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第七节正弦定理和余弦定理第1页第2页第3页第4页第5页第6页第7页第8页第9页1.在△ABC中，sinA>sinB是A>B什么条件？提醒:充要条件.因为sinA>sinB⇔>⇔a>b⇔A>B.第10页1.在△ABC中，A=60°，则B等于()(A)45°或135°(B)135°(C)45°(D)30°【解析】选C.由正弦定理可得即∴又∵a＞b，A=60°，∴0°＜B＜60°，∴B=45°.第11页2.在△ABC中，a=,b=1,c=2,则A等于（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°【解析】选C.∵又∵0°＜A＜180°，∴A=60°.第12页3.在△ABC中，a=,b=,cosC=，则△ABC面积为（）（A）（B）（C）（D）【解析】选C.∵cosC=，∴sinC=，第13页4.在△ABC中，B=60°，b2=ac,则△ABC形状为______.【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos60°=ac,即a2-2ac+c2=0,∴a=c.又B=60°，∴△ABC为等边三角形.答案:等边三角形第14页5.在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a,b,c,且a=4bsinA,则cosB=_____.【解析】由a=4bsinA可得，2RsinA=4·2RsinB·sinAR为△ABC外接圆半径.∴sinB=，又∵△ABC为锐角三角形.∴cosB=答案:

第15页在△ABC中，设角A、B、C对边长度分别为a、b、c.（1）三角形内角和定理A+B+C=π.(2)三角形中诱导公式sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,第16页(3)三角形中边角关系三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（4）射影定理a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.第17页(5)三个主要结论①A＞B＞C

sinA＞sinB＞sinC.②sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.第18页第19页利用正、余弦定了解三角形【例1】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C对边，试依据以下条件解三角形.(1)B=45°.(2)a、b是方程两个根，且2cos(A+B)=1①求角C；②求AB长.第20页【审题指导】利用已知条件解三角形主要是利用正弦定理与余弦定理，解题时要注意△ABC解情况.同时注意三角形中隐含条件应用.【自主解答】(1)方法一：∵B=45°＜90°且a＞b,∴△ABC有两解.由正弦定理得∴A=60°或A=120°.第21页①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°，②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°，故A=60°，C=75°，或A=120°，C=15°，.第22页方法二：由b2=a2+c2-2accosB得整理得∴或.①当时，由a＜c知A＜C,即A为锐角.这时∴A=60°,从而C=75°.②当时，由c＜b知C＜B=45°,于是A＞90°,这时从而C=15°，故A=60°，C=75°，或A=120°，C=15°，.第23页(2)①∴C=120°.②∵a、b是方程两个根，∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=b2+a2-2abcos120°=b2+a2+ab=(a+b)2-ab==10,∴.第24页【规律方法】应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.同时，已知两边和其中一边对角，解三角形时，注意解情况.如已知a,b,A，则第25页第26页【互动探究】若将本例（2）中2cos(A+B)=1改为c=，求角C.【解析】由题意得，a+b=，ab=2，∴又∵0°＜C＜180°，∴C=120°.第27页【变式训练】在△ABC中，设a,b,c分别是角A，B，C对边，试依据以下已知条件解三角形.（1）a=2,b=,c=+；（2）a=,b=,C=15°.

