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文档简介
龙岭初级中学2022-2023学年第一学期九年级期末考试数学试卷
一.选择题(每题3分,共30分)
2
1.关于x的一元二次方程x+2r+Z:=0有两个相等的实数根,则k的取值范围是
()
A.%=-1B.k>~\C.k=lD.k
>1
2.如图,一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移,平移过程中不变的是()
A.主视图
B.俯视图
C.左视图
D.主视图和左视图
从正面看从正面看
3.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课,则
甲被选到的概率为()
4.如图,AB//CD//EF,AE与8E相交于点G,且AG=2,GD=\,DF=5,则CE:
BC=()
5.下列命题中正确的是()
A.矩形的对角线相等且互相垂直B.对角线相等的平行四边形是
菱形
C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线平分一组对角
6.当女<0时,反比例函数y=K和一次函数y=fcv+2的图象大致是()
7.如图,在△43C中,ZC=90°,AC=8cm,A3的垂直平分线MN交AC于点£>,
连接B。,若cos/3£)C=^,则BC的长是()
5
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
8.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,P
为AB的黄金分割点(4尸>。8),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为
()
B.(15+75)cmC(10-V5)cm
D.(5+V^)cm
2
9.如图所示的抛物线y=aX+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,则下列结论错误
B.Z?2—4tzc>0C.2a-b=0D.c
>0
10.如图,正方形48CD中,E是8C延长线上一点,在AB上取一点F,使点B关于
直线EF的对称点G落在AD上,连接EG交CD于点H,连接BH交EF于点M,
连接CM.则下列结论:①N1=N2;(2)Z3=Z4;③G£>=&CM;④若AG=1,
GD=2,则BM=娓.其中正确的是()
C.③④D.①
②④
二.填空题(每题3分,共15分)
12.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,有人送
来米1500石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得200粒内夹谷20粒,则这批
米内夹谷约为石.
13.设a,6是一元二次方程2023=0的两个实数根,则"的值为.
14.如图,直角梯形ABCD中,AD//BC,ZB=90°,AD=3,BC=6,点E在高AB
上滑动,若△£>/!£与△E8C相似,则当AE=2时,EB=.
15.如图,直线y=/nx—l交y轴于点8,交x轴于点C,以8c为边的正方形A8C。
的顶点A(-1,a)在双曲线y=-2(x<0)上,D点在双曲线y=K(x>0)
xx
上,则女的值为.
三.解答题(共55分)
16.(5分)计算:(-g)T+(—1严22+(3.14一力°一12cos30°-1|.
17.(8分)解下列方程:
(1)/-9=0;(2)%2+4^-5=0.
18.(8分)某校为了贯彻“减负增效”精神,掌握九年级800名学生每天的自主学习
情况,该校领导随机抽查了九年级的部分学生,并调查他们每天自主学习的时
间.根据调查结果,制作了两幅不完整的统计图(图1,图2),请根据统计图中
的信息回答下列问题:
■人数
250.5小时
20
15
10
5
01_J___________________L.
0.5小时1小时L5小时2小航5间
图1
(1)本次调查的学生人数是人;
(2)将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整;
(3)请估算,该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有人;
(4)老师想从学习效果较好的3位同学(分别记为A、B、C,其中8为小华)随机选
择两位进行学习经验交流,用列表法或树状图的方法求出选中小华3的概率.
19.(8分)拓展小组研制的智能操作机器人,如图1,水平操作台为/,底座AB固定,
高A8为50cm,连杆长度为70CVM,手臂C£)长度为60a〃.点8,C是转动点,
且AB,8C与CZ)始终在同一平面内.
(1)转动连杆BC,手臂CO,使/A8C=143。,CD//1,如图2,求手臂端点。离操
作台/的高度OE的长(精确到1CM,参考数据:sin53°^0.8,cos53°弋0.6).
(2)物品在操作台/上,距离底座A端110cm的点M处,转动连杆BC,手臂CD,
手臂端点。能否碰到点M?请说明理由.
D
图1图2
20.(8分)某地草莓已经到了收获季节,已知草莓的成本价为10元/千克,投入市场
销售后,发现该草莓销售不会亏本,且每天销售量),(千克)与销售单价x(元/千
克)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若产量足够,当该品种的草莓定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利
润是多少?
(1)【问题发现】
如图①,正方形AEPG的两边分别在正方形A8C。的边A8和AO上,连接CF.填空:
①线段CF与DG的数量关系为;
②直线CF与3G所夹锐角的度数为.
(2)【拓展探究】
如图②,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍
然成立,请利用图②进行说明.
