2024秋新教材高中数学课时跟踪检测三十三蝗制新人教A版必修第一册

PAGEPAGE2弧度制层级(一)“四基”落实练1．600°化为弧度数为()A．eq\f(10,3)πB．eq\f(11π,3)C.eq\f(5π,3) D．eq\f(13π,6)解析：选A依据1°＝eq\f(π,180)弧度，600°＝600×eq\f(π,180)＝eq\f(10π,3).2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A．2B．4C．6 D．8解析：选B设扇形的半径为R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为4，半径为2，扇形的面积为：S＝eq\f(1,2)×4×2＝4.3．已知单位圆⊙O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，则24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是()A－eq\f(24π,5) B．eq\f(12π,5)C．eq\f(14π,5) D．eq\f(24π,5)解析：选D因为一周为2π，故10分钟转了2π，所以每分钟就转了eq\f(2π,10)＝eq\f(π,5)，故24分钟转了24×eq\f(π,5)＝eq\f(24π,5)，所以OP从起始位置OA转过的角是eq\f(24π,5).4.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般状况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618(黄金分割比)时，扇面看上去形态较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为()A．127.50° B．137.50°C．147.50° D．150.50°解析：选B由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则eq\f(α,β)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，又α＋β＝360°，∴α＋eq\f(α,0.618)≈360°，解得α≈137.50°.5．(多选)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，下列选项正确的有()A．圆的半径为2cm B．圆的半径为1cmC．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2解析：选ABC设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，))可得圆心角的弧度数是4或1.6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π))的形式是________．解析：法一：∵－570°＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(570×\f(π,180)))rad＝－eq\f(19,6)πrad，∴－eq\f(19,6)π＝－4π＋eq\f(5,6)π.法二：∵－570°＝－2×360°＋150°，∴－570°＝－4π＋eq\f(5,6)π.答案：－4π＋eq\f(5,6)π7．已知扇形OAB的圆心角为eq\f(5,7)π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．解析：设扇形的半径为r，∵圆心角为eq\f(5,7)π，∴弧长l＝eq\f(5,7)πr.∵扇形的周长为5π＋14，∴eq\f(5,7)πr＋2r＝5π＋14，解得r＝7，由扇形的面积公式得S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×49＝eq\f(35π,2).答案：eq\f(35π,2)8．用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在图中阴影部分内的角的集合．解：题图①中，在－360°～0°内，以OB为终边的角为－30°角，化为弧度为－eq\f(π,6)，75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，设终边落在题图①中阴影部分内的角为θ，题图②中，在－360°～0°内，以OB为终边的角为－135°角，化为弧度为－eq\f(3π,4)，135°＝135×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,4)，设题图②中终边落在阴影部分的角为β，层级(二)实力提升练1．(多选)下列给出的角中，与－eq\f(11π,3)终边相同的角有()A．eq\f(π,3)B．eq\f(13π,3)C．－eq\f(2π,3) D．－eq\f(29π,3)解析：选ABD与－eq\f(11π,3)终边相同的角为2kπ－eq\f(11π,3)，k∈Z，令k＝2，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝eq\f(π,3)，令k＝4，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝eq\f(13π,3)，令k＝－3，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝－eq\f(29π,3).2.勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行探讨的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为2，则勒洛三角形面积为()A．2π－2eq\r(3)B．2π＋eq\r(3)C.eq\f(4π,3)＋eq\r(3) D．4π解析：选A如图，BC＝2，以B为圆心的扇形面积是eq\f(π×22,6)＝eq\f(2π,3)，△ABC的面积是eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即eq\f(2π,3)×3－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).3．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的肯定值为________；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的肯定值为________．解析：设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2eq\r(3)r，∴|θ|＝eq\f(2\r(3)r,r)＝2eq\r(3)；又圆内接正方形的边长为eq\r(2)r，圆弧长为4eq\r(2)r，∴|θ|＝eq\f(4\r(2)r,r)＝4eq\r(2).答案：2eq\r(3)4eq\r(2)4．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，∴弧长l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·5eq\r(3)＝eq\f(1,2)×10×5eq\r(3)＝25eq\r(3)，∴S＝S扇形－S△AOB＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3))).5．同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针犹如兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学学问．(1)如图1，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角弧度数等于________；(2)请在图2中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思索并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的弧度数是________，时钟的时针转过的弧度数是________；(3)“元旦”这一天，城区某中学高一年级部分学生上午八点多集中在学校门口打算去步行街进行公益服务，临动身时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长望见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明．解：(1)eq\f(π,6)×4＝eq\f(2π,3).(2)如图所示，分针转过4×eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，时针转过eq\f(20,60)×eq\f(π,6)＝eq\f(π,18).答案：(1)eq\f(2π,3)(2)eq\f(2π,3)eq\f(π,18)(3)设8点x分钟时动身，下午2点y分钟回到学校，则(12－1)×eq\f(x,60)×30°＝8×30°，解得x＝eq\f(480,11)≈44，(12－1)×eq\f(y,60)×30°－2×30°＝180°，解得y＝eq\f(480,11)≈44，所以共用6小时(8：44动身，2：44回校)．层级(三)素养培优练如图所示，一绳索绕在半径为40厘米的滑轮上，绳索的下端B处悬挂着物体W，假如轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么大约须要经过几秒钟才能使物体W向上上升100厘米？解：设须要t秒才能使物体W向上上升100