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文档简介
2024-2025学年山西省同煤一中联盟校高三高考全真模拟考试数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.2.设a,b,c为正数,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不修要条件3.已知,,,若,则()A. B. C. D.4.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为()A. B. C. D.5.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()A. B. C.2 D.6.空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面,,两两互相垂直,点,点到,的距离都是3,点是上的动点,满足到的距离与到点的距离相等,则点的轨迹上的点到的距离的最小值是()A. B.3 C. D.7.已知复数z满足(其中i为虚数单位),则复数z的虚部是()A. B.1 C. D.i8.函数的部分图象如图所示,已知,函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到,则函数的解析式为()A. B.C. D.9.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.10.的展开式中的系数为()A.5 B.10 C.20 D.3011.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()A.56383 B.57171 C.59189 D.6124212.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.14.已知函数为奇函数,则______.15.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.16.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列,其前项和为,若对于任意,,且,都有.(1)求证:数列是等差数列(2)若数列满足,且等差数列的公差为,存在正整数,使得,求的最小值.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)记数列的前项和为,已知成等差数列.(1)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;(2)记数列的前项和为,求.20.(12分)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,,证明:.21.(12分)已知函数(1)若函数在处取得极值1,证明:(2)若恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有人,其中男生人,女生人,乙组一共有人,其中男生人,女生人,现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.(1)设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件发生的概率;(2)用表示抽取的人中乙组女生的人数,求随机变量的分布列和期望
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题2.B【解析】
根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:,,为正数,当,,时,满足,但不成立,即充分性不成立,若,则,即,即,即,成立,即必要性成立,则“”是“”的必要不充分条件,故选:.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的性质是解决本题的关键.3.B【解析】
由平行求出参数,再由数量积的坐标运算计算.【详解】由,得,则,,,所以.故选:B.本题考查向量平行的坐标表示,考查数量积的坐标运算,掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.4.C【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方,其面积为9,五边形的面积为,所以此点取自朱方的概率为.故选:C本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.5.A【解析】
由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解【详解】由,,成等差数列,所以,又,,成等比数列,所以,消去得,所以,解得或,因为,,是不相等的非零实数,所以,此时,所以.故选:A本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.6.D【解析】
建立平面直角坐标系,将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值,利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程,得到,进而得到所求最小值.【详解】如图,原题等价于在直角坐标系中,点,是第一象限内的动点,满足到轴的距离等于点到点的距离,求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值.设,则,化简得:,则,解得:,即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选:.本题考查立体几何中点面距离最值的求解,关键是能够准确求得动点轨迹方程,进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.7.A【解析】
由虚数单位i的运算性质可得,则答案可求.【详解】解:∵,∴,,则化为,∴z的虚部为.故选:A.本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念,属于基础题.8.A【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得,利用周期公式可得,再根据图像过,即可求出,再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到,所以.故选:A本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换,需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则,属于基础题.9.B【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.10.C【解析】
由知,展开式中项有两项,一项是中的项,另一项是与中含x的项乘积构成.【详解】由已知,,因为展开式的通项为,所以展开式中的系数为.故选:C.本题考查求二项式定理展开式中的特定项,解决这类问题要注意通项公式应写准确,本题是一道基础题.11.C【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”,可得这些数构成等差数列,然后根据等差数列的前项和公式,可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为的等差数列,记数列则令,解得.故该数列各项之和为.故选:C.本题考查等差数列的应用,属基础题。12.A【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
根据均值的定义计算.【详解】由题意,∴.故答案为:1.本题考查均值的概念,属于基础题.14.【解析】
利用奇函数的定义得出,结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数,则,即,,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意;当时,,解不等式,解得或,此时函数的定义域为,定义域关于原点对称,合乎题意.综上所述,.故答案为:.本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.15.【解析】
设正四面体的棱长为,求出底面外接圆的半径与高,代入体积公式求解.【详解】解:设正四面体的棱长为,则底面积为,底面外接圆的半径为,高为.∴正四面体的体积,圆柱的体积.则.故答案为:.本题主要考查多面体与旋转体体积的求法,考查计算能力,属于中档题.16.【解析】乙不输的概率为,填.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)用数学归纳法证明即可;(2)根据条件可得,然后将用,,表示出来,根据是一个整数,可得结果.【详解】解:(1)令,,则即∴,∴成等差数列,下面用数学归纳法证明数列是等差数列,假设成等差数列,其中,公差为,令,,∴,∴,即,∴成等差数列,∴数列是等差数列;(2),,若存在正整数,使得是整数,则,设,,∴是一个整数,∴,从而又当时,有,综上,的最小值为.本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质,关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列,属于难题.18.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.【详解】(Ⅰ)当时,,则.所以.又,故所求切线方程为,即.(Ⅱ)依题意,得,即恒成立.令,则.①当时,因为,不合题意.②当时,令,得,,显然.令,得或;令,得.所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.当时,,,所以,只需,所以,所以实数的取值范围为.本题考查利用导数的几何意义求切线方程,以及利用导数研究恒成立问题,属综合中档题.19.(1)证明见解析,;(2)【解析】
(1)由成等差数列,可得到,再结合公式,消去,得到,再给等式两边同时加1,整理可证明结果;(2)将(1)得到的代入中化简后再裂项,然后求其前项和.【详解】(1)由成等差数列,则,即,①当时,,又,②由①②可得:,即,时,.所以是以3为首项,3为公比的等比数列,,所以.(2),所以.此题考查了数列递推式,等比数列的证明,裂列相消求和,考查了学生分析问题和解决问题的能力,属于中档题.20.(1)(2)见证明【解析】
(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.【详解】(1)解:当时,不等式可化为.当时,,,所以;当时,,.所以不等式的解集是.(2)证明:由,,得,,,又,所以,即.本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解,含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.21.(1)证明见详解;(2)【解析】
(1)求出函数的导函数,由在处取得极值1,可得且.解出,构造函数,分析其单调性,结合,即可得到的范围,命题得证;
(2)由分离参数,得到恒成立,构造函数,求导函数,再构造函数,进行二次求导.由知,则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点,且.由此判断出时,单调递减,时,单调递增,则,即.由得,再次构造函数,求导分析单调性,从而得,即,最终求得,则.【详解】解:(1)由题知,∵函数在,处取得极值1,,且,,,令,则为增函数,,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,则令,则,,,在上单调递增,且,有唯一零点,且,当时,,,单调递减;当
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