高中数学组卷立体几何每天一题一练

高中数学组卷【立体几何每天一题一练】一．解答题（共30小题）1．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，F是AB的中点．以AE为折痕将△ADE向上折起，使面DAE⊥面ABCE．（1）求证：OF∥面BDE；（2）求证：AD⊥面BDE．2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN∥平面AB1M3．如图，已知ABCD是矩形，E是以CD为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD，求证：CE⊥平面ADE．（第1题图）（第2题图）（第3题图）4．如图，三棱锥V﹣ABC中，AB=AC=VB=VC=，BC=2，VA=．（1）求证：面VBC⊥面ABC；（2）求直线VC与平面ABC所成角的余弦值．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离．6．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，M，N分别是棱CC1（Ⅰ）求证：平面MCN⊥平面ABB1A1（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1．（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）7．如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）求证：平面BMD⊥平面PAC；（III）若PA=AC=，BD=2，求三棱锥M﹣ABD的体积．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AD=2，AA1=1，E为BB1（1）求证：B1D∥平面AEC；（2）求证：AC⊥B1D；（3）求三棱锥E﹣ACD的体积．9．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（1）证明：AM⊥PM；（2）求三棱锥P﹣ADM的体积．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知：PA=2，AB=2，．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与BC所成的角的大小．（第8题图）（第9题图）（第10题图）（第11题图）11．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．（1）求证：A′D⊥EF．（2）求三棱锥D﹣A′EF的体积．12．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平行于BC的平面MNPQ分别交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四点，且MN=PQ．（1）求证：四边形MNPQ为平行四边形；（2）试在直线AC上找一点F，使得MF⊥AD．13．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE．（2）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．14．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱锥B﹣A1B1D的体积．（第12题图）（第13题图）（第14题图）（第15题图）15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中点，F是A1（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：AF⊥平面BDF．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1=2，∠BAC=90°，点D是棱B1C（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，点E为线段PB的中点，点M在AB弧上，且OM∥AC．（1）求证：平面MOE∥平面PAC；（2）求证：BC⊥平面PAC；（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．18．已知四棱锥P﹣ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）求此四棱锥的体积；（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，求四边形ABFE的面积．（第16题图）（第17题图）（第18题图）19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C120．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB=AC=2PA=2，，AD∥BC，∠BAD=150°．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）求VP﹣ABC．21．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB=AD．平面MAD⊥平面ABCD，∠BAD=，G、H分别是AM、AD的中点。求证：（1）直线GH∥平面MCD；（2）平面BGH⊥平面MAD．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中点，且PA=BC=AD．（1）求证：CE∥平面PAB（2）求证：CD⊥平面PAC（3）若PA=1，求三棱锥C﹣PAD的体积．（第19题图）（第20题图）（第21题图）（第22题图）23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面PDC⊥底面ABCD，O为底面正方形ABCD的中心，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PCD；（Ⅱ）当PD=PC=1时，证明：CP⊥平面PAD．24．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．25．如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．26．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC．（第23题图）（第24题图）（第25题图）（第26题图）27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1（1）求证：AC⊥平面D1DB；（2）BD1∥平面ABC．28．如图，三棱锥D﹣ABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点，异面直线AD与BE所成角为θ．（1）求证：AC⊥平面DBE；（2）若，求三棱锥D﹣ABC的体积．29．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，点D在BC上，AD⊥C1①求证：AD⊥平面BCC1B1；②求证：A1B∥平面ADC1．30．如图，ABCD是边长为2的正方形，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDF；（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅲ）求几何体EFABCD的体积．（第27题图）（第28题图）（第29题图）（第30题图）

高中数学组卷【立体几何每天一题一练】参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，F是AB的中点．以AE为折痕将△ADE向上折起，使面DAE⊥面ABCE．（1）求证：OF∥面BDE；（2）求证：AD⊥面BDE．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）根据O为AE的中点，F是AB的中点则OF∥BE，BE⊆面BDE，OF不属于面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知OF∥面BDE；（2）根据面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE，则BE⊥面ADE，而AD⊆面ADE，则BE⊥AD，AD⊥DE，且DE∩BE=E，满足直线与平面垂直的判定定理，则AD⊥面BDE．解答：证明：（1）O为AE的中点，F是AB的中点，OF∥BEBE⊆面BDE，OF不属于面BDE，∴OF∥面BDE（2）面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE∴BE⊥面ADE，AD⊆面ADE∴BE⊥ADAD⊥DE，且DE∩BE=E，∴AD⊥面BDE点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，线面平行常常找线线平行或面面平行进行证明，属于中档题．2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN∥平面AB1M考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥BC．由已知AC=BC=2，，利用勾股定理的逆定理知BC⊥AC．利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明结论；（II）过N作NP∥BB1交AB1于P，连接MP，则NP∥CC1，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理与性质定理即可得到CN∥MP，再利用线面平行的判定定理即可证明．解答：证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1所以CC1⊥BC．因为AC=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1因为AM⊂平面ACC1A1所以BC⊥AM．（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连接MP，则NP∥CC1．因为M，N分别为CC1，AB中点，所以，．因为BB1=CC1，所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．所以CN∥MP．因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1所以CN∥平面AB1M点评：本题综合考查了直三棱柱的性质、线面平行于垂直的判定和性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理等基础知识与方法，需要较强的推理能力和空间想象能力．3．如图，已知ABCD是矩形，E是以CD为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD，求证：CE⊥平面ADE．考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：要证明CE⊥平面ADE，需要证明CE垂直于该平面内的两条相交直线，或者使用面面垂直的性质，本题的条件是平面CDE⊥平面ABCD，而E是以CD为直径的半圆周上一点，能够得到CE⊥DE，由面面垂直的性质即可证明．解答：证明：平面ABCD⊥平面CDE，ABCD为矩形，所以AD⊥平面CDE，因为点E在直径为CD的半圆上，所以CE⊥ED，所以CE⊥平面ADE．点评：本题考查线面垂直的证明，证明直线垂直于平面有两种常用方法：判定定理或者使用面面垂直的性质定理，要根据题目中给定的条件恰当选择．4．如图，三棱锥V﹣ABC中，AB=AC=VB=VC=，BC=2，VA=．（1）求证：面VBC⊥面ABC；（2）求直线VC与平面ABC所成角的余弦值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．分析：（1）取BC的中点D，连接VD、AD，说明∠VDA为二面角面VBC与面ABC的平面角，证明∠VDA=90°．即可证明面VBC⊥面ABC．（2）由（1）得VD⊥平面ABC，说明∠VCD为线VC与平面ABC所成的角，在Rt△VCD中，求出cos∠VCD，得到直线VC与平面ABC所成角的余弦值．解答：解：（1）证明：取BC的中点D，连接VD、AD，由已知得，△VBC为等腰三角形，BD=BC=1，∴有VD⊥BC，VD==2，同理可得AD⊥BC，AD=2，∴∠VDA为二面角面VBC与面ABC的平面角，又△VAD中，AD=VD=2，VA=2．∴∠VDA=90°．∴面VBC⊥面ABC．（2）由（1）得VD⊥平面ABC，∴CD为斜线VC在平面ABC上的射影，∠VCD为线VC与平面ABC所成的角，Rt△VCD中，VC=，CD=BC=1，∴cos∠VCD==．