考研数学一（高等数学）模拟试卷15（共242题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷15（共9套）（共242题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，则()．A、a=1／3，b=1，c=0B、a=－1／3，b=1，c=0C、a=1／3，b=－1，c=0D、a=0，b=2，c=0标准答案：D知识点解析：因为x→0时，ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，得a=0，b=2，选(D)．2、函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(A)不对，如存在，但f(x)在x=1处不连续，所以也不可导；(B)不对，因为存在只能保证f(x)在x=1处右导数存在；不一定存在，于是f(x)在x=1处不一定右可导，也不一定可导；存在，所以f(x)在x=1处可导．所以选(D)．3、若由曲线y=2，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：曲线y=2)处的切线方程为由于切线位于曲线y=2的上方，所以由曲线y=2，切线及x=1，x=3围成的面积为当t∈(0，2)时，S’(t)＜0；当t∈(2，3)时，S’(t)＞0，则当t=2时，S(t)取最小值，此时切线方程为选(A)．4、设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件=0，则()．A、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内B、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C、f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上D、Lf(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有=0，因为M0为最大值点，所以AC－B2非负，而在D内有即AC－B2＜0，所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、设f(x)在(－∞，+∞)上可导，[f(x)－f(x－1)]，则a=_______．标准答案：1知识点解析：由f(x)－f(x－1)=f’(ξ)，其中ξ介于x－1与x之间，令x→∞，由[f(x)－f(x－1)]=f’(ξ)=e2，即e2a=e2，所以a=1．6、设f(x)满足等式xf’(x)－f(x)=，且f(1)=4，则∫01f(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：∫01f(z)dz=xf(x)|01－∫01xf’(x)dx=f(1)－∫01[f(x)+]dx于是∫01f(x)dx=2－7、设函数z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，则曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1)的切平面方程为_______·标准答案：π：2x+3y－z－2=0知识点解析：由f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)得f(x，y)在点(0，1)处可微，且而曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n=(，－1)0，1，1=(2，3，－1)，所以切平面方程为π：2(x－0)+3(y－1)－(z－1)=0，即π：2x+3y－z－2=0．8、设a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整个平面，则I=f(x)g(y－x)dxdy=_______．标准答案：a2知识点解析：得I=f(x)g(y－x)dxdy=a2∫01dx∫xx+1dy=a2．9、∫L|y|ds=_______，其中L：(x2+y2)2=a2(x2=－y2)(a＞0)．标准答案：2a2(2－)知识点解析：L的极坐标形式为L：r2=a2cos2θ，ds=dθ10、设y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=_______．标准答案：π／2知识点解析：由△y=△x+o(△x)得函数y=y(x)可微且y’=，积分得因为y(1)=1，所以C=0，三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)11、确定a，b，使得x－(a+bcosx)sinx当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y=x－(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x－(a+bcosx)cosx，y"=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y"’=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y"(0)=0，所以令y’(0)=y"’(0)=0得，解得a=4／3，b=－1／3，故当a=4／3，b=－1／3时，x－(a+bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，显然有m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，即m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．知识点解析：暂无解析14、设f(x)=求f(x)的极值．标准答案：因为f’－(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．令f’(x)=0得x=－1，x=1／e．当x＜－1时，f’(x)＜0；当－1＜x＜0时，f’(x)＞0；当0＜x＜1／e时，f’(x)＜0；当x＞1／e时，f’(x)＞0，故x=－1为极小值点，极小值为f(－1)=1－；x=0为极大值点，极大值为f(0)=1；x=1／e为极小值点．极小值为f(1／e)=(1／e)2／e．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=2∫13／2f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0．标准答案：由积分中值定理得f(2)=2∫13／2f(x)dx=f(c)，其中c∈[1，1／2]，由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=－2，f’(0)=1，f"(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有目仅有一个根．标准答案：因为f"(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1．当x＞0时，f(x)－f(0)=f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为[f(0)+x]=+∞，所以f(x)=+∞．由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=－2＜0，f(x)=+∞，则f(x)=0在(0，+∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=5／3．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．标准答案：方法一先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0，P(2)=f(2)=5／3，P(1)=f(1)．令g(x)=f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"’(ξ)=0，而g"’(x)=f"’(x)－2，所以f"’(ξ)=2．方法二由泰勒公式，得两式相减，得2／3=，而f"’(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．