广东省深圳市龙岗区龙岭初级中学2022-2023学年上学期九年级期末考试数学试卷

龙岭初级中学2022-2023学年第一学期九年级期末考试数学试卷

一.选择题（每题3分，共30分）

2

1.关于x的一元二次方程x+2r+Z：=0有两个相等的实数根，则k的取值范围是

（）

A.%=-1B.k>~\C.k=lD.k

>1

2.如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）

A.主视图

B.俯视图

C.左视图

D.主视图和左视图

从正面看从正面看

3.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则

甲被选到的概率为（）

4.如图，AB//CD//EF,AE与8E相交于点G,且AG=2,GD=\,DF=5,则CE：

BC=()

5.下列命题中正确的是（）

A.矩形的对角线相等且互相垂直B.对角线相等的平行四边形是

菱形

C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线平分一组对角

6.当女<0时，反比例函数y=K和一次函数y=fcv+2的图象大致是（）

7.如图，在△43C中，ZC=90°,AC=8cm,A3的垂直平分线MN交AC于点£>,

连接B。，若cos/3£)C=^,则BC的长是()

5

A.4cm

B.6cm

C.8cm

D.10cm

8.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P

为AB的黄金分割点(4尸>。8),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为

()

B.(15+75)cmC(10-V5)cm

D.(5+V^)cm

2

9.如图所示的抛物线y=aX+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,则下列结论错误

B.Z?2—4tzc>0C.2a-b=0D.c

>0

10.如图，正方形48CD中，E是8C延长线上一点，在AB上取一点F,使点B关于

直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H,连接BH交EF于点M,

连接CM.则下列结论：①N1=N2；(2)Z3=Z4；③G£>=&CM；④若AG=1,

GD=2,则BM=娓.其中正确的是()

C.③④D.①

②④

二.填空题(每题3分，共15分)

12.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送

来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批

米内夹谷约为石.

13.设a,6是一元二次方程2023=0的两个实数根，则"的值为.

14.如图，直角梯形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AD=3,BC=6,点E在高AB

上滑动，若△£>/!£与△E8C相似，则当AE=2时，EB=.

15.如图，直线y=/nx—l交y轴于点8,交x轴于点C,以8c为边的正方形A8C。

的顶点A(-1,a)在双曲线y=-2(x<0)上，D点在双曲线y=K(x>0)

xx

上，则女的值为.

三.解答题(共55分)

16.（5分）计算：（-g）T+（—1严22+（3.14一力°一12cos30°-1|.

17.（8分）解下列方程:

（1）/-9=0；(2)%2+4^-5=0.

18.（8分）某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习

情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时

间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1,图2）,请根据统计图中

的信息回答下列问题：

■人数

250.5小时

20

15

10

5

01_J___________________L.

0.5小时1小时L5小时2小航5间

图1

(1)本次调查的学生人数是人；

(2)将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整；

(3)请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有人;

(4)老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为A、B、C,其中8为小华）随机选

择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华3的概率.

19.（8分）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1,水平操作台为/,底座AB固定,

高A8为50cm,连杆长度为70CVM,手臂C£）长度为60a〃.点8,C是转动点,

且AB,8C与CZ）始终在同一平面内.

（1）转动连杆BC,手臂CO,使/A8C=143。，CD//1,如图2,求手臂端点。离操

作台/的高度OE的长（精确到1CM,参考数据：sin53°^0.8,cos53°弋0.6）.

（2）物品在操作台/上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC,手臂CD,

手臂端点。能否碰到点M?请说明理由.

D

图1图2

20.（8分）某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场

销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量），（千克）与销售单价x（元/千

克）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利

润是多少？

（1）【问题发现】

如图①，正方形AEPG的两边分别在正方形A8C。的边A8和AO上，连接CF.填空:

①线段CF与DG的数量关系为；

②直线CF与3G所夹锐角的度数为.

（2）【拓展探究】

如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍

然成立，请利用图②进行说明.

（3）【解决问题】

如图③，△4BC和△4DE都是等腰直角三角形，N8AC=NDAE=90°,A3=AC=10,

。为AC的中点.若点。在直线8c上运动，连接。£,则在点。的运动过程中，

线段。E长的最小值为（直接写出结果）.

