1-1课件：1.1.2-1.1.32四种命题间的相互关系

目标导航预习导引目标导航预习导引1231.四种命题目标导航预习导引123目标导航预习导引123(1)写出命题“若x2>4,则x<-2”的逆命题、否命题、逆否命题.提示:逆命题:若x<-2,则x2>4;否命题:若x2≤4,则x≥-2;逆否命题:若x≥-2,则x2≤4.(2)在四种命题中,能把某逆命题看成原命题吗?提示:可以.其实哪一个作为原命题是人为指定的.当把逆命题看成原命题时,原命题就是该命题的逆命题,否命题就是逆否命题,逆否命题就是否命题.目标导航预习导引1232.四种命题间的相互关系已知命题甲:若x=1,则x2=x;命题乙:若x2≠x,则x≠1,则甲、乙命题的关系是(

)A.互为逆命题

B.互为否命题C.互为逆否命题

D.以上都不正确提示:C目标导航预习导引1233.四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若原命题“若p,则q”为真,则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数是1.(

)(2)已知命题“若p成立且q成立,则r成立”,则其逆否命题是“若r不成立,则p不成立且q不成立”.(

)(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(

)提示:(1)×

(2)×

(3)√一二三知识精要典题例解迁移应用一、四种命题的概念与形式(1)原命题:它是相对其他三种命题而言,人为指定的命题,不是固定不变的,可以把任意一个命题看成原命题,进而研究它的其他形式.(2)逆命题:把原命题的条件作为结论,而原命题的结论作为条件,得到的命题称为原命题的逆命题.(3)否命题:将原命题中的条件和结论同时加以否定后得到的命题称为原命题的否命题.(4)逆否命题:将原命题的条件加以否定作为结论,而原命题的结论加以否定作为条件得到的新命题称为原命题的逆否命题.为了便于书写各种命题,当原命题不是“若p,则q”的形式时,应一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用(3)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一个平面;否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么这两条直线不平行;逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条直线不垂直于同一平面.一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用二、四种命题的真假四种命题的真假性的关系由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间有如下关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们必具有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有必然关系.在同一个命题的四种命题中,真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4.一二三知识精要典题例解迁移应用【例2】

已知下列命题:①“若a>b,则ac2>bc2”的逆命题;②“若两个角是对顶角,则这两个角相等”的否命题;③“若a=1,则函数f(x)=在(0,+∞)上为减函数”的逆否命题;④“若x+y=5,则x=2且y=3”的否命题.其中为真命题的是(

)A.①②

B.①②③C.①③④ D.①②③④思路分析:先正确地写出对应的命题,再进行判断,或根据互为逆否命题同真或同假进行判断.答案:C一二三知识精要典题例解迁移应用解析:①逆命题是“若ac2>bc2,则a>b”,是真命题;②否命题是“若两个角不是对顶角,则这两个角不相等”,是假命题;③易知原命题是真命题,所以逆否命题也是真命题;④“若x+y=5,则x=2且y=3”的逆命题为“若x=2且y=3,则x+y=5”,易知逆命题为真命题,故否命题为真命题.一二三知识精要典题例解迁移应用(2014云南大理高二检测)在下列命题中,真命题是

(

)A.“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题B.“若b=3,则b2=9”的逆命题C.若x∈R,则x2+3<0D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题答案:D解析:对于A的否命题为“若x≠2,则x2-3x+2≠0”错,因为x=1时满足x2-3x+2=0.对于B的逆命题为“若b2=9,则b=3”错,因为当b2=9时,b=3或b=-3.对于C,x2+3>0恒成立,故C错.一二三知识精要典题例解迁移应用三、等价命题的应用当判断一个给定的命题的真假比较困难时,利用互为逆否的两个命题等价,一般转化为判断其逆否命题的真假.当要求判断一个命题的逆否命题的真假时,可不写其逆否命题,直接判断此命题的真假,即得其逆否命题的真假.一二三知识精要典题例解迁移应用【例3】

判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,则a≥1”的逆否命题的真假.思路分析:解法一:分析已知命题,写出逆否命题,再判断真假;解法二:先判断原命题的真假,再判断逆否命题的真假.解法一:原命题的逆否命题:已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.真假判断过程如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.若a<1,则4a-7<0.∴抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真命题.一二三知识精要典题例解迁移应用解法二:先判断原命题的真假.∵a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,∴4a-7≥0,得a≥从而a≥1成立.∴原命题为真命题.又∵原命题与其逆否命题等价,∴其逆否命题为真命题.一二三知识精要典题例解迁移应用判断命题:“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.解法一:原命题:若a≥0,则x2+x-a=0有实根.逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0.判断如下:因为x2+x-a=0无实根,所以Δ=1+4a<0,有a<即“若x2+x-a=0无实根,则a<0”为真命题.解法二:因为a≥0,所以4a≥0,4a+1>0.则方程x2+x-a=0的判别式Δ=4a+1>0,所以方程x2+x-a=0有实根.故原命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”为真命题.又因为原命题与逆否命题等价,所以“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真命题.案例探究误区警示思悟升华易错误区:对命题的条件和结论分不清致误下列说法正确的是

.

(1)“若x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题为“若x2+y2≠0,则x,y全不为零”.(2)“正多边形都相似”的逆命题是真命题.(3)“若

是有理数,则x是无理数”的逆否命题是真命题.答案:(3)解析:(1)中否命题:“若x2+y2≠0,则x,y不全为0”①,故此说法错误.(2)中逆命题:“若两个多边形相似,则这两个多边形是正多边形”②,是假命题,