3.2.函数模型及其应用

3.2函数模型及其应用

3.2.1几类不同增长的函数模型

在理想环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量的增长将由指数增长转变为对数增长,并逐渐趋于稳定.那么,应如何选择不同的函数模型描述这些现象呢？问题情景问题情景材料：澳大利亚兔子数“爆炸”

1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。生态故事：“一群兔子引发的危机”【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？

在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？构建数学探究一投资天数、回报金额解:设第x天所得回报是y元，则方案一：方案二：方案三：

在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？探究一

上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：探究二

请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.x/天

方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4

根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？三种方案每天回报表x42681012y20406080100120140o

底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？

你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？

方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论:①投资1~6天,应选择方案一;②投资7天,应选择方案一或二;③投资8~10天,应选择方案二;④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.回报天数方案☞累计回报表：方案一方案二方案三实际应用问题分析、联想抽象、转化构建数学模型解答数学问题审题数学化寻找解题思路还原(设)(列)(解)(答)★解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：1、四个变量随变量变化的数据如下表：练习：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050关于x呈指数型函数变化的变量是。【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？

本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？·············一次函数模型

实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况．y=0.25xy=log7x+1,·············对数函数模型·············指数函数模型y=1.002x探究一①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为____________.③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为___________.②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x

你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?探究二

你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？

奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：

(1)奖金总数不超过5万元；

(2)奖金不超过利润的25%.

因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.探究三4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求.探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？解:当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是否有f(x)≤0恒成立?

即当x∈[10,1000]时,f(x)=log7x+1－0.25x的图象是否在x轴下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的图象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五由图象知f(x)

在[10,1000]上为减函数.说明当x∈[10,1000]时,有.另解:作出f(x)的图象(利用计算机).

综上按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.

按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？探究五即奖金不会超过利润的25%.变式训练【2】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？(练习P.982)2.答案:第5轮病毒发作时最多会有160万台被感染．课堂小结确定函数模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义问题提出

1.指数函数y=ax(a>1)，对数函数

y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上的单调性如何？

2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？

探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异

对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x>0.思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应表,

这三个函数增长的快慢情况如何？

…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2x思考2:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2xx012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考3:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：

当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？

思考4:根据图象，不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何？思考5:上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上ax是否恒大于xn?ax是否恒小于xn?思考2:当a>1，n>0时，在区间(0,+∞)上,ax与xn的大小关系应如何阐述？思考3:一般地，指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如何变化的？总存在一个，当x>时，就会有思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化?xn增长速度的快慢程度如何变化？思考6:当x充分大时,logax(a>1)与xn

(n>0)谁的增长速度相对较快？总存在一个，当x>时，就会有思考7:一般地，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？xyo1y=logaxy=xn思考8:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0，使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？思考9:指数函数y=ax

(0<a<1)，对数函数y=logax(0<a<1)和幂函数y=xn(n<0),在区间(0,+∞)上衰减的快慢情况如何？总存在一个，当x>时，就会有xyo1y=axy=xny=logax3.2.2函数模型的应用实例例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图：x13452y1020304070605080905080657590(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义。

（2）假设这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图像。x13452y102030407060508090tt(2):解：（1）阴影部分的面积为

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360km。x13452y20002100220023002400......分段函数是刻画现实世界的重要模型解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

例4：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下面是1950~1959年我国的人口数据资料：55196563005748258796602666145662828645636599467207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

1950195119521953195419551956195719581959

(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为5000055000600006500070000012345ty6789

由上图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人中数据基本吻合.（2）将y=1300000代入

y=55196e0.0221t，由计算机可得：t≈38.76

这就是说按照这个增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年），我国的人口就已经达到13亿。如果不实行计划生育，而让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力！解模验模用模例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为480-40（x-1）=520-40x

（桶）

而有最大值

只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。解模验模用模选模例6某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相