考研数学一（高等数学）模拟试卷23（共262题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷23（共9套）（共262题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，()．A、不存在B、等于0C、等于1D、其他标准答案：C知识点解析：因为f(0)=f’(0)=0，所以f"(0)=2，于是=1，选(C)．2、设f(x)在x=a处的左、右导数都存在，则f(x)在x=a处()．A、一定可导B、一定不可导C、不一定连续D、连续标准答案：D知识点解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左、右导数不一定相等，选(D)．3、设函数f(x)满足关系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1－2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．4、二阶常系数非齐次线性微分方程y"－2y’－3y=(2x+1)e－x的特解形式为()．A、(ax+b)e－xB、x2e－xC、x2(ax+b)e－xD、x(ax+b)e－x标准答案：D知识点解析：方程y"－2y’－3y=(2x+1)e－x的特征方程为λ2－2λ－3=0，特征值为λ1=－1，λ2=3，故方程y"－2y’=3y=(2x+1)e－x的特解形式为x(ax+b)e－x，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、标准答案：2知识点解析：)x]a=ea，∫－∞atetdt=∫－∞atd(et)=tet|－∞a－∫－∞aetdt=aea－ea，由ea=aea－ea得a=2．6、设f(x)在x=a的邻域内二阶可导且f’(a)≠0，则标准答案：f"(a)／2f’2(a)知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、y=上的平均值为_______．标准答案：知识点解析：9、设直线L1：=z／1，则过直线L1且平行于L2的平面方程为_______．标准答案：π：x－3y+z+2=0知识点解析：所求平面的法向量为n={1，0，－1}×{2，1，1}={1，－3，1}，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为π：(x－1)－3(y－2)+(z－3)=0，即π：x－3y+z+2=0．10、已知f(x)=，则f(n)(3)=_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)11、设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)=a＞0，令an=f(k)－∫0nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤an≤f(1)．标准答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an+1－an=f(n+1)－∫nn+1f(x)dx=f(n+1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{an}单调减少．因为an=∫kk+1[f(k)－f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)－f(x)]dx≥0(k=1，2?…，n－1)且f(x)=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以an存在．由an=f(1)+[f(2)－∫12f(x)dx]+…+[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤an≤f(1)．知识点解析：暂无解析12、求函数y=ln(x+)的反函数．标准答案：令f(x)=ln(x+)，因为f(－x)=－f(x)，所以函数y=ln(x+)为奇函数，于是即函数y=ln(x+)的反函数为x=shy．知识点解析：暂无解析13、f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f"’(ξ)=3．标准答案：由泰勒公式得f(－1)=f(0)+f’(0)(－1－0)+(－1－0)3，ξ1∈(－1，0)，f(1)=f(0)+f’(0)(1－0)+(1－0)3，ξ2∈(0，1)，两式相减得f"’(ξ1)+f"’(ξ2)=6．因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f"’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f"’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"’(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](－1，1)，使得f"’(ξ)=3．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x＞0)．标准答案：令φ(x)=e－xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e－x[f’(x)－f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．知识点解析：暂无解析设函数f(x)=其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．15、确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；标准答案：当a=g’(0)时，f(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析16、求f’(x)；标准答案：知识点解析：暂无解析17、讨论f’(x)在x=0处的连续性．标准答案：因为f’(x)=f’(0)，所以f’(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析18、设f(x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x，+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：θ=1／2．标准答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+h2，其中ξ介于x与x+h之间．由已知条件得f’(x+θh)h=f’(x)h+h2，或f’(x+θh)－f’(x)=h，两边同除以h，得知识点解析：暂无解析19、标准答案：因为(x2ex)’=(x2+2x)ex，知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．标准答案：方法一∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx－k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1－k)∫0kf(x)dx－k∫k1f(x)dx=k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，所以∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．方法二∫0kf(x)dxk∫01f(kx)dt=k∫01f(kx)dx，当x∈[0，1]时，因为0＜k＜1，所以kx≤x，又因为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得∫01f(kx)dx≥∫01f(x)dx，故k∫01f(kx)dx≥k∫01f(x)dx，即∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析21、设A(－1，0，4)，π：3x－4y+z+10=0，L：=z／2，求一条过点A与平面π平行，且与直线L相交的直线方程．标准答案：过A(－1，0，4)且与平面π：3x－4y+z+10=0平行的平面方程为π1：3(x+1)－4y+(z－4)一0，即π1：3x－4y+z－1=0．