理学状态反馈

1.5线性反馈系统的时间域综合1.5.1常用反馈结构及其对系统特性的影响1.5.2系统的极点配置1.5.4状态观测器及其设计1.5.3状态反馈动态解耦

在控制理论中，反馈结构是系统设计的主要方式。对输入输出模型，只能采用输出反馈；因状态空间模型能够提供系统内部的状态信息，所以，能够采用状态反馈，对系统进行更细致的控制。

系统的综合：已知系统的结构和参数，设计控制规律u，使系统在其作用下的行为满足所给出的期望的性能指标。

性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性能指标。1.5.1常用反馈结构及其对系统特性的影响

一两种常用反馈结构在系统的综合设计中，常用的反馈形式是状态反馈和输出反馈。

1状态反馈

设系统为式中v是参考输入；K∈Rp×n是定常反馈矩阵。引入状态的线性反馈状态反馈系统的结构图状态反馈(闭环)系统的状态空间描述为特征多项式：传递函数矩阵：uxy++B∫CAK+-v2输出反馈引入输出向量的线性反馈输出反馈系统的结构图输出反馈(闭环)系统的状态空间描述为特征多项式：传递函数矩阵：F是p×q维实反馈增益矩阵。v+-Fuxy++B∫CA3.状态反馈结构与输出反馈结构比较相同点：1)无论是状态反馈结构还是输出反馈结构都使闭环系统的系统矩阵不同于原系统矩阵A。2)状态反馈是一种完全的系统信息反馈，输出反馈则是系统结构信息的一种不完全反馈。3)设计者可以通过选取适当的反馈矩阵K或F来改变系统的特性，达到设计要求。不同点：输出反馈能完成的设计任务,状态反馈必然能够完成；状态反馈能完成的设计任务,输出反馈不一定能完成。二反馈结构对系统性能的影响1对系统的可控性和可观测性的影响定理：状态反馈不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。证明：可控性不变

状态反馈改变系统的极点(特征值)，若发生零点与极点抵消情况，则改变系统的可观性。

若采用的状态反馈是闭环系统的系统矩阵为原系统的传递函数例：可控可观测系统可控性判别矩阵闭环系统为闭环系统是不完全可观测，其传递函数为可观测性判别矩阵定理：输出反馈不改变系统可控性可观性。证明：可控性不变可观性不变2.反馈结构对系统稳定性的影响可镇定性：如果采用反馈措施能够使闭环系统稳定，称该系统是反馈可镇定的。状态反馈和输出反馈都改变系统的特征值，故都影响系统的稳定性。镇定：加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统，称之为镇定。

由于状态反馈具有许多优越性，而且输出反馈总可以找到与之性能等同的状态反馈系统，故在此只讨论状态反馈的可镇定性问题。对于线性定常受控系统如果可以找到状态反馈控制律使得通过反馈构成的闭环系统是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。定理：当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。

证明：设系统{A,

B}不完全可控，其结构分解为对于任意的状态反馈矩阵，得到即状态反馈K不能改变不可控极点，使闭环系统稳定的必要条件是不可控部分是渐近稳定的。

利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置，称为极点配置。状态反馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。

状态反馈K不能改变不可控部分的极点，但能够任意配置可控部分的极点。

输出反馈F也只能配置可控部分的极点，但不一定能实现期望极点的任意配置；肯定不能将极点配置到系统的零点处。1.5.2系统的极点配置一单输入系统的极点配置

定理1

对n阶单输入线性定常系统，通过状态反馈，实现系统全部n个极点任意配置的充要条件是系统状态完全能控。1极点可配置条件证明：设系统{A,

b}完全可控，其可控标准形为

其中：

引入状态反馈：则闭环系统特征多项式为

由闭环特征多项式与期望特征多项式相等据期望极点，得到期望特征多项式得到n个简单的代数方程，即可计算出可控标准形的状态反馈矩阵，进而得到必要性：已知极点可任意配置，欲证（A,b）可控。反证法。如果系统（A,b）不可控，说明系统的有些状态将不受u的控制，则引入状态反馈时就不可能通过控制k来影响不可控的极点。设不完全可控系统{A,

B}为参考题能否找到状态反馈矩阵K，使闭环特征值配置到提示：对系统作可控性结构分解，得到系统有一下列位置：{-2，-2，-1，-1}；{-2，-2，-2，-1}；{-2，-2，-2，-2}。个不可控特征值-1。

给定可控系统(A,b,c)和一组期望的闭环特征值,要确定(1×n)维的反馈增益向量k,使闭环系统矩阵(A-bk)的特征值为。☆通用的计算方法(※)：设(1)计算期望的特征多项式：2单输入系统的极点配置算法(2)用待定系数计算闭环系统的特征多项式：(3)由下列n个方程计算反馈矩阵k的元素：注意：系统完全可控，单输入系统的极点配置有唯一解；系统不完全可控，若期望极点中包含所有不可控极点，极点配置有解，否则无解。例已知线性定常系统{A,B}为求反馈向量K，使系统的闭环特征值为解：