第28页【解析】(1)由余弦定理推论得cosA==∴A=30°.同理，cosB==∴B=45°，C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°.第29页(2)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.∵c2=a2+b2-2abcosC=(2)2+(2)2-2×2×2×=8-4=(-)2,∴c=-.由正弦定理得sinA=第30页∵a<b,∴A<B.又∵0°<A<180°,∴A必为锐角，∴A=45°，从而得B=120°.第31页利用正、余弦定理判断三角形形状【例2】在△ABC中，若,试判断△ABC形状.【审题指导】三角形形状判断方法是首先边化角或角化边，再整理化简即可判断.第32页【自主解答】方法一：由得，sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.第33页方法二：由已知得，，即∴∴acosA=bcosB，∴∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.第34页【规律方法】判断三角形形状基本思想是：利用正、余弦定理进行边角统一.即将条件化为只含角三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间关系式；或将条件化为只含有边关系式，然后利用常见化简变形得出三边关系.结论普通为特殊三角形.如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外，在变形过程中要注意A、B、C范围对三角函数值影响.第35页【变式训练】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C对边，假如(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形形状.第36页【解析】由已知得a2［sin(A-B)-sin(A+B)］=b2［-sin(A+B)-sin(A-B)］,∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理，得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA.∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,∴sin2A=sin2B,由0＜A+B＜π，得2A=2B或2A=π-2B,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.第37页与三角形面积相关问题【例3】在△ABC中，角A，B，C对边分别为a,b,c，B=,cosA=,（1）求sinC值;（2）求△ABC面积.第38页【审题指导】△ABC中求角三角函数值，主要从已知条件出发利用正弦定理或余弦定理及诱导公式等求解，对于△ABC面积主要是面积公式应用.第39页【自主解答】（1）因为角A，B，C为△ABC内角，且B=,cosA=,所以C=-A,sinA=.于是第40页(2)由（1）知又因为所以在△ABC中，由正弦定理得于是△ABC面积第41页【规律方法】1.利用正弦定理能够实现三角形中边角关系转化；2.除了惯用两边及其夹角正弦值乘积二分之一面积公式外还有①(p是周长二分之一，即,r为内切圆半径）；②(R为外接圆半径).第42页【变式训练】在△ABC中，cosA=,a,b,c分别是角A、B、C对边.（1）求tan2A；（2）若,求△ABC面积.第43页【解析】（1）∵cosA=,A∈(0,π),∴sinA=,∴tanA=,∴（2）由又B∈(0,π),∴sinB=,∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.由正弦定理得∴△ABC面积第44页应用正、余弦定理求解三角形问题【例】有一解三角形题因纸张破损有一个条件不清，详细以下：在△ABC中，已知a=,,________,求角A.经推断破损处条件为三角形一边长度，且答案为A=60°，试将条件补充完整，并写出详细推导过程.第45页【审题指导】本题是探究条件开放性问题，即由结论A=60°探求应填一条边长.首先由正弦定理求出三条边长，再逐一检验哪一个作条件能够推出结论，即综合应用正、余弦定理去求角A.第46页【规范解答】将A=60°看作已知条件，由得cosB=,∴B=45°.由得又C=75°，得sinC=sin(30°+45°)=.第47页由若已知条件为b=，则由∴sinA=60°或120°，不合题意.若已知条件为则b2=a2+c2-2accosB,总而言之，破损处已知条件为第48页【规律方法】1.正弦定理和余弦定理并不是孤立，解题时要依据详细题目合理利用，有时还需要交替使用.2.条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，普通要考虑正弦定理.第49页【变式备选】在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a,b,c,求证：第50页【证实】将代入式子右边，得右边=∴第51页第52页

解三角形中解答题答题技巧【典例】(12分)(·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所正确边分别为a,b,c，已知(1)求sinC值.(2)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c长.【审题指导】本题是三角形中常见题型，从已知条件入手，利用二倍角公式、正弦和余弦定理求解即可.第53页【规范解答】(1)因为及0＜C＜π,所以………4分(2)当a=2,2sinA=sinC时由正弦定理得c=4.……………6分由及0＜C＜π得……………8分由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得解得或,所以或………12分第54页【失分警示】在解答本题时有两点易造成失分：一是利用倍角公式求sinC时不判断C范围造成失分.二是利用公式求cosC时易错解cosC值，得一组解从而造成失分处理三角形中边角问题时以下几点易造成失分：1.对三角形中隐含条件不会或忘记应用.2.求角时忽略角范围.3.应用正、余弦定理时计算失误.第55页【变式训练】（·临沂模拟）在△ABC中，角A、B、C所正确边分别为a，b，c，已知cos2C=,其中C为锐角.（1）求sinC值；（2）当a=2，2sinC=sinA时，求b及c值.第56页【解析】（1）∵cos2C=1-2sin2C=,∴∵0＜C＜,∴sinC=.第57页(2)∵2sinC=sinA,∴sinA=sinC,由正弦定理，解得c=.由sinC=，0＜C＜