(3)【解决问题】
如图③,△4BC和△4DE都是等腰直角三角形,N8AC=NDAE=90°,A3=AC=10,
。为AC的中点.若点。在直线8c上运动,连接。£,则在点。的运动过程中,
线段。E长的最小值为(直接写出结果).
交于点8(0,3),在线段QA上有一动点£(不与0、A重合),过点E作x轴的
垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P.
(1)分别求出抛物线和直线A3的函数表达式;
(2)连接布、PB,求面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)如图2,点E(2,0),将线段OE绕点。逆时针旋转的到OE',旋转角为a(0°
<a<90°),连接E,4、E'B,求的最小值.
o
图2
参考答案与试题解析
一.选择题
1.关于X的一元二次方程启+2x+%=0有两个相等的实数根,则k的取值范围是
()
A.%=-1B.%>—1C.k=lD.k
>1
【解答】解:由题意△=(),...4-4%=0,,%=1,故选:C.
2.如图,一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移,平移过程中不变的是()
A.主视图B.俯视图
C.左视图D.主视图和左视图
【解答】解:根据图形,可得:平移过程中不变的是的左视图,变化的是主视图和俯
视图.
故选:C.
3.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课,则甲被
选到的概率为()
【解答】解:共有3种等可能的结果,其中甲被选中的结果有1种,
.•.甲被选中的概率为蓝,故选:D.
4.如图,AB//CD//EF,AF与8E相交于点G,且AG=2,GD=\,DF=5,则CE:
BC=()
A.5:3B.1:3C.3:5D.2:
3
【解答】解:・.・AG=2,GD=l9
:.AD=AG+GD=3,
•:AB//CD//EF,
:.詈=塔=|>故选:A.
5.下列命题中正确的是()
A.矩形的对角线相等且互相垂直
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线平分一组对角
【解答】解:A、矩形的对角线相等且互相平分,不一定垂直,故不符合题意;
反对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形,故不符合题意;
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故符合题意;
D,矩形的对角线不一定平分所在的对角,故不符合题意;
故选:C.
6.当AVO时,反比例函数y=K和一次函数),=辰+2的图象大致是()
【解答]解:当&<()时,同时一次函数y=kx+
2的图象经过第一、二、四象限;
当%>0时,反比例函数旷=区的图象在一三象限,同时一次函数y=Ax+2的图象经过
x
第一、二、三象限.
故选:B.
7.如图,在△ABC中,ZC=90°,AC=8c/n,AB的垂直平分线MN交AC于。,连
接60,若cosNBOC=^,则8c的长是()
5
A.4cmB.6cmC8cm
D.10cm
【解答】解:・.・NC=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D
:・BD=AD,
:.CD+BD=8,
rn3
VcosZBDC=—
BD5
.CD_3
“8-CD-T
解得:CD=3,BD=5,
:.BC=4,
故选:A.
8.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割。如图,P
为AB的黄金分割点(AP>P8),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为
()
B
A.(15-5遥)的B.(15^5YmC.(10-V5)cm
D.(5+V5)CZW
【解答】解:为48的黄金分割点(AP>PB),A8的长度为IO52,
:.AP=J1^-AB
2
=立3.x10
2
=5)cm,
:.PB=AB-AP
=10-(575-5)
=(15—5cm,
故选:A.
9.如图所示的抛物线y=ax1+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,则下列结论错误
的是()
B.b2~4ac>0C.2a~b=QD.c
>0
【解答】解:由图像可知,
抛物线开口向下,«<o,A选项正确,不符合题意;
抛物线有两个不相等的实数根,.••△>(),8选项正确,不符合题意;
对称轴x=l,即一^-=1,.•.2a=—/?,即2a+/?=0,C选项错误,符合题意;
2a
抛物线与y轴正半轴相交,...00,。选项正确,不符合题意.
故选:C.
10.如图,正方形A8C。中,E是BC延长线上一点,在A3上取一点『,使点8关于
直线EF的对称点G落在上,连接EG交CD于点H,连接BH交EF于点M,
连接CM,则下列结论,其中正确的是()
①N1=N2;
②N3=/4;
③GD=MCM;
④若AG=1,GD=2,则灰.
A.①②③④B.①②C.③④D.①
②④
【解答】解:如图1中,过点8作8KLG”于K.
