加(％。0)与椭圆交于不同的两点加、N,线段的中点记为A,

且线段MV的垂直平分线过定点求k的取值范围。

4、(江门市2019届普通高中高三调研)在平面直角坐标系。9中，A(-2,0),3(2,0),P为

不在x轴上的动点，直线PA、的斜率满足⑥人⑥8=-；.

(1)求动点P的轨迹「的方程；

(2)若T(3,0),"、N是轨迹「上的两点，kMN=1,求△TMN面积的最大值.

5、(揭阳市2019届高三上学期期末)已知椭圆C:；•+与=1(。＞匕〉0)的上顶点为A,

ab

以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,1+6)、(0,1-73).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不经过点A的直线/与椭圆C交于P、Q两点，且AP-AQ=0,试探究直线/是

否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

22

6、(雷州市2019届高三上学期期末)设片、工分别是椭圆E：?+卓=1的左、右焦

点，若P是该椭圆上的一个动点，丽.港的最大值为1.

(I)求椭圆E的方程；

（H）设直线犬=。-1与椭圆E交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为A'（4与B

不重合），试判定：直线A'B与x轴是否交于定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结

论；否则，请说明理由.

7、（茂名市2019届高三上期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）,点G与抛物线C的

焦点F关于原点对称，动点Q到点G的距离与到点F的距离之和为4.

（I）求动点Q的轨迹；

（11）.若〃=26,设过点D（0,-2）的直线/与Q的轨迹相交于A,B两点，当aOAB

的

面积最大时，求直线/的方程.

8、（清远市2019届高三上期末）如图，已知椭圆T+?=1（a>b>0）的左、右焦点

分别为耳，鸟，短轴的两端点分别为4,4，线段。耳,。鸟的中点分别为用,与，且四边形

4442员是面积为8的矩形.

（D求椭圆c的方程；

（II）过用作直线/交椭圆于P,Q两点，若B2P・Bg=8,求直线/的方程.

9、（汕头市2019届高三上学期期末）已知椭圆E：=+==1（。>8>0）的离心率为

a-b-2

且过点（出，立）.

2

⑴求椭圆E的方程；

（2）设直线y=Ax+/n（胆#0）与椭圆E交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于

C、D两点（且C、。在A、B之间或同时在A、B之外）.问：是否

存在定值k,使得△Q4C的面积与△05。的面积总相等，若存在，求k的值，

并求出实数m取值范围；若不存在，说明理由.

10、（汕尾市2019届高三上学期期末）已知椭圆C:5+方=1（。>。>0）经过点y-J

离心率为

3

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点M（2,0）的直线/交椭圆于A,B两点，F为椭圆C的左焦点，若

FA・FB=-1,求直线/的方程。

11、（韶关市2019届高三上学期期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆

的一个顶点为（0,-72）,右焦点F到直线x-y+3=0的距离为2垃.

（1）求椭圆E的标准方程'

（2）若过F作两条互相垂直的直线d12,且有交椭圆E于A,C两点，6交椭圆E于B、

D两点，求四边形ABCD的面积的取值范围。

12、（肇庆市2019届高三上学期期末）已知椭圆。：亍+方=1（〃＞人＞0）经过点

直线/：＞="+|与椭圆C交于AB两点，0是坐标原点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求A0A8面积的最大值.

13、（佛山市2019届高三上学期期末）

己知过小〃（4.0）的直线/9插MC:y+r=l交丁不同的两点/（.%“）,8（士,心）,北中

.v,.r,工0,。为坐标原点.

（I）若一=0.求AO48的曲枳:

（II）在x轴上是否存在定点T,使得在线",TS与j，轴附成的三角形始终为等腰三现形.

参考答案

二、解答题

1.解：⑴设椭圆E的左焦点耳（-石,0）,则2。=。6+沙=4=4=2…….2分

2

又。=6=从=/一。2=],所以椭圆E的方程为L+y2=l..................4分

4

⑵由＜’n（1+4女2）f+80区+4=0,设/4（不凹）,8（%2，%）........6分

22

x+4y=4

由A=128%2-16（1+4/）＞0=/＞',且r+x,=_8",中=4.....7

41-1+4/121+4公

分

22一:-分

|=J1+1-y1（^+x2）-4X,X2=2J（?4.-~~y..............8

y1।QK1।^TK,

设”一二，则re（0一），|AB|=2，—6产+f+1=2J—6（/—+生W地….10分

11

1+必22V12246

当r=_L,即％=±且时，|4B|有最大值班，此时/：y=±®x+J2

12分

1221162

C_1

~a~2"〃=2,

2、解:(1)依题意有<片=/+。2,解得＜匕=也,3分

c=l.