知识点解析：暂无解析18、设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：∫0πf(x)cos=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx|0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx|0π=0=e－1－e．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：(b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．标准答案：由泰勒公式得其中ξ介于x与之间，因为f"(x)≥0，所以有两边积分得令φ(x)=[f(x)+f(a)]－∫axf(t)dt，且φ(a)=0，=1／2(x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x，因为f"(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)，故(b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析设直线L：及π：x－y+2z－1=0．21、求直线L在平面π上的投影直线L0；标准答案：方法一令=t，即x=1+t，y=t，z=1－t，将x=1+t，y=t，z=1－t代入平面x－y+2z－1=0，解得t=1，从而直线L与平面π的交点为M1(2，1，0)．过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s1={1，1，－1}×{1，－1，2}={1，－3，－2}，平面方程为π1：1×(x－2)－3×(y－1)－2×z=0，即π1：x－3y－2z+1=0从而直线L在平面π上的投影直线一般式方程为方法二直线L转化成一般式方程为过直线L的平面束为(x－y－1)+λ(y+z－1)=0，即x+(λ－1)y+λz－(λ+1)=0，当{1，λ－1，λ}上{1，－1，2}，即λ=－2时，过直线L的平面与平面π垂直，把λ=－2代入平面束方程，则与π垂直的平面方程为π1：x－3y－2z+1=0，直线L在平面π上的投影直线为方法三设过直线L且与平面π垂直的平面方程为π1：A(x－1)+By+C(z－1)=0，则有{A，B，C}⊥{1，－1，2}，{A，B，C}⊥{1，1，－1}，即解得A=－C／2，B=3C／2，平面π1：－C／2(x－1)+y+C(z－1)=0，即π1：x－3－2z+1=0从而L在平面π的投影直线为知识点解析：暂无解析22、求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程．标准答案：设M(x，y，z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0，y，z0)及T(0，y，0)，由|M2T|=IMT|，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y，z0)∈L，即=y／1=(z0－1)／－1，于是将其代入上式得∑：x2+z2=(y+1)2+(1－y)2，即∑：x2－2y2+z2=2．知识点解析：暂无解析23、计算dxdy，其中D为单位圆x2+y2=1所围成的第一象限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计∮Lyzdx+3xzdy－xydz，其中L：，从z轴正向看，L是逆时针方向．标准答案：设由L所围成的平面为∑，按右手准则，∑取上侧．n={0，－3，1}，cosα=0，cosβ=－，由斯托克斯公式得因为ds=dxdy，Dxy：x2+y2≤4y，所以∮Lyzdx+3xzdy－xydz=2dxdy=8π．知识点解析：暂无解析25、讨论级数dx的敛散性．标准答案：令un=∫01／ndx，n=1，2，3，…由正项级数的比较审敛法得dx收敛．知识点解析：暂无解析26、设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性．标准答案：由y’=x+y得y"=1+y’，再由y(0)=1得y’(0)=1，y"(0)=2，根据麦克劳林公式，有知识点解析：暂无解析27、设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程+(y+sinx)(dx／dy)3。变换为y=y(x)所满足的微分方程，(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=3／2的解．标准答案：代入原方程得y"－y=sinx，特征方程为r3－1=0，特征根为r1，2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=－1／2，故y*=－1／2sinx，于是方程的通解为y=C1ex+C2e－x－sinx，由初始条件得C1=1，C2=－1，满足初始条件的特解为y=ex－e－x－sinx．知识点解析：暂无解析设函数f(x)满足xf'(x)－2f(x)=－x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：28、曲线y=f(x)；标准答案：由xf’(x)－2f(x)=－xf’(x)－f(x)=－1f(x)=x+cx2．设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V(c)=π∫01(x+cx2)2dx因为V"(c)=2π／5＞0，所以c=－5／4为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x－x2．知识点解析：暂无解析29、曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．标准答案：f’(x)=1－x，f’(0)=1，曲线f(x)=x－x2在原点处的切线方程为y=x，则A=∫01[x－(x－x2)]dx=5／12．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小量，则()A、a=1，b=B、a=1，b=C、a=-1，b=D、a=-1，b=标准答案：A知识点解析：因为当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小量，所以于是(1-acosax)=1-a=0，故a=1．从而2、曲线f(x)=x2+6x+1上点(0，1)处的切线与x轴交点的坐标为()A、B、(-1，0)．C、D、(1，0)．标准答案：A知识点解析：由f’(x)=x2+x+6，得f’(0)=6，所以曲线在(0，1)处的切线方程为y-1=6x．令y=0，得x=，故切线与x轴交点的坐标为3、设y=f(x)在点x0处可导，且f’(x0)≠0，△x是自变量x在x0处的增量，△y与dy是对应函数的增量与微分，则()A、等于0．B、等于1.C、不存在．D、不一定存在．标准答案：A知识点解析：因为f(x)在点x0处可导f(x)在点x0处可微，而由可微的定义，△y=dy+o(△x)，所以dy-△y=-o(△x)，于是故应选A．4、设ξ为函数f(x)=arcsinx在区间[0，b]上使用拉格朗日中值定理中的“中值”，则极限等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：f’(x)=，f(x)在[0，b]上用拉格朗日中值定理得5、设f(x)是(-∞，+∞)内连续的奇函数，则下述4个结论：其中正确的个数为()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：B知识点解析：①如果，错误．②因为f(x)+是[-l，l]上连续的奇函数，所以正确．对于③、④，因为当发散时，③中的等式与④中不等式都没有意义，错误．6、曲线x=y(y-1)(2-y)与y轴所围成的图形的面积等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：曲线x=y(y-1)(2-y)的图形如图11所示，取y为积分变量，则所求平面图形的面积为故应选C．7、如果函数f(x，y)=在点(0，0)处连续，则应定义f(0，0)等于()A、B、C、4．D、-4．标准答案：B知识点解析：因为所以补充定义f(0，0)=，则f(x，y)在点(0，0)处连续．8、曲面z=F(x，y，z)的一个法向量为()A、(F’x，F’y，F’z-1)．B、(F’x-1，F’y-1，F’z-1)．C、(F’x，F’y，F’z)．D、(-F’x，-F’y，-1)．标准答案：A知识点解析：曲面方程z=F(x，y，z)可以写成F(x，y，z)-z=0，由曲面的法向量计算公式，其一个法向量为(F’x，F’y，F’z-1)．