考研数学三（微积分）模拟试卷14（共236题）

考研数学三（微积分）模拟试卷14（共9套）（共236题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A不对，如存在，但f(x)在x=1处不连续，所以也不可导；B不对，因为存在只能保证f(x)在x=1处右导数存在；C不对，因为不一定存在，于是f(x)在x=1处不一定右可导，也不一定可导；由存在，所以f(x)在x=1处可导．选D．2、设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)=∫0x(x一t)dt，G(x)=∫01xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：D知识点解析：F(x)=∫0xf(x－t)dt=－∫0x(x－t)d(x－t)=∫0xf(u)du，G(x)=∫0xxg(xt)dt=f∫0xg(u)du，则选D．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、当x→0时，x－sinxos2x～cxk，则c=______，k=______．标准答案：k=3知识点解析：因为x→0时，所以x－sinxcos2x=k=3．4、设f(x)在x=0处连续，且则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为______．标准答案：知识点解析：由则曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为5、设函数=______．标准答案：知识点解析：由得6、曲线的斜渐近线为______．标准答案：y=2x－4知识点解析：曲线的斜渐近线为y=2x－4．7、=______．标准答案：知识点解析：8、设(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，则a=______，b=______.标准答案：a=4，b=－2知识点解析：令P(x，y)=ay－2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，因为(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，所以=a－4xy，于是a=4，b=－2．9、设a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整个平面，则I=f(x)g(y—x)dxdy=______．标准答案：a2知识点解析：由f(x)g(y－x)=得I=f(x)g(y－x)dxdy=a2∫01dx∫xx+1dy=a2．10、=______．标准答案：2(1－ln2)知识点解析：令因为S(0)=0，所以三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)11、确定常数a，b，C，使得标准答案：知识点解析：暂无解析12、求极限标准答案：由由夹逼定理得知识点解析：暂无解析13、设x3－3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点．标准答案：x3－3xy+y3=3两边对x求导得令得y=x3，代入x3－3xy+y3=3得x=－1或因为所以x=－1为极小值点，极小值为y=1；因为为极大值点，极大值为x=y2时，此时y没有极值．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f’’(x)I≤｜(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f’(x)｜≤(x∈[0，1])．标准答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)－f’(x)x+f’’(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1－x)+f’’(ξ2)(1－x)2，ξ2∈(x，1)，两式相减，得两边取绝对值，再由｜f’’(x)｜≤1，得知识点解析：暂无解析15、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0．f’+(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：设f’+(a)＞0，f’－(b)＞0，由f’+(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．令显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而令φ(x)=f’(x)g(x)－f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ1)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’’(x)g(x)－f(x)g’’(x)，所以知识点解析：暂无解析16、设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得标准答案：令因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n－1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn－1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+h，…，f(cv－1)=a+(n－1)h，再由微分中值定理，得f(c1)－f(a)=f’(ξ1)(c1－a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)－f(c1)=f’(ξ2)(c2－c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)－f(cn－1)=f’(ξn)(b－cn－1)，ξn∈(cn－1，b)，从而有知识点解析：暂无解析17、设x3－3xy+y3=3确定隐函数y=y(x)，求y=y(x)的极值．标准答案：x3－3xy+y3=3两边对x求导得3x2－3y－3xy’+3y2y’=0，解得因为y’’(－1)=1＞0，所以x=－1为极小值点，极小值为y(－1)=1；因为知识点解析：暂无解析18、设f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求标准答案：由∫0xtf(x－t)dt∫0x(x－u)f(u)(－du)=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du=1－cosx，两边求导得∫0xf(u)du=sinx，令知识点解析：暂无解析设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f'(0)=2．19、证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫01f(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]；标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)－F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]．知识点解析：暂无解析20、求标准答案：令由∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]，得知识点解析：暂无解析21、设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：∫1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx．标准答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，当x∈[1,2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤f(k)；当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n－1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．知识点解析：暂无解析22、求曲线y=3－｜x2－1｜与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．