3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.1方程的根与函数的零点兴趣导入：解方程：(1)6x-1=0

(2)(3)一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？思考：判别式

>0

0

<0

y=ax2+bx+c

的图象ax2+bx+c=0

的根一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：xyx1x20xy0x1xy0函数的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)没有交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根两个不相等的实数根x1、x2(x1,0)即,把使的实数对于函数叫做函数的零点.一、函数零点的定义：思考:零点是不是点？零点指的是一个实数.练习1求下列函数的零点:1.f(-2)=

，f(1)=

f(-2)f(1)

0(填“>”或“<”)发现在区间(-2，1)上有零点

2.f(2)=

，f(4)=

f(2)f(4)

0(填“>”或“<”)发现在区间(2，4)上有零点

观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象

<

5-4-1

<

3-35－2xy0－132112－1－2－3－44探究活动

1.在区间(a,b)上____(有/无)零点；

f(a)·f(b)____

0（填＜或＞）．2.在区间(b,c)上____(有/无)零点；

f(b)·f(c)____

0（填＜或＞）．思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？

猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有

成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。观察函数f(x)的图像0yx有<有<f(a)·f(b)<

0二、函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。（1）f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0。（3）f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。函数零点存在定理的三个注意点：

1函数是连续的。

2定理不可逆。

3至少存在一个零点。定理理解：判断正误ab000yxxyyx错错错

函数

在下列哪个区间上有零点()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C解析:

变式2:函数在(2,3)上有多少个零点？练习2例1：求函数的零点个数？例1:求函数的零点个数.解法2：21-1-21240yx3练习2:方程在下列哪个区间上有零点()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C解法二:21-1-21240yx3三、求函数零点或零点个数的方法：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点。(2)图象法：画出y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。(3)定理法：函数零点存在性定理。练习3:下列函数在区间（1，2）上有零点的是()(A)f(x)=3x2-4x+5(B)f(x)=x³-5x-5(C)f(x)=lnx-3x+6(D)f(x)=ex+3x-6练习4:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点()A.(-2,-1)B.(0,