9、设D={(x，y)｜x2+y2≥1，x2+y2≤2x，y≥0}，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由及y≥0得两条曲线的交点为．由于积分区域的特点，如图26所示，选用极坐标计算二重积分．在极坐标下，D={(r，θ)｜0≤θ≤，1≤r≤2cosθ}，所以10、设曲线г：从z轴正向往负向看为逆时针方向，则ydx+zdy+xdz=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是一个空间封闭曲线上的第二类曲线积分的计算问题．由于空间曲线г是以一般式方程给出，且不易建立其参数方程，故考虑用斯托克斯公式．取∑为平面X+y+z=0包含在球面x2+y2+z2=R2内的部分，其法向量按右手定则，由斯托克斯公式，有其中cosα，cosβ，cosγ是平面x+y+z=0上任意一点法向量的方向余弦，cosα=cosα=cosγ=于是∮гydx+zdy+xdz=11、若幂级数an(x+1)n在x=1点处发散，则此幂级数在=点处()A、条件收敛．B、绝对收敛．C、发散．D、敛散性不能确定．标准答案：D知识点解析：本题主要考查阿贝尔定理的条件与结论．因为幂级数an(x+1)n在x=1点处发散，由阿贝尔定理，该幂级数在适合｜x+1｜＞｜1+1｜=2的范围内，即x∈(-∞，-3)∪(1，+∞)时发散，但x=(-∞，-3)∪(1，+∞)，所以该幂级数在x=点处的敛散性不能确定．故应选D．12、函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是()A、y’’-y’-2y=3xex．B、y’’-y’-2y=3ex．C、y’’+y’-2y=3xex．D、y’’+y’-2y=3ex．标准答案：D知识点解析：本题主要考查二阶线性常系数齐次与非齐次微分方程解的性质与结构．由y=C1ex+C2e-2x+xex是某二阶线性常系数非齐次微分方程的通解知，r1=1，r2=-2是相应的齐次微分方程的特征方程的根，从而特征方程为r2+r-2=0，于是齐次微分方程为y’’+y’-2y=0．排除A、B．在C与D选项中，因为1是特征单根，所以方程y’’+y’-2y=3exy’’+y’-2y=3ex具有y*=Axex形式的特解，故应选D．事实上，y*=xex是二阶线性非齐次微分方程y’’+y’-2y=f(x)的特解．由于y*’=(x+1)ex，y*’’=(x+2)ex，从而f(x)=(x+2)ex+(x+1)ex-2xex=3ex，故所求微分方程为y’’+y’-2y=3ex．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、设f(x)=则f[f(x)]=______．标准答案：x知识点解析：因为而f(x)≥0x≥0，f(x)＜0x＜0，所以故f[f(x)]=x．14、=_____.标准答案：知识点解析：15、设函数y=y(x)由方程2cos(xy)=x+y所确定，则dy｜x=0=_______．标准答案：-dx知识点解析：这是一个隐函数的求导(微分)运算问题．当x=0时，由已知方程得y=2．方程两边对x求导得取x=0，y=2得，所以16、函数的极大值是_____，极小值是_______．标准答案：知识点解析：令y’=0，得驻点x1=，当x=0时，y’不存在．列表9：由极值的第一充分条件知，x=0是极大值点，x=是极小值点；17、设f’(x)的一个原函数为ln(x+)，则∫xf’’(x)dx=________.标准答案：知识点解析：因为f’(x)的一个原函数为，所以18、=_______.标准答案：知识点解析：由于被积函数4cos4θ在积分区间上是偶函数，则19、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，则锤击第三次时，铁钉又击入________cm．标准答案：知识点解析：这是一个变力沿直线做功问题，主要考查定积分在物理上的应用．由题设，木板对铁钉的阻力f(x)=kx，其中k是比例系数，x是铁钉击入木板的深度，则击第一次时，铁锤所做的功为设击第二次时，铁钉的深度为x2cm，由于每次锤击铁钉所做的功相等，所以解得x2=cm，故第二次击入的深度为cm．设击第三次时，铁钉的深度为x3cm，同理解得x3=cm，故第三次又击入的深度为20、已知，其中φ(u)可微，则x2+y2=_____．标准答案：0知识点解析：这是一个二元函数的偏导数计算问题，对x(或y)求偏导数时把y(或x)看成常数即可．因为21、设，且D={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0}，则=______.标准答案：0知识点解析：由于二重积分的被积函数仅是x的函数，所以将二重积分化为先对y后对x的二次积分，再代入已知条件进行计算．22、设L为椭圆，其周长为l，则曲线积分∮L(b2x2+a2y2+2xy)ds=______．标准答案：la2b2知识点解析：本题考查第一类曲线积分的计算．因为曲线L关于x(y)轴对称，而函数2xy关于y(x)为奇函数，所以∮L2xyds=0，而曲线L可写成b2x2+a2y2=a2b2，故∮L(b2x2+a2y2+2xy)ds=∮L(b2x2+a2y2)ds+∮L2xyds=∮La2b2ds=a2b2∮Lds=la2b2．23、已知=_______.标准答案：知识点解析：因为24、设2+｜x｜=ancosnx(-π≤x≤π)，则a2=______．标准答案：0知识点解析：因为2+｜x｜是偶函数，且是余弦级数，所以25、微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________．标准答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1知识点解析：这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．首先求y’’-2y’+2y=0的通解．y’’-2y’+2y=0的特征方程为r2-2r+2=0，特征根为r1,2=1±i，所以其通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)．其次求y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解．设y1*=Aex是y’’-2y’+2y=ex的一个特解，则y1*’=y2*’’=Aex，将其代入到y’’-2y’+2y=ex并化简，得A=1，所以y1=ex．设y2*=ax+b是y’’-2y’+2y=2x的一个特解，则y2*’=a，y2*’’=0，将其代入到y’’-2y’+2y=2x并化简，比较等式两边x同次幂的系数，得a=1，b=1，所以y2=x+1．故y*=y1*+y2*=ex+x+1是y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解．最后写出y’’-2y’+2y=ex+2x的通解，为y=Y+y*=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1．考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)=则下列结论(1)x=1为可去间断点．(2)x=0为跳跃间断点．(3)x=－1为无穷间断点．中正确的个数是A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：D知识点解析：f(x)=，x=0，±1是f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型．计算可得由于f(0+0)与f(0－0)存在但不相等，故x=0是f(x)的跳跃间断点．x=1是f(x)的可去间断点，x=－1是f(x)的无穷间断点，因此选(D)．2、设f(x)=在x=0处可导，则a，b满足A、a=0，b=0．B、a=1，b=1．C、a为常数，b=0．D、a为常数，b=1．标准答案：A知识点解析：首先，f(x)在x=0连续f(x)=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可导f’+(0)=f’－(0)．由求导法则知f’－(0)=(ax)’|x=0=a．由f’+(0)=f’－(0)得a=0．因此选(A)．3、积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A、与a有关．B、是与a无关的负数．C、是与a无关的正数．D、为零．标准答案：C知识点解析：由于被积函数ln(2+cosx)．