标准答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕y=3旋转所成的体积．当x≥0时，对[x，x+dx][0，1]，dV1=π{32－[3－(x2+2)]2}dx=(2x2－x4+8)dx，V1=π∫01V1=π∫01(2x2－x4+8)dx=对[x，x+dx][1，2]，dV2=π{32－[3－(4－x2)]2}dx=π(2x2－x4+8)dx，V2=∫12dV2=π∫12(2x2－x4+8)dx=知识点解析：暂无解析23、设其中f(s，t)二阶连续可偏导，求du及标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算其中D由y=－z，y=围成．标准答案：将D分成两部分D1，D2，其中知识点解析：暂无解析25、设an＞0(n=1，2，…)且{an}n=1∞，单调减少，又级数的敛散性．标准答案：因为{an}n=1∞单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以由(－1)nan发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由收敛．知识点解析：暂无解析26、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛区间为[－1，1]，则S(x)=x+(1－x)In(1－x)(－1≤x＜1)．当x=1时，所以知识点解析：暂无解析飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚=导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．27、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；标准答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为知识点解析：暂无解析28、导弹运行方程．标准答案：令进一步解得知识点解析：暂无解析29、细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24小时内由100增长到400，求前12小时后的细菌总数．标准答案：设t时刻细菌总数为S，则有S(0)=100，S(24)=400，所以S(12)=100eln2=200．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f（x）=则f（f（f（x）））等于（）A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：由题设可知|f（x）|≤1，因此f（f（f（x）））=1。故选B。2、设f（x）在R上连续，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（）①φ[f（x）]必有间断点。②[φ（x）]2必有间断点。③f[φ（x）]没有间断点。A、0B、1C、2D、3标准答案：A知识点解析：①错误。举例：设φ（x）=f（x）=ex，则φ[f（x）]=1在R上处处连续。②错误。举例：设φ（x）=则[φ（x）]2=9在R上处处连续。③错误。举例：设φ（x）=在x=0处间断。因此选A。3、设f（x）在[a，b]可导，f（a）=f{（x）}，则（）A、f+’（a）=0B、f+’（a）≥0C、f+’（a）＜0D、f+’（a）≤0标准答案：D知识点解析：由f（x）在[a，b]上可导可知，f+’（a）=显然，x—a＞0，又f（a）={f（x）}，故f（x）—f（a）≤0，从而有≤0，再由极限的局部保号性可知，≤0，即f+’（a）≤0，故选D。4、设f（x）在（1—δ，1+δ）内存在导数，f’（x）严格单调减少，且f（1）=f’（1）=1，则（）A、在（1—δ，1）和（1，1+δ）内均有f（x）＜xB、在（1—δ，1）和（1，1+δ）内均有f（x）＞xC、在（1—δ，1）有f（x）＜x，在（1，1+δ）内均有f（x）＞xD、在（1—δ，1）有f（x）＞x，在（1，1+δ）内均有f（x）＜x标准答案：A知识点解析：f’（x）在（1—δ，1+δ）上严格单调减少，则f（x）在（1—δ，1+δ）是凸的，因此在此区间上，y=f（x）在点（1，1）处的切线为y—l=f’（1）（x—1），即y=x在此曲线的上方（除切点外）。因此f（x）＜x（x∈（1—δ，1+δ），x≠1）。5、已知f（x）在x=0的某个邻域内连续，且f（0）=0，则在点x=0处f（x）（）A、不可导B、可导且f’（0）≠0C、取得极大值D、取得极小值标准答案：D知识点解析：因当x→0时，1—cosx～x2，故极限条件等价于=20从而可取f（x）=x2，显然满足题设条件。而f（x）=x2在x=0处取得极小值，故选D。6、设一元函数f（x）有下列四条性质。①f（x）在[a，b]连续；②f（x）在[a，b]可积；③f（x）在[a，b]存在原函数；④f（x）在[a，b]可导。若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（）A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是讨论函数f（x）在区间[a，b]上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由f（x）在[a，b]上可导f（x）在[a，b]连续f（x）在[a，b]可积且存在原函数。故选C。7、设f（x，y）=则f（x，y）在点（0，0）处（）A、两个偏导数都不存在B、两个偏导数存在但不可微C、偏导数连续D、可微但偏导数不连续标准答案：B知识点解析：由偏导数定义，有由对称性知fy’（0，0）=0，而上式极限不存在。事实上，故f（x，y）在（0，0）点不可微。应选B。8、设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φy’（x，y）≠0。已知（x0，y0）是f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）A、若fx’（x0，y0）=0，则fy’（x0，y0）=0B、若fx’（x0，y0）=0，则fy’（x0，y0）≠0C、若fx’（x0，y0）≠0，则fy’（x0，y0）=0D、若fx’（x0，y0）≠0，则fy’（x0，y0）≠0标准答案：D知识点解析：令F=f（x，y）+λφ（x，y），若fx’（x0，y0）=0，由（1）得λ=0或＜φx’（x0，y0）=0。当λ=0时，由（2）得fy’（x0，y0）=0，但λ≠0时，由（2）及φy’（x0，y0）≠0得fy’（x0，y0）≠0。因而A、B错误。若fx’（x0，y0）≠0，由（1），则λ≠0，再由（2）及φy’（x0，y0）≠0，则fy’（x0，y0）≠0。9、累次积分dθ∫0cosθf（rcosθ，rsinθ）rdr可以写成（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由累次积分f（rcosθ，rsinθ）rdr可知，积分区域D为D={（r，θ）|0≤r≤cosθ，0≤θ≤}。由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图1—4—6所示。该圆的直角坐标方程为（x—）2+y2=。故用直角坐标表示区域D为D={（x，y）|0≤y≤，0≤x≤1}，可见A、B、C均不正确，故选D。10、设常数λ＞0，且级数an2收敛，则级数A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与λ有关标准答案：C知识点解析：取an=，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选C。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、[x]表示不超过x的最大整数，则=________。标准答案：2知识点解析：12、已知y=lnlnlnx，则y’=________。标准答案：知识点解析：13、设f（x）在x=0处连续，且则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为________。标准答案：知识点解析：当x→0时，arcslnx—x～。由极限的运算法则可得从而f（x）=1。又因为f（x）在x=0处连续，所以f（0）=f（x）=1。根据导数的定义可得所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为14、标准答案：知识点解析：15、标准答案：ln2知识点解析：16、设函数f（u，υ）由关系式f（xg（y），y]=x+g（y）确定，其中函数g（y）可微，且g（y）≠0，则=________。