初中定理压缩

九点圆:

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的

中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为

三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆

半径的一半。

OA=1.26厘米

OB=126厘米

OKi=1.81厘米

BD=3.63厘米

费尔马点：

已知研锐角△A8C内一点，当N4P8=N8PC=NCP4=120。时,

R4+QB+PC的值最小，这个点畴为△48C的费尔马点。

BP+CP+APBE+CE+AE

海瓦采丁百18厘米

BE=2.65厘米

费尔马点加PC=120。CE=297厘米

ZCPA=120°AE=2.56厘米

BZAPB=120°BP=3.58厘米

CP=2.63厘米

AP=1.69厘米

海伦(Heron)公式：

在△A8C中，边BC、CA.A8的长分别为a、b,c,若p=g(a+b+c),

则△ABC的面积S=7p(p—a)―(p—b)―(p—c)

AB=3.56厘米

BC=5.66厘米

1CA=5.12厘米

-(AB+BC+CA)=7.17厘米

p=7I7厘米

AD=3.16厘米

gBCAD=8.96厘帮

：p(p-AB)(p-BC"p二CA)=8.96厘於

塞瓦(Ceva)定理：

在△4BC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别

BDCEAF

交边BC、CA.48与点。、E、F,则言•言=1；其逆亦真。

DCEAFB

BD/CE\/AF\

BD=2.78厘米

DC=1.95厘米

CE=1.64厘米

EA=2.23厘米

AF=2.31厘米

FB=242厘米

黄金分割：

把一条线鹿伊8)分成两条线段，使其中较大的线段伊C)是原线段伊8)

与较小线段(8。的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

AC?=3.41厘米2

CBAB=3.41厘帝C

AB

葛尔刚(Gergonne)点：

△ABC的内切圆分别切边48、BC.CA于点。、E,F,

则4E、BF、CO三线共点，这个点称为葛尔刚点。

帕普斯(Pappus)定理：

已知点4、A2,4杰直线h上，己知点B,、B?、B拉直线L上，

且4B用交于点X,4出3与48,交于点匕4B3于4包交于

点Z,则X、KZ三点共线。

斯图尔特(Steward定理：

设呐△48Gi8C上一点，且8P：PC=mm,则

mAB2+nAC2^mBP2+nPC2+(m+n)AP2

183.00厘米?

BP

笛沙格(Desargues)定理：

已知在△A8C与ZXA8c中，AA\BB\CC三线相交于点。,

摩莱(Morley)三角形：

在已知△4BC三内角的三等分线中，分别与BC、CA.AB

相邻的每两线相交于点。、EF,则三角形DEF是正三角形,

这个正三角形称为摩莱三角形。

DE=1.08厘米

EF=L08厘米

FD=1.08厘米

B(托动)C(托动)

帕斯卡(Paskal)定理：

已知圆内接六边形48CD"的边48、DE延长线交于点G,边BC、EF

延长线交于点边CD、融延长线交于点K,则"、G、K三点共线。

H

梅内劳斯定理：

在△48C中，若在8C、CA.48或其延长线上被同一条直线

一一,BXCYAZ

截于点X、Y.Z,则行•元=1

入LYA

BX/CY\/AZ\

五6）（五）=1。。

BX=9.26厘米

XC=2.82匣米

CY=1.84厘米

YA=3.18厘米

M=2.22厘米

ZB=4.22厘米

阿波罗尼斯(Apollonius)圆

一动点P与两定点4、8的距离之比等于定比m:n,则点P的轨迹，是以

定比内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为

阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。

布拉美古塔(Brahmagupta)定理：

在圆内接四边形ABCD中，AC1BD,自对角线的交点P

向一边作垂线，其延长线必平分对边。

BF=1.53厘米