cosx是以2π为周期的偶函数，因此原式=∫02πln(2+cosx)cosxdx=∫－ππln(2+cosx)cosxdx=2∫0πln(2+cosx)cosxdx=2∫0πln(2+cosx)d(sinx)=2[sinxln(2+cosx)|0π－∫0πsinxdln(2+cosx)]=2∫0πdx．又因为在[0，π]上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与a无关的正数．故选(C)?4、若级数an(x－1)n在x=－1处收敛，则此级数在x=2处A、条件收敛．B、绝对收敛．C、发散．D、敛散性不能确定．标准答案：B知识点解析：antn，t=x－1，在t=－2处收敛R≥2，x=2时t=1∈(－R，R)antn在t=1即an(n－1)n在x=2处绝对收敛．选(B)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、函数f(x)=的连续区间是_______．标准答案：(－∞，1)∪(1，+∞)知识点解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此f(x)=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(－∞，1)∪(1，+∞)．6、∫02πsinnxcosmxdx(自然数n或m为奇数)=_______．标准答案：0知识点解析：由周期函数的积分性质得In，m=∫02πsinnxcosmx=∫－ππsinnxcosmxdx．当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故In，m=0．当m为奇数(设m=2k+1，k=0，1，2，…)时In，m=∫－ππsinnx(1－sin2x)kdsinx=R(sinx)|－ππ=0，其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．因此In，m=0．7、已知(x－1)y"－xy’+y=0的一个解是y1=x，又知=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=_______．标准答案：C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：由非齐次方程(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解－y*=ex－x，事实上y2=(ex－x)+x=ex也是该齐次方程的解，又ex与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y=C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2为任意常数．8、过曲面z=4－x2－y2上点P处的切平面于2x+2y+z－1=0，则P点的坐标为_______.标准答案：(1，1，2)知识点解析：P(x，y，z)处一个法向量n={2x，2y，1}，平面2x+2y+z－1=0的法向量n0={2，2，1}，由n=λn0x=λ，y=λ，λ=1x=1，y=1，z=4－1－1=2，因此P点是(1，1，2)．9、设I1=2x2y2dσ，则这三个积分的大小顺序是_______＜_______＜_______·标准答案：I3；I1；I2知识点解析：比较I1与I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y2≤1)包含在正方形区域(|x|≤1，|y|≤1)中I1＜I2．比较I1与I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)设xn+1=ln(1+xn)，x1＞0，10、求xn；标准答案：注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1－xn=ln(1+xn)－xn＜0(n=1，2，3，…)极限a=ln(1+a)．又a＞0时a＞ln(1+a)，故a=0．知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿—莱布尼兹公式得知识点解析：暂无解析13、设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在[0，π／2]上的平均值．标准答案：令x－t=u，则∫0xf(x－t)dt=∫0xf(u)du．于是f(x)∫0xf(u)du=sin4x，d[∫0xf(u)du]2=2sin4xdx．两边积分(∫0π／2)得[∫0π／2f(u)du]2=2∫0π／2sin4xdx故f(x)在[0，π／2]上的平均值为知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]连续，且对任意x，y∈[0，1]均有|f(x)－f(y)|≤M|x－y|，M为正的常数，求证：|∫01f(x)dx－f(k／n)|≤M／2n．标准答案：将∫01f(x)dx与1／nf(k／n)分别表示成∫01f(x)dx代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得知识点解析：暂无解析15、求函数y=的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点．标准答案：定义域：x≠1．单调增区间(0，1)；单调减区间(－∞，0)∪(1，+∞)；极小值点x=0．知识点解析：暂无解析16、设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得f’(ξ)=f’(η)．标准答案：因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，ヨ∈η(a，b)，使将②式入①式，即得知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：ヨξ∈(a，b)使得f(b)－2f()+f(a)=1／4(b－a)2f"(ξ)．标准答案：在x=处展开成由导函数的中间值定理ヨξ在η1，η2之间(ξ∈(a，b))，使得=1／4(b－a)2f"(ξ)．知识点解析：暂无解析18、设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．标准答案：因为对任意常数C，y=Ce－∫p(x)dx是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则[ye∫p(x)dx]’=e∫p(x)dx[y’+p(x)y]=0，即存在常数C，使得ye∫p(x)dx=C，即y=Ce－∫p(x)dx．知识点解析：暂无解析直线L1：x－1=，L2：x+1=y－1=z，19、若L1⊥L2，求λ；标准答案：{1，2，λ}．{1，1，1}=01+2+λ=0=λ=－3．知识点解析：暂无解析20、若L1与L2相交，求λ．标准答案：L1通过点(1，1，1)，以(1，2，λ)为方向向量，L2通过点(－1，1，0)，以(1，1，1)为方向向量，则L1与L2共面=2．(λ－2)+1．(2－1)=2λ－3=0，此时L1与L2不平行．因此，λ=3／2．知识点解析：暂无解析21、求曲线在yOz平面上的投影方程．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求z=2x+y在区域D：x2+≤1上的最大值与最小值．标准答案：令F(x，y，λ)=2x+y+λ(x2+－1)，解方程组由①，②得y=2x，代入③得x=因为z在D存在最大、最小值z在D的最大值为2，最小值为－2知识点解析：暂无解析求下列二重积分23、计算I=(x+y)2dxdy，其中D：|x|+|y|≤1；标准答案：D关于x，y轴均对称，它在第一象限部分记为D1，如图9．8．=8∫01x2dx∫01－xx2dy=8∫02x2(1－x)dx知识点解析：暂无解析24、计算I=dxdy，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1：标准答案：极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ．D：0≤θ≤π／2，0≤r≤于是知识点解析：暂无解析25、设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．标准答案：D是圆域(如图9．10)：(x－)2+y2≤(a／2)2．作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，并由D关于x轴对称，x轴上方部分为D1：0≤θ≤π／2，0≤r≤acosθ．