∴直线VC与平面ABC所成角的余弦值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明方法，考查直线与平面所成角，考查空间想象能力．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：证明题．分析：（1）由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，根据面面垂直的性质定理可得BC⊥侧面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得到侧面PAB⊥侧面PBC；（2）取AB中点E，连接PE、CE，根据（1）的结论和等腰三角形性质，可得∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角，解三角形PCE即可求出侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）取CD中点F，连EF、PF，可得EG⊥平面PCD，解△PEF求了EG的长，即可求出直线AB与平面PCD的距离．解答：证明：（1）在矩形ABCD中，BC⊥AB又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB∴BC⊥侧面PAB又∵BC⊂侧面PBC∴侧面PAB⊥侧面PBC；解：（2）取AB中点E，连接PE、CE又∵△PAB是等边三角形∴PE⊥AB又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求（3）在矩形ABCD中，AB∥CD∵CD⊂侧面PCD，AB⊄侧面PCD，∴AB∥侧面PCD取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB又∵PE⊥AB∴AB⊥平面PEF又∵AB∥CD∴CD⊥平面PEF∴平面PCD⊥平面PEF作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD在Rt△PEF中，EG=为所求．点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，线面距离；（1）的关键是熟练掌握面面垂直的判定及性质，（2）的关键是求出线面夹角的平面角，（3）是找到直线与平面的公垂线段．6．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，M，N分别是棱CC1（Ⅰ）求证：平面MCN⊥平面ABB1A1（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（I）在△ABC中，由“三线合一”可证出AB⊥CN，再根据直三棱柱的性质结合线面垂直的定义，可得AA1⊥CN，从而得到CN⊥平面ABB1A1，结合面面垂直的判定定理，可证出平面MCN⊥平面ABB1A（II）取AB1中点G，连接GM、GN．利用三角形中位线定理，结合平行四边形BCC1B1中，CM∥BB1且CM=BB1，从而得到四边形CMGN是平行四边形，所以GM∥CN，最后用线面平行的判定定理，即可证出CN∥平面AMB1．解答：解：（I）∵AA1⊥平面ABC，CN⊆平面ABC，∴AA1⊥CN∵△ABC中，AC=BC，N为AB的中点，∴AB⊥CN∵AA1、AB是平面ABB1A1∴CN⊥平面ABB1A∵CN⊆平面MCN，∴平面MCN⊥平面ABB1A1（Ⅱ）取AB1中点G，连接GM、GN∵△AB1B中，G、N分别是AB1、AB的中点∴GN∥BB1，且GN=BB1，又∵平行四边形BCC1B1中，M为CC1中点∴CM∥BB1，且CM=BB1，∴GN∥CM且GN=CM，可得四边形CMGN是平行四边形∴GM∥CN∵GM⊆平面AMB1，CN⊈平面AMB1∴CN∥平面AMB1．点评：本题以底面为等腰三角形的直三棱柱，求证面面垂直并且证明线面平行，着重考查了线面垂直、面面垂直和判定与性质和线面平行的判定定理等知识，属于基础题．7．如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）求证：平面BMD⊥平面PAC；（III）若PA=AC=，BD=2，求三棱锥M﹣ABD的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）欲证PC∥平面MBD，根据线面平行的判定定理可知只需在平面QBD内找一直线与之平行，设AC∩BD=O，连OM，易证OM∥PC；（II）欲证平面MBD⊥平面PAC，根据线面垂直的判定定理可知只需证BD⊥平面PAC，而易证BD⊥AC与PA⊥BD．解答：解：（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连接OM．因为ABCD是菱形，则O为AC中点．又M为PA的中点，所以OM∥PC因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM．（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD．所以BD⊥平面PAC．∴平面BMD⊥平面PAC．（III）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S△ABD=×=．∵PA⊥平面ABCD，∴MA为三棱锥M﹣ABD的高，MA=，∴三棱锥M﹣ABD的体积V==．点评：本题考查了线面平行的证明，考查了面面垂直的证明，求三棱锥的体积，考查了空间想象能力与推理论证能力．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AD=2，AA1=1，E为BB1（1）求证：B1D∥平面AEC；（2）求证：AC⊥B1D；（3）求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质证明线线平行，再利用线面平行的判定，可证B1D∥平面AEC；（2）利用线面垂直的判定证明AC⊥平面BB1D，进而可得AC⊥B1D；（3）求三棱锥E﹣ACD的体积，即求三棱锥E﹣ACB的体积，利用体积公式可得结论．解答：（1）证明：连接BD，交AC于O，连接OE，则∵E为BB1的中点，O为BD的中点∴B1D∥OE∵B1D⊄平面AEC，OE⊂平面AEC∴B1D∥平面AEC；（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AD=2，∴AC⊥B1∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC∵BB1∩B1D=B1，∴AC⊥平面BB1D∴AC⊥B1D；（3）求三棱锥E﹣ACD的体积，即求三棱锥E﹣ACB的体积，∵AB=AD=2，AA1=1，E为BB1的中点∴三棱锥E﹣ACB的体积==∴三棱锥E﹣ACD的体积为．