1-离散时间信号与系统

离散时间信号----序列连续时间信号的采样离散时间系统第一章离散时间信号与系统(Discrete-timesignal

andsystem)1离散时间信号的定义、表示序列的运算常用的序列序列的周期性序列的能量1.2离散时间信号—序列2离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列(sequence)。如果将一个数字序列x的第n个数字表示为x(n)（n为整数，表示离散时间），离散时间序列表示为x={x(n)}。为了方便常简单表示为x(n)。一、离散时间信号---序列的定义与表示1、图形表示法：3零点位置2、枚举式（数字集合）：

3、公式：

4二、序列的运算移位翻褶和乘积标乘累加差分卷积51.移位序列x(n)，当m>0时x(n-m)：逐项依次延时/右移m位（发生时间推迟了）x(n+m)：逐项依次超前/左移m位（提前了）-1012-2x(n)11/21/41/8n1/21/41/81x(n+1)n0-1-21…6例：-1012x(n)11/21/41/8-2n2.翻褶(折叠)

x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。-1012x(-n)11/21/41/8-2n…73.和同序列号n的序列值逐项对应相加构成的新序列.4.乘积：相同序号n的序列值逐项对应相乘.5.标乘：x(n)的每个序列值乘以常数c.86.累加设一序列x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为

y(n)在某一个n0上的值等于n0上的值以及n0以前的所有n值上的x(n)的和。9前向差分（先左移后相减）：后向差分（先右移后相减）：7.差分运算10（1）抽取：x(n)x(Dn),D为正整数，表示从x(n)的每连续D个抽样值中取出一个组成的新序列。

x(n)1231/21/4-2-1012n8.尺度变换x(2n)131/4-2-1012n

例：x(2n)，相当于两个点取一点。11（2）零值插值：x(n)x(n/I),把原序列的两个相邻抽样值之间插入（I-1）个值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n抽取与插值是多抽样率数字信号处理的基础.例：x(n/2)相当于两个点之间插一个点。129.卷积

设序列x(n),h(n),它们的卷积y(n)定义为卷积和计算分四步：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：131.单位脉冲序列（离散冲激）

unitimpulsesequence

(单位采样序列)

unitsamplesequence

二、几种常用序列1-2-1012n1-2-1012n142.单位阶跃序列u(n)unitstepsequence

...0123-1nu(n)1令n-m=k153.矩形序列rectanglesequence...012N-1-1nRN(n)1164.实指数序列realexponentsequence

a为实数，当175.复指数序列complexexponentsequence为数字域频率。①实、虚部②极坐标186、正弦序列(sinesequence)模拟正弦信号：（归一化频率）rad/s角频率初始相位19三、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。思考：20讨论一般正弦序列的周期性21分情况讨论1）为整数时取k=1，x(n)是周期为的周期序列3）为无理数时，任何k都不能使N为正整数，x(n)不是周期序列2）为有理数=N/k,其中，k,N为互素的整数，此时x(n)周期的为N。22讨论：如果一个正弦序列是由一个连续的正弦信号抽样得到的，那么，抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？信号频率f,角频率Ω=2πf，信号的周期为：23对采样，采样间隔为T，采样后的信号令ω为数字频率，满足：用ω代替ΩT24讨论与T和T0的关系。若要为整数，T0应为T的整数倍；即N个抽样间隔应等于连续正弦信号的k

个周期.若要为有理数（N/k），则：25四、序列的能量x(n)的能量定义为序列各样本的平方和，即：26

1.3连续时间信号的采样一、采样器与采样二、理想采样三、理想采样信号的频谱四、采样信号的重建27一、采样与采样器采样器P(t)T采样周期28采样（sampling）是利用周期性采样脉冲序列p(t),从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到采样信号（离散时间信号）采样器可以看成是一个电子开关，开关每隔T秒闭合一次，（理想采样闭合时间无穷短，实际采样闭合时间τ秒，）对输入信号进行采样。采样过程可以看成脉冲调幅，xa(t)为调制信号，被调脉冲载波是周期为T的周期性脉冲串。当脉冲宽度为τ时，实际采样，τ→0时，理想采样。29实际采样：p(t)t0tTp(t)为脉冲序列…理想采样tt…（冲激序列）30冲激函数序列：理想采样输出：理想采样后的表达式：由于δ（t-nT）只在t=nT时不为零t…（冲激序列）31二、理想采样信号的频谱1、采样后信号频谱与模拟信号的频谱之间的关系？2、在什么情况下，由采样信号可以恢复原信号？研究目标：32频域卷积定理：时域相乘，频域（傅立叶变换域）为卷积运算。若：33利用傅立叶级数展开，可得：