(1)计算A的特征多项式:(2)计算期望的特征多项式:

计算(可控标准型)反馈矩阵:☆完全可控系统极点配置的规范计算方法(5)计算原系统的反馈增益阵：(4)计算变换矩阵P:例已知线性定常系统{A,B}为求反馈向量K，使系统的闭环特征值为解：(1)判断系统的能控性所以系统状态完全能控，可以利用状态反馈任意配置特征值。(2)计算期望的特征多项式:

将（A,B）转化成能控规范形(4)计算实际特征多项式(5)比较两特征多项式，得(4)计算K二多输入系统的状态反馈极点配置（1）循环矩阵循环矩阵定义：矩阵A的特征多项式等于其最小多项式；循环矩阵性质：当且仅当A的约当标准型中相应于每个不同的特征值仅有一个约当小块时，A为循环矩阵。1直接法

若A的n个特征值两两互异，则A为循环矩阵；若A为循环矩阵，则至少存在一个n维列向量b，使{A,b}可控；循环矩阵相关定理：

定理1：若系统{A,B}完全能控，且A为循环矩阵，则几乎对任意的实向量，单输入系统{A,Bρ}状态完全能控。

定理3：对n阶多输入线性定常系统，通过状态反馈，实现系统全部n个极点任意配置的充要条件是系统状态完全能控。

定理2：若A不是循环矩阵，且系统{A,B}完全能控，则几乎对任意的矩阵，A-BK的全部特征值均不相同，因而A-BK是循环矩阵。（2）多输入系统极点配置算法[直接法]

第1步：判断矩阵A是否为循环矩阵。若不是，则引入一状态反馈使得系统的系统矩阵为循环矩阵，即。第2步：对循环矩阵，适当选取实常向量，令：，使为状态完全能控。第3步：对于等价单输入系统，利用单输入极点配置问题的算法，求出状态增益向量第4步：当A为循环矩阵时，所求的增益矩阵为：当A为非循环矩阵时，所求的增益矩阵为：例1已知二输入线性定常系统要求确定状态反馈增益矩阵，使闭环系统的特征值配置在－1,－2,－3。解根据约当规范形能控性判据可知，本系统状态完全能控，因此，可以通过状态反馈实现极点的任意配置。由于矩阵的不同的特征值对应一个约当块，因此，为循环矩阵。令

所以，系统为状态完全能控。下面，针对单输入系统，设计状态反馈控制器，使相应的闭环系统的特征值配置在－1,－2,－3。首先化为能控规范形。矩阵的特征多项式为：

引入线性非奇异变换，将系统化为能控规范形：对实施状态反馈：，这里。则闭环系统实际特征多项式为：(20)闭环系统期望的特征多项式为：(21)比较式(20)和(21)得

对实施状态反馈：则闭环系统实际特征多项式为：闭环系统期望的特征多项式为：比较式(20)和(21)得

比较两式，得系统的状态反馈矩阵：因此，闭环系统的状态方程为：

多输入系统的状态反馈矩阵为：因此，，而原系统的状态反馈矩阵：多输入系统的状态反馈矩阵为：因此，闭环系统的状态方程为：

2李亚普诺夫方程法

给定完全能控的多输入线性定常系统

和一组任意的期望闭环特征值，要求通过状态反馈，使闭环系统的特征值。同时要求：第1步：任选n×n矩阵F，要求F的特征值为期望的特征值。第2步：选取一个p×n实常值矩阵，使为状态完全能观。第3步：对给定矩阵A，B，F和，解李亚普诺夫方程：确定出唯一n×n的解矩阵T。第4步：若T为非奇异的，则所确定的状态反馈矩阵K为：若T为奇异矩阵，则返回步骤2重新选择。3能控规范形法

给定完全能控的多输入线性定常系统

和一组任意的期望闭环特征值，要求通过状态反馈，使闭环系统的特征值。

以n=9，p=3为例。第1步：将系统{A,B}化为龙伯格能控规范形。第2步：将期望的闭环特征值，按龙伯格能控规范形中的对角块个数和维数，分组并计算每组对应多项式。第3步：对龙伯格能控规范形，按如下形式选取p×n状态反馈矩阵。第4步：计算所求状态反馈增益矩阵K。三状态反馈对传递函数矩阵的影响

结论：对状态完全能控的单输入单输出系统，引入状态反馈后，闭环系统传递函数的零点不发生改变，极点可能发生改变。1单输入单输出线性定常系统

结论：对状态完全能控的多输入多输出线性定常系统，状态反馈在配置传递函数矩阵全部n个极点的同时，一般不影响G(s)的零点。2多输入多输出线性定常系统

G(s)的零点：对既能控又能观的系统，满足的所有s的值。四输出反馈的极点配置

结论：对完全能控的n阶单输入单输出线性定常系统：采用输出反馈：u=v-fy=v-fcx只能使闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能配置到根轨迹以外的位置上。1.5.3状态反馈动态解耦0