,:B,G关于EF对称,
:.EB=EG,
:.NEBG=NEGB,
•••四边形ABC。是正方形,
:.AB=BC,NA=NABC=NBCD=90°,AD//BC,
:.ZAGB=NEBG,
:.NAGB=NBGK,
':ZA=ZBKG=90°,BG=BG,
:•△BAGQABKG(AAS),
:・BK=BA=BC,NABG=NKBG,
•:NBKH=NBCH=90°,BH=BH,
:・Rt/\BH3Rt/\BHC(HL),
AZ1=Z2,NHBK=NHBC,故①正确,
・・・ZGBH=ZGBK+ZHBK=—ZABC=45°,
2
过点M作MQLGH于Q,MP_LCD于P,MR±BC于R.
VZ1=Z2,
:.MQ=MP,
ZMEQ=ZMER,
:.MQ=MR,
:・MP=MR,
:.Z4=ZMCP=—ZBCD=45°,
2
:.ZGBH=Z4,故②正确,
如图2中,过点M作于W,交BC于T.
♦;B,G关于£尸对称,
:・BM=MG,
,:CB=CD,Z4=ZMCDfCM=CM,
:./\MCB^/\MCD(SAS),
:.BM=DM,
:.MG=MDf
VMIV±DG,
:.WG=WD,
VZBTM=ZMWG=ZBMG=9O0,
AZBMT+ZGMW=90°,
VZGMW+ZMGW=90°,
・・・NBMT=ZMGWf
U:MB=MG,
(AAS),
:.MT=WGf
■:MC=4^TM,DG=2WG,
:,DG=®CM,故③正确,
•・・AG=1,DG=2,
:.AD=AB=TW=3,TC=WD=TM=].BT=AW=2,
22=
:.BM=^gy2+HT2=^2+l^5,故④正确,
故选:A.
GW
R
图1
填空题
【解答】解:设==号=£=%,则。=2%,b=3k,c=4k,
234
•a+b+c_2k+3k+4k_9k_3
,,-2b2X3k6k-T
故答案为:
12.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米
1500石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得200粒内夹谷20粒,则这批米内夹
谷约为150石.
【解答】解:这批米内夹谷约为1500义a2=0150(石),
200
故答案为:150.
13.设〃,人是一元二次方程炉+x-2023=0的两个实数根,则ab的值为一2023
【解答】解:人是一元二次方程/+x—2023=0的两个实数根,
:.ab=-2023,
故答案为:一2023.
14.如图,直角梯形ABC。中,AD//BC,ZB=90°,AD=3,BC=6,点、E在高AB
上滑动,若△D4E与△E8C相似,则当4E=2时,EB=.
AD
B
A.4C.4或9D.4
【解答】解:,.,」£>〃BC,ZB=90°,
AZA=ZB=90°,
当△D4E与△ESC相似,
ADAE
BC-BE
VAD=3,BC=6,AE=2,
解得BE=9或4.
15.如图,直线y=m—1交y轴于点£交x轴于点C,以8C为边的正方形A3CD
的顶点A(―1,a)在双曲线y=——(x<0)上,D点在双曲线y=—(x>0)
xx
【解答】解:(-1,a)在双曲线y=-2(x<0)上,
X
:.a=2f:.A(-1,2),
•.,点8在直线y=m—l上,
:.B(0,-1),:.AE=lfBE=3,
作轴于M,AN[DM于N,交y轴于E,
:ZMDC+NADN=90°=ZMDC+ZMCD,
:./ADN=ZMCDf
同理:NADN=NEAB=NCBO=NMCD,
•..四边形A8CQ是正方形,
:・BC=AB=CD=DA,
:,4ADNQABAEQACBOQ4CDM(A4S),
:•DM=BE=AN=CO=3,CM=AE=\,
・・.EN=3—1=2,J点。(2,3),
・・・。点在双曲线y=K(x>0)上,
x
,\k=2X3=6,
故答案为:6.
16.计算:(一;)-1+(-1)2°22+(3.14—%)°—12cos30°T|.
【解答】解:原式=-3+1+1一|2义近T|
2
=-1一诉T|
=_]_a+1
=一«•
17.解下列方程:
(1)%2—9=0;(2)/+4x—5=0.
【解答】解:⑴(x-3)(x+3)=0,
x—3=0或x+3=0,
所以X1=3,X2=-3;
(2)/+4x—5=0,
(x+5)(x—1)=0,
x+5=0,x—1=0,
»=-5,X2—1.
18.某校为了贯彻“减负增效”精神,掌握九年级800名学生每天的自主学习情况,
该校领导随机抽查了九年级的部分学生,并调查他们每天自主学习的时间.根据
调查结果,制作了两幅不完整的统计图(图1,图2),请根据统计图中的信息回
答下列问题:
t人数
0.5小时
图1图2
(1)本次调查的学生人数是50人;
(2)将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整;
(3)请估算,该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有—人;
(4)老师想从学习效果较好的3位同学(分别记为A、B、C,其中8为小华)随机选
择两位进行学习经验交流,用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率.