点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查三棱锥体积的计算，掌握线面平行、垂直的判定与性质是关键．9．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（1）证明：AM⊥PM；（2）求三棱锥P﹣ADM的体积．考点：直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．利用面面垂直性质定理，结合△PCD为正三角形证出PE⊥平面ABCD，从而得出AM⊥PE．利用题中数据，在矩形ABCD中证出EM2+AM2=AE2，可得AM⊥EM，最后根据线面垂直判定定理证出AM⊥平面PEM，得到即可AM⊥PM；（2）算出三角形ADM的面积，结合PE=是三棱锥P﹣ADM的高线，利用锥体的体积公式即可算出三棱锥P﹣ADM的体积．解答：解：（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．∵△PCD为正三角形，E为CD中点，∴PE⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PE⊥平面ABCD∵AM⊂平面ABCD，∴AM⊥PE∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形由勾股定理求得：EM=，AM=，AE=3∴EM2+AM2=AE2，可得AM⊥EM又∵PE、EM是平面PEM内的相交直线，∴AM⊥平面PEM∵PM⊂平面PEM，∴AM⊥PM（2）∵正△PCD中，边长为2，∴PE=CD=，∵矩形ABCD中，AD=2，CD=2∴S△ADM=S矩形ABCD=×=2∵PE⊥平面ABCD，得PE是三棱锥P﹣ADM的高∴三棱锥P﹣ADM的体积V=S△ADM×PE=×2×=点评：本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求锥体的体积．着重考查了面面垂直性质定理、线面垂直的判定与性质和锥体体积求法等知识，属于中档题．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知：PA=2，AB=2，．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与BC所成的角的大小．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD；（2）取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．解答：（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD．（2）解：如图，取PB中点F，连结EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由，，连结AC，因为PC=4，在Rt△PAC中，AE=PC=2，所以EF2+AF2=AE2，所以△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．因此，异面直线AE与BC所成的角的大小是45°．点评：本题考查异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．11．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．（1）求证：A′D⊥EF．（2）求三棱锥D﹣A′EF的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）可得A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，可判A′D⊥平面A′EF，可得结论；（2）可得A′F=A′E=1，EF=，由勾股定理可得A′E⊥A′F，易得△A′EF的面积，又A′D是三棱锥D﹣A′EF的底面A′EF上的高线，代入体积公式可得．解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，∴A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F⊆平面A′EF．∴A′D⊥平面A′EF．又∵EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF．（2）∵A′F=A′E=1，EF=∴A′F2+A′E2=2=EF2，可得A′E⊥A′F，∴△A′EF的面积为=，∵A′D⊥平面A′EF．∴A′D是三棱锥D﹣A′EF的底面A′EF上的高线，故三棱锥A1﹣DEF的体积为：V=××2=点评：本题考查线面垂直的判定，涉及棱锥的体积的求解和三角形的面积公式，属中档题．12．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平行于BC的平面MNPQ分别交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四点，且MN=PQ．（1）求证：四边形MNPQ为平行四边形；（2）试在直线AC上找一点F，使得MF⊥AD．考点：直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由线面平行的性质得线线平行，进一步利用平行公理得线线平行，再由已知MN=PQ证得结论；（2）先找一个过M且与AD垂直的面，面与AC的交点即为要找的F点．解答：（1）证明：如图，由已知BC∥平面MNPQ，BC⊂面ABC，面MNPQ∩面ABC=MN，由线面平行的性质得，BC∥MN，又BC∥平面MNPQ，BC⊂面BCD，面MNPQ∩面BCD=PQ，由线面平行的性质得，BC∥PQ，∴MN∥PQ，又由已知MN=PQ，∴四边形MNPQ为平行四边形；（2）在面ABD中，过M作ME⊥AD，交AD于E，在面ACD中过E作EF⊥AD，交AC于F．∵ME⊥AD，EF⊥AD，ME∩EF=E，∴AD⊥面MEF，∴MF⊥AD．则AC上的点F为所求．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了空间直线与直线的位置关系，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．13．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE．（2）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC、AC交BD于O．