交于点8(0,3),在线段QA上有一动点£(不与0、A重合)，过点E作x轴的

垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P.

(1)分别求出抛物线和直线A3的函数表达式；

(2)连接布、PB,求面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

(3)如图2,点E(2,0),将线段OE绕点。逆时针旋转的到OE',旋转角为a(0°

<a<90°),连接E，4、E'B,求的最小值.

o

图2

参考答案与试题解析

一.选择题

1.关于X的一元二次方程启+2x+%=0有两个相等的实数根，则k的取值范围是

()

A.%=-1B.%>—1C.k=lD.k

>1

【解答】解：由题意△=(),...4-4%=0,，％=1,故选：C.

2.如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是()

A.主视图B.俯视图

C.左视图D.主视图和左视图

【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯

视图.

故选：C.

3.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被

选到的概率为()

【解答】解：共有3种等可能的结果，其中甲被选中的结果有1种，

.•.甲被选中的概率为蓝，故选：D.

4.如图，AB//CD//EF,AF与8E相交于点G,且AG=2,GD=\,DF=5,则CE：

BC=()

A.5：3B.1：3C.3：5D.2：

3

【解答】解：・.・AG=2,GD=l9

：.AD=AG+GD=3,

•：AB//CD//EF,

：.詈=塔=|＞故选：A.

5.下列命题中正确的是（）

A.矩形的对角线相等且互相垂直

B.对角线相等的平行四边形是菱形

C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

D.矩形的对角线平分一组对角

【解答】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，不一定垂直，故不符合题意;

反对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故不符合题意；

C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故符合题意；

D,矩形的对角线不一定平分所在的对角，故不符合题意；

故选：C.

6.当AVO时，反比例函数y=K和一次函数）,=辰+2的图象大致是（）

【解答］解：当&＜（）时,同时一次函数y=kx+

2的图象经过第一、二、四象限;

当%＞0时，反比例函数旷=区的图象在一三象限，同时一次函数y=Ax+2的图象经过

x

第一、二、三象限.

故选：B.

7.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8c/n,AB的垂直平分线MN交AC于。，连

接60,若cosNBOC=^,则8c的长是（）

5

A.4cmB.6cmC8cm

D.10cm

【解答】解：・.・NC=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D

:・BD=AD,

：.CD+BD=8,

rn3

VcosZBDC=—

BD5

.CD_3

“8-CD-T

解得：CD=3,BD=5,

：.BC=4,

故选：A.

8.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割。如图，P

为AB的黄金分割点(AP>P8),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为

()

B

A.(15-5遥)的B.(15^5YmC.(10-V5)cm

D.(5+V5)CZW

【解答】解：为48的黄金分割点(AP>PB),A8的长度为IO52,

：.AP=J1^-AB

2

=立3.x10

2

=5)cm,

：.PB=AB-AP

=10-(575-5)

=(15—5cm,

故选：A.

9.如图所示的抛物线y=ax1+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,则下列结论错误

的是()

B.b2~4ac>0C.2a~b=QD.c

>0

【解答】解：由图像可知，

抛物线开口向下，«<o,A选项正确，不符合题意；

抛物线有两个不相等的实数根，.••△>（）,8选项正确，不符合题意；

对称轴x=l,即一^-=1，.•.2a=—/?,即2a+/?=0,C选项错误，符合题意；

2a

抛物线与y轴正半轴相交，...00,。选项正确，不符合题意.

故选：C.

10.如图，正方形A8C。中，E是BC延长线上一点，在A3上取一点『，使点8关于

直线EF的对称点G落在上，连接EG交CD于点H,连接BH交EF于点M,

连接CM,则下列结论，其中正确的是（）

①N1=N2；

②N3=/4；

③GD=MCM；

④若AG=1,GD=2,则灰.

A.①②③④B.①②C.③④D.①

②④

【解答】解：如图1中，过点8作8KLG”于K.

,：B,G关于EF对称，

：.EB=EG,

：.NEBG=NEGB,

•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,NA=NABC=NBCD=90°,AD//BC,

：.ZAGB=NEBG,

：.NAGB=NBGK,

'：ZA=ZBKG=90°,BG=BG,

:•△BAGQABKG(AAS),

:・BK=BA=BC,NABG=NKBG,

•:NBKH=NBCH=90°,BH=BH,

:・Rt/\BH3Rt/\BHC(HL),

AZ1=Z2,NHBK=NHBC,故①正确，

・・・ZGBH=ZGBK+ZHBK=—ZABC=45°,

2

过点M作MQLGH于Q,MP_LCD于P,MR±BC于R.