解耦控制：对多输入-多输出系统，通过一定的控制算法，使系统的每个输入都可单独地影响每个输出，即使系统的输入和输出之间一一对应。uxy++B∫CA+vK-L0一动态解耦

对多输入-多输出线性定常系统在以下三个假设的前提下输入向量的维数等于输出向量的维数，即p=q;

解耦控制算法采用状态反馈结合输入变换的方法，即u=-Kx+Lv;

输入变换矩阵L为非奇异。0通过u=-Kx+Lv，可以实现系统的动态解耦，得到的闭环系统的状态空间描述为：其闭环传递函数阵为非奇异对角有理分式矩阵：0二传递函数矩阵的两个特征量1结构特性指数和结构特性向量的定义

对p×p的传递函数阵，表示0结构特性指数：结构特性向量：02结构特性指数和结构特性向量的性质

结构特性指数为非负整数，取值范围为

可由状态空间描述参数矩阵直接求和：0

对真有理分式阵G(s)，其结构特性向量为

1×p的常向量。

引入状态反馈和输入变换后闭环系统的结构特征量为：0

对任意矩阵对{L,K}，其中detL≠0，开环系统和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在如下关系：0三可解耦条件结论1：对线性定常系统，利用状态反馈和输入变换实现动态解耦的充要条件为：为非奇异矩阵。0结论2(积分型解耦)：设线性定常系统满足可解耦条件，选取解耦控制规律u=-Kx+Lv，其中：解耦后的系统传递函数矩阵为：0四确定解耦控制对{K,L}的算法

已知状态完全能控的线性定常系统：

要求确定一个状态反馈和输入变换矩阵对{K,L}，使相应的闭环系统实现动态解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。第1步：计算受控系统的特征量第2步：组成并判断矩阵E的非奇异性，若为非奇异即能解耦，进入下一步；否则不能解耦，停止计算。第3步：计算矩阵第4步：取预输入变换矩阵和预状态反馈阵导出积分型解耦系统为：其中：且保持完全能控。第5步：判断能观测性。若为不完全能观测，计算：第6步：引入线性非奇异变换，化积分型解耦系统为解耦规范形：第7步：由已知和定出。第8步：对解耦规范形，选取p×n状态反馈矩阵，使实现动态解耦。第9步：对解耦后各单输入单输出系统指定期望极点组：按单输入极点配置算法，定出状态反馈矩阵各个元组：第10步：对原系统{A,B,C}，定出满足动态解耦和期望极点配置的一个状态反馈和输入变换矩阵对{L,K}：状态观测器全维状态观测器：维数等同于原系统降维状态观测器：维数小于原系统1.5.4状态观测器及其设计观测器的直观说明xuy∫状态观测器状态观测器全维状态观测器：维数等同于原系统降维状态观测器：维数小于原系统5.5状态观测器及其设计观测器的直观说明uy∫状态观测器321、观测器的结构形式考虑n维线性时不变系统

要求观测器系统的输出满足如下关系：

全维状态观测器∫uy状态观测器++∫++

开环状态观测器（1）开环状态观测器∫∫GCuy+—状态观测器（2）闭环状态观测器观测器的状态空间描述为：上式中，G是待确定的常值阵，改写成：将上图改为：∫∫Guy2、观测器存在条件定理：如果{A，C}能观，则必可采用形如

所示的全维状态观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益矩阵G任意配置（A-GC）的特征值。

矩阵的转置不改变行列式的值，因此有

可见，（A-GC）的特征值可由L任意配置。证明：若{A,C}能观，则利用对偶原理知:

是能控的。因而存在状态反馈增益矩阵，使3、观测器综合算法对于给定的被观测系统：设{A,C}能观，观测器系统的期望特征值为：设计全维状态观测器。方法一：实用算法（单变量系统）1)计算期望的特征多项式设反馈增益阵，用待定系数法计算闭环观测系统的特征多项式3）求解下列n个方程，计算出矩阵G的元素4）计算（A-GC）,则所要设计的全维状态观测器为：

方法二：规范算法（多变量系统）

1）写出被观测系统{A，B，C}的对偶系统

{}2）利用状态反馈极点配置问题的算法，对

{}确定反馈增益矩阵

3）计算A-GC，即可得出所设计的观测器为：并有例：给定系统解：方法一观测器系统的特征值为：试构造全维状态观测器.2）设闭环系统的特征多项式为增益矩阵为3）得到4）全维状态观测器为方法二：计算变换矩阵P系统的反馈增益矩阵GT:状态观测器为：4、组合观测器与状态反馈系统特性考虑n维线性时不变系统：并且假设系统是能观的，