标准答案：知识点解析：令u=xg（y），υ=y，则17、D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则标准答案：知识点解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为18、幂级数的收敛域为________。标准答案：[一1，1）知识点解析：因为=1，则收敛半径R=1。当x=一1时，原级数为收敛；当x=1时，原级数为发散。因此收敛域为[一1，1）。19、微分方程的通解是________。标准答案：y=Cxe—x（x≠0），C为任意常数知识点解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx一x+C1。取C=eC1，整理得y=Cxe—x（x≠0），C为任意常数。20、微分方程（y+x2e—x）dx—xdy=0的通解为y=________。标准答案：x（一e—x+C），C为任意常数知识点解析：微分方程（y+x2e—x）dx一xdy=0，可变形为=e—x，所以其通解为=x（一e—x+C），C为任意常数。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、求常数a与b的值，使f（x）在（一∞，+∞）上处处连续。标准答案：当|x|＞1时，知识点解析：暂无解析22、设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x2—4），若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2），其中k为常数。（Ⅰ）写出f（x）在[—2，0）上的表达式；（Ⅱ）问k为何值时，f（x）在x=0处可导。标准答案：（Ⅰ）当—2≤x＜0，即0≤x+2＜2时，则f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）2—4]=kx（x+2）（x+4），所以f（x）在[—2，0）上的表达式为f（x）=kx（x+2）（x+4）。（Ⅱ）由题设知f（0）=0。令f—’（0）=f+’（0），得k=，即当k=时，f（x）在x=0处可导。知识点解析：暂无解析23、设=1，且f"（x）＞0，证明f（x）＞x（x≠0）。标准答案：由所以f（0）=0（因为f"（x）存在，则f（x）一定连续）。且f（x）在x=0处展成一阶麦克劳林公式f（x）=f（0）+f’（0）x+因为f"（x）＞0，所以f"（ξ）＞0，即f（x）＞f（0）+f’（0）x=x。知识点解析：暂无解析24、计算∫01标准答案：知识点解析：暂无解析25、设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求标准答案：根据复合函数的求导公式，有知识点解析：暂无解析26、求|z|在约束条件下的最大值与最小值。标准答案：|z|的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F（x，y，z，λ，μ）=z2+λ（x2+9y2—2z2）+μ（x+3y+3z—5）。令所以当x=1，y=时，|z|=1最小；当z=—5，y=时，|z|=5最大。知识点解析：暂无解析27、设二元函数计算二重积分f（x，y）dσ，其中D={（x，y）||x|+|y|≤2}。标准答案：因为被积函数关于x，y均为偶函数，且积分区域关于x，y轴均对称，所以f（x，y）dσ=f（x，y）dσ，其中D1为D在第一象限内的部分。知识点解析：暂无解析28、设f（x）在x=0的某邻域内连续且具有连续的导数，又设=A＞0，试讨论级数是条件收敛，绝对收敛，还是发散?标准答案：由=A，且在x=0处f（x）连续，有由于f（x）在x=0的某邻域内存在连续的导数，所以当x＞0且x足够小时，f’（x）＞0，由拉格朗日中值定理，有知识点解析：暂无解析29、将函数f（x）=展开成x的幂级数。标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设数列{xn}，{yn}满足，则下列正确的是A、若{xn}发散，则{yn}必发散．B、若{xn}无界，则{yn}必有界．C、若{xn}有界，则{yn}必为无穷小．D、若为无穷小，则{yn}必为无穷小．标准答案：D知识点解析：由已知条件是无穷小量时{yn}是较高阶的无穷小量，即D正确．2、f(x)=xsinxA、在(一∞，+∞)内有界．B、当x→∞时为无穷大．C、在(一∞，+∞)内无界．D、当x→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：设xn=nπ(n=1，2，3，…)，则f(xn)=0(n=1，2，3，…)；设这表明结论A，B，D都不正确，而C正确．3、函数在下列哪个区间内有界．A、(一1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)标准答案：A知识点解析：注意当x∈(一1，0)时有这表明f(x)在(一1，0)内有界．故应选A．4、若当x→∞时，则a，b，c的值一定为A、a=0，b=1，c为任意常数．B、a=0，b=1，c=1．C、a≠0，b，c为任意常数．D、a=1，b=1，c=0．标准答案：C知识点解析：5、设，则下列结论错误的是A、x=1，x=0，x=一1为间断点．B、x=0为可去间断点．C、x=一1为无穷间断点．D、x=0为跳跃间断点．标准答案：B知识点解析：计算可得由于f(0+0)与f(0一0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去间断点．应选B．6、把当x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．标准答案：C知识点解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除A与D．又因即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除B，即应选C．7、在中，无穷大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．标准答案：D知识点解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选择该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即．选D．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、=_____________。标准答案：知识点解析：暂无解析9、=________________。标准答案：1知识点解析：暂无解析10、=_______________。标准答案：0知识点解析：暂无解析11、设f(x)连续，且=___________。标准答案：6知识点解析：由积分中值定理知存在ξ∈[x，x+2]，可得12、设则a=___________．b=_________．标准答案：知识点解析：利用洛必达法则可得13、函数的连续区间是__________．标准答案：(一∞，1)∪(1，+∞)．知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：本题是∞一∞型未定式，提出无穷大因子x2后作变量替换，可得知识点解析：暂无解析18、标准答案：用当x→0时的等价无穷小替换ex一1～x与ln(1+x)～x化简所求极限．知识点解析：暂无解析19、标准答案：转化为适当的函数极限．令，则知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、证明：方程x=asinx+b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a+b．标准答案：引入函数f(x)=x一asinx—b，则f(x)=0的根即方程x=asinx+b的根．因f(0)=一b＜0，而f(a+b)=a+b—asin(a+b)一b=a[1一sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，则x=a+b＞0便是f(x)=0的一个正根，若f(a+b)＞0，则由f(x)在[0，a+b]上的连续性可知，，使f(ξ)=0．总之函数f(x)在(0，a+b]上至少有一个零点，即原方程至少有一个正根不超讨a+b．知识点解析：暂无解析23、求证：ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．标准答案：引入函数f(x)=ex+e-x+2cosx一5，则f(x)是(一∞，+∞)上的连续偶函数，且f(0)=一1＜0，f’(x)=ex一e-x一2sinx，从而f’(0)=0．