VZ1=Z2,

：.MQ=MP,

ZMEQ=ZMER,

：.MQ=MR,

:・MP=MR,

：.Z4=ZMCP=—ZBCD=45°,

2

：.ZGBH=Z4,故②正确，

如图2中，过点M作于W,交BC于T.

♦；B,G关于£尸对称，

:・BM=MG,

,:CB=CD,Z4=ZMCDfCM=CM,

：./\MCB^/\MCD(SAS),

：.BM=DM,

：.MG=MDf

VMIV±DG,

：.WG=WD,

VZBTM=ZMWG=ZBMG=9O0,

AZBMT+ZGMW=90°,

VZGMW+ZMGW=90°,

・・・NBMT=ZMGWf

U：MB=MG,

(AAS),

：.MT=WGf

■:MC=4^TM,DG=2WG,

:,DG=®CM,故③正确，

•・・AG=1,DG=2,

：.AD=AB=TW=3,TC=WD=TM=].BT=AW=2,

22=

：.BM=^gy2+HT2=^2+l^5，故④正确，

故选：A.

GW

R

图1

填空题

【解答】解：设==号=£=%，则。=2%,b=3k,c=4k,

234

•a+b+c_2k+3k+4k_9k_3

，，-2b2X3k6k-T

故答案为：

12.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米

1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批米内夹

谷约为150石.

【解答】解：这批米内夹谷约为1500义a2=0150（石），

200

故答案为：150.

13.设〃，人是一元二次方程炉+x-2023=0的两个实数根，则ab的值为一2023

【解答】解：人是一元二次方程/+x—2023=0的两个实数根，

：.ab=-2023,

故答案为：一2023.

14.如图，直角梯形ABC。中，AD//BC,ZB=90°,AD=3,BC=6,点、E在高AB

上滑动，若△D4E与△E8C相似，则当4E=2时，EB=.

AD

B

A.4C.4或9D.4

【解答】解：,.,」£>〃BC,ZB=90°,

AZA=ZB=90°,

当△D4E与△ESC相似，

ADAE

BC-BE

VAD=3,BC=6,AE=2,

解得BE=9或4.

15.如图，直线y=m—1交y轴于点£交x轴于点C,以8C为边的正方形A3CD

的顶点A(―1,a)在双曲线y=——(x<0)上，D点在双曲线y=—(x>0)

xx

【解答】解：(-1,a)在双曲线y=-2(x<0)上,

X

：.a=2f：.A(-1,2),

•.,点8在直线y=m—l上，

：.B(0,-1),：.AE=lfBE=3,

作轴于M,AN[DM于N,交y轴于E,

:ZMDC+NADN=90°=ZMDC+ZMCD,

：./ADN=ZMCDf

同理：NADN=NEAB=NCBO=NMCD,

•..四边形A8CQ是正方形，

:・BC=AB=CD=DA,

:,4ADNQABAEQACBOQ4CDM(A4S),

:•DM=BE=AN=CO=3,CM=AE=\,

・・.EN=3—1=2,J点。(2,3),

・・・。点在双曲线y=K(x>0)上，

x

,\k=2X3=6,

故答案为：6.

16.计算：(一；)-1+(-1)2°22+(3.14—%)°—12cos30°T|.

【解答】解：原式=-3+1+1一|2义近T|

2

=-1一诉T|

=_]_a+1

=一«•

17.解下列方程：

(1)%2—9=0；(2)/+4x—5=0.

【解答】解：⑴(x-3)(x+3)=0,

x—3=0或x+3=0,

所以X1=3,X2=-3；

(2)/+4x—5=0,

(x+5)(x—1)=0,

x+5=0,x—1=0,

»=-5,X2—1.

18.某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，

该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据

调查结果，制作了两幅不完整的统计图(图1,图2),请根据统计图中的信息回

答下列问题：

t人数

0.5小时

图1图2

（1）本次调查的学生人数是50人;

（2）将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整；

（3）请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有—人；

（4）老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为A、B、C,其中8为小华）随机选

择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率.