得cosC=.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得5=4+b2-,即3b2-8b-3=0又b＞0，解得b=3.故b=3,c=.第58页第59页1.(·湖南高考）在△ABC中，角A，B，C所正确边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则（）（A）a＞b（B）a＜b（C）a=b（D）a与b大小关系不能确定【解析】选A.由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC，又C=120°，∴2a2=a2+b2+ab，∴a2=b2+ab＞b2，∴a＞b.第60页2.(·湖北高考）在△ABC中，a=15,b=10,A=60°,则cosB=（）（A）（B）（C）（D）【解析】选A.由正弦定理得又∵a＞b，∴B＜60°，∴cosB=第61页3.(·北京高考）在△ABC中，若b=1,c=,C=,则a=______.【解析】由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC，∴()2=a2+12-2a·1·cos，∴a2+a-2=0，∴(a+2)(a-1)=0，∴a=1.答案:1第62页4.(·山东高考）在△ABC中，角A，B，C所正确边分别为a,b,c.若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A大小为_____.【解析】由sinB+cosB=，可得sin(B+)=1，∴B=，由正弦定理得，∴A＜B，∴A=.答案:

第63页5.（·广东高考）已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C所正确边，若a=1,b=，A+C=2B,则sinC=_____.【解题提醒】由A+C=2B可求B，由正弦定理求A，再求C，进而求sinC.【解析】由A+C=2B，得B=60°，又∵又A＜B=60°，∴A=30°.∴C=180°-A-B=90°，∴sinC=1.答案：1第64页第65页一、选择题（每小题4分，共20分）1.已知△ABC中，a=c=2,A=30°，则b=()（A）（B）（C）（D）【解析】选B.∵a=c=2,∴A=C=30°,∴B=120°.由余弦定理可得第66页2.(·烟台模拟）在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=∶4∶则△ABC是()（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）不能确定第67页【解析】选C.依据已知sinA∶sinB∶sinC=∶4∶,由正弦定理可得，a∶b∶c=∶4∶，设a=t，b=4t，c=t，由余弦定理可得所以△ABC是钝角三角形，故选C.第68页3.在△ABC中，已知A=60°,为使此三角形只有一个，a满足条件是（）(A)(B)a=6(C)或a=6(D)或a=6【解析】选C.三角形有唯一解时，即由a,b,A只能画唯一一个三角形（如图）.所以a=bsinA或a≥b,即a=6或第69页4.在△ABC中，BC=3,则△ABC周长为（）（A）（B）（C）（D）【解题提醒】BC=3，即a=3，∴，∴把周长a+b+c转化为利用B表示式子再化简即可.第70页【解析】选D.∵BC=3，即a=3,得第71页5.△ABC中，AC=1，B=30°，则△ABC面积等于（）(A)(B)(C)或(D)或【解析】选D.∴C=60°或C=120°.当C=60°时，A=90°，S△ABC=,当C=120°时，A=30°，S△ABC=.即△ABC面积为或.第72页二、填空题(每小题4分，共12分)6.在△ABC中，且△ABC面积S=asinC,则a+c值为________.【解析】由已知得,即acosC+ccosA+a+c=3b.∴sinAcosC+sinCcosA+sinA+sinC=3sinB∴sin(A+C)+sinA+sinC=3sinB.∴sinA+sinC=2sinB.∴a+c=2b,又答案：4第73页7.(·杭州模拟)设f(x)=a2x2-(a2-b2)x-4c2,其中a,b,c分别为△ABC中角A，B，C对边，若f(2)=0,则角C取值范围是________.【解析】由f(2)=0得a2+b2=2c2,又∵0<C<π,∴答案：第74页8.在直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(-1,0),C(1,0),顶点B在椭圆上，则值为_______.【解题提醒】解答本题关键是将所求式子利用正弦定理将角化为边关系式,并借助三角形及椭圆相关知识，求出对应值.【解