[3靛+后3=1，

故椭圆。的方程为土+匕=1.....................................4分

43

(2)设4>],,),3(9,必)，设MAB的内切圆半径为厂,

第45的周长为|4周+|4闾+忸用+忸引=4。=8,

所以S",A8=gx4。♦r=4r.........................................5分

解法一：

根据题意知，直线/的斜率不为零，可设直线/的方程为了=冲+1...........6分

工+匕=1

由,43，得（3加+4）＞2+6冲—9=0.........................7分

x=my+1

22

A=（6m）+36（3m+4）＞（）,meR9

由韦达定理得%+%=丁&\,凶必=『二，............................8分

3/n+43m+4

•••S^AS=g16闾Ix-必ITy-必I=J（x+y2『-4%%=：%+?......i0分

令1=J"+l’贝心21，•,工的•=宝一j"=一「•

"+1t+—

3t

令/«)=/+(,则当后1时，尸⑺=1-*〉0,/⑺单调递增，

4

/(r)>/(l)=-,.........................................11分

SAFIAR<3,

3

即当，=1,m=0时，5的相的最大值为3,此时丁x=j.

3

故当直线/的方程为x=1时，AHAB内切圆半径的最大值为I.................12分

解法二：

当直线/,X轴时，4(1,|),,1,—怛用|"|=3..................6分

当直线/不垂直于x轴时，设直线/的方程为y=A:(x-1),

x2y2.

由《丁丁，得(4公+3)f—8k2%+4公-12=0...........................7分

y=Z(x—l)

A=(8F)2-4(4F+3)(4A:2-12)=144俨+1)>0,

AL2_1O

由韦达定理得斗+W，菁/=2.................................8分

4k+34k+3

•*,SMAB=3忻外||M一%|=|%一必|=卜(占一工2)|

16x9/(左2+1)

......................10分

(4F+3y

,11

令f=4公+3,贝(JfN3,0<y<-,

963)(r+l)

,2

3

综上，当直线/的方程为x=l时，％避8的最大值为3,内切圆半径的最大值为

.......................12分

3、（1）K解法1】抛物线y2=-4x的焦点为F（-1,0）,

依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为％（-1，°）,七（1，。）..........1分

又椭圆过点小3•••由椭圆的定义知，2a=|P&|+|PF2|=4,.......2分

：.a=2,又c=l,；.b=y/3...............................3分

f2

•二椭圆的方程为1=1.................................4分

43

（1）K解法2』抛物线y2=-4x的焦点为F（-1,0）,

依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为尸】（-1，°）,七（1，0）..........1分

'a2-b2=\

又椭圆过点3],二，2......2分

2j

14+4=i

ab

解得a=2,6......3分

22

•••椭圆的方程为±+±=1.................4分

43

（1）K解法3】抛物线产=-4阴j焦点为F（-1,0）,

依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为0（-1，°）,七（1，°）..........1分

又椭圆过点.•.2=3......2分

Ia2

2-1q

.•.^^=士=>2a2_3a-2=O,'：a>0二可解得a=2,b=#......3分

a2

.•.椭圆的方程为三+二=1.................4分

43

y=kx+m

(2)R解法12由/2消去)、整理得

—+—=1

43

(3+4左2)X2+8相区+4m2_]2=o,............................5分

直线与椭圆交于不同的两点，

...A=64m2k2-4(3+4A:2)(W-12)>0,整理得加？<4左2+3……①.....6分

设M（x,,yJ,N（w，y2），线段MN的中点A（%%）,

8mk4//72-12

则x{+x2=京市'中2=工^，7分

4mk4mk23m

:.%=kx+m=-+m=

••尤03+4公[)3+4/3+4小

4mk3m)