连接EO，因底面ABCD是正方形则点O是AC的中点，根据EO是中位线则PA∥EO，而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，根据线面平行的判定定理可知PA∥平面EDB；（2）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，假设存在点F，则直线PB所在的向量与平面DEF的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况．解答：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0+2﹣2=0，∴PB⊥DE．假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设=λ（0＜λ＜1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），=+=（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴λ=∈（0，1），此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．点评：本题考查直线与平面平行、考查空间想象能力和推理论证能力，考查向量知识的运用，属于中档题．14．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱锥B﹣A1B1D的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取BC中点E，连接B1E，证明BD⊥平面AEB1，得BD⊥AB1，由直线与平面垂直的判定定理，可得所证结论．（2）连接B1D，则三棱锥B﹣A1B1D的体积可以通过求三棱锥A1﹣B1DB的体积得到．解答：（1）证明：由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等可知：AB1⊥A1如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE∴∠BB1E=∠CBD∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°∴BD⊥B1E由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1∴AE⊥BD∵B1E⊂平面AEB1，AE⊂平面AEB1，AE∩B1E=E∴BD⊥平面AEB1∴BD⊥AB1∵A1B⊂平面A1BD，BD⊂平面A1BD，A1B∩BD=B∴AB1⊥平面A1BD（2）解：连接B1D，由AA1∥平面BCC1B1所以点A1到平面BCC1B1的距离，等于AE==2∴==故三棱锥B﹣A1B1D的体积为．点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理、几何体体积的求法，解题过程中要注意各种位置关系的相互转化以及数量关系的求解．15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中点，F是A1（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：AF⊥平面BDF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取AB中点E，连接CE，证明EFDC是平行四边形，可得DF∥CE，利用线面平行的判定可得结论；（2）根据CE⊥平面A1AB和直线与平面垂直度的性质可知CE⊥AF，进而根据DF∥CE，判断出AF⊥DF，同时AF⊥A1B根据直线与平面垂直的判定定理可知AF⊥平面A1BD．解答：证明：（1）取AB的中点E，连接EF，CE，因为F是A1B的中点，所以EF是△A1AB的中位线，所以，且EF∥AA1，又因为D是CC1的中点，所以EF∥CD，且EF=CD，所以四边形CDFE是平行四边形，所以DF∥CE，又CE⊂平面ABC，DF⊄平面ABC所以DF∥平面ABC（2）因为AB=AA1且F是A1B的中点，所以AF⊥A1B，又因为CE⊥平面A1AB，且DF∥CE，所以DF⊥平面A1AB，∵AF⊂平面A1AB，所以AF⊥DF，又A1B∩DF=F，所以AF⊥平面BDF．点评：本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1=2，∠BAC=90°，点D是棱B1C（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C（Ⅱ）求三棱锥B1﹣ADC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用等积变形即可求出．解答：证明：（Ⅰ）∵A1B1=A1C1，点D是棱B1C∴A1D⊥B1C1由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得BB1⊥B1∵BB1∩B1C1=B1∴A1D⊥平面BB1C（Ⅱ）∵A1B1=A1C1=2，∠B1A∴．∵点D是棱B1C1的中点，∴．∵A1A∥平面BB1C1C，∴点A与A∴===．点评：熟练掌握线面垂直的判定定理和三棱锥的体积计算公式及等积变形是解题的关键．17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，点E为线段PB的中点，点M在AB弧上，且OM∥AC．（1）求证：平面MOE∥平面PAC；（2）求证：BC⊥平面PAC；（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；（2）利用线线垂直证明线面垂直；（3）由（2）知BC⊥面PAC，可得∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC、PB的值可得结论．解答：（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA…（1分）因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．…（2分）因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．…（3分）因为OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC…（5分）（2）证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．