于是I=2xy2dxdy=2∫0π／2dθ∫0acosθrcosθr2sin2θrdr=2∫0π／2sin2θcosθdθ∫0acosθr4dr=2／5∫0π／2sin2θcosθa5cos5θdθ=2／5a5∫0π／2(1－cos2θ)cos6θdθ知识点解析：暂无解析26、设曲面S是上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0，a＞0)被柱面x2+y2=ax所割下部分，求S的面积．标准答案：S：z=，(x，y)∈Dxy：(x－)2+y2≤(a／2)2，如图9．31．知识点解析：暂无解析求下列空间中的曲线积分27、I=∫Lyzdx+3zxdy－xydx，其中L是曲线且顺着x轴的正向看是沿逆时针方向．标准答案：写出L的参数方程后代人公式直接计算．L为则其参数方程为x=2cost，y=2+2sint，z=7+6sint，其中t从0到2π．于是直接计算即得I=∫Lyzdx+zxdy+xydz+2(zxdy－xydz)=∫02πd(x(t)y(t)z(t))+2∫02π[2cost(7+6sint)(2cost)－2cost(2+2sint)6cost]dt=x(t)y(t)z(t)|02π+2∫02π(28－24)cos2tdt=∫02π8cos2tdt=8π．其中∫02πsintcos2tdt=0，∫02πcos2tdt=π．知识点解析：暂无解析28、I=∫Г(x2－yz)dx+(y2－xz)dy+(z2－xy)dz，其中f是沿螺旋线x=acosθ，y=asinθ，z=h／2πθ．从A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲线．标准答案：易求得(x2－yx)dx+(y2－xz)dy+(x2－xy)dz=d(z3)－(yzdx+xzdy+xydz)=d[1／3(x3+y3+z3)－xyz]．因此，得I=∫Гd[1／3(x3+y3+z3)－xyz]=[1／3(x3+y3+z3)－xyz]|(a，0，0)(a，0，h)=1／3h3．知识点解析：暂无解析29、已知anxn的收敛半径R=R0＞0，求证：级数an／n!xn的收敛域为(－∞，+∞)．标准答案：即证，幂级数an／n!xn均收敛．任取|x0|＜R0，x0≠0，考察|an／n!xn|与|anx0n|的关系并利用比较判别法．有界，即1／n!|x／x0|n≤M(n=0，1，2，…)，M＞0为某常数，于是|an／n!xn|≤M|anx0n|．由幂级数在收敛区间内绝对收敛|anx0n|收敛．因此，原幂级数的收敛域为(－∞，+∞)．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、若极限＝A，则函数f(x)在x＝a处A、不一定可导．B、不一定可导，但f’＋(a)＝A．C、不一定可导，但f’－(a)＝A．D、可导，且f’＋(a)＝A．标准答案：A知识点解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选(A)．请读者试举一例．2、设有多项式P(x)＝x4＋＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，又设x＝x0是它的最大实根，则P’(x0)满足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．标准答案：D知识点解析：注意P(z)在(一∞，＋∞)连续，又P(x)＝＋∞x＞x0时P(x)＞0选(D)．3、设f(x)＝3x2＋x2｜x｜，则使fn(0)存在的最高阶数n＝A、0．B、1．C、2D、3标准答案：C知识点解析：实质上就是讨论g(x)＝x2｜x｜＝时，g(n)(0)的最高阶数n．由于｜x｜在x＝0处不可导，因此n＝2．选(C)．4、设f(x)＝在x＝0处可导，则a，b满足A、a＝0，b＝0．B、a＝1．b＝1．C、a为常数，b＝0．D、a为常数，b＝1．标准答案：A知识点解析：首先，f(x)在x＝0连续＝f(0)，即b＝0．然后，f(x)在x＝0可导f’＋(0)＝f’—(0)．当b＝0时，按定义求出．由求导法则知．由f’＋(0)＝f’—(0)得a＝0．因此选(A)．5、设f’(a)＞0，则δ＞0，有A、f(x)≥f(a)(x∈(a一δ，a＋δ))．B、f(x)≤f(a)(x∈(a一δ，a＋δ))．C、f(x)>＞f(a)(x∈(a，a＋δ)，f(x)＜f(a)(x∈(a一δ，a))．D、f(x)＜f(a)(x∈(a，a＋δ)，f(x)＞f(a)(x∈(a一δ，a))．标准答案：C知识点解析：直接由定义出发f’(a)＝由极限的保序性δ＞0，当x∈(a一δ，a＋δ)．x≠a时．f(x)＞f(a)(x∈(a，a＋δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a—δ，a))．因此选(C)．6、设f(x)＝则A、f(x)在x＝0处不连续．B、f’(0)存在．C、f’(0)不，曲线y＝f(x)在点(0，0)处不切线．D、f’(0)不，曲线y＝f(x)在点(0，0)处处有切线．标准答案：D知识点解析：显然f(x)＝0＝f(0)．又y＝f(x)的图形见图2．1．因此，f’(0)不，y＝f(x)在(0，0)切线x＝0．选(D)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)7、设f(x)＝，则f’(1)＝______．标准答案：知识点解析：f(x)是2014个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦.其实，当把x＝1代入每个因式后，只有第一项—1＝0，而其余所有项都不等于0．记g(x)＝8、若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______．标准答案：9f’(1)知识点解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)．9、设f’(0)＝1，f(0)＝0，则＝______．标准答案：知识点解析：10、设k为常数，则＝______．标准答案：k知识点解析：【分析一】【分析二】利用等价无穷小因子替换：t→0时，(1＋t)k一1～kt，有原式＝11、设y＝且f’(x)＝arctanx2，则＝______．标准答案：知识点解析：y＝f(u)，12、设y＝sinx2，则＝______．标准答案：知识点解析：【分析一】设u＝x3，则，于是由复合函数求导法则即得【分析二】用微分之商来求．13、设f(x)有任意阶导数且f’(x)＝f3(x)，则f(n)(x)＝______．标准答案：(2n-1)!!f2n＋1(x)知识点解析：f(2)(x)＝3f2(x)f’(x)＝3f5(x)，f(3)(x)＝3·5f4(x)f’(x)＝3·5f7，可归纳证明f(n)(x)＝(2n—1)!!f2n＋1(x)．14、设y＝ln(1＋x2)，则y(5)(0)＝______．标准答案：0知识点解析：y为偶函数y5(x)为奇函数y(5)(0)＝0．15、设则＝______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)16、设a＞0为常数，xn＝，求·标准答案：当0＜a＜1时0＜xn＜an，＝0;当a＝1时；知识点解析：暂无解析17、设(x-3sin3x＋ax-2＋b)＝0，试确定常数a，b的值．标准答案：由题设知知识点解析：暂无解析18、讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：(Ⅰ)y＝(1＋x)arctan；(Ⅱ)y＝；(Ⅲ)y＝；(Ⅳ)f(x)＝(1＋x)，x∈(0，2π)；(Ⅴ)y＝f[g(x)]，其中f(x)＝标准答案：(Ⅰ)这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上联系．因此，x≠±1时均连续．x＝±1时，故x＝1是第一类间断点(跳跃的).又故x＝—1也是第一类间断点(可去)．(Ⅱ)先求极限函数．注意x≠±1时，｜x｜＜1与｜x｜＞1分别与某初等函数相同，故连续．x＝±1时均是第一类间断点（跳跃间断点）．因左、右极限均，不相等．(Ⅲ)在区间(0，＋∞)，[—1，0)上函数y分别与某初等函数相同，因为连续．在x＝0处无定义，(Ⅳ)f(x)＝是初等函数，在(0，2π)内f(x)有定义处均连续，仅在无定义处及处f(x)不连续．(Ⅴ)方法1先求f[g(x)]表达式当x＞1，x＜1时，f[g(x)]分别与某初等函数相同，因为连续，当x＝1时，分别求左、右极限故x＝1为第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析19、设0＜x0，xn+1＝xn(2一xn)，求证：｛xn｜收敛并求．