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第一章预备知识§1.1三维欧式空间中的标架(一）、相关概念1.向量的定义及表示2.特殊向量

1）单位向量；零向量；反向量.2）相等向量.一、向量代数复习3）自由向量；径向向量.3.向量的分量：取定坐标系下，点(一）、相关概念4.Einstein求和约定：

凡上下标以相同字母为指标的项，均表示求和项.如一、向量代数复习性质：哑指标字母可换.(二）、向量的运算1.线性运算：加法：三角形（多边形）法则.三角不等式.数乘.2.向量运算：一、向量代数复习1）两个向量：点（数量）积：几何意义；基本性质.叉（向量）积：几何意义；基本性质.(二）、向量的运算2.向量运算：一、向量代数复习1）两个向量：点积、叉积.混合积：几何意义.二重向量积：2）多个向量：Lagrange恒等式：共面.坐标算法特例(一）、标架1.仿射标架：二、标架与正交标架流形笛卡尔直角坐标系.坐标.2.标架的定向：3维：右手系、左手系；高维：行列式的正负.3.正交标架：右手、单位、正交标架4.正交标架下向量运算公式，两点间距离公式.5.三种空间：三维向量空间、欧式向量空间、欧式空间与(二）、正交标架流形1.正交矩阵：二、标架与正交标架流形满足或的实方阵.1）定义：若为正交阵，则2）性质：●可逆，也为正交阵；●●

的各行（或列）为两两正交的单位向量；●●●也为正交阵.3）记号：(二）、正交标架流形二、标架与正交标架流形2.标架流形：.取定(1.6)（1.6）和三个基向量的分量唯一确定：则任一标架被

点坐标其中其中可以随意取定，而应满足（1.7）过渡阵(二）、正交标架流形二、标架与正交标架流形2.标架流形：.(1.6){正交标架}1）正交标架：{幺正标架}2）幺正标架：{仿射标架}3）仿射标架：6维流形(三）、正交坐标变换二、标架与正交标架流形.(1.6)空间任一点在两个正交标架和

中的坐标（1.10）和

则

分别为即

(一）、合同（保长、等距、欧式）变换三、合同变换与刚体运动.(1.6)定理1.11.定义：如果是一一对应，且对任意

有则称是

的合同（等距、保长或欧氏）变换．2.表示（判定）使得证明：参见彭家贵、陈卿《微分几何》PP.10-12.设是

的合同变换存在以及(一）、合同（保距、等距、欧式）变换三、合同变换与刚体运动.(1.6)3.分解：平移、旋转、镜面反射或它们的复合．刚体运动的分解：平移、旋转或它们的复合．(二）、刚体运动4.合同变换群：欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫等距（合同、欧式）变换群．当合同变换矩阵的行列式为1时，称该变换为中的一个刚体运动；当合

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