又f’’(x)=ex+e-x一2cosx=+2(1一cosx)＞0成立，由此可见f’(x)当x≥0时单调增加，于是f’(x)＞f’(0=：0当x＞0时成立．这表明f(x)在x≥0是单调增加的．注意f(π)=eπ+e-π一7＞23一7=1＞0，故根据闭区间上连续函数的性质可知f(x)=0在(0，π)内至少有一个根，结合f(x)在x≥0严格单调增加可知f(x)=0有且仅有一个正根．由f(x)为(一∞，+∞)上偶函数，f(x)=0还有且仅有一个负根．故方程ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．知识点解析：暂无解析24、设常数a＜b＜c，求证：方程在区间(a，b)与(b，c)内各有且仅有一个实根．标准答案：设函数．则f(x)的零点就是方程的根．因函数f(x)分别在区间(a，b)与(b，c)内可导，且这表明在区间(a，b)内f(x)的函数值从+∞单调减少到一∞，在区间(b，c)内f(x)的函数值也从+∞单调减少到一∞，故f(x)分别在(a，6)与(b，c)内有且仅有一个零点．即方程分别在(a，b)与(b，c)内有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，b]上连续，且a＜c＜d＜b．求证：存在ξ∈(a，b)，使pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)，其中P＞0，q＞0为任意常数．标准答案：利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题．由f(x)在[a，b]上连续，而[c，d]c[a，b]，可知f(x)在[c，d]上连续，于是存在从而即η是f(x)在[c，d]上的值域[m，M]上的一个值．由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知，必存在ξ∈[c，d]c(a，b)使．f(ξ)=η，即Pf(c)+qf(d)=(P+)f(ξ)成立．知识点解析：暂无解析26、已知数列{xn}满足：x0=25，xn=arctanxn-1(n=1，2，3，…)，证明{xn}的极限存在，并求其极限．标准答案：设f(x)=arctanx一x，则f(0)=0，所以f(x)单调减少，当x＞0时f(x)＜f(0)=0，即arctanx＜x，于是有xn=arctanxn-1＜xn-1．由此可知，数列{xn}单调递减．又x0=25，x1=arctan25＞0，…，且对每个n，都有xn＞0，根据极限存在准则即知存在．设．在xn+1=arctanxn两边取极限得a=arctana，所以a=0，即知识点解析：暂无解析27、设数列{xn}由递推公式确定，其中a＞0为常数，x0是任意正数，试证存在，并求此极限．标准答案：因a＞0，x0＞0，由xn的递推式知xn＞0．又由算术平均值不小于几何平均值知再由知数列{xn}单调递减且有下界存在，设为l．在566两边令n→∞取极限，得又据l＞0可解得知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设级数an发散(an＞0)，令Sn＝a1＋a2＋…＋an，则()．A、发散B、收敛于C、收敛于0D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为正项级数＝＋∞，令S’n＝，因为，所以选(B)．2、设f(x，y)＝sin，则f(x，y)在(0，0)处()．A、对x可偏导，对y不可偏导B、对x不可偏导，对y可偏导C、对x可偏导，对y也可偏导D、对x不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：因为不存在，所以f(x,y)在(0,0)处对x不可偏导；因为，所以f’y(0,0)＝0，即f(x,y)在(0，0)处对y可偏导，选(B)．3、设f(x)二阶连续可导，f’(0)＝0，且＝－1，则()．A、x＝0为f(x)的极大点B、x＝0为f(x)的极小点C、(0，f(0))为y＝f(x)的拐点D、x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y＝f(x)的拐点．标准答案：A知识点解析：因为＝－1＜0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，注意到x3＝ο(x)，所以当0＜｜x｜＜δ时，f’’(x)＜0，从而f’(x)在(－δ,δ)内单调递减，再由f’(0)＝0得故x＝0为f(x)的极大点，选(A)．4、当x→0时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小()．A、x2B、1－cosxC、－1D、x－tanx标准答案：D知识点解析：1－cosx～，所以x－tanx是比其他三个无穷小阶数更高的无穷小，选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：6、设f(x)为奇函数，且f’(1)＝2，则f(x3)｜x＝－1＝______．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由f(x3)＝3x2f’(x3)得＝3f’(－1)＝3f’(1)＝6．7、设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分∫1＋∞f(x)dx收敛，且满足f(x)＝∫1＋∞f(x)dx，则f(x)＝______．标准答案：知识点解析：8、设z＝xy＋xf，其中f可导，则＝______．标准答案：z＋xy知识点解析：9、设y＝y(x)可导，y(0)＝2，令△y＝y(x－△x)－y(x)，且△y＝△x＋α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)＝______．标准答案：知识点解析：，再由y(0)＝2，得C＝2，所以y＝．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、确定常数a，c的值，使得＝c，其中c为非零常数．标准答案：由洛必达法则，知识点解析：暂无解析13、设y＝，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求常数a，b使得标准答案：因为f(x)在x＝0处可导，所以f(x)在x＝0处连续，从而有f(0＋0)＝2a＝f(0)＝f(0－0)＝3b，由f(x)在x＝0处可导，则3＋2a＝10＋6b，解得．知识点解析：暂无解析15、证明方程lnx＝在(0，＋∞)内有且仅有两个根．标准答案：∫0π，令f(x)＝lnx－＝0，得x＝e，因为f’’(e)＝，所以f(e)＝＞0为f(x)的最大值，又因为f(x)＝－∞，＝－∞，所以f(x)＝0在(0，＋∞)内有且仅有两个实根．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、．标准答案：知识点解析：暂无解析18、(1)设f(t)＝∫1tex2dx，求∫01t2f(t)dt．(2)设f(x)＝∫0πecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：因为f(1)＝0，所以(2)∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)d(sinx)＝f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx＝－∫0πf’(x)sinxdx＝－∫0πecosxsinxdx＝∫0πecosxd(cosx)＝ecosx｜0π＝e－1－e知识点解析：暂无解析19、设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．标准答案：令φ(x)＝x2f(x)，由积分中值定理得f(1)＝x2f(x)dx＝c2f(c)．其中c∈[0,]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)＝0．而φ’(x)＝2xf(x)＋x2f’(x)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f’(ξ)＝0．注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析20、设u＝f(x＋y，x2＋y2)，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：＝f’1＝f’1＋2xf’2，＝f’1＋2yf’2，＝f’’11＋2xf’’12＋2f’2＋2x(f’’21＋2xf’’22)＝f’’11＋4xf’’12＋4x2f’’12＋2f’2，＝f’’11＋2yf’’12＋2f’2＋2y(f’’21＋2yf’’22)＝f’’11＋4yf’’12＋4y2f’’12＋2f’2，则＝2f’’11＋4(x＋y)f’’12＋4(x2＋y2)f’’22＋4f’2．