复变函数论教学大纲09

复变函数论（FunctionsofaComplexVariable）复变函数论是面向数学与应用数学专业开设的一门专业基础课，其主要研究对象是解析函数。复变函数论建立在数学分析的基础上，是数学分析的推广和发展；复变函数论又称复分析或解析函数论。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与数学分析的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。一．教学目的与要求这门课与数学专业的许多其它课程有着广泛的联系。其中函数及其运算和初等解析函数是中学数学有关内容的深化，同时复变函数在工程、力学等方面有着广泛的应用。这是一门重要的专业基础课。该课程的教学内容分为以下六个部分：（1）复数与复变函数；（2）函数的可微性——解析函数；（3）利用积分研究函数——柯西积分定理与公式；（4）利用级数（泰乐级数与洛朗级数）研究复函数；（5）残数计算及其应用；（6）研究复函数的几何性质——保形变换。通过合理安排教学内容，从更高的一个层次开展教学，使整个教学活动化抽象为具体，也使整个内容易教易学，提高本课程教学效率与水平。教学目的：在复变函数论的学习过程中，使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识。二．教学重点与难点教学重点：解析函数的概念及基本性质；解析函数的求导公式与求导法则；柯西－黎曼条件（C-R条件）；复变函数积分的定义及基本性质；单连通区域内的柯西积分定理；不定积分概念；多连通区域内的柯西积分定理；柯西积分公式、高阶导数公式；平均值公式；柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理；复数项及复函数项级数、一致收敛及其判别准则、维尔斯特拉斯定理；解析函数零点的孤立性、唯一性定理及最大模原理；罗朗级数的定理与收敛域、解析函数罗朗展开式的系数公式、收敛域；解析函数的孤立奇点（包括无穷远点）的分类、三类奇点的特征与性质；留数的定义及计算方式、留数定理；辐角原理、儒歇定理；保形映射的概念；初等函数的保形映射；分式线性函数。教学难点：函数可导与解析的判别法；牛顿-莱布尼茨类似的解析函数的积分计算公式的应用；柯西积分定理、柯西积分公式及其应用。洛朗展式及应用；留数定理；辐角原理、儒歇定理，最大模定理，许瓦兹引理的证明；导数的几何意义，求保形映射。三．教学方法与手段基础数学的课堂教学应是启发式为主，结合讨论式教学；《复变函数论》是数学分析课在复数里的推广，所以应注意与数学分析的联系与比较区别。四．教学内容与目标教学内容教学目标学时分配（总48学时）1复数与复变函数6学时1.1复数及其表示方法、运算了解11.2复平面、复数的模与辐角.了解1.51.3复平面上的点集.区域.区曲线.掌握21.4无穷远点与扩充复平面.了解1.52解析函数5学时2.1函数概念.极限与连续.了解12.2复变函数的导数定义.掌握0.52.3解析函数的概念及基本性质.掌握12.4解析函数的求导公式与求导法则.掌握12.5柯西－黎曼条件（C-R条件）.掌握12.6指数函数.掌握0.53复变函数积分9学时3.1复变函数积分的定义及基本性质.了解23.2单连通区域内的柯西积分定理.掌握23.3不定积分概念.掌握13.4多连通区域内的柯西积分定理.掌握13.5柯西积分公式，高阶导数公式；掌握2平均值公式3.6柯西不等式，刘维尔定理，代数基本掌握1定理的证明，摩勒拉定理.4解析函数的幂级数表示法7学时4.1复数项及复函数项级数，一致收敛及其判别准则，维尔斯特拉斯定理.掌握24.2幂级数的收敛圆，收敛半径公式，幂级数在收敛圆内表示解析函数.掌握24.3解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数，掌握14.4解析函数零点的孤立性，唯一性定理及最大模原理.掌握25解析函数的罗朗展式与孤立奇点6学时5.1罗朗级数的定理与收敛域，解析函数罗朗展开式的系数公式、收敛域.掌握3.55.2解析函数的孤立奇点（包括无穷远点）的分类，三类奇点的特征与性质.掌握2.56残数理论及其应用7学时6.1留数的定义及计算方式，在无穷远点的留数.掌握26.2留数定理.掌握26.3利用留数定理计算实积分.掌握26.4辐角原理，儒歇定理.掌握17保形变换6学时7.1导数的几何意义，保形映射的概念.了解27.2初等函数的保形映射掌握2.7.3分式线性函数.掌握2总复习2学时五．考试范围和题型：1．考试范围和分数比例（1）复数与复变函数 4%（2）解析函数与调和函数 24%（3）复变函数的积分理论 20%（4）解析函数的级数表示