代入π1：3x－4y+z－1=0，得t=16，则直线L与π1的交点为M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为S={16，19，28}，所求直线为知识点解析：暂无解析22、求函数u=x+y+z在沿球面x2+y2+z2=1上的点(x0，y0，z0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?标准答案：球面x2+y2+z2=1在点(x0，y0，z0)处的外法向量为n={2x0，2y0，2z0}，方向余弦为cosα==x0，cosβ=y0，cosγ=z0，又=1，所求的方向导数为=x0+y0+z0．令F=x+y+z+λ(x2+y2+z2－1)，当(x，y，z)=()时，方向导数取最大值；当(x，y，z)=(－)时，方向导数取最小值－知识点解析：暂无解析23、计算二重积分I=∫01dx标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)连续，F(t)=[z2+f(x2+y2)]dv，其中V={(x，y，z)|x2+y2≤t2，0≤z≤h}．(t＞0)，求F(t)／t2．标准答案：F(t)=∫02πdθ∫0trdr∫0h[z2+f(r2)]dz=2π∫0tr[+hf(r2)]dr，知识点解析：暂无解析25、设L为曲线|x|+|y|=1的逆时针方向，计算标准答案：令C：x2+4y2=r2(r＞0)逆时针且C在曲线L内，则有知识点解析：暂无解析26、设an=∫01x2(1－x)ndx，讨论级数an的敛散性，若收敛求其和．标准答案：an=∫01x2(1－x)ndx∫10(1－t)2tn(－dt)－∫01(tn+2－2tn+1+tn)dt因为an～2／n3且2／n3收敛，所以an收敛．知识点解析：暂无解析27、设an+1／an≤bn+1／bn(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，证明：(1)若级数bn收敛，则级数an收敛；(2)若级数an发散，则级数bn发散．标准答案：(1)由an+1／an≤bn+1／bn，得an+1／bn+1≤an／bn，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，知识点解析：暂无解析28、将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数．标准答案：f(0)=π／4，f’(x)=(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐项可积性得f(x)－f(0)=∫0xf’(x)dx=x2n+1．所以f(x)=x2n+1(－1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析29、质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?标准答案：由题意得F=kt／v，因为当t=10时，v=50，F=39．2，所以k=196，从而F=196t／v，又因为F=mdv／dt，所以dv／dt=196t／v，分离变量得vdv=196tdt，所以1／2v2=98t2+C，由v|t=10=50，得C=－8550，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、=A、0．B、－∞．C、+∞．D、不存在但也不是∞．标准答案：D知识点解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．2、设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A、高阶无穷小．B、低价无穷小．C、同阶非等价无穷小．D、等价无穷小．标准答案：C知识点解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)=(B)g(x)=(C)h(x)=(D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．标准答案：(I)B(Ⅱ)D知识点解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．三、解答题(本题共38题，每题1.0分，共38分。)4、判断下列结论是否正确，并证明你的判断．(I)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(II)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限f(x)=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若f(x)=∞，则δ＞0使得当0＜｜x－a｜＜δ时有界．标准答案：(I)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜B．例如，xn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)=｜x｜0＜｜x－c｜＜δ｜使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为=0，由存在极限的函数的局部有界性δ＞0使得当0＜｜x－a｜＜δ时有界．知识点解析：暂无解析5、设f(x)=又a≠0，问a为何值时f(x)存在．标准答案：f(0+0)==π，f(0－0)==1.a.1=a(a≠0)，由f(0+0)=f(0－0)，得a=π．因此，当且仅当a=π时，存在f(x)=π．知识点解析：分别求右、左极限f(0+0)与f(0－0)，由f(0+0)=f(0－0)定出a值．6、证明：(I)不存在；(Ⅱ)设f(x)=，则f(x)不存在．标准答案：(I)取xn=，yn=，则均有xn→0，yn→0(n→∞)，但=1，因此不存在．(II)已知f(x)=，其中g(x)=cost2dt，由于cosx2=1≠0，而不存在，所以不存在．知识点解析：暂无解析7、求w=标准答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得w==0×2=0．其中=0(用洛必达法则)．知识点解析：暂无解析8、求极限w=标准答案：w==2.e20=2e．知识点解析：暂无解析9、求下列极限：(Ⅰ)w=(II)w=标准答案：(I)注意x→0时，1－cos(xx4，ex4－1～x4w==4．(II)因为～2x.x3(x→0)，ln(1+2x3)～2x3(x→0)，所以w=知识点解析：暂无解析10、求w=标准答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：x→0时sin3x～x3，ln(1+～x2～sin2x，于是w=最后用洛必达法则得w=2知识点解析：暂无解析11、求w=标准答案：属∞－∞型．先通分化成型未定式，则有w=直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到[ln(x+，从而=1．这表明ln(x+)～x(x→0)．因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有知识点解析：暂无解析12、求w=标准答案：由于，而或者ln(x→0)，若用该等价无穷小因子替换(可简化计算)，则有因此w=知识点解析：暂无解析13、求下列极限f(x)：(I)f(x)=(Ⅱ)f(x)=标准答案：知识点解析：暂无解析14、求数列极限w=－1)标准答案：由lnn(n→∞)．用等价无穷小因子替换得w=lnn．引入函数f(x)=(x＞0)，则w==0．知识点解析：暂无解析15、设xn=，求xn．标准答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小．注意，已知=1，于是=1因此xn=1．知识点解析：暂无解析16、求数列极限：(I)(M＞0为常数)；(II)设数列｜xn｜有界，求标准答案：(I)存在自然数k，k≥M，使1＞＞…，当n＞k时，有即当n＞k时，有0＜是常数，且=0，由夹逼定理知=0．(II)由于｜xn｜有界，故M＞0，对一切n有｜xn｜≤M．于是0＜n)，由题(I)的结论及夹逼定理知=0．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，1]上连续，求xnf(x)dx．标准答案：因为xndx=，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是又=0，则xnf(x)dx=0．知识点解析：暂无解析18、设a1＞0，an+1=(n=1，2，…)，求an．标准答案：显然，0＜an＜3(n=2，3，…)，于是｜an｜有界．令f(x)=，则an+1=f(an)，f′(x)=＞0(x＞0)．于是f(x)在x＞0单调上升，从而｜an｜是单调有界的，故极an存在．令an=A，对递归方程取极限得A=，解得A=．