知识点解析：暂无解析21、设z＝f(x，y)由f(x＋y，x－y)＝x2－y2－xy确定，求dz．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求dxdy，其中D：x2＋y2≤π2．标准答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤π)，则dxdy＝∫02πdθ∫0πrcosrdr＝2π∫0πrd(sinr)＝2πrsinr｜0π－2π∫0πsinrdr＝－4π．知识点解析：暂无解析23、若正项级数an与正项级数bn都收敛，证明下列级数收敛：标准答案：知识点解析：暂无解析24、求微分方程xy’’＋2y’＝ex的通解．标准答案：令y’＝p，则原方程化为，知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．标准答案：根据题意得，则有∫0xf(t)dt＝ax，两边求导得f(x)＝,即f’(x)＋，解得f(x)＝(C≥0)．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设(an}与{bn)为两个数列，下列说法正确的是()．A、若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B、若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C、若{an}无界且anbn＝0，则bn＝0D、若an为无穷大，且anbn＝0，则bn一定是无穷小标准答案：D知识点解析：(A)不对，如an＝2＋(－1)n，bn＝2－(－1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn＝3，显然{anbn}收敛；(B)，(C)都不对，如an＝n[1＋(－1)n]，bn＝n[1－(－1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn＝0，显然{anbn}有界且bn≠0；正确答案为(D)．2、设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)＝4，f’(2)＝，f’(4)＝6，则g’(4)等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为g’(4)＝，所以选(B)．3、曲线y＝的渐近线的条数为()．A、0条B、1条C、2条D、3条标准答案：D知识点解析：因为y＝∞，所以曲线y＝水平渐近线；由＝＋∞，得曲线y＝有两条铅直渐近线；由(y－x)＝0，得曲线y＝有一条斜渐近线y＝x，选(D)．4、设条件收敛，且＝r，则()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1标准答案：C知识点解析：因为条件收敛，所以级数一定不是正项或负项级数，故r≤0．若｜r｜＜1，则＝｜r｜＜1，级数绝对收敛，矛盾；若｜r｜＞1，则＝｜r｜＞1，存在充分大的N，当n＞N时，{｜un｜}单调增加，发散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：由∫0xtsin(x2－t2)dt＝∫0xsin(x2－t2)d(x2－t2)＝∫0x2sinudu，得6、设f(x)可导且f(x)≠0，则＝______．标准答案：知识点解析：7、设y＝y(x)由yexy＋xcosx－1＝0确定，求dy｜x＝0＝______．标准答案：－2dx知识点解析：当x＝0时，y＝1，将yexy＋xcosx－1＝0两边对x求导得exy＋yexy(y＋)＋cosx－xsinx＝0，将x＝0，y＝1代入上式得＝－2，故dy｜x＝0＝－2dx．8、＝______．标准答案：知识点解析：9、设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt＝arctanx2，f(1)＝1，求∫12f(x)dx．标准答案：知识点解析：由∫0xtf(2x－t)dt(2x－u)f(u)(－du)＝∫x2x(2x—u)f(u)du＝2x∫x2xf(u)du－∫xxuf(u)du得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du＝arctanx2，等式两边对x求导得2∫x2xf(u)dx＋2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)＋xf(x)＝，整理得2∫x2xf(u)du－xf(x)＝，取x＝1得2∫12f(u)－f(1)＝，故∫12duf(x)dx＝．10、设f(x)＝D为xOy面，则f(y)f(x＋y)dxdy＝______．标准答案：知识点解析：在D1{(x，y)｜－∞＜x＜＋∞，0≤y≤1)上，f(y)＝y；在D2：0≤x＋y≤1上，f(x＋y)＝x＋y，则在D0＝D1D2＝{(x，y)｜－y≤x≤1－y，0≤y≤1}上，f(y)f(x＋y)＝y(x＋y)，所以f(y)f(x＋y)dxdy＝∫01dy∫－y1－yy(x＋y)dx＝．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析12、证明：．标准答案：当zx∈[1，2]时有1≥dx，当x∈[2，3]时有dx，…当x∈[n，n＋1]时有dx，知识点解析：暂无解析13、设x3－3xy＋y3＝3确定y为z的函数，求函数y＝y(x)的极值点．标准答案：x3－3xy＋y3＝3两边对x求导得3x2－3y－3x(x≠y2)，令＝0得y＝x2，代入x3－3xy＋y3＝3得x＝－1或x＝，因为＝1＞0，所以x＝－1为极小值点，极小值为y＝1；因为＝－1＜0，所以x＝为极大值点，极大值为y＝；x＝y2时，，此时y没有极值．知识点解析：暂无解析14、f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f(ξ)＝3．标准答案：由泰勒公式得f(－1)＝f(0)＋f’(0)(－1－0)＋(－1－0)，ξ1∈(－1，0)，f(1)＝f(0)＋f’(0)(1－0)＋(1－0)3，ξ2∈(0，1)，两式相减得f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)＝6．因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ1]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](－1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．知识点解析：暂无解析15、求由方程x2＋y3－xy＝0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．标准答案：根据隐函数求导数法，得y’＝得y’＝＝0x，得y＝2x，再将y＝2x代入原方程得x＝，函数值为y＝．，y’＝0代入y’’得＝－32＜0，所以x＝为函数的极大值点，且极大值为y＝．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在x＝x0的邻域内连续，在x＝x0的去心邻域内可导，且f’(x)＝M．证明：f’(x0)＝M．标准答案：由微分中值定理得f(x)－f(x0)＝f’(ξ)(x－x0)，其中ξ介于x0与x之间，则＝M，即f’(x0)＝M．知识点解析：暂无解析17、∫02dx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f’(x)在[0，1]上连续，且f(1)－f(0)＝1．证明：∫0af’2(x)dx≥1．标准答案：由1＝f(1)－f(0)＝∫01f’(x)dx，得12＝1＝(∫01f’(x)dx)≤∫0112dx∫01f’2(x)dx＝∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知识点解析：暂无解析19、令f(x)＝x－[x]，求极限．标准答案：因为[x＋m]＝[x]＋m(其中m为整数)，所以f(x)＝x－[x]是以1为周期的函数，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表达式为f(x)＝对充分大的x，存在自然数n，使得n≤x＜n＋1，则∫0nf(x)dx≤∫0xf(x)dx≤∫0n＋1f(x)dx，而∫0nf(x)dx＝n∫01f(x)dx＝n∫01xdx＝，同理∫0n＋1f(x)dx＝，知识点解析：暂无解析20、设二元函数f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)＝0．