专题抽象函数单调性讲义-高一上学期数学

专题：抽象函数单调性抽象函数是相对于具体函数而言，指没有给出具体的函数解析式或图象，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．因无具体解析式，理解研究起来往往很困难.但利用函数模型往往能帮我们理清题意，寻找解题思路，从而方便快捷的解决问题.知识梳理先了解常见的以初等函数为模型的抽象函数，若我们能从具体的模型出发，根据解题目标展开联想，则常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口类型一：以线性函数为模型的抽象函数已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用赋值法即得；（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.（1）因为，令，得，即；（2）由题意知，，∴由，可得，又在R上单调递增，∴，即，∴的取值范围是．练习1.已知定义域为，对任意都有，当时，．(1)求;(2)试判断在上的单调性，并证明;(3)解不等式：．【答案】(1)2(2)单调递减，证明见解析(3)【分析】(1)由，取特殊函数值即可求解;(2)由题构造，结合题意可证明单调性;(3)根据单调性解抽象不等式即可.【详解】（1）根据,令，得，解得，再令，则有，解得.（2）判断：在上单调递减，证明如下：设，则，所以，即，因为所以，所以，即都有，所以在上单调递减.（3）由题可知，所以，所以由得，即，即，又因为，所以，由(2)知在上单调递减，所以，即即，解得.小结：对于以线性函数为模型的抽象函数证明单调性时一般用到以下变形：，然后根据题目中的特殊函数值得出函数的单调性.类型二：以指数函数为模型的抽象函数设是定义在R上的函数，对任意，恒有，当时，有.(1)求证：，且当时，；(2)证明：在R上单调递减.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先令，，得，根据即可得到，根据时，得到，从而得到，即可证明.（2）根据函数单调性定义及证明单调性即可.(1)因为对任意，恒有令，，得，当时，有，所以，即；当时，有，所以，又，所以.(2)设任意且，因为，所以，又，因为，所以，所以在上单调递减.练习2.已知对一切，满足，且当时，.求证：（1）当时，；（2）在上为减函数.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先令得，设，则，进而根据即可得答案；（2）根据函数单调性的定义，结合，即可得证明.【详解】解：（1）对一切有.且，令，得，现设，则，，而，（2）设且，则，即为减函数.和并结合题意证明.小结：对于以指数函数为模型的抽象函数证明单调性时也会用到以下变形：类型三：以对数函数为模型的抽象函数，已知函数的定义域是，且满足,当时,.(1)求的值;(2)判断并证明的单调性.【分析】（1）由条件可令x＝y＝1，即可得到f（1）；（2），则,由x＞1时，f（x）＞0，则f＞0，则有即可判断；【详解】（1）令，则，解得.（2）在上的是增函数，设，且，则,∴∴，即,∴在上的是增函数.【点睛】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．练习3.已知函数的定义域为，当时，，且对一切，满足(1)求的值；(2)判断并证明函数的单调性.【答案】(1)；(2)在上是增函数，证明见解析.【分析】（1）利用赋值法即得；（2）根据函数的单调性的定义结合条件即得.【详解】（1）令，则，所以；（2）在上是增函数，任取，则，因为，所以，则，所以，即，所以在上是增函数.小结：对于以对数函数为模型的抽象函数证明单调性时一般用到以下变形：，然后根据题目中的特殊函数值得出函数的单调性.类型四：以幂函数为模型的抽象函数，已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有，且，，当时，.（1）求的值，判断的奇偶性并证明；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若且，求的取值范围.【答案】（1）1，为偶函数，证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）令，可求得，再令，求得，即得为偶函数；（2）利用定义法判断函数的单调性即可；（3）由函数的奇偶性、单调性可得，即，得解.【详解】解：（1）令，；函数为偶函数.证明如下：令，则，，，故为偶函数；（2）在上是增函数.证明如下：设，，，则，，，，，故在上是增函数.（3），又，，，，，，则，又函数在上是增函数，，即，综上知，的取值范围是.【点睛】本题考查了抽