…（7分）因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC；…（9分）（3）解：由（2）知BC⊥面PAC，∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．…（10分）在Rt△PAC中，，在Rt△ABC中，，在Rt△PBC中，…（12分）∴．∴直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为…（14分）点评：本题考查面面平行，考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面平行、线面垂直的判定方法，属于中档题．18．已知四棱锥P﹣ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）求此四棱锥的体积；（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，求四边形ABFE的面积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由三视图可得四棱锥的底面为边长等于2的正方形，且PA垂直于底面ABCD，PA=2．由此求得四棱锥的体积•SABCD•PA的值．（2）先证明CD⊥平面PAD，故有CD⊥AE．再由AE是等腰直角三角形PAD的底边的中线可得AE⊥PD，再根据直线和平面垂直的判定定理可得AE⊥平面PCD．（3）在（2）的条件下，EF平行且等于CD，ABEF为直角梯形，AE=PD=，由此求得四边形ABFE的面积的值．解答：解：（1）由三视图可得四棱锥的底面为边长等于2的正方形，且PA垂直于底面ABCD，PA=2．故此四棱锥的体积为•SABCD•PA=×（2×2）×2=．（2）由于PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．在正方形ABCD中，由于AD⊥CD，而且PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，再由AE在平面PAD内，故有CD⊥AE．由于AE是等腰直角三角形PAD的底边的中线，故有AE⊥PD．而CD和PD是平面PCD内的两条相交直线，故有AE⊥平面PCD．（3）在（2）的条件下，由AE⊥平面PCD，EF⊂平面PCD，可得AE⊥EF．由于EF为三角形PCD的中位线，可得EF平行且等于CD，故ABEF为直角梯形，AE=PD=，故四边形ABFE的面积为==．点评：本题主要考查三视图、直线和平面垂直的判定定理的应用，求椎体的体积，属于中档题．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1解答：解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1∴EF是三角形AA1C1∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC⊥B1C1∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1∴BE⊥平面AB1C点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．20．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB=AC=2PA=2，，AD∥BC，∠BAD=150°．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）求VP﹣ABC．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面垂直的判定定理证明．（2）利用锥体的体积公式求体积．解答：解：（1）证明：因为PA=1，AC=2，所以PC2=PA2+AC2．所以PA⊥AC又因为PA⊥AD，且AD∩AC=A所以PA⊥平面ABCD…（6分）（2）取BC中点E，连结AE．由（1）PA⊥平面ABCD所以．因为∠BAD=150°，AD∥BC，所以∠ABC=30°．又因为AB=AC=2，所以．所以…（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定定理的应用，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．熟练掌握锥体的体积公式．21．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB=AD．平面MAD⊥平面ABCD，∠BAD=，G、H分别是AM、AD的中点求证：（1）直线GH∥平面MCD；（2）平面BGH⊥平面MAD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）利用面面垂直的判定定理即可证明．解答：证明：（1）∵G、H分别是AM、AD的中点，∴GH∥MD，又∵GH⊄平面MCD，MD⊂平面MCD，∴GH∥平面MCD．（2）不妨设AB=2．在三角形ABH中，由余弦定理可得=3，∴，∴AH2+BH2=AB2=4，∴，∴BH⊥AD．∵平面MAD⊥平面ABCD，∴BH⊥平面MAD，∵BH⊂平面BGH，∴平面BGH⊥平面MAD．点评：熟练掌握线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中点，且PA=BC=AD．（1）求证：CE∥平面PAB（2）求证：CD⊥平面PAC（3）若PA=1，求三棱锥C﹣PAD的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）取PA的中点F，连接EF，BF，证明，说明四边形EFBC是平行四边形，利用CE∥FB，证明CE∥平面PAB．（2）设PA=1．求出AD=2．推出PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．然后证明CD⊥面PAC．（3）若PA=1，求三棱锥C﹣PAD的体积．解答：解：（1）取PA的中点F，连接EF，BF，=∵PF=FA，PE=ED，∴∴，∴四边形EFBC是平行四边形∴CE∥FB∵CE⊄平面PAB，FB⊂平面PAB∴CE∥平面PAB（2）设PA=1．由题意PA=BC=1，AD=2．…（2分）∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．∴AB=1，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=．由勾股定理逆定理得AC⊥CD．