因此an=．知识点解析：暂无解析19、设x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求xn．标准答案：令f(x)=2+，则x=n+1=f(xn)．显然f(x)在x＞0单调下降，因而由上面的结论可知｜xn｜不具单调性．易知，2≤xn≤．设xn=a，则由递归方程得a=2+，即a2－2a－1=0，解得a=，则由a≥2知a=+1＞2．现考察｜xn+1－a｜=｜xn－a｜，因此，xn=a=+1．知识点解析：暂无解析20、求w=标准答案：x→0时，t=(1+x)x－1→0，则(1+x)x－1=t－ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得w==1．知识点解析：暂无解析21、设f(x)=(I)若f(x)处处连续，求a，b的值；(II)若a，b不是(I)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．标准答案：(I)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表达式．当｜x｜＞1时，f(x)=当｜x｜＜1时，f(x)==ax2+bx．于是得其次，由初等函数的连续性知f(x)分别在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，+∞)上连续．最后，只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性．这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在x=1连续f(1+0)=f(1－0)=f(1)a+b=1=(a+b+1)a+b=1；f(x)在x=－1连续f(－1+0)=f(－1－0)=f(－1)a－b=－1=(a－b－1)a－b=－1．因此f(x)在x=±1均连续a=0，b=1．当且仅当a=0，b=1时f(x)处处连续．(II)当(a，b)≠(0，1)时，若a+b=1(则a－b≠－1)，则x=1是连续点，只有x=－1是间断点，且是第一类间断点；若a－b=－1(则a+b≠1)，则x=－1是连续点，只有间断点x=1，且是第一类间断点；若a－b≠一1且a+b≠1，则x=1，x=－1均是第一类间断点．知识点解析：暂无解析22、求下列极限：(I)w=(II)w=标准答案：(I)恒等变形：分子、分母同乘，然后再同除x2，得(II)恒等变形：分子、分母同除－x(x＜0，－x=｜x｜=)，得知识点解析：暂无解析23、求下列极限：(I)w=(II)w=标准答案：(I)先恒等变形，并作等价无穷小因子替换：1－cosx～x(x→0+)，(II)这是求型极限，用洛必达法则得知识点解析：暂无解析24、求下列极限：(I)w=(Ⅱ)w=标准答案：(I)属∞.0型．可先作恒等变形，然后用等价无穷小因子替换即得w=ln3=ln3，其中ln3(x→∞)．(Ⅱ)属∞.0型．可化为型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限．知识点解析：暂无解析25、求下列极限：(I)w=(Ⅱ)w=标准答案：(I)属∞.∞型．先化成型未定式，即w=，作等价无穷小因子替换与恒等变形再用洛必达法则即得(II)属∞.∞型．先作变量替换并转化成型未定式，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析26、求下列极限：(I)w=(arcsinx)tanx；(Ⅱ)w=(Ⅲ)w=(Ⅳ)w=标准答案：(I)属00型．[tanxln(arcsinx)]=[xln(arcsinx)]因此w==e0=1．(Ⅱ)属1∞型．用求1∞型极限的方法(limf(x)g(x)=eA，A=limg(x)[f(x)－1])．w==eA，而故w=e2(Ⅲ)属∞0型．＝－1因此w=e－1．(Ⅳ)属∞0型．利用恒等变形及基本极=1可得w==1.20=1．知识点解析：暂无解析27、求w=标准答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x4(x→0)化简分母后再用洛必达法则得知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[0，+∞)连续，且满足=1．求w=标准答案：先作恒等变形转化为求型极限，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析29、(I)设f(x)，g(x)连续，且=1，又φ(x)=0，求证：无穷小g(t)dt(x→a)；(II)求w=ln(1+2sint)dt／[ln(1+2sint)dt]3｝．标准答案：(I)由(II)因ln(1+2sinx)～2sinx一2x(x→0)，由题(I)2tdt=x2．因此，利用等价无穷小因子替换即得w==1．知识点解析：暂无解析30、已知=2，求a，b之值．标准答案：原式可改写成=2．由于该式成立，所以必有3－=0，即a=9．将a=9代入原式．并有理化得由此得b=－12．故a=9，b=－12．知识点解析：暂无解析31、确定常数a，b，c的值，使=4．标准答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1－e－2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母dt→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=－2，c=0．知识点解析：暂无解析32、求xn，其中xn=－1)．标准答案：作恒等变形后再作放大与缩小：于是又，故由夹逼定理知知识点解析：暂无解析33、证明ex2cosnxdx=0．标准答案：先对积分ex2cosnxdx建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分．于是→0(n→∞)．因此ex2cosnxdx=0．知识点解析：暂无解析34、求w=标准答案：记xn=是f(x)=tanx在[0，1]区间上的一个积分和．由于f(x)在[0，1]上连续，故可积，于是因此，我们对xn用适当放大缩小法，将求xn转化为求积分和的极限．因又于是由夹逼定理得xn=－lncos1．知识点解析：暂无解析35、设xn=，求xn．标准答案：先取对数化为和式的极限lnxn=ln(n2+i2)－4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是f(x)=ln(1+x2)在[0，2]区间上的一个积分和(对[0，2]区间作2n等分，每个小区间长)，则=2ln5－4+2arctan2．因此=e2ln5－4+2arctan2=25e－4+2arctan2．知识点解析：暂无解析36、求数列极限xn，其中xn=n[e(1+)－n－1]．标准答案：先用等价无穷小因子替换：于是现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得知识点解析：暂无解析37、当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：(I)ex4－2x2－1；(II)(1+tan2x)sinx－1；(Ⅲ)(Ⅳ)sint.sin(1－cost)2dt．标准答案：(I)ex4－2x2－1～x4－2x2～－2x2(x→0)，即当x→0时ex4－2x2－1是x的2阶无穷小，故n=2．(II)(1+tan2x)sinx－1～ln[(1+tan2x)sinx－1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x.x2=x3(x→0)，即当x→0时(1+tan2x)sinx－1是x的3阶无穷小，故n=3．(Ⅲ)由1－是x的4阶无穷小，即当x→0时是x的4阶无穷小，故n=4．(Ⅳ)即当x→0时sintsin(1－cost)2dt是x的6阶无穷小，故n=6．知识点解析：暂无解析38、设α＞0，β＞0为任意正数，当x→+∞时将无穷小量：，e－x按从低阶到高阶的顺序排列．标准答案：先考察lny=－∞elny=0．再考察因此，当x→+∞时，按从低阶到高阶的顺序排列为，e－x．知识点解析：暂无解析39、设f(x)=讨论y=f[g(x)]的连续性，若有间断点并指出类型．标准答案：先写出f[g(x)]的表达式．考察g(x)的值域：当x≠1，2，5时f[g(x)]分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续．当x=2，5时，分别由左、右连续得连续．