【解答】解:(1)本次调查的学生人数是5・10%=50(人),
故答案为:50;
(2)1.5小时对应人数为50X30%=15(人),
2小时人数所占百分比为104-50X100%=20%,
补充后的图形如图:
•人数
25---------------------------------------05小时
I
I
20------------.---------------------J
15----------------------.-----------
।
10----------------------■----------[-;
5-r—r-------------■------------i
nlI___ILII_HL—HLi*.
0.5小时1小时L5小时2小时时间
图1图2
(3)该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有800X(20%+30%)=400
(人),
故答案为:400;
/•P1选中小华一—==".
63
19.拓展小组研制的智能操作机器人,如图1,水平操作台为/,底座固定,高A3
为50cm,连杆8C长度为10cm,手臂C。长度为60cM.点B,C是转动点,.且
AB,BC与CD始终在同一平面内.
(1)转动连杆BC,手臂CO,使NABC=143。,CD//1,如图2,求手臂端点。离操
作台/的高度DE的长(精确到1cm,参考数据:sin53°七0.8,cos53°-0.6).
(2)物品在操作台/上,距离底座A端110cm的点M处,转动连杆BC,手臂CD,
手臂端点。能否碰到点M?请说明理由.
图1图2
【解答】解:(1)过点C作CPLAE于点尸,过点B作BQLCP于点Q,如图:
:.ZCBQ=53°,
在RtaBCQ中,CQ=8C・sin53°心70X0.8=56。%,
\'CD//l,
:.DE=CP=CQ+PQ=56+5O=106cm.
(2)手臂端点。能碰到点M,
理由:由题意得,当B,C,。共线时,手臂端点。能碰到最远距离,
如图:
80=60+70=130cm,AB=50cm,
在中,AB2+AD2=B£>2,
:.AD=l20cm>U0cm.
•••手臂端点。能碰到点M.
20.某地草莓已经到了收获季节,已知草莓的成本价为10元/千克,投入市场销售后,
发现该草莓销售不会亏本,且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间
的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若产量足够,当该品种的草莓定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利
【解答】解:(1)设y与x的函数关系式为y=H+6,
10k+b=200
将(10,200)、(15,150)代入,得
15k+b=150
k=-10
解得
b=300,
与x的函数关系式为y=-10x+300,
由-10x+30020得xW3(),所以x的取值范围为l()WxW30;
(2)设每天销售获得的利润为卬元,
则”=(x-10)y=(x-10)(-10x+300)=-10(x-20)2+1000,
•.T04W30,a=-10<0,
.•.当x=20时,w取得最大值,最大值为1000.
答:该品种的草莓定价为20元/千克时,每天销售获得的利润最大,最大利润为1000
元.
21.(1)【问题发现】
如图①,正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和4。上,连接CF.
填空:
①线段CF与DG的数量关系为CF=EGD;
②直线CF与DG所夹锐角的度数为45。.
(2)【拓展探究】
如图②,将正方形AErG绕点A逆时针旋转,在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍
然成立,请利用图②进行说明.
(3)【解决问题】
如图③,ZXABC和△AOE都是等腰直角三角形,ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=10,
。为AC的中点.若点。在直线BC上运动,连接。E,则在点。的运动过程中,
线段。E长的最小值为显巨(直接写出结果).
~2-
【解答】解:(1)连接AF,
•.•四边形AEFG、ABC。是正方形,
:.ZGAF=45°,
...点A、F、C三点共线,
,AC=V^AE,AF=yp^AG,
:.CF=yf2GD,
故答案为:CF=®GD,45°;
(2)仍然成立,连接A凡AC,
VZCAD=ZMG=45",
:.ZCAF=ZDAG,—=^=V?
ADAG
:./\CAF^>/\DAG,
:.CF=y/2DG,NACF=NADG,
...NCOO=/C4O=45°,
二(1)中的结论仍然成立;
(3)连接CE,
VZBAC=ZDA£=90°,
二ZBAD^ZCAE,
•:AB^AC,AD=AE,
:./\BAD^/\CAE(SAS),
AZABD=ZACE=A5°,:./DCE=90°,
.♦.当0巴,比时一,OE最小,
,.•AC=1(),。为AC的中点.AOC=5,
VZOCE=45°,
OE=^-OC=^J^-,
22
故答案为:包巨.
2
22.如图1,抛物线y=〃*—3mx+〃(mWO)与x轴交于点(-1,0)与y轴交于点
8(0,
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