【解答】解：（1）本次调查的学生人数是5・10%=50（人），

故答案为：50；

（2）1.5小时对应人数为50X30%=15（人）,

2小时人数所占百分比为104-50X100%=20%,

补充后的图形如图：

•人数

25---------------------------------------05小时

I

I

20------------.---------------------J

15----------------------.-----------

।

10----------------------■----------[-；

5-r—r-------------■------------i

nlI___ILII_HL—HLi*.

0.5小时1小时L5小时2小时时间

图1图2

（3）该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有800X（20%+30%）=400

（人）,

故答案为：400；

/•P1选中小华一—==".

63

19.拓展小组研制的智能操作机器人，如图1,水平操作台为/,底座固定，高A3

为50cm,连杆8C长度为10cm,手臂C。长度为60cM.点B,C是转动点，.且

AB,BC与CD始终在同一平面内.

（1）转动连杆BC,手臂CO,使NABC=143。，CD//1,如图2,求手臂端点。离操

作台/的高度DE的长（精确到1cm,参考数据：sin53°七0.8,cos53°-0.6）.

（2）物品在操作台/上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC,手臂CD,

手臂端点。能否碰到点M?请说明理由.

图1图2

【解答】解：（1）过点C作CPLAE于点尸，过点B作BQLCP于点Q,如图:

：.ZCBQ=53°,

在RtaBCQ中，CQ=8C・sin53°心70X0.8=56。%,

\'CD//l,

：.DE=CP=CQ+PQ=56+5O=106cm.

（2）手臂端点。能碰到点M,

理由：由题意得，当B,C,。共线时，手臂端点。能碰到最远距离,

如图：

80=60+70=130cm,AB=50cm,

在中，AB2+AD2=B£>2,

：.AD=l20cm>U0cm.

•••手臂端点。能碰到点M.

20.某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，

发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间

的函数关系如图所示.

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利

【解答】解：(1)设y与x的函数关系式为y=H+6,

10k+b=200

将(10,200)、(15,150)代入，得

15k+b=150

k=-10

解得

b=300,

与x的函数关系式为y=-10x+300,

由-10x+30020得xW3(),所以x的取值范围为l()WxW30；

(2)设每天销售获得的利润为卬元，

则”=(x-10)y=(x-10)(-10x+300)=-10(x-20)2+1000,

•.T04W30,a=-10<0,

.•.当x=20时，w取得最大值，最大值为1000.

答：该品种的草莓定价为20元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1000

元.

21.(1)【问题发现】

如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和4。上，连接CF.

填空：

①线段CF与DG的数量关系为CF=EGD；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为45。.

(2)【拓展探究】

如图②，将正方形AErG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，(1)中的结论是否仍

然成立，请利用图②进行说明.

(3)【解决问题】

如图③，ZXABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=10,

。为AC的中点.若点。在直线BC上运动，连接。E,则在点。的运动过程中，

线段。E长的最小值为显巨(直接写出结果).

~2-

【解答】解：(1)连接AF,

•.•四边形AEFG、ABC。是正方形,

：.ZGAF=45°,

...点A、F、C三点共线，

，AC=V^AE,AF=yp^AG,

：.CF=yf2GD,

故答案为：CF=®GD,45°；

(2)仍然成立，连接A凡AC,

VZCAD=ZMG=45",

：.ZCAF=ZDAG,—=^=V?

ADAG

：./\CAF^>/\DAG,

：.CF=y/2DG,NACF=NADG,

...NCOO=/C4O=45°,

二(1)中的结论仍然成立；

(3)连接CE,

VZBAC=ZDA£=90°,

二ZBAD^ZCAE,

•：AB^AC,AD=AE,

：./\BAD^/\CAE(SAS),

AZABD=ZACE=A5°,:./DCE=90°,

.♦.当0巴，比时一，OE最小，

,.•AC=1(),。为AC的中点.AOC=5,

VZOCE=45°,

OE=^-OC=^J^-,

22

故答案为：包巨.

2

22.如图1,抛物线y=〃*—3mx+〃(mWO)与x轴交于点(-1,0)与y轴交于点

8(0,