当x=1时，x2=1，从而f[g(x)]在x=1不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析40、设f(x)在[0，1]连续，且f(0)=f(1)，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+)，标准答案：即证：F(x)在[0，1]存在零点．因f(x)在[0，1]连续，所以F(x)=f(x)－f(x+连续．事实上，我们要证：F(x)在[0，1]存在零点(只需证F(x)在[0，1]有两点异号)．考察则f(0)+F=f(0)－f(1)=0．于是F(0)，中或全为0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理，ξ∈[0，1－]，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+)．知识点解析：暂无解析41、设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明：(I)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)上有界．标准答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形．(I)由f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，X1使得f(X1)＜μ．由f(x)=B＞μ可知，X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知ξ∈(X1，X2)(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因f(x)=A，f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，X1使得当x∈(－∞，X1)时f(x)有界；X2(＞X1)使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(－∞，+∞)上有界．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1；(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(一1)f"(x)一xf’(x)=ex一1，则下列说法正确的是A、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)是f(x)的极大值．标准答案：B知识点解析：(Ⅰ)由条件=1及f’(x)在x=0连续即知(x)=f’(0)=0．用洛必达法则得．因(x)=f"(0)，若f"(0)≠0，则J=∞，与J=1矛盾，故必有f"(0)=0．再由f"’(0)的定义得→f"’(0)=2．因此，(0，f(0))是拐点．选C．(Ⅱ)已知f’(0)=0，现考察f"(0)．由方程得又f"(x)在x=0连续→f"(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的极小值．应选B．二、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)2、求曲线y=+ln(1+ex)的渐近线方程．标准答案：只有间断点x=0，因+ln(1+ex)]=∞，故有垂直渐近线x=0．又因此，x→+∞时有斜渐近线y=x．最后，+ln(1+ex)]=0+ln1=0，于是x→一∞时有水平渐近线y=0．知识点解析：暂无解析3、运用导数的知识作函数y=x+的图形．标准答案：求渐近线．只有两个间断点x=±1．=±∞，则x=1为垂直渐近线．又=±∞，则x=一1也是垂盲渐沂终．又所以y=x是斜渐近线，无水平渐近线．综上所述，作函数图形如图4．7所示．知识点解析：暂无解析4、在椭圆=1内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该矩形最大面积．标准答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为M(x，y)，则矩形的面积为S(x)=4xy=(0≤x≤a)．下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S’(x)：令S’(x)=0解得x=，因S(0)=S(a)=0，S()=2ab，所以S(x)在[0，a]的最大值即内接矩形最大面积为2ab．知识点解析：暂无解析5、在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?标准答案：设外切圆锥体的底半径为r，高为h．见图4．8，记∠ABO=φ，则tanφ=，于是圆锥体体积为求V(r)的最小值点等价于求f(r)=的最小值点．由于知识点解析：暂无解析6、设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，其中g(x)是f(x)的反函数．标准答案：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx—af(a)，对a求导得F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)一af’(a)一f(a)，由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，从而F(a)为常数．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．知识点解析：即证对a有函数恒等式∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx=af(a)成立．7、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导且满足f(0)=0，f(x)≥0，f(x)≥f’(x)(x＞0)，求证：f(x)≡0．标准答案：由f’(x)一f(x)≤0，得e-x[f’(x)一f(x)]=[e-xf(x)]’≤0．又f(x)e-x｜x=0=0，则f(x)e-x≤f(x)e-x｜x=0=0．进而f(x)≤0(x∈[0，+∞))，因此f(x)≡0(x∈[0，+∞))．知识点解析：因f(x)≥0，若能证f(x)≤0，则f(x)≡0．因f(0)=0，若能证f(x)单调不增或对某正函数R(x)，R(x)f(x)是单调不增的，这只需证f’(x)≤0或[R(x)f(x)]’≤0．由所给条件及积分因子法的启发，应采取后一种方法．8、证明函数f(x)=(1+2x在(0，+∞)单调下降．标准答案：下证2xln2x一(1+2x)ln(1+2x)＜0(x＞0)．令t=2x，则x＞0时t＞1，2xln2x一(1+2x)ln(1+2x)=tlnt一(1+t)ln(1+t)g(t)．由于g’(t)=lnt—ln(1+t)＜0(t＞0)→g(t)在(0，+∞)单调下降，又g(t)=0→g(t)＜0(t＞0)．知识点解析：暂无解析9、设f(x)在(a，b)四次可导，x0∈(a，b)使得f"(x0)=f"(x0)=0，又设f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，求证f(x)在(a，b)为凹函数．标准答案：由f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，知f"(x)在(a，b)单调上升．又因f"’(x0)=0，故f"’(x)从而f"(x)在[x0，b)单调上升，在(a，x0]单调下降．又f"(x0)=0，故f"(x)＞0(x∈(a，b)，x≠x0)，因此f(x)在(a，b)为凹函数知识点解析：暂无解析10、设y=y(x)是由方程2y3—2y2+2xy一x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?标准答案：(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y’(x)．将方程两边对x求导得6y2y’一4yy’+2xy’+2y一2x=0，整理得y’=．①(Ⅱ)由y’(x)=0及原方程确定驻点．由y’(x)=0得y=x代入原方程得2x3一2x2+2xx一x2=1，即x3一x2+x3一1=0，(x一1)(2x2+x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y2—2y+x≠0．因此求得驻点x=1．(Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y2—2y+x)y’=x一y．②将②式两边对x在x=1求导，注意y’(1)=0，y(1)=l，得2y"(1)=1，y"(1)=＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．