标准答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．(充分性)若φ(0，0)＝0，则f’x(0，0)＝0，f’y(0，0)＝0．所以＝0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析21、设半径为R的球面S的球心在定球面x2＋y2＋z2＝a2(a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大?标准答案：设球面S：x2＋y2＋(z－a)2＝R2，由得球面S在定球内的部分在xOy面上的投影区域为Dxy：x2＋y2≤(4a2－R2)，球面S在定球内的方程为S：z＝a－，因为S’’＝－4π＜0，所以当R＝时球面S在定球内的面积最大．知识点解析：暂无解析22、设an＞0(n＝1，2，…)且{an}n＝1∞单调减少，又级数(－1)nan发散，判断的敛散性．标准答案：因为{an}n＝1∞单调减少且an＞0(n＝1，2，…)，所以＝A，由(－1)na0发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由．知识点解析：暂无解析23、设f(x)的一个原凼数为F(x)，且F(x)为方程xy’＋y＝ex的满足y(x)＝1的解．(1)求F(x)关于x的幂级数；(2)求的和．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f’(x)＋f(x)－∫0xf(t)dt＝0．(1)求f’(x)；(2)证明：当X≥0时，e－x≤f(x)≤1．标准答案：(1)(x＋1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(t)dt＝0，两边求导数，得(x＋1)f’’(x)＝－(x＋2)f’(x)．再由f(0)＝1，f’(0)＋f(0)＝0，得f’(0)＝－1，所以C＝－1，于是f’(x)＝．(2)当x≥0时，因为f’(x)＜0且f’(0)＝1，所以f(x)≤f(0)＝1．令g(x)＝f(x)－e－x，g(0)＝0，g’(x)＝f’(x)＋e－x＝≥0，由f(x)≥e－x(x≥0)．知识点解析：暂无解析25、某人的食量是2500卡／天，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．标准答案：输入率为2500卡／天，输出率为(1200＋16ω)，其中ω为体重，根据题意得，ω(0)＝ω0，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，f(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的()．A、充分而非必要条件B、必要而非充分条件C、充分必要条件D、既非充分也非必要条件标准答案：D知识点解析：多元函数在一点连续与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”，“偏导数存在”也未必“连续”．仅(D)入选．2、设则g[f(x)]为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：解一以分段点为界点分区间求之．当x<0时，f(x)=x2>0，则g[f(x)]=f(x)+2=x2+2，当x≥0时，f(x)=一x≤0，则g[f(x)]=2一f(x)=2一(一x)=2+x，故仅(D)入选．解二采用先外后内的方法求之．显然不等式组①与④无解，不等式组②与③的解分别为x<0，x≥0，故仅(D)入选．解三采用先内后外的方法求之．显然不等式组①与④无解，不等式组②与③的解分别为x<0，x≥0，故仅(D)入选．3、“对任意的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn－a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的()．A、充分条件，但非必要条件B、必要条件，但非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件，又非必要条件标准答案：C知识点解析：将题设条件与数列收敛定义比较知，“对任意的ε∈(0，1)”与“对任给的ε>0”是相当的，而n≥N比定义中多了一个等号，显然由于定义中的N并不唯一，多一个等号也是可以的．事实上，若取Nn=N—1，则N>N0，即为n≥N．至于|xn一a|≤2ε，这里既多了一个等号，还乘以2，但由ε>0是任给的，满足ε=ε0／3的ε0>0仍然是任给的，这时就有|xn一a|≤2ε=(2／3)ε0<ε0，这与定义|xn一a|<ε相当．综上所述，所给条件是{xn}收敛于口的充要条件．仅(C)入选．4、设{an}，{bn}，{cn}为非负数列，且则必有()．A、ann对任意n成立B、bnn，对任意n成立C、极限不存在D、极限不存在标准答案：D知识点解析：解一因其含义是当n无限增大时，xn与a无限接近，其极限值与xn前面的有限项的大小无关，因此(A)、(B)不正确．选项(C)中的极限属“0·∞”型极限，是一个未定式，由命题1．1．2．1(1)知可能存在，也可能不存在．例如取an=e-n，cn=n时，但当an=(一1)n／n，cn=n时，不存在，(C)也不正确．仅(D)入选．解二(D)中极限属“1·∞"型，由命题1．1．2．1(3)知，必有因而极限不存在．仅(D)入选．注：命题1．1．2．1(1)设limf(x)不存在，则lim[f(x)±g(x)]一定不存在，但lim[f(x)·g(x)]与lim[f(x)/g(x)]可能存在，也可能不存在.命题1．1．2．1(3)limf(x)=l≠0,limg(x)=∞,则lim[f(x)·g(x)]=∞.但若limf(x)=l=0,limg(x)=∞，则lim[f(x)·g(x)]=∞不一定为∞.5、设数列xn与yn满足则下列断言正确的是()．A、若xn发散，则yn必发散B、若xn无界，则yn必有界C、若xn有界，则yn必为无穷小D、若1／xn为无穷小，则yn必为无穷小标准答案：D知识点解析：解一取yn≡0，则满足若xn发散，则yn收敛．显然(A)不正确．再取则且xn无界，但yn也无界．故(B)不对．对于选项(C)，取数列xn≡0，yn=a≠0，则且xn有界，但yn=a≠0不是无穷小，(C)也不对．仅(D)入选．解二利用无穷小量的性质求之．由yn=(xnyn)·(1／xn)及可知yn为两个无穷小量之积，故yn也为无穷小量，(D)正确．6、设则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小量B、高阶无穷小量C、等价无穷小量D、同阶但不等价的无穷小量标准答案：B知识点解析：解一由知，g(x)为x的5阶无穷小量．由命题1．1．5．1(2)知，f(x)为x的(2+1)×2=6阶无穷小量，故f(x)是g(x)的高阶无穷小量．仅(B)入选．解二仅(B)入选．利用无穷小量阶的定义判别之．因x5是x4的高阶无穷小量(x→0)，而在极限的加减运算中，高阶无穷小量可以略去，得到注：命题1．1．5．1(2)当f(x)连续且x→a时，f(x)是x－a的n阶无穷小量，g(x)是m阶无穷小量，则当x→a时，为x－a的(n+1)m阶无穷小量．7、把x→0+时的无穷小排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()．A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α标准答案：B知识点解析：解一利用命题1．1．5．1观察求之．仅(B)入选．因cost2为t→0时的零阶无穷小量，故阶无穷小量，β为x的阶无穷小量，γ为阶无穷小量，故正确的排列次序为α，γ，β．解二采用两两比较它们的阶的大小的方法．因因而β是α的高阶无穷小量(β是比α高阶的无穷小量)．同法，可求得则β是比γ高阶的无穷小量．又则γ是比α高阶的无穷小量．因而仅(B)入选．解三分别求出α，β，γ关于x的阶数，然后再比较．由知，α是x的1阶无穷小量．因故β为x的3阶无穷小．又因故γ为x的2阶无穷小量．综上所述，正确的排列次序为α，γ，β仅(B)入选．注：命题1．1．5．1(1)当f(x)连续且x→a时，f(x)是x－a的n阶无穷小量，则当x→a时，必为x－a的n+1阶无穷小量．(2)当f(x)连续且x→a时，f(x)是x－a的n阶无穷小量，g(x)是m阶无穷小量，则当x→a时，为x－a的(n+1)m阶无穷小量．8、设函数则()．