河北省保定市数学高考2024-2025学年试卷与参考答案

2024-2025学年河北省保定市数学高考试卷与参考答案一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知全集U=R，设集合A={x|x^2-x-6≤0}，B={x|x-1<0}，则A∪(∁UB)=()A.{x|1≤x≤3}B.{x|-2≤x<1}C.{x|x≥-2}D.{x|x≤3}答案：C解析：首先确定集合A的范围。由不等式x2−x−6≤0，我们可以进行因式分解得到x−接着确定集合B的范围。由不等式x−1<0，我们可以直接得到x的取值范围为x求集合B的补集∁UB。在全集U（实数集R）中，不属于B的元素构成的集合即为B的补集。由于B包含所有小于1的实数，所以B的补集包含所有大于或等于1的实数。即最后求集合A与集合B的补集的并集A∪∁UB。由于集合A包含−2≤x故选：C。2、已知i是虚数单位，z是复数，若z=i(1+i)，则复数z的虚部为（）。A.iB.-iC.1D.-1答案：C解析：根据复数的乘法运算法则，当两个复数相乘时，可以按照分配律进行展开。给定z=i1z=i×1+i×i故选C。3、已知集合A={x|5≤x<10}，B={x|2<x≤7}，则A∩B=（）A.{x|2<x<10}B.{x|5≤x≤7}C.{x|7<x<10}D.{x|2<x≤5}答案：B解析：首先明确集合A和B的定义：集合A：A=集合B：B=找出集合A和B的交集：交集A∩由于集合A的左端点是5（包括），集合B的右端点是7（包括），因此交集的左端点是两个集合中较大的左端点，即5；交集的右端点是两个集合中较小的右端点，即7。因此，A∩对照选项，选出正确答案：A选项：{xB选项：{xC选项：{xD选项：{x因此，正确答案是B。4、已知集合A={x|y=ln(x-1)}，B={y|y=x^2,x∈ℝ}，则A∩B=（）A.{x|x>1}B.{x|x≥0}C.{x|x>0}D.∅答案：A解析：首先确定集合A的元素范围。由于A定义为A={x|y=lnx−接着确定集合B的元素范围。集合B定义为B={y|y最后求集合A和B的交集。由于集合A是x>1的所有实数，而集合B（从x的角度看）是全体实数，所以它们的交集就是A本身，即注意：虽然在实际操作中我们不需要将B的定义转换为x的范围来求解这个问题（因为交集总是由限制更严格的集合决定），但在这里我解释了为什么可以这样看待B集合，以便更清晰地理解题目和答案。5、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S7=49，则数列{an}的公差d=()A.1B.2C.3D.4答案：B解析：等差数列的前n项和公式为：Sn=n22a根据题意，我们有：a3=a1从(1)式，我们可以得到：a1将(3)式代入(2)式，我们得到：7225−2d+故答案为：B.2。6、已知椭圆x2a2+y2b2=1a>A.13B.12C.2根据椭圆的性质，其两焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数，且等于椭圆的长轴长，即2a已知F1F2=2又因为△PF1F2的周长为6代入c=1，得到2a椭圆的离心率定义为e=代入a=2和c=故答案为：B.127、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)的最小正周期为π，且f(x)的图象关于点(π/6,0)对称，则f(x)的一个单调递减区间是()A.[π/6,2π/3]B.[π/3,5π/6]C.[π/12,7π/12]D.[5π/6,4π/3]答案：D解析：根据正弦函数的周期性，有T=2πω。由题意知因此，函数可以表示为fx接下来，利用正弦函数的对称性。由于fx的图象关于点π6,0对称，根据正弦函数的性质，有解这个方程，得到φ=kπ−π3。由于0≤因此，函数最终表示为fx接下来，我们需要找出这个函数的一个单调递减区间。正弦函数在π2+2kπ≤θ≤3解这个不等式组，得到π12+k当k=0时，我们得到一个单调递减区间π12,7π12，但这个区间不是选项中的任何一个。然而，当注意：虽然原始答案中直接给出了k=1的情况，但在这里我为了完整性，先给出了k=8、已知复数z满足(1-i)z=2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_______．答案：2解析：首先，我们需要求出复数z的值。根据题目给出的条件，我们有

1−iz=2+4i为了求出z，我们需要对等式两边同时除以复数1−i。但在复数除法中，我们通常乘以分母的共轭复数来消除分母中的虚数部分。因此，我们乘以1+i1+i（即1−i的共轭复数），得到

z=2+4i1−i×1+故答案为：25二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点P，有PF题目给出PF1=2PF2又因为△PF1F2的面积为33，且该三角形的底为F1F2根据三角形面积公式，有12×2由于PF12=PF22+化简得a2=3又因为b2=a2−已知ch=33和c2a2所以椭圆C的方程为x212+故选：C。2、已知函数fx=sinA.fx的图象关于直线xB.fx在区间[C.由y=sin2x的图象向右平移D.函数fx的最小正周期为答案：D解析：A.对于函数fx=sin2x+π6，当x=π3B.对于正弦函数，其在每个周期内的增区间为−π2+2kπ,π2+2kπ（kC.函数y=sin2x向右平移π12D.对于函数fx=sin2x3、已知函数f(x)={