知识点解析：暂无解析11、求函数y=(x∈(0，+∞))的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．标准答案：函数y=在定义域(0，+∞)上处处连续，先求y’，y"，和它们的零点及不存在的点．由y’=0得x=1；x=时y"不存在；无y"=0的点．现列下表：因此得y=单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+∞)，x=1是极小值点，凹区间是是拐点．最后求渐近线．因y==0，所以无垂直渐近线．由于因此只有斜渐近线y=x．知识点解析：暂无解析12、设a＞0，求f(x)=的最值．标准答案：f(x)在(一∞，+∞)上连续且可写成如下分段函数由此得x∈(一∞，0)时f’(x)＞0，故f(x)在(一∞，0]单调增加；x∈(a，+∞)时f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)单调减少．从而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(一∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f’(x)=0，即(1+a一x)2一(1+x)2=0，得x=．又因此f(x)在[0，a]即在(一∞，+∞)的最大值是．由于f(x)在(一∞，0)单调增加，在(a，+∞)单调减少，又f(x)在[0，a]的最小值f(x)=0，因此f(x)在(一∞，+∞)上无最小值．知识点解析：暂无解析13、求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值．标准答案：由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得f’(x)=2x(2一x2)．解f’(x)=0得x=0与x=，于是从而，f(x)的最大值是f()=∫02(2一t)e-tdt=一∫02(2一t)de-t=(t一2)e-t｜02一∫02e-tdt=2+e-t｜02=1+e-2．由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与f(x)的大小．由于f(x)=∫0+∞(2一t)e-tdt=[(t一2)e-t+e-t]｜｜0+∞=1＞f(0)=0，因此f(0)=0是最小值．知识点解析：f(x)的定义域是(一∞，+∞)，由于它是偶函数，故只需考虑x∈[0，+∞)．求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性．由于需要考察f(0)是否为最值，还需讨论极限值f(x)．14、在椭圆=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．标准答案：过椭圆上任意点(x0，y0)的切线的斜率y’(x0)满足分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为S(x0)=问题是求：S(x)=πab(0＜x＜a)的最小值点，其中y=，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x2(a2一x2)在团区间[0，a]上的最大值点．由f’(x)=2x(a2—2x2)=0(x∈(0，a))得a2—2x2=0，x=x0=．注意f(0)=f(a)=0，f(x0)＞0，故x0=是f(x)在[0，a]的最大值点．因此为所求的点．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=x(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?标准答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程f’(x)一(取其中一个)，得ax2+Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2．由已知条件得2=∫01，则C=4一a．因此，f(x)=ax2+(4一a)x，其中a为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．．又f’(x)=3ax+4一a，由此易知一8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋转体的体积．V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01ax2+(4—a)x]2dx=π∫01[x4+x2—3x3)a2+(12x3—8x2)a+16x2]dx=π()．(Ⅳ)求V(a)的最小值点．由于则当a=一5时f(x)＞0(x∈(0，1))，旋转体体积取最小值．知识点解析：暂无解析16、证明：当x＞1时0＜lnx+(x一1)3．标准答案：对x≥1引入函数f(x)=lnx+一2，则f(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时从而f(x)在[1，+∞)单调增加，又f(1)=0，所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即lnx+一2＞0．令g(x)=lnx+(x—1)3，则g(x)在[1，+∞)可导，且当x＞0时故g(x)在区间[1，+∞)上单调减少，又g(1)=0，所以当x＞1时g(x)＜g(1)=0，即lnx+(x一1)3当x＞1时成立．知识点解析：暂无解析17、当x≥0，证明∫0x(t—t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．标准答案：令f(x)=∫0x(t—t2)sin2ntdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f’(x)=(x一x2)sin2nx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t。于是当x≥0时有f(x)≤f(1)=∫01(t一t2)sin2ntdt≤∫01(t一t2)2ndt知识点解析：暂无解析18、求证：当x＞0时不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．标准答案：令f(x)=x2一(1+x2)ln2(1+x)，则有f(0)=0，f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0，于是f"(x)当x≥0时单调增加，又f"(0)=0，所以当x＞0时f"(x)＞f"(0)=0．从而f’(x)当x≥0时单调增加，3(f’(0)=0，故当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞一f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．标准答案：要证f(x)＞0←→exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可导且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)→exf(x)在[0，+∞)单调上升→exf(x)＞exf(x)｜x=0=0(x＞0)→f(x)＞0(x＞0)．知识点解析：暂无解析20、求让：x∈[0，1]时，≤xp+(1一x)≤1，p＞1；1≤xp+(1—x)p≤，0＜p＜1．标准答案：令f(x)=xp+(1一x)p，则f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且有f’(x)=p[xp—1一(1—x)p—1]．令f’(x)=0得x=．易知f(0)=f(1)=1，．当p＞1时，1＞→f(x)在[0，1]的最大值为1，最小值为→≤f(x)≤1，x∈[0，1]．当0＜p＜1时，1＜→f(x)在[0，1]的最大值为，最小值为1→1≤f(x)≤，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有｜f(x1)一f(x2)｜＜．标准答案：联系f(x1)一f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x1≤x2≤1．分两种情形：1)若x2一x1＜，直接用拉格朗日中值定理得｜f(x1)一f(x2)｜=｜f’(ξ)(x2一x1)｜=｜f’(ξ)｜｜x2一x1｜＜．