标准答案：令f(x)＝x(2一x)，则xn＋1＝f(xn)．易知f’(x)＝2(1一x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1＝x0(2一x0)＝1一(x0—1)2∈(0，1)．若xn∈(O，1)xn＋1＝xn(2一xn)∈(0，1)．又x1一x0＝x0(1一x0)＞0｛xn｝单调上升且有界极限由递归方程得a＝a(2一a)．显然a＞0a＝1．因此＝1．知识点解析：暂无解析20、证明：．标准答案：取对数化乘积为和差知识点解析：暂无解析21、设f(x)＝g(x)＝0，f*(x)＝(x)＝0，且f(x)～f*(x)，g(x)～g*(x)(x→a).(I)当x→a时无穷小f(x)与g(x)可比较，不等价(＝r≠1，或＝∞)，求证：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；(II)当0＜｜x一a｜＜δ时f(x)与f*(x)均为正值，求证：f(x)g(x)＝f*(x)g*(x)(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)．标准答案：(Ⅰ)考察极限知识点解析：暂无解析22、设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：ξ∈(a，b)，使得．标准答案：依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设min｛f(x1)，…，f(xn)｝＝f(x1)，max｛f(x1)，…，f(xn)｝＝f(xn)，则记，若η＝f(x1)，则ξ＝x1∈(a，b)，f(ξ)＝η；若η＝f(xn)，则ξ＝xn∈(a，b)，f(ξ)＝η．若f(x1)＜η＜f(xn)，由【定理1．18】，ξ在x1与xn之间，即ν∈(a，b)，f(ξ)＝η．知识点解析：只需证明：是f(x)在(a，b)内某两个函数值的中间值．23、设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．标准答案：反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则x0∈[a，b]，f(x0)＝f(x)＞0．由题设，对此x0，y∈[a，b]，使得f(y)＝｜f(y)｜≤｜f(x0)｜＝f(x0)＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，＋∞)连续，f(x)＝A＞0，求证：f(t)dt＝＋∞．标准答案：因，由极限的不等式性质可知，Х，当x＞Х时f(x)＞，则x＞Х时有知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，＋∞)连续，f(x)＝A≠0，证明：f(nx)dx＝A．标准答案：先作变量替换：这是型数列极限．将它转化为型函数极限，便可用洛必达法则求之，即知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、填空题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)1、设f’’(x)连续，f’(x)≠0，则＝______．标准答案：知识点解析：于是原式＝2、＝______．标准答案：2知识点解析：原式＝[x2＋2x＋(1—x2)]dx＝＝2．(注意：——奇函数在对称区间上积分为零)3、＝______．标准答案：2e2＋2知识点解析：原式＝4e2—2e2＋2＝2e2＋2．4、＝______．标准答案：知识点解析：原式＝5、xarcsinxdx＝______．标准答案：知识点解析：原式其中是单位圆的面积即6、(n≠0)＝______．标准答案：知识点解析：原式＝7、sinxcosxdx（自然数n或m为奇数）＝______．标准答案：0知识点解析：由周期函数的积分性质得当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故In，m＝0．当m为奇数(设m＝2k＋1，k＝0，1，2，…)时其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．因此，In，m＝0．8、(a＞0)＝______．标准答案：知识点解析：【分析一】利用分部积分法【分析二】令t＝arctan，则cos2t＝，x＝acos2t．于是原式＝td(acos2t)＝atcos2tcos2tdt＝acos2tdt＝9、设y＝f(x)满足△y＝△x＋o(△x)，且f(0)＝0，则f(x)dx＝______．标准答案：知识点解析：由题设可知，从而由f(0)＝0可得C＝0．于是f(x)＝由定积分几何意义得10、设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)＝f(b)＝0，且f2(x)dx＝l，则xf(x)f’(x)dx＝______．标准答案：知识点解析：因＝f(x)f’(x)，所以11、设f(x)具有连续导数，且F(x)＝(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)＝______．标准答案：知识点解析：由于F(x)＝(x2—t2)f’(t)dt＝x2f’(t)dt—t2f’(t)dt，所以F’(x)＝2xf’(t)dt＋x2f’(x)—x2f’(x)＝2xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而＝2f’(0)＝1，故f’(0)＝12、求．标准答案：知识点解析：这是求型的极限．用洛必达法则时就要求变限积分的导数．这里被积函数f(x)＝还是变限积分．注意到这一点就容易求得13、已知f(x)＝，则＝______．标准答案：知识点解析：用分部积分法．由于f’(x)＝(x2)’＝2x，故[注]*处由于f(x)＝，故f(1)＝0，所以．14、＝______．标准答案：3知识点解析：【分析一】令x2＝t，则【分析二】令x2＝t，则原式＝，令∫t3e—tdt＝e—t(at3＋bt2＋dt＋e)＋C，两边求导得t3e—t＝e—t[—at3＋(3a—b)t2＋(2a—d)t＋d—e]，比较两边t的同次幂项的系数得a＝一1，b＝一3，d＝一6，e＝一6．于是，原式＝15、＝______．标准答案：知识点解析：16、＝______．标准答案：知识点解析：因(xex)’＝ex(x＋1)，令xex＝t，则dt＝ex(x＋1)dx，于是17、曲线x＝a(cost＋tsint)，y＝a(sint一tcost)(0≤t≤2π)的长度L＝______．标准答案：2π2a知识点解析：曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得18、曲线y2＝2x在任意点处的曲率为______．标准答案：知识点解析：用曲率计算公式K＝由y2＝2x2yy’＝2，二、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)19、已知是f(x)的一个原函数，求．标准答案：按题意：f(x)＝∫x3f’(x)dx∫x3df(x)＝x3f(x)—3∫x2f(x)dx＝x2cosx—xsinx—3∫(xcosx—sinx)dx＝x2cosx—xsinx—3∫xdsinx—3consx＝x2cosx—xsinx—(3xsinx＋3cosx)—3cosx＋C＝x2cosx—4xsinx—6cosx＋C知识点解析：暂无解析20、求．标准答案：注意分解1＋x6＝1＋(x2)3＝(1＋x2)(1一x2＋x4)．原式＝＝arctanx＋＝arctanx＋arctanx3＋C知识点解析：暂无解析21、求．标准答案：先作恒等变形，然后凑微分即得知识点解析：暂无解析22、求．标准答案：【解法一】记则【解法二】作变量替换x＝tant，则知识点解析：暂无解析23、求．标准答案：令x＝asint(｜t｜＜)，则知识点解析：暂无解析24、求．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求．标准答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得知识点解析：先用凑微分法求或用变量替换．令t＝tanx，则x＝arctant，dx＝．于是现用牛顿．莱布尼茨公式即得注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为由函数∈在整个积分区间[0，]上的原函数，它在积分区间[0，]上也不连续，故不符合牛顿一莱布尼茨公式及其推广的条件．