串讲05 圆的方程（考点串讲）（解析版）

串讲05圆的方程知识结构要点梳理知识点一圆的标准方程基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C上知识点二点与圆的位置关系圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq\r(x0－a2＋y0－b2).位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2知识点三圆的一般方程(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为C(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).(2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当D2＋E2－4F>0时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．知识点四用“待定系数法”求圆的方程的步骤：①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．知识点五直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数__2__个__1__个__0__个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝__eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))____d<r____d＝r____d>r__代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ__Δ>0____Δ＝0____Δ<0__知识点六解决实际问题的一般程序仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．题型探究：考点一圆的标准方程例1.在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程.【详解】由题意可得方程为.故选：C.例2．已知两点和，则以为直径的圆的方程是【答案】【分析】根据点，的坐标得到圆心和半径，然后写圆的方程即可.【详解】线段的中点为圆心，所以圆心坐标为，又，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为.故答案为：.例3．经过三点的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆的标准方程：，将点代入即可求解.【详解】设圆，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：B.【归纳提升】(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．【变式】1.已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆的标准方程得解.【详解】因为圆心为，半径为5，所以圆的标准方程为，故选：C2.写出一个圆心在x轴上，半径为1的圆的标准方程．【答案】（答案不唯一）【分析】根据圆心位置和半径，即可得答案.【详解】由题意可得圆心在x轴上，半径为1的圆的标准方程可以是，故答案为：3．已知圆心在轴上的圆经过，两点，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圆心在轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将,两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程.【详解】因为圆心在轴上,设圆心坐标为,半径为设圆的方程为因为圆经过,两点代入可得解方程求得所以圆C的方程为故选:A考点二判断点与圆的位置关系例4.已知圆的标准方程是，则点（

）A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不能确定【答案】B【分析】求出点到圆心的距离与圆的半径比较大小即可【详解】圆的圆心为，半径为2，因为，所以点在圆内.故选：B例5．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】由题意可得，解得.故选：A.【归纳提升】点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．【变式】1.已知圆的方程是，则点（

）A．在圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外【答案】C【分析】把点的坐标代入圆标准方程，由与的大小关系判断．【详解】因为，所以点P在圆内．故选：C．2.已知点在圆4的外部，则实数的取值范围为．【答案】【分析】根据点在圆外列不等式求参数范围即可.【详解】由题意，即，可得或.所以的取值范围为.故答案为：考点三圆的一般方程例6.圆的圆心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将圆的一般方程配方得到圆的标准方程，即可求解.【详解】将配方得，所以圆心坐标为，故选：D．例7.已知方程表示圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解.【详解】方程表示圆，，即，解得：，实数的取值范围是.故选：D.【归纳提升】形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．【变式】1．圆的圆心坐标为，半径为．【答案】【分析】利用配方法，将圆化为圆的标准方程即可求解.【详解】将圆化为圆的标准方程是，则圆心坐标为，半径为5．故答案为：，5．2.已知方程表示圆，则k的取值范围是．【答案】【分析】根据圆的一般方程可知，即可求得k的取值范围.【详解】由题意可知，方程可化为圆的标准方程，只有，即时才能表示圆；所以，k的取值范围是.考点四用待定系数法求圆的方程例8．经过三点的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入后求得圆的方程，再化为圆的标准方程即可.【详解】因为圆经过，设圆的方程为，代入三个坐标可得，解得所以圆的方程为，化为圆的标准方程可得，故选：D.[归纳提升](1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆；(2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解【变式】1.求经过三点，，的圆的方程.【答案】【分析】设圆的一般方程为（为参数）点代入解方程组即可.【详解】依题，设圆的一般方程为（为参数），将三点，，代入：解得综上所述，圆的一般方程为考点五直线与圆的位置关系例9.判断圆与下列直线的位置关系：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)相交(2)相离(3)相离【分析】（1）根据题意，求出圆心直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断；（2）根据题意，求出圆心直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断；（3）根据题意，求出圆心直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断.【详解】（1）将圆的方程化为标准方程为，所以圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交.（2）圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.（3）圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.【归纳提升】直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．【变式】1.直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交但不过圆心C．相离 D．相交且过圆心【答案】A【解析】求圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结果.【详解】因为的圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切.故选：A.2．已知圆，则直线和圆的位置关系为.【答案】相交【分析】根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论.【详解】解：由圆得，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线和圆的位置关系为相交，故答案为：相交.考点七直线与圆相切例10.圆在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切线方程与垂直可求出切线斜率，由点斜式方程求解即可.【详解】圆心为，，故切线的斜率为故切线方程为：即故选：C例11.过作圆的切线，则其切线方程为.【答案】或【解析】当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案．【详解】圆的圆心为，半径为1，（1）当过点的直线垂直于轴时，此时直线斜率不存在，方程是，圆心到直线的距离为，直线符合题意；（2）当过点的直线不垂直于轴时，设直线方程为，即．直线是的切线，点到直线的距离为，解之得，此时直线方程为．切线方程为或．故答案为：或．【归纳提升】求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出．【变式】1.过圆上一点M（－1，2）作圆的切线l，则l的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切线与切点处的半径垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程.【详解】圆的圆心为O(0,0),直线OM的斜率为,所以切线的斜率为,∴直线的方程为,即,故选：B.2.若点在圆上，则过的圆的切线方程为.【答案】【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解.【详解】因为点在圆上，所以过的圆的切线方程和垂直，因为，，所以，所以切线方程斜率为，所以切线方程为，即.故答案为：考点八直线与圆相交例12.求直线被圆截得的弦长.【答案】2【分析】根据垂径定理即可求圆的弦长.【详解】设直线与圆交于A，B两点，弦AB的中点为M，则（O为坐标原点），所以，从而.例13.直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解.【详解】圆的标准方程为,直线过圆心,所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4.故选:B．【变式】直线被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为．故选：C．考点九与直线、圆有关的应用问题例14.光线从点射到点后被x轴反射,判断反射光线是否经过点.【解析】光线从点射到点后被x轴反射,根据直线MP的斜率为，直线PQ的斜率为，直线MP的斜率和直线PQ的斜率互为相反数,故它们的倾斜角互补,根据反射定律,反射光线经过点.【变式】如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40eq\r(2)千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．求圆C的方程；【解析】由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，))∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.素养作业1.圆心为，半径为5的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据圆的标准方程进行求解即可.【详解】因为圆心为，半径为5，所以圆的方程为，故选：D2.以点，为直径端点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圆心和半径，从而求得圆的方程.【详解】的中点坐标为，即圆心为，，所以圆的半径为，所以圆的方程为.故选：D3.圆的圆心坐标和半径长分别为(

)A．和2 B．和C．和1 D．和【答案】D【分析】根据圆的标准方程理解判断.【详解】由圆的方程，可知圆心为，半径.故选：D.4.圆心为且过原点的圆的方程是.【答案】【分析】利用题意得到圆的半径，即可得到答案【详解】由题意可得圆的半径为，所以圆的方程为，故答案为：5．已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为．【答案】【分析】由为直角三角形，确定斜边上中点坐标并求外接圆半径，即可写出的外接圆的方程.【详解】由题设易知：为直角三角形，故外接圆圆心是斜边的中点，而，所以斜边为，则外接圆圆心为，故，综上，的外接圆的方程为.故答案为：6．圆的半径为【答案】【分析】利用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程即可求解.【详解】由，得，所以圆的半径为.故答案为：7.若点在圆上，则实数m＝.【答案】4【分析】将点P坐标代入圆方程，解方程可得答案.