A、x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B、x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C、x=0是f(x)的第一类间断点，=1是f(x)的第二类间断点D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点标准答案：D知识点解析：由于函数f(x)在=0，x=1处无定义，这些点为f(x)的间断点．因故因而x=0为f(x)的第二类间断点(无穷间断点)．又因所以故因而x=1为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．仅(D)入选．9、若则为()．A、0B、6C、36D、∞标准答案：C知识点解析：解一利用恒等变形、极限四则运算法则及题设条件消去待求极限中的未知函数，化为一般极限利用等价无穷小而求之．解二利用极限存在的充分必要条件：其中写出未知函数f(x)的表达式，代入所求极限．将其代入所求的极限式，得到解三题设相当于sin6x+xf(x)=o(x3)，因而6x+sin6x+xf(x)=6x+o(x3)，即6x+xf(x)=6x-sin6x+o(x3)，二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)10、设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy=__________．标准答案：ef(x)[f’(lnx)(1／x)+f’(x)f(lnx)]dx知识点解析：dy=d[f(lnx)ef(x)]=d[f(lnx)]ef(x)+f(lnx)def(x)=f’(lnx)(dlnx)ef(x)+f(lnx)ef(x)df(x)=[f’(lnx)ef(x)](dx)／x+f(lnx)ef(x)f’(x)dx=ef(x)[f’(lnx)(1／x)+f’(x)f(lnx)]dx．11、设f(x)有一个原函数则标准答案：知识点解析：12、若函数则标准答案：知识点解析：解一设则在其两端分别在[0，1]上取定积分，得到解之得到解二将上式两端在[0，1]上积分，因为常数，有故13、标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)14、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0，试证存在ξ，η∈(a，b)，使标准答案：证一本题要证的结论中出现两个中值ξ和η．这类问题首先将含有ξ和η的项分别移到等式两端，再考虑应用微分中值定理．先用哪个微分中值定理呢?这就要看变形后的等式中哪一端出现拉格朗日中值定理或柯西中值定理一端的形式．变形后，得到观察上式的左端，它恰是对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理的结果：f(b)—f(a)=f’(ξ)(b-a)(a＜ξ＜b)．于是首先想到使用拉格朗日中值定理，得到f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)(a＜ξ＜b)．②其次再考察式①的右端，注意到它是两个函数f(x)与ex在x=η处的导数之比．这自然又使人想到用柯西中值公式：由式②与式③即得即证二分离中值将待证等式改写为因中值η的导数值在此中值等式的右端有f’(η)及(eη)’=eη，且分别在分子、分母上可将f(x)，ex这两个函数视为f(x)，g(x)=ex，即式④中f’(η)／eη是对f(x)和ex使用柯西中值定理的结果．对g(x)=ex和f(x)在[a，b]上使用该定理，得到将式⑤代入式④易看出式④中f’(ξ)应视为对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理的结果，于是对f(x)在[a，b]上使用该定理，得到f(b)—f(a)=f’(ξ)(b-a)，ξ∈(a，b)，⑥将式⑥代入式⑤，得到f’(ξ)(b-a)／(eb一ea)=f’(η)／eη．由题设有f’(x)≠0，故f’(η)≠0，从而知识点解析：暂无解析15、求标准答案：注：命题1．1．3．1(6)当x→0时，有x－ln(1+x)～x2/2.知识点解析：暂无解析16、在经济学中称函数为固定替代弹性生产函数，而称函数为Cobb-Douglas生产函数(简称C-D生产函数)．试证明：当x→0时固定替代弹性生产函数变为C-D生产函数，即有标准答案：知识点解析：暂无解析设其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1，g'(0)=－1．17、求f’(x)；标准答案：因故f(x)在x=0处连续，且当x≠0时，综上所述，知识点解析：暂无解析18、讨论f’(x)在(－∞，+∞)内的连续性．标准答案：因故f’(x)在x=0处连续．又f’(x)在(－∞，0)及(0，+∞)内连续，所以f’(x)在(－∞，+∞)内连续．知识点解析：暂无解析19、求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线．标准答案：(1)令f’=0，得驻点x1=0，x2=－1．单调区间和极限的计算常用列表法讨论，现列表如下．由此可见，单调增加区间为(－∞，－1)∪(0，+∞)，单调减少区间为(－1，0)．极小值为极大值为(2)由于y是x的同阶无穷大量，可能有斜渐近线，事实上，有故b1=－eπ－eπ=－2eπ．曲线y的一条斜渐近线为y=a1x+b1=eπ(x－2)．同理可求得曲线y的另一条斜渐近线为y=x－2．由于y有斜渐近线，当然没有水平渐近线．事实上，的定义知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[0，+∞)上连续，单调不减且f(0)≥0．试证函数在[0，+∞)上连续，且单调不减(其中n>0)．标准答案：(1)显然函数F(x)在(0，+∞)内连续，只需证明F(x)在x=0处连续．事实上，由洛必达法则得到故F(x)在x=0处连续．因而F(x)在[0，+∞)上连续．(2)证一为证F(x)单调不减，需证F’(x)≥0．事实上，由积分中值定理得到其中0≤ξ≤x．由于f(x)在[0，+∞)上单调不减，有f(x)≥f(ξ)，又因xn≥ξn，故xnf(x)≥ξ"f(ξ)．于是F’(x)≥0，即F(x)在[0，+∞)上单调不减．证二因又f(x)单调不减而0≤t≤x，故x"f(x)－t"f(t)≥0，可见F(x)在[0，+∞)上单调不减．知识点解析：暂无解析设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1／2)=1．试证：21、存在η∈[1／2，1]，使f(η)=η；标准答案：因已知f(x)在区间两端点的取值，可试用零点定理证之．事实上，设φ(x)=f(x)-x，则φ(x)在[0，1]上连续，又φ(1)=－1＜0，φ(1／2)=1／2＞0．由零点定理知，存在η∈(1／2，1)，使得φ(η)=f(η)－η=0，即f(η)=η．知识点解析：暂无解析22、对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1．标准答案：证一辅助函数F(x)可用凑导数法如下求出．将ξ改为x，得{f’(x)－1－λ[f(x)－x])｜x=ξ={f’(x)－x’－λ[f(x)－x}]｜x=ξ={[f(x)－x]’－λ[f(x)－x]}｜x=ξ=0．在上式两端乘以e-λx，即得{e－λx[f(x)－x]’+(e－λx)’[f(x)－x]}｜x=ξ={e－λx[f(x)－x]}’｜x=ξ=F’(x)｜x=ξ=0．于是有F(x)=e－λx[f(x)－x]．因F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=0，F(η)=e－λx[f(η)－η]=0，由罗尔定理知，存在ξ∈(0，η)使F’(ξ)=0，即e－λx{f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]－1}=0，亦即f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1．证二下面用积分法(常数变易法)即解微分方程的方法求出F(x)．为此将ξ改为x，由f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1得到f’(x)－λf(x)=1－λx此为一阶线性非齐次方程，由其求解公式(1．6．1．1)式，得解出C，得C=e-λx[f(x)－x]，则F(x)=e－λx[f(x)－x]．下同证一(略)．知识点解析：暂无解析23、设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0．标准答案：证令则F’(x)=f(x)．因而则必存在ξ∈(0，π)使F(ξ)sinξ=0．