x^2+2x,x≤0

(1/2)^x,x>0

}

若f(a)>1，则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,1)C.(-2,+∞)D.(-1,+∞)答案：B解析：函数fx当x≤0时，fx=x2这是一个一元二次不等式，解得x<−1但由于x≤0的限制，所以解集为但考虑到x=−1当x>0时，fx=由于12是一个小于1的正数，所以指数函数12x因此，不等式12x>综合以上两部分，实数a的取值范围是−∞故选：B。三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、已知fx={2x−1由于52>1f52=log25由于0<log232<1flog2322、已知fx={2x−1由于73>1f73=log27由于0<log243flog243flog2433、已知函数f(x)={

x^2-2x-3,x≤0

log₃(x+1),x>0

}

，若方程f(x)=m有三个不相等的实数根a，b，c，则a+b+c的取值范围是_______．

本题主要考察函数零点与方程根的关系，以及对数函数和二次函数的性质。首先，我们观察函数fx当x≤0时，fx=x当x>0时，fx接下来，我们分析方程fx由于fx在x≤0时是一个二次函数，而在x>0时是一个对数函数，且两者在x=0两个根在x≤0的区间内，一个根在由于二次函数部分fx=x2−2x同时，由于对数函数部分fx=log3x+1注意，当m=因此，我们得到a,b是方程x2−2x−3−最后，我们求a+由于a+b=2，c=所以，a+又因为c可以取到任意大的正数（当m趋近于正无穷时），所以a+综上，a+b+故答案为：−2四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题题目：记△ABC的内角A,B,C求角B的大小；若△ABC的面积为3答案：(1)B(2)c解析：已知sinC=2sinB又因为a2=b2+c2接下来利用余弦定理求B，余弦定理为cosB=a2+c2因为B∈0,已知△ABC的面积为3代入B=π3，a=b，c因为b>0，所以又因为c=2b，所以c=26。但这里与原始答案不符，原始答案可能基于不同的a,b,c关系得出第二题题目：已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b若c=1，求若D为BC边上一点，且△ADB的面积为8，角B为锐角，DB答案：(1)3(2)13解析：已知fx=sin2x由于x=C2是对称轴，故C又因为C∈0,已知fx的零点为2x−π6=k已知c=1，由余弦定理得c2化简得a2应用基本不等式a2+b2≥三角形面积S△已知△ADB的面积为8，且DB=4，AB=5利用勾股定理，在△ADB在△ADC中，已知C+AD2=AC化简得x2解得x=1±302。由于x故AC第三题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=4an-4，数列{bn}满足bn=an，bn+1-bn=an（n∈N）。求数列{an}和{bn}的通项公式；设cn=bn/(2an)，且数列{cn}的前n项和为Tn，若k>Tn对一切n∈N恒成立，求实数k的最小值。答案：数列{an}的通项公式：an=2^n数列{bn}的通项公式：bn=2^(n+1)-2k的最小值为1解析：对于数列{an}：已知2Sn=4an-4，当n=1时，代入得2S1=4a1-4，解得a1=2。当n≥2时，考虑2Sn-1=4an-1-4，与2Sn=4an-4相减，得2an=4an-4an-1，即an=2an-1。由此可知数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2^n。对于数列{bn}：已知bn=an，且bn+1-bn=an。代入an=2^n，得bn+1-bn=2^n。由此可知数列{bn}是以b1=a1=2为首项，公差为等比数列{an}的对应项构成的等差数列。利用等差数列求和公式，得bn=2+(2^2+2^3+…+2^n)-(n-1)=2^(n+1)-2。已知cn=bn/(2an)=(2^(n+1)-2)/(22^n)=1-1/2^n。利用等比数列求和公式，得Tn=n-(1/2+1/2^2+…+1/2^n)=n-1+1/2^n。由于1/2^n总是大于0且随着n的增大而减小，所以Tn<n。要使k>Tn对一切n∈N恒成立，只需k≥1（因为当n=1时，Tn取得最大值1）。所以k的最小值为1。第四题题目：已知函数fx=lnx+1+ax（1）求a和b的值；（2）若fx≥mx在答案：（1）a=1，（2）m≤解析：（1）首先求fx的导数：f由于fx在x=0处取得极小值，根据极值的性质，f′0但这里与原始答案不符，我们需要重新检查。实际上，由于fx在x=0处取得极小值，且lnx+1在x=0处可导且导数为1，所以f′0=接下来，利用fx在x=0处的极小值为1，即f0=1，代入得：ln0+1综上，a=1，（2）由（1）得fx=lnx+整理得：m≤定义新函数gx=lnx+令hx=x分析hx的单调性：当x∈0,+∞时，由于h0=0，所以当x∈0因此，gx在0,+∞上单调递减。由于x→0+时，gx→+∞第五题题目：设数列{an}是首项为a1=1，公差为d的等差数列，且数列{an}的前n答案：通项公式：an=2n−解析：等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和Sn的公式为

S_n=(2a_1+(n-1)d)

其中，a1是首项，利用给定条件建立方程：根据题目条件，有

-=4

代入前n项和公式，得

(2a_1+4d)-