用换元法．令t＝tanx，则α＝tan0＝0，β＝tan＝一1．于是这当然也是错的，错在哪里呢?因为当t∈[一1，0]时，x＝arctant之值不落在原积分区间[0，]上．考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设=b，其中a，b为常数，则()·A、a=1，b=1B、a=1，b=一1C、a=一1，b=1D、a=一1，b=一1标准答案：B知识点解析：2、设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则()．A、若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数B、若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数C、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数D、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数标准答案：D知识点解析：令f(x)=cosx－2，F(x)=sinx一2x+C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A)不对；令f(x)=2x，F(x)=x2+C，显然f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，(B)不对；令f(x)=x2，F(x)=x3+2，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若f(x)为奇函数，F(x)=∫axf(t)dt，因为F(-x)=∫a－xf(t)dt∫－axf(-μ)(一dμ)=∫－axf(μ)dμ=∫－aaf(μ)dμ+∫axf(μ)dμ=∫axf(μ)dμ=F(x)，所以F(x)为偶函数，选(D)．3、设μ=f(x＋y，xz)有二阶连续的偏导数，则=()．A、f2’+xf11’’+(x+z)f12’’+xzf22’’22B、xf12’’+xzf22’’C、f2’+xf12’’+xzf22’’D、xzf22’’标准答案：C知识点解析：=xf12’’+f2’+xz22’’，选(C)．4、设D：x2+y2≤16，则｜x2+y2一4｜dxdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π标准答案：B知识点解析：｜x2+y2一4｜dxdy=∫02πdθ｜r2一4｜rdr=2π｜r2一4｜rdr=2π[∫02(4一r2)rdr+∫24(r2—4)rdr]=80π，应选(B)．5、设曲面∑是z=x2+y2介于z=0与z=4之间的部分，则ds等于()A、2πe4B、π(e4一1)C、2π(e4一1)D、πe4标准答案：B知识点解析：6、设ξ为f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，则为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：7、二阶常系数非齐次线性微分方程y’’一2y’一3y=(2x+1)e－x的特解形式为()．A、(ax+b)e－xB、x2e－xC、x2(ax+b)e－xD、x(ax+b)e－x标准答案：D知识点解析：方程y’’一2y’一3y=(2x+1)e－x的特征方程为λ2一2λ一3=0，特征值为λ1=－1，λ2=3，故方程y’’一2y’一3y=(2x+1)e－x的特解形式为x(ax+b)e－x，选(D)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、=________．标准答案：知识点解析：9、设L：，则t=0对应的曲线上点处的法线为_________．标准答案：y=一2x知识点解析：t=0对应的曲线上点为(0，0)，故法线方程为y－0=一2(x一0)，即y=一2x．10、曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)处的法线方程为_________．标准答案：知识点解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法线方程为．11、级数在一1＜x＜1内的和函数为_________．标准答案：知识点解析：12、微分方程2y’’=3y2满足初始条件y(－2)=1，y’(一2)=1的特解为_______．标准答案：知识点解析：令y’=p，则=3y2，解得p2=y3+C1，由y(一2)=1，y’(－2)=1，得C1=0，所以=x+C2．再由y(一2)=1，得C2=0，所求特解为x=．13、∫max｛x+2，x2｝dx=_________．标准答案：知识点解析：14、设z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_________．标准答案：f’+xf’’+xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy＋1lnxg21’’+4xyg22’’．知识点解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy－1g1’(xy，x2+y2)+2xg2’(xy，x2+y2)=f’+xf’’+xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy＋1lnxg21’’+4xyg22’’15、=_________．标准答案：2(1-ln2)知识点解析：三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设y=y(x)是由exy—x+y一2=0确定的隐函数，求y’’(0)．标准答案：当x=0时，y=1，exy－x+y一2=0两边对x求导得exy(y+xy’)一1+y’=0，解得y’(0)=0；exy(y+xy’)一1+y’=0两边对x求导得exy(y+xy’)2+exy(2y’+xy’’)+y’’=0，解得y’’(0)=一1．知识点解析：暂无解析18、证明：当x＞0时，arctanx+．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求∫01x4dx．标准答案：知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ν｜t=0=ν0，已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为ν(t)，阻力解此微分方程得ν(t)=ν0e－t，由ν0e－t=得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为S=∫0ln3ν0e－tdt=ν0．知识点解析：暂无解析23、求．标准答案：知识点解析：暂无解析42．设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：24、(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1—2c；标准答案：令φ(x)=f(x)一1＋2x，φ(0)=一1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在｜｜c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1—2c．知识点解析：暂无解析25、(2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．标准答案：因为f(x)∈C[0，2]，所以F(X)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得=f(ξ)，于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得．标准答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有知识点解析：暂无解析27、设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．标准答案：令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则φ(x)=φ(x)一φ(－∞)=∫－∞xφ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤∫－∞x｜φ’(x)｜dx≤∫－∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．