如果不是这样，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，于是恒为正或恒为负，这与矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故由F(ξ)sinξ=0得到F(ξ)=0．于是找到了ξ∈(0，π)使F(ξ)=0，且有F(0)=F(ξ)=F(π)=0(0＜ξ＜π)．再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理得到：至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ)=f(ξ2)=0．知识点解析：暂无解析24、曲线的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?标准答案：首先正确绘出在第一象限内的轮廓图形．y=x1/2在第一象限单调减少，其图形如图1．2．5．1所示．由得则过切点P的切线方程为切线与x轴、y轴的交点分别为Q(3a，0)与故△OPQ的面积为当切点沿x轴正方向趋于无穷远时，有当切点沿y轴正方向趋于无穷远即a→0+时，有知识点解析：暂无解析25、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定t=0)就售出，总收入为假定银行的年利润为r，并以连续复利计息．试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求r=0．06时的t值．标准答案：根据计算连续复利的公式知，这批酒在窖藏t年末售出时，总收入R的现值为A0(t)=R(t)e-n，其中R(t)为t年末的总收入．由题设知，t年末的总收入为故相应于该总收入的现值为令得唯一驻点又则其中故该点就是A2(t)的极大值点，即最大值点．因而窖藏t0=1／(25r2)年售出可使总收人的现值最大．将r=0．06代入t0=1／(25r2)得t=100／9≈11(年)．这表明应将这批酒窖藏约11年，到那时售出所获的总收入的现值最大．知识点解析：暂无解析设f(x)，g(x)在区间[－a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(－x)=A(A为常数)．26、证明标准答案：证一利用式(1．3．3．1)得到证二故知识点解析：暂无解析27、利用上题的结论计算定积分标准答案：证一取f(x)=arctanex，g(x)=|sinx|，a=π／2，则f(x)，g(x)在∈[－π／2，π／2]上连续，g(x)为偶函数．为利用本例(1)中的结论，先证f(x)+f(－x)=arctanex+arctane－x=A(常数)．事实上，由知f(x)+f(－x)=arctanex+arctane－x为常数．取x=0，得到arctanex+arctane－x｜x=0=arctanl+arctanl=π／4+π／4=π／2．于是由上题有证二由证一易看出，对于任意x>0，有arctanex+arctane－x=π／2．再直接利用公式令得到知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)连续可导，g(z)在x＝0的邻域内连续，且g(0)＝1，f’(x)＝－sin2x＋∫0xg(x－t)dt，则()．A、x＝0为f(x)的极大值点B、x＝0为f(x)的极小值点C、(0，f(0))为y＝f(x)的拐点D、x＝0非极值点，(0，f(0))非y＝f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由∫0xg(x－t)dtg(u)du得f’(x)＝－sin2x＋∫0xg(u)du，f’(0)＝0，所以x＝0为f(x)的极大值点，选(A)．2、设f(x)二阶连续可导，且＝－1，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点D、x＝0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且＝－1，所以f’’(x)＝0，即f’’(0)＝0．又＝－1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(－δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点，选(C)．3、对二元函数z＝f(x，y)，下列结论正确的是()．A、z＝f(x，y)可微的充分必要条件是z＝f(x，y)有一阶连续的偏导数B、若z＝f(x，y)可微，则z＝f(x，y)的偏导数连续C、若z＝f(x，y)偏导数连续，则z＝f(x，y)一定可微D、若z＝f(x，y)的偏导数不连续，则z＝f(x，y)一定不可微标准答案：C知识点解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设f(x)连续，且f(1)＝1，则＝______．标准答案：知识点解析：5、设f(x)在x＝1处一阶连续可导，且f’(1)＝－2，则＝______．标准答案：1知识点解析：6、设∫xf(x)dx＝arcsinx＋C，则∫＝______．标准答案：知识点解析：7、＝______．标准答案：4－π知识点解析：8、设f(u)连续，则∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv＝______．标准答案：－xf(x2－1)知识点解析：∫u1vf(u2－v2)dv＝∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)＝f(t)dt，则∫0xvf(u2－v2)dv＝∫0xdu∫0u2－1f(t)dt＝f(t)dt，∫0xdu∫u1(u2－v2)dv＝－xf(x2－1)．9、设y(x)为微分方程y’’－4y’＋4y＝0满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2的特解，则∫01y(z)dx＝______．标准答案：(e2－1)知识点解析：y’’－4y’＋4y＝0的通解为y＝(C1＋C2x)e2x，由初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2得C1＝1，C2＝0，则y＝e2x，于是∫01y(x)dx＝(e2－1)．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)10、设f’’(0)＝6，且．标准答案：由＝0得f(0)＝0，f’(0)＝0，知识点解析：暂无解析11、求f(x)＝的间断点并判断其类型．标准答案：f(x)的间断点为x＝0，－1，－2，…及x＝1．当x＝0时，f(0－0)＝，f(0＋0)＝＝－sin1，则x＝0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．当x＝－1时，，则x＝－1为f(x)的第一类间断点中的可去间断点．当x＝k(k＝－2，－3，…)时，f(x)＝∞，则x＝k(k＝－2，－3，…)为函数f(x)的第二类间断点．当x＝1时，因为limf(x)不存在，所以x＝1为f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析12、确定a，b，使得x－(a＋bcosx)sinx，当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y＝x－(a＋bcosx)sinx，y’＝1＋bsin2x－(a＋bcosx)cosx，y’’＝bsin2x＋sin2x＋(a＋bcosx)sinx＝asinx＋2bsin2x，y’’’＝acosx＋4bcos2x，显然y(0)＝0，y’’(0)＝0，所以令y’(0)＝y’’’(0)＝0得故当时，x－(a＋bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．知识点解析：暂无解析13、设f(x)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且f(x)＝－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．标准答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，f(x)＝－1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f((c)＝－1，再由费马定理知f’(c)＝0，根据泰勒公式f(0)＝f(c)＋f’(c)(0－c)＋(0－c)2，ξ1∈(0，c)f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋(1－c)2，ξ2∈(0，1)整理得当c∈