...点A的坐标为3+4二’3+408分

3m

3+4公_24m

・・•直线AG的斜率为&AG

4mk_1--32mk-3-4A:2

3+4/一8

又直线AG和直线MN垂直,

24m.,3+4公

--------------丁攵=-1,..m=--------10分

—32/TZZ—3—4公8k

3+4/2

将上式代入①式，可得<4公+3,

8k,

整理得42>],解得人>91或％<一1....................11分

201010、

实数k的取值范围为-8,-,+00.12分

1010

J7

（2）R解法2』设A/（X|，x）,N（X2，y2），4x,y）

2222

则2+3=1,三+与=1,两式相减得..................5分

4343

X；-X；=)；-£即必一丁2=3X]+%

43

3

・••点A满足方程>=一元"①,,6分

又♦.■直线AG工M?V且过点G（：,0）

O

・・•点A也满足方程），=一:（》一:）

②,,7分

k8

1313

联立①②解得工=产=-嬴，即/，京,8分

22

-

,.0点A在椭圆内部---1■士<19分

43

13

/.--F----<110分

1664k2

k2>—11分

201010

k的取值范围为-00,-,4-CO12分

1010

J7

2

4、（1）设P（x,y）为轨迹「上任意一点，依题意，2分

x+2x—24

2

整理化简得七+V=1（yH（））4分

4

2

（注：，，"。，,1分，写在本小问解答区任何地方均可给分；，，%'』，，或与之等价形式

均给1分)

(2)设MN:y=x+b5分

2

A2_i<

+y

由！~4,得。2+2笈+(/-1)=0,4=5-/>07分

,4

y=x+b

84

设阳天,%），则%+%=一《瓦西工2=M（"9一1），

=夜归-司=—，5-卜，8分

T到直线MN的距离……9分

V2

△TMN的面积S=gx|MN|xd=21/1右一/=[J(b+3)2(5—/)……10分

设/(x)=(x+3f(5一/)，则f\x)=-2(x+3)(x—l)(2x+5)

解尸(x)=O得x=l或x=—|或x=-3.......11分

因为A=5>o,即/(x)=0有且仅有一个解x=l,

O___________1f：

△TMN面积的最大值为§J(1+3)2(5-1)=可……12分

5、解：(1)依题意知点A的坐标为(0/)，则以点A圆心，以。为半径的圆的方程为：

X2+('_12=/,1分

令X=O得y=b±a,由圆A与y轴的交点分别为(0,1+6)、(0,1-6)

/?+4Z—1+5/3I—

可得《解得b=l,a=6-----------------------------------------3分

b-a=l—yj3

2

故所求椭圆C的方程为工+V=1.......................................................................4分

3-

(2)解法1：由AP・AQ=0得APLAQ,可知PA的斜率存在且不为0,

设直线如:y=Ax+l.................①贝4:y=-Jx+l................②..................6分

K

将①代入椭圆方程并整理得(1+3公)f+6日=0,

6k2

可得不>=------,贝！IVp=---------7-1,...............................................................8分

1+3/-------“1+3/

6k6

类似地可得血分

/+3，%―—公+3，...........................................................9

氏-11

由直线方程的两点式可得：直线/的方程为y=---%--,..........................11分

4k2

即直线/过定点，该定点的坐标为(0,—g)........................................................12分

【解法2：若直线/垂直于x轴，则AP不垂直于AQ,不合题意,

可知/的斜率存在，又/不过点(0,1),设/的方程为y=履+〃？(，找N1),

又设点尸(石,/)、Q(x2,y2),则解=(七,乂一1),4。=(孙必一1)，

由AP-AQ=O得不w+x%一(必+%)+1=0,

y-kx+m...

由，，,，消去y得(3左2+1)%2+6.+3m2-3=0,..................6分

y+3/=3

△=12(3公一加2+1),当△>()即弘2一根？+1>0时，

6km3/〃2—3

%+工2=....①中2..............②-7分

3A2+13公+1

又X为必2方9+〃必入1+工2)+加2,y+%=%('+%)+2加，...........8分

2

于是有(k+1)X|W+(〃成一女)(%+x2)+nr—2m+i—0,.......③..........9分

将①②代入③得仅2+1),-(mk-k)罟土+m2-2/n+l=0

3k+\3k+1

整理得：m=--,....................................................11分

2

满足△>(),这时直线/的方程为y=fcc-g,直线/过定点(0,-g)..........12分】

6、解：(I)由题得a=2,c="―庐,.....................................1分

•••。2<4,F,“-庐,0)，尸2“4-庐,0)，...............................2分

222

设P(x,y),谓.超=(_"_庐_x,_y)(』4一户_x-y)=x+y-4+b

=x2+b2--4+Z?2=(1-—)X2+2/72-4............................3分

44

Vxer-2,2],故当x=±2,即点尸为椭圆长轴端点时，港1.尾有最大值1,……4分

h2

即：1=（1——）X4+2〃2-4,解得人2=I.