s=2/T，

s称为采样角频率fs=1/T，fs为采样频率周期函数3435......0Tt0……周期冲激序列与它的傅立叶变换3637结论：一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱以采样频率为间隔重复。频谱产生了周期延拓，即理想采样后的频谱，是频率的周期函数，周期为，频谱的幅度乘以。时域离散频域周期38Ωh为最高频率分量情况①：不混叠

若xa(t)是带限信号，且信号最高频谱分量

h不超过

s/2。由上图可知，用一截止频率为的低通滤器对滤波得到，从而得到。

39情况②：混叠

若xa(t)是带限信号，且信号最高频谱分量

h超过

s/2。Ωh为最高频率分量由于各周期延拓分量产生的频谱互相交叠，使采样信号的频谱产生混叠现象。40采样定理（samplingtheorem）要想采样后能不失真的还原出原信号，采样频率必须大于两倍原信号最高频率分量。即：这就是奈奎斯特采样定理。折叠频率，称为奈奎斯特频率。为避免混叠，一般在采样器前加一个保护性的前置低通滤波器，将高于

s/2的频率分量滤除。工程上，通常取

s>(3～5)

h。41利用低通滤波器ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)三、采样信号的重建0

如果满足采样定理，信号的最高频率小于折叠频率，则采样后信号的频谱不会产生混叠，可以恢复原信号。42时域讨论：如何由采样值恢复原来的模拟信号？ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)43理想低通滤波器的输出：信号重建的内插公式，信号的采样值经此公式得到连续信号。内插函数44内插函数(interpolatingfunction)的特性：

说明：(1)内插函数只有在采样点mT上为1。(2)xa(t)等于xa(mT)乘上对应的内插函数的总和。(3)在每一个采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这

说明在采样点上信号值不变ya(mT)=xa(mT)，而采样点之间的

信号ya(t)，(其中t≠mT)由各加权采样函数波形的延伸叠加

而成。(m从-～)451.4离散时间系统

(discrete-time

system)离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。以T[·]来表示。离散时间系统T[·]x(n)y(n)46设：一、线性系统

(linearsystem)满足叠加原理的系统称为线性系统。若：则此系统为线性系统。47二、移/时不变系统

（shift/timeinvariantsystem）若系统响应与输入信号施加于系统的时刻无关，也就是说输入输出的运算关系不随时间而改变，则称该系统为移不变系统（时不变系统）。说明：同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变（linearshiftinvariant）离散时间系统，简称LSI系统。48知道h(n)后，就可求出线性移不变系统对任意输入的输出。T[·]三、单位采样（冲激）响应与卷积和单位采样响应是指输入为单位冲激序列δ(n)时系统的输出。一般用h(n)表示。

LSIh(n)x(n)y(n)49对LSI系统，设输入序列为x(n)，输出序列y(n)线性卷积离散卷积50LSI系统可以用它的单位采样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位采样响应h(n)的卷积和。

LSIh(n)x(n)y(n)重要结论51离散卷积的规律1.交换律2.结合律52离散卷积的规律3.分配律并联的两个线性移不变系统可以等效成一个系统，其单位采样响应等于原来两个系统的单位采样响应的和。53若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关，则称因果系统。四、因果系统(causalitysystem)结论：

线性移不变因果系统的充要条件：h(n)=0，n<0。例：y(n)=nx(n)

y(n)=x(-n)是什么系统？

54五、稳定系统(stablesystem

)稳定系统是有界输入产生有界输出的系统。LSI系统是稳定系统的充要条件：则若55六、常系数线性差分方程

lineardifferentialequation

ofconstantcoefficient

离散时间线性移不变系统的输入输出关系用差分方程来描述。注意：（1）常系数：a0,a1,…,aｎ;b0,b1,…,bｍ均是常数

（2）阶数：y(n-k)变量k的最大序号与最小序号之差

（3）线性：x

,

y各项只有一次幂,不含它们的乘积项h(n)y(n)x(n)56求解常系数线性差分方程的方法：用迭代法求解差分方程本质上是求解