…（3分）又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，…（5分）（3）由（2）可知，PA⊥面ABCD，∴三棱锥C﹣PAD的体积就是P﹣ACD的体积，PA=1．由题意PA=BC=1，AD=2，PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．∴AB=1S△ACD==1，VC﹣PAD==．点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定与证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面PDC⊥底面ABCD，O为底面正方形ABCD的中心，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PCD；（Ⅱ）当PD=PC=1时，证明：CP⊥平面PAD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）连接AC，则OM是三角形ACP的中位线，故有MO∥PC，从而证得OM∥平面PCD．（Ⅱ）由面面垂直的性质可得AD⊥PC，由勾股定理可得PD⊥PC，CP⊥平面PAD．解答：解：（Ⅰ）连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC中点．又∵M为PA的中点，∴MO∥PC，又∵PC⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，∴OM∥平面PCD．（Ⅱ）∵侧面PDC⊥底面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC．又∵，∴PD⊥PC，且AD∩PD=D，∴CP⊥平面PAD．点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，证明PD⊥PC是解题的关键．24．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）设AC∩BD=H，连接EH，由平行四边形的性质结合题意证出MH为△PAC中位线，从而得到MH∥PA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA∥平面MBD．（2）由线面垂直的定义证出PD⊥AD，结合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根据PD⊥BD且PD、AD是平面PAD内的相交直线，可得BD⊥平面PAD．解答：解：（1）设AC∩BD=H，连接EH，∵H为平行四边形ABCD对角线的交点，∴H为AC中点，又∵M为PC中点，∴MH为△PAC中位线，可得MH∥PA，MH⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，∴AD⊥平面PDB，结合BD⊂平面PDB，得AD⊥BD∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD内的相交直线∴BD⊥平面PAD．点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面平行和线面垂直，着重考查了空间的平行、垂直位置关系的判定与证明的知识，属于中档题．25．如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据DE=，可得D为AB的中点，然后利用线面垂直的判定定理，证明CD⊥AB，即可证明CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积．解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=2，∵E为BB1的中点，∴BE=1，又DE=，∴BD=，即D为AB的中点，∴CD⊥AB．又AA1⊥CD，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面A1ABB1．（Ⅱ）∵CD⊥平面A1ABB1，∴CD是三棱锥C﹣A1DE的高，且CD=．，，∴=4=．又=．∴三棱锥A1﹣CDE的体积为．点评：本题主要考查线面垂直的判断，以及三棱锥的体积的计算，利用等积法将三棱锥转化为规则的三棱锥是解决本题关键．26．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题．分析：由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面PAB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．解答：证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD又∵BC∥AD∴PA⊥BC又由AB⊥BC，PA∩AB=A∴BC⊥平面PAB又AE⊂平面PAB∴BC⊥AE又由AE⊥PB，BC∩PB=B∴AE⊥平面PBC又∵PC⊂平面PBC∴PC⊥AE点评：本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握正方形的几何特征及线面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键．27．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1（1）求证：AC⊥平面D1DB；（2）BD1∥平面ABC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）正方形ABCD中，可得BD⊥AC，由D1D⊥平面ABCD证出D1D⊥AC，再利用线面垂直的判定定理，即可证出AC⊥平面D1DB．（II）设O为底面ABCD的对角线的交点，连结OE，可得OE是△D1DB的中位线，得OE∥BD1．利用线面平行的判定定理即可证出BD1∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴D1D⊥AC，∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面D1DB．（Ⅱ）设O为底面ABCD的对角线的交点，连结OE∵O、E分别是BD、DD1的中点，∴OE是△D1DB的中位线，∴OE∥BD1．∵BD1⊄平面AEC，DE⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC．点评：本题在正方体中证明线面垂直和线面平行，着重考查了正方体的性质和空间线面垂直、平行位置关系的判定与证明等知