2)若x2一x1≥，当0＜x1＜x2＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x1]与[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得｜f(x1)一f(x2)｜=｜[f(x1)—f(0)]一[f(x2)一f(1)]｜≤｜f(x1)一f(0)｜+｜f(1)一f(x2)｜=｜f’(ξ)x1｜+｜f’(η)(1一x2)｜＜x1+(1一x2)=1一(x2一x1)≤，①当x1=0且x2≥时，有｜f(x1)一f(x2)｜=｜f(0)一f(x2)｜=｜f(1)一f(2)｜=｜f’(η)(1一x2)｜＜．②当x1≤且x2=1时，同样有｜f(x1)一f(x2)｜=｜f(x1)一f(1)I=｜f(x1)—f(0)｜=｜f’(ξ)(x1—0)｜＜．因此对于任何x1，x2∈[0，1]总有｜f(x1)一f(x2)｜＜．知识点解析：暂无解析22、求证(x∈(0，1))．标准答案：改写右端对f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]区间用柯西中值定理：注意函数在(0，1)是单调减函数，因为原不等式成立．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．标准答案：即证[∫01f(x)dx]2一∫01f3(x)dx＞0．考察F(x)=[∫0xf(t)dt]2一∫0xf3(t)dt，令F(x)=[∫0xf(t)dt]2一∫0xf3(t)dt，易知F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，F’(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt一f2(x)]．由条件知，f(x)在[0，1]单调上升，f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，从而F’(x)与g(x)=2∫0xf(t)dt—f2(x)同号．再考察g’(x)=2f(x)[1一f’(x)]＞0(x∈(0，1))，g(x)在[0，1]连续，于是g(x)在[0，1]单调上升，g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F’(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0，1]单调上升，F(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此F(1)=[∫01f(x)dx]2一∫01f3(x)dx＞0．即结诊成立．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则(Ⅰ)若f"(x)＞0(∈(a，b))，有f[tx1+(1一t)x2]＜tf(x1)+(1一t)f(x2)，(4．6)特别有[f(x1)+f(x2)]；(Ⅱ)若f"(x)＜0(x∈(a，b))，有f[tx1+(1一t)x2]＞tf(x1)+(1一t)f(x2)，(4．7)特别有[f(x1)+f(x2)]．标准答案：(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f"(x)＞0(x∈(a，b))→f(x)在(a，b)为凹的→(4．5)相应的式子成立．注意tx1+(1一t)x2∈(a，b)→f(x1)＞[tx1+(1一t)x2]+f’[tx1+(1一t)x2][x1一(tx1+(1一t)x2)]=f[tx1+(1一t)x2]+f’[tx1+(1一t)x2](1一t)(x1一x2)，f(x2)＞f[tx1+(1一t)x2]+f’[tx1+(1一t)x2][x2一(tx1+(1一t)x2)]=f[tx1+(1一t)x2]一f’[tx1+(1一t)x2]t(x1一x2)，两式分别乘t与(1一t)后相加得tf(x1)+(1一t)f(x2)＞f[tx1+(1一t)x2]．知识点解析：暂无解析25、设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式：(Ⅰ)ap+bp＞21—p(a+b)p(p＞1)；(Ⅱ)ap+bp＜21—p(a+b)p(0＜p＜1)．标准答案：将ap+bp>21—p(a+b)p改写成．考察函数f(x)=xp，x＞0，则f’(x)=pxp—1，f"(x)=p(p一1)xp—2．(Ⅰ)若p＞1，则f"(x)＞0(＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，由已知不等式(4．6)，其中t=a＞0，b＞0，a≠6，有(ap+bp)．(Ⅱ)若0＜p＜1，则f"(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，由不等式(4．7)，其中t=(ap+bp)．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、由曲线y=1一(x一1)2及直线y=0围成的图形绕y轴旋转而成立体图形的体积V是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：图形如图1—5—1所示，本题也可利用另一公式来计算．设b>a≥0，曲线y=f(x)≥0(a≤x≤b)与直线x=a，x=b及x轴所围图形绕y轴所得旋转体的体积V=∫ab2πxf(x)dx．2、已知｜a｜=2，且a·b=2，则｜a×b｜=()．A、2B、C、D、1标准答案：A知识点解析：本题主要考查向量的数量积的定义以及向量的向量积的模的计算公式．因为a．b=｜a｜｜b｜cos(a，b)=于是，｜a×b｜—｜a｜｜b｜sin(a,b)=故选A．3、u=ln(tanx+tany+tanz)，则()．A、一1B、一2C、1D、2标准答案：D知识点解析：故选D．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)4、若______．标准答案：应填知识点解析：5、若g’(0)=g(0)=0，则f’(0)=______．标准答案：应填0．知识点解析：一般地说，分段函数在分段点处的导数用定义去求．上式中，为有界变量，无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量．6、设x=rcosθ，y=rsinθ，将极坐标下的累次积分转换成直角坐标系下的累次积分：=______．标准答案：应填知识点解析：在极坐标系下，积分区域D：0≤θ≤，1≤r≤2cosθ．故在直角坐标系下，D为x2+y2=1和x2+y2=2x以及x轴上的线段1≤x≤2围成的区域，所以三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)7、求极限标准答案：原式知识点解析：是型，用洛必塔法则，且当x→0时，ln(1+x),sin2x～x2．8、设f(x)具有连续的二阶导数，且标准答案：由知识点解析：可知，所求极限与已知极限均为“1∞”型极限．本例也可利用台劳公式求解．由<=>f(0)=0，f’(0)=0，及f(x)二阶可导，便可写出f(x)的表达式：代入已知极限，可得f’’(0)=4．所以，f(x)=2x2+0(x2)，故9、讨论在x=0处的连续性与可导性．标准答案：所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：这是一个分段函数，分段点为x=0，直接计算左、右极限和左、右导数．10、设f(x)>0，f’’(x)在(一∞，+∞)内连续，令(1)求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性．(2)证明φ(x)单调递增．标准答案：(1)当x≠0时，当x=0时，于是，当x≠0时，f(x)＞0，[∫0xf(t)dt]2＞0，φ’(x)连续．又所以φ’(x)在x=0连续．（2）要证φ(x)单调递增，只要证明φ’(x)≥0．因为又f(x)＞0，[∫0xf(t)dt]2≥0，只需证明g(x)=∫0x(x－t)f(t)dt]≥0．当x=0时，g(0)=0；当x>0时，g’(x)=∫0xf(t)dt＞0；当x<0时，g’(x)=－∫0xf(t)dtx<0．因此，当x<0时，g(x)严格递减，当x>0时，g(x)严格递增，而g(0)=0为最小值，故g(x)≥0，并且仅当x=0时，g(0)=0．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证：(1)存在点η∈使得f(η)=η．(2)对必存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)－ξ]=1．标准答案：(1)令F(z)=f(x)一x，则F(x)在[0，1]上连续，又F(1)=一1<0，由介值定理可知，在中至少存在一点η,使得F(η)=0，即f(η)=η．