2.2-函数矩阵的微分与积分_第1页
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§2.矩阵的微分与积分一、函数矩阵的微分二、函数矩阵的积分三、向量对向量的微分8/16/20241

1.定义设中每个元素都在点或某个区域内可微,则称在点或区域内是可微的.

若可微,其导数定义如下:一、函数矩阵的微分8/16/20242

同样,的高阶导数定义为注可导矩阵与连续矩阵的关系:可导连续;反之未必.

2.性质

①设,是两个可导矩阵,8/16/20243是两个的数阵,则

若和是两个常数,上述结论显然成立.

②设,分别是和的可导矩阵,则8/16/20244

特别地

对常数矩阵,有

证明设8/16/20245所以8/16/20246

注意

③设是区域内的可逆方阵,其逆为,则

证明

两边求导数得:故8/16/20247

④设是可导矩阵,又是可导函数,则

证明由即得.8/16/20248

解

①

②①②③

例1

设,求8/16/20249

注若按来直接求③,则计算较复杂.③8/16/202410

1.定义

设中每个元素在上是可积的,则称在上可积分,且定义

类似定义的不定积分:二、函数矩阵的积分8/16/202411

2.性质

①②③

若与常数阵可乘,则

若常数阵与可乘,则

④8/16/202412

解

例2

设,求和8/16/202413

例3

设,求

解

(这里8/16/202414三、向量对向量的微分8/16/202415

定义1

当是维行向量,

是向量的数值函数,称为向量的数值函数对的导数(梯度）.8/16/202416数值函数对向量的导数的性质(2)(1)8/16/202417

定义

2是维列向量,

是的维列向量函数,称为维列向量函数对维列向量的导数.当时这种导数就是通常的Jacobi矩阵.8/16/202418

2.向量对向量导数的性质

性质1,是维列向量函数.

是常数

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