4

彳2

故所求的椭圆方程为Fy2=1...............................................5分

4-

（U）设4（西,力）,8（巧，乃），则A（和一H）,

卜=价一12k_3

由《』2I得：（/+4））2一20一3=0,故M+乃=7^~7，y「y，=K^.

—+y=1k+4k-+4

6分

,y+Vix-x,

经过点4（司,一%）,8（叼,乃）的直线方程为=-----....................7分

%+必12-X\

令y=0,则>上土必+百="2』121^=里U1....8分

y+为y+必必+%

又•.・X]=-1,刀2=松一1,.......................................9

分

.•.当y=0时，

%2>1+$》2_®一1）必+（如一1）必

x——，

%+必必+y2

6k2k

=2h1>2-（弘+乃）=d+4左2+4

2k-2k'犷

M+4『+4

这说明，直线A'B与x轴交于定点（-4,0）...............................12分

7、解：（I）①当，>4时，。的轨迹不存在...................................1分

②当，=4时，。的轨迹为一线段，方程为y=0（-2<x<2）.............2分

③当（）<〃<4时，。的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，

x24y2

方程为丁+井丁=1（0<〃<4）.............3分

416-p

2

（II）若〃=2/，则。的轨迹方程为?+V=1.......................4分

当/_Lx轴时不合题意，故设厂丁=%后2,A（xj）旦

2

将y=Ax-2代入工+9=1得（1+4/房—16日+12=0................5分

4

由△>（）得（1金）2—48（1+4产）>0..・公〉：解得左<一手或女>个.........6分

16人1122

由韦达定理得％+X2T7记中2=77至........................7分

2

I阴=/（%一%丫+（%一丫2）=J（1+%2）KXI+%）2-4%也］

，（1+42）［（16k4，1+父小一3

）2-..............8分

1+4Z4r+1

2

又点。到直线AB的距离d=..................................9分

J攵*+1

,SA°AB=回二4,4,一3卜（卫或k>2...............10分

AOAB2114k2+122

______4/

令d4k2-3=，，则S8OAB~,2+4/>°

11分

4万

当且仅当/=一即f=2,左=±业时等号成立,

t2

所以，当AQ4屈勺面积最大时，/的方程为y=gx-2或＞=-乎%-2.........

…12分

2

方法二：若p=2g,则。的轨迹方程为5+V=1............................4

分

当/_Lx轴时不合题意，故设厂y=左行2,A(x,y)用口2,且网＞|与|

将y=fcc—2代入工+>2=1得（1+4%2）》2_]6履+12=0.................5分

4

3

由△＞（）得（1金）2—48（1+4-）＞0.•.42＞7解得

kJ1或Q店

6分

22

由韦达定理得

16k12

+x...................................7分

2T7标'中21+4k2

X—X

S^OAB=SAODB-SAO/M=—|(?o||x2|——1(?0||%]|~2(,21—1*1D=|2\\8分

=(16k丫484d4k-3

V(1+4^2Jl+4k21+4公

k<.B或心显.........10分

22

.______4/

令公一3=/，则％AB=p7^，，〉0

/=i

入4z+44.......11分

4万

当且仅当，=一即，=2,%=±±时等立,

t2

所以，当AOA屈勺面积最大时，[的方程为y=^x-2或丁=-Ex-2

22...12分

8、（1）在矩形AAAB2中，OB、=OB?=j,OA]=O%=b

所以四边形444员是正方形

S^B1aBz=(5>+〃=8

...................2分

,2

又a2=b2+c2

a1=20,b1=4,c2=16».................3分

22

...椭圆C的方程为二+匕=1.................4分

204

(2)由(1)可知片(—2,0),为(2,0),

1）当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=-2,

x=-2

寻口…靠"意……5分

4

・・.巴。=（-4,7）,与。=（一4,一

B2PB2e=16-y^8

.*./：x=-2不满足题意...6分

2）当/的斜率为k时，设/的方程为y=-x+2）,P（x，y）,Q（w，y2）

y=Z（x+2）

由V/y2（5攵~+l）x?+20Kx+20k2—20=0...7分

1204

20k220公一20

贝！J%+x———,X.X->=-----——8分

25k2+11-5女2+1

1642