(2)令φ(x)=[f(x)一x]e－λx，则φ(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且φ(0)=0，φ(η)=[f(η)－η]e－λη=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，η)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，即e－λξ一λ(f(ξ)一ξ)一1]=0．从而有f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．知识点解析：(1)这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为函数的零点问题．f(η)一η=0，即f(x)一x=0，即F(x)=f(x)一x在内有零点．由于待证的结论中不含导数，所以可由介值定理证明．(2)欲证结论中含有一阶导数，应构造辅助函数用洛尔定理证明．由f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1，得到f’(x)一λf(x)=1一λx，再由一阶非齐次线性方程的通解公式得f(x)=e∫λdx[∫(1一λx)e－∫λdxdx+c12、设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f’’(x)>0，且又存在点x0，使得f(x0)<0，试证：方程f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．标准答案：先证存在性．于是，可知f(x)在(0，+∞)内单调增加．任取x∈[M，+∞)，f(x)在[M，x]上连续，在(M，x)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在点ξ∈(M，x)，使得f(x)=f(M)+f’(ξ)(x—M)，于是，又存在点x0，使得f(x0)＜0．所以，由介值定理，存在点ξ1∈(x0，x)，使得f(ξ1)=0．同理可证，当x<0时，存在点ξ2∈(x，x0)，使得f(ξ2)=0．再证唯二性．(反证法)假若f(x)=0有三个实根ξ1，ξ2，ξ3(ξ1＜ξ2＜ξ3)，由洛尔定理，存在点η1∈(ξ1，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ3)，使得f’(η1)=f’(η2)=0．再由洛尔定理，存在点η∈(η1，η2)，使得f’’(η)=0．与题设f’’(x)>0矛盾，故f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且f’(x)一f(x)+=0，求∫[f’’(x)－f’(x)]e－xdx．标准答案：由题设知，f’(x)—f(x)+∫0xf(t)dt=0，并且f’(0)=f(0)=1．于是，有(1+x)f’(z)一(1+x)f(z)+∫0xf(t)dt=0．两边对x求导得f’(x)_+(1+x)f’’(x)一f(x)一(1+x)f’(x)+f(x)=0．即(1+x)f’’(x)一xf’(x)=0．令f’(x)=p，则有(1+x)p’一xp=0．分离变量得，即由f’(0)=1，得c=1．代入上式，故∫[f’’(x)一f’(x)]e－xdx=∫f’’(x)e－xdx—∫f’(x)e－xdx=f’(x)e－x+∫f’(x)e－xdx一∫f’(x)e－xdx=f’(x)e－x+c=．知识点解析：∫[f’’(x)一f’(x)－]e－xdx=∫f’’(x)e－xdx—∫f’(x)e－xdx=f’(x)e－x+∫f’(x)e－xdx—∫f’(x)e－xdx=f’(x)e－x+c．计算该积分的关键是求f’(x)．含有抽象函数导数的积分，一般用分部积分法．14、求∫－22min(2，x2)dx．标准答案：知识点解析：若被积函数为分段函数，先求出分段函数的具体形式，把积分区间分为对应的若干部分再积分．15、设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=，试证：标准答案：因为∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x－c)=(x—c)f(x)｜01一∫01(x—c)f’(x)dx=－∫01(x—c)f’(x)dx所以，｜∫01f(x)dx｜≤｜∫01(x－c)f’(x)dx｜≤∫01｜(x－c)｜｜f’(x)｜dx≤M∫01｜x－c｜dx=M[∫0c(c－x)dx+∫c1(x－c)dx]知识点解析：要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小，用分部积分法建立f(x)与f(x)定积分的关系式，然后再放缩．由f(0)=f(1)=0可知，分部积分应注意应用小技巧dx=d(x—c)，c∈[0，1]．涉及f(x)的积分值与f’(x)函数值的大小比较问题，一般可考虑用微分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式或分部积分先作处理，然后放缩．16、求由曲线y=e－xsinx的x≥0部分与x轴所围成的平面图形的面积．标准答案：所求的面积为知识点解析：由图1—5—2可知，所求面积可表示为无穷多个定积分之和，即面积是一个通项为定积分的无穷级数，于是由无穷级数求和可得待求的面积．17、设曲线y=lnx，x轴及x=e所围成的均匀薄板的密度为1，求此薄板绕直线x=t旋转的转动惯量I(t)，并求当t为何值时，I(t)最小?标准答案：知识点解析：质量为m的质点对直线l的转动惯量为md2，d是质点到l的距离．因此先求平面薄板上任意一点(x，y)到直线l的距离，然后用二重积分来计算这个转动惯量，再求最小值．18、设平面π过原点，且与直线都平行，求平面π的方程．标准答案：由题意知直线的方向向量为s1={0,1,1}，直线的方向向量为s2={1,2,1}．由于平面π与直线L1、L2都平行，所以平面π的法向量为又因为平面π过原点，故其方程为x一y+z=0．知识点解析：本题主要考查直线的参数方程与标准方程、向量的向量积及平面的点法式方程．(1)空间直线方程的参数方程为x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt；标准(对称式、点法式)方程为(2)空间直线与平面互相平行的充分必要条件是Am+Bn+Cp=0，其中空间直线的任一方向向量为s={m，n，p)，平面π的法向量为，n={A，B，C)．19、设函数u=u(x，y)由方程u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0所确定，求标准答案：设方程组确定u、z、t是变量x、y的函数．现在变量z、t不再是中间变量，而是视为因变量对待．由隐函数的求导方法，得知识点解析：先由方程g(y，z，t)=0，h(z，t)=0解出y的函数z=z(y)，t=t(y)，再将其代入到u=f(x，y，z，t)中，从而得到函数u=u(x，y)．本题在求导数时，要分析函数的关系，明确谁是因变量，谁是中间变量，谁是自变量．20、求二重积分其中积分区域D={(x，y)｜0≤ay≤x2+y2≤2ay，a>0)．标准答案：其中D1是由D中x≥0部分的区域组成．本题用到了二重积分关于坐标轴的对称性．知识点解析：因为积分区域D是圆域的一部分，故可用极坐标系计算．又因为积分区域D是关于坐标y轴对称，则只需分析被积函数f(x，y)关于变量x的奇偶性即可．21、设函数f(x)在[0，1]上连续，并设∫01f(x)dx=A，求I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy．标准答案：交换积分次序．积分区域其中最后一个等式是在D2={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x)上积分，故知识点解析：因为f(x)为抽象函数，未具体给出，故原函数无法直接求得．为避免出现f(x)的原函数，通过交换积分次序，化为已知积分的形式，从而求出结果．22、计算其中L是曲线4x+y2=4上从点A(1，0)到点B(0，2)的一段弧．标准答案：先选y做参数，则再将曲线方程4x+y2=4代入并化简，则知识点解析：本题主要考查曲线积分的参数法．23、设f(u)为连续函数，L为xOy坐标平面上分段光滑的闭曲线，试证：标准答案：因为所给曲线积分为0，则只需证明被积表达式f(x2+y2)(xdx+ydy)是某个二元函数u(x,y)的全微分即可．为此，取则du=f(x+y)(xdx+ydy)．又由于L是闭曲线，所以知识点解析：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件．本题不可以用来证明，因为函数f(u)不一定可导．24、计算曲面积分被平面z=1和z=2所截出部分的外侧．