知识点解析：暂无解析28、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、中，无穷大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．标准答案：D知识点解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选择该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即选(D)．2、设f(x)=则A、f(x)在x=0处不连续．B、f’(0)存在．C、f’(0)不ヨ，曲线y=f(x)在点(0，0)处不ヨ切线．D、f’(0)不ヨ，曲线y=f(x)在点(0，0)处有切线．标准答案：D知识点解析：显然f(x)=0=f(0)．又y=f(x)的图形见图2．1．因此，f’(0)不ヨ，y=f(x)在(0，0)ヨ切线x=0．选(D)．3、下列反常积分中发散的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：直接验证(D)发散．因x=0是瑕点，从而∫－11dx／sinx由于∫01dx／sinx=ln|tanx||01=+∞，即∫01dx／sinx发散，故反常积分∫－11dx／sinx也发散．应选(D)．4、设z=f(x，y)=，则f(x，y)在点(0，0)处A、可微．B、偏导数存在，但不可微．C、连续，但偏导数不存在．D、偏导数存在，但不连续．标准答案：B知识点解析：设△z=f(x，y)－f(0，0)，则可知△z=这表明f(x，y)=在点(0，0)处连续．因f(x，0)=0(x)，所以f’x(0，0)=d／dxf(x，0)|x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z－f’x(0，0)△x－f’y(0，0)△y=当(△x，△y)沿y=x趋于点(0，0)时即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)．5、设有级数an，Sn=an，则Sn有界是级数an收敛的A、充分条件．B、必要条件．C、充分必要条件．D、既非充分条件也非必要条件．标准答案：B知识点解析：由级数收敛性概念知an收敛，即部分和数列{Sn}收敛．由数列收敛性与有界性的关系知，{Sn}收敛{Sn}有界，因此选(B)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)6、设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=_______．标准答案：(2n－1)!!f2n+1(x)知识点解析：f(2)(x)=3f2(x)f’(x)=3f5(x)，f(3)(x)=3．5f4(x)f’(x)=3．5f7(x)，可归纳证明f(n)(x)=(2n－1)!!f2n+1(x)．7、设y=f(x)满足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=_______．标准答案：π／4知识点解析：由题设可知dy／dx=，从而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定积分几何意义得∫01f(x)dx=∫01dx=π／48、微分方程y"+6y’+9y=0的通解y=_______．标准答案：(C1+C2x)e－3x，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：特征方程λ2+6λ+9=0，即(λ+3)2=0．通解为y=(C1+C2x)e－3x，其中C1，C2为任意常数．9、设L是乒方形边界：|x|+|y|=a(a，＞0)，则I=∫Lxyds=_______，J=∫L|x|ds=_______．标准答案：0；2a2知识点解析：L如图9．4，它关于x(或y)轴对称，f(x，y)=xy对y(或x)为奇函数I=∫Lxyds=0．L关于直线y=x对称(变量的轮换对称性)I=∫L|x|ds=∫L|y|ds三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、设0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求证：{xn}收敛并求xn．标准答案：令f(x)=x(2－x)，则xn+1=f(xn)．易知f’(x)=2(1－x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1=x0(2－x0)=1－(x0－1)2∈(0，1)．若xn∈(0，1)xn+1=xn(2－xn)∈(0，1)．又x1－x0=x0(1－x0)＞0{xn}单调上升且有界ヨ极限xn=a．由递归方程得a=a(2－a)．显然a＞0a=1．因此xn=1．知识点解析：暂无解析11、证明：=4／e．标准答案：取对数化乘积为和差知识点解析：暂无解析设g*(x)=0，且f(x)－f*(x)，g(x)－g*(x)(x→a).12、当x→a时无穷小f(x)与g(x)可比较，不等价(=∞)，求证：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；标准答案：考察极限因此，f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)．知识点解析：暂无解析13、当0＜“|x－a|＜ε时f(x)与f*(x)均为正值，求证：(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等).标准答案：知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)在(－∞，+∞)内满足f(x)=f(x－π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，求∫π3πf(x)dx．标准答案：∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x－π)+sinx]dx=∫π3πf(x－π)dx∫02πf(t)dt+∫π2π(t)dt=∫0πtdt+∫π2π[f(t－π)+sint]dt=－2+∫π2πf(t－π)dt－2+∫0πf(u)du=π2－2．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]有连续的导数，求证：|∫abf(x)dx|+∫ab|f’(x)|dx．标准答案：可设|f(x)|=|f(x0)|，即证(b－a)|f(x0)|≤|∫abf(x)dx|+(b－a)∫ab|f’(x)|dx，即证|∫abf(x0)dx|－|∫abf(x)dx|≤6(b－a)∫ab|f’(x)|dx．注意|∫abf(x0)dx|－|∫abf(x)dx|≤|∫ab[f(x0)－f(x)]dx|=|∫ab[f’(t)dt]dx|≤∫ab[∫ab|f’(t)|dt]dx=(b－a)∫ab|f’(x)|dx．故得证．知识点解析：暂无解析16、设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)≠0且=0(x∈(a，b))．证明：存在常数c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．标准答案：因为所以存在常数c，使得f(x)／g(x)=c(x∈(a，b))，即f(x)=cg(x)(x∈(a，b))．知识点解析：暂无解析17、证明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a+b．标准答案：考察f(x)=x－asinx－b，即证它在(0，a+b]有零点．显然，f(x)在[0，a+b]连续，且f(0)=－b＜0，f(a+b)=a[1－sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，则该方程有正根x=a+b．若f(a+b)＞0，则由连续函数零点存在性定理ヨc∈(0，a+b)，使得f(c)=0．知识点解析：暂无解析18、(Ⅰ)设f(x)在[x0，x0+δ)((x0－δ，x0])连续，在(x0，x0+δ)(x0－δ，x0)可导，又f’(x)=A(f’(x)=A)，求证：f’+(x0)=A(f’－(x0)=A)．(Ⅱ)设f(x)在(x0－δ，x0+δ)连续，在(x0－δ，x0+