标准答案：利用高斯公式．补充有向曲面∑1：z=1下侧；有向曲面∑2：z=2上侧．利用高斯公式，有其中Ω是∑、∑1和∑2围成的区域．又由于知识点解析：暂无解析25、证明级数收敛，且其和数小于1．标准答案：由微分得中值定理，知其中ξ∈(n,n+1),于是因为级数由正项级数的比较判断法，知级数收敛，且其和小于1．知识点解析：首先，判断该级数是正项级数．其次，利用正项级数的比较判别法，判别其收敛，且其和小于1．26、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：当x=±1时，原级数知级数发散．当x=0时，的收敛域为一1＜x＜1，和函数知识点解析：由此幂级数的构成知，本题可以先求收敛域再求和函数；也可以先通过几何级数求导和求积分得到和函数，再由幂级数的性质得收敛半径，然后讨论端点处的收敛性，得幂级数的收敛域．27、设u0=0，u1=1,un+1=2un－un－1，n=1，2，…·试求f(x)的函数显式表达式．标准答案：由于un+1=2un一un－1，u0=0，u1=1，所以un+1一un=un一un－1，令Yn=un一un－1，则Y1=1，Yn+1=Yn．于是Yn=1，n=1，2，…，即un一un－1=1．又u0=0，所以Un=n，故知识点解析：暂无解析28、求解微分方程标准答案：作变量代换u=x+y，则微分方程化为这是一个可分离变量得微分方程．两边积分，得再将变量u=x+y代入，得原微分方程的通解为其中c为任意常数．知识点解析：本题的关键在于作变量代换，对于复合函数首先要化简，然后再化成相应的微分方程求解．29、求解微分方程xy’’+y’=4x．标准答案：令y’=P，则y’’=P’．于是，xp’+P=4x，这是一个一阶线性微分方程．由于(xp)’=4x，两边积分，得px=2x2+c1，从而再积分一次，即得原微分方程的通解为y=x2+c1ln｜x｜+C2，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：本题主要考查二阶微分方程如何降阶为一阶微分方程．形如y’’=f(x，y’)的微分方程，一般的解题方法是：令y’=P，则y’’=P’．于是，P’=f(x，p)为一个一阶线性微分方程．30、求微分方程y’’+y=cosxcos2x的通解．标准答案：对应齐次方程的特征根为λ1=i,λ2=－i，所以其齐次方程的通解为c1cosx+c2sinx．又f(x)=cosxcos2x=故为求其一特解，只要分别求两个方程的特解z1(x)和z2(x)，则z1(x)+z2(x)就是原方程的特解．因为μ1=3i不是特征根，故①有形如z1(x)=A1cos3x+B1sin3x的特解，代入①中，比较同类项系数得B1=0．因为μ2=i=λ1是特征根，故②有形如z2(x)=(A2cosx+B2sinx)x的特解，代入②中，比较同类项系数知A2=0，所以所求的原方程的通解为知识点解析：因为非齐次项f(x)=cosxcos2x=故用叠加原理求解．考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)1、将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：I=dθ∫02acosθF(r，θ)dr，其中F(r，θ)=f(rcosθ，rsinθ)r．标准答案：r=2acosθ是圆周x2+y2=2ax，即(x一a)2+y2=a2，因此D的图形如图9．43所示．为了先θ后r的积分顺序，将D分成两块，如图9．43虚线所示，D=D1∪D2，且知识点解析：在直角坐标系中画出D的图形，然后交换积分顺序确定积分限．或在Oθr直角坐标系中画出D’的图形，然后交换积分顺序．2、计算累次积分：I=∫01dx∫0x+1ydy+∫12ydy+∫23dx∫x3ydy．标准答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1；2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D如图9．45所示，因此D可表示为D={(x，y)｜1≤y≤3，y一1≤x≤y}，则原式=ydσ=∫13dy∫y—1yydx=∫13ydy=y2｜13=4．知识点解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对Y积分，必须先确定积分区域D，然后再交换积分顺序．3、交换累次积分的积分顺序：I=∫01dx∫01—xdy∫0x+yf(x，y，z)dz，改换成先x最后y的顺序．标准答案：据以上分析，把该累次积分看成是三重积分按先一(z)后二的顺序化成的，则I=dxdy∫0x+yf(x，y，z)dz，其中Dxy={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1一x}，如图9．46．交换x与y的顺序得I=∫01dy∫01—ydx∫0x+yf(x，y，z)dz．再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的，则I=∫01dyf((x，y，z)dzdx，其中Dzx={(z，x)｜0≤x≤1一y，0≤z≤x+y}，如图9．47．(对z、x积分时y是参数，z、x变动时y是不变的)，交换z与z的积分顺序(先对x积分要分块积分)得I=∫01dy∫0ydz∫01—yf(x，y，z)dx+∫01dy∫y1dz∫z—y1—yf(x，y，z)dx．知识点解析：这是对已化成累次积分的三重积分f(x，y，z)dV交换积分顺序的问题．这时可不必画出Ω的图形(一般也很难画)，只要把它看成是一次定积分加一次二重积分化成的，对其中的二重积分交换积分顺序，因而有时需分两步走，其中的每一步均是二重积分交换积分顺序问题．如本题：第一步，交换x与y的次序；第二步，交换x与z的次序，就会得到以x，z，y的顺序的累次积分．这种顺序交换可如同二重积分一样进行，关键步骤是画出二重积分区域的图形．有了图形，积分限就容易写出了．4、求I=∫01dx∫x1dy∫y1ydz．标准答案：希望通过交换积分顺序，比较容易地算出这个累次积分．把它看成是三重积分按先一后二的顺序化成的．于是其中Dxy={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图9．48．对外层积分按先x后y的顺序得其中D如图9．49，按先y后z的顺序配限得知识点解析：暂无解析5、将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：(Ⅰ)dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分；(Ⅱ)计算．标准答案：(Ⅰ)D的极坐标表示：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤θ≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，则D为左半圆域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+，x≤0．用先对y后对x积分．知识点解析：题(Ⅰ)是极坐标变换下的累次积分，先写成f(x，y)dxdy，确定积分区域D，再化成累次积分．题(Ⅱ)中无论是先对x，还是先对y积分都很难进行，这是因为的原函数不是初等函数，所以必须改用其他坐标系．又由于被积函数属f(x2+y2)的形式，因此选用极坐标系较方便．6、计算(a＞0)，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．标准答案：由于圆的方程为：(x一a)2+(y一a)2=a2，区域D的边界所涉及的圆弧为y=a一，所以知识点解析：暂无解析7、计算二重积分{｜x+y｜一2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，一2≤y≤2．标准答案：如图9．50，用直线y=一x+2，y=一x将D分成D1，D2与D3．于是知识点解析：暂无解析8、计算下列二重积分：(Ⅰ)cydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y一1)2=1与y轴围成的在右上方的部分。标准答案：(Ⅰ)积分域D见图9．51．D的极坐标表示是：0≤θ≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为r=1与r=2sinθ，交点的极坐标为(1，)，见图9．52，于是积分域D的极坐标表示为D={(r，θ)｜，1≤r≤2sinθ}，则知识点解析：第(Ⅱ)小题的积分域涉及圆，自然应该用极坐标系．第(Ⅰ)小题尽管与圆无关，但是若用直角坐标系，则边界曲线的表达式很复杂，所以也应该用极坐标系．9、求下列二重积分：(Ⅰ)I