考研数学三（微积分）模拟试卷12（共253题）

考研数学三（微积分）模拟试卷12（共9套）（共253题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设f（x）在点x0的某邻域内有定义，且f（x）在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是（）A、f（x）sinxB、f（x）+sinxC、f2（x）D、|f（x）|标准答案：B知识点解析：若f（x）+sinx在x=x0处连续，则f（x）=[f（x）+sinx]—sinx在x=x0处连续，与已知矛盾。因此f（x）+sinx在点x0必间断。故选B。2、设f（x）在点x=a处可导，则函数|f（x）|在点x=a处不可导的充分必要条件是（）A、f（a）=0，且f’（a）=0B、f（a）=0，且f’（a）≠0C、f（a）＞0，且f’（a）＞0D、f（a）＜0，且f’（a）＜0标准答案：B知识点解析：若f（a）≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D。（当f（x）在x=a可导，且f（a）≠0时，|f（x）|在x=a点可导。）当f（a）=0时，上两式分别是|f（x）|在x=a点的左、右导数，因此，当f（a）=0时，|f（x）|在x=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f’（a）≠0时，故选B。3、设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f"（x）＞0，令un=f（n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（）A、若u1＞u2，则{un}必收敛B、若u1＞u2，则{un}必发散C、若u1＜u2，则{un}必收敛D、若u1＜u2，则{un}必发散标准答案：D知识点解析：本题依据函数f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列{un=f（n）}的敛散性。取f（x）=—lnx，f"（x）=＞0，u1=—lnl=0＞—ln2=u2，而f（n）=—lnn发散，则可排除A；取f（x）=＞0，u1=1＞=u2，而f（n）=收敛，则可排除B；取f（x）=x2，f"（x）=2＞0，u1=1＜4=u2，而f（n）=n2发散，则可排除C；故选D。事实上，若u1＜u2，则=f’（ξ1）＞0。而对任意x∈（ξ1，+∞），由f"（x）＞0，所以f’（x）＞f’（ξ1）＞ξ1∈（1，2）＞0，对任意ξ2∈（ξ1，+∞），f（x）=f（ξ1）+f’（ξ2）（x—ξ1）→+∞（x→+∞）。故选D。4、已知函数y=f（x）对一切的x满足xf"（x）+3x[f’（x）]2=1—e—x，若f’（x0）=0（x0≠0），则（）A、f（x0）是f（x）的极大值B、f（x0）是f（x）的极小值C、（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点D、f（x0）不是f（x）的极值，（x0，f（x0））也不是曲线y=f（x）的拐点标准答案：B知识点解析：由f’（x0）=0知，x=x0是y=f（x）的驻点。将x=x0代入方程，得x0f"（x0）+3x0[f’（x0）]2=1—e—x0，即得f"（x0）=＞0（分x0＞0与x0＜0讨论），由极值的第二判定定理可知，f（x）在x0处取得极小值，故选B。5、由曲线y=1—（x—1）2及直线y=0围成的图形（如图1—3—1所示）绕y轴旋转一周而成的立体体积y是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据选项，需要把曲线表示成x=x（y），于是要分成两部分：则所求立体体积为两个旋转体的体积差，其中6、设函数f（x，y）可微，且对任意x，y都有＜0，则使不等式f（x1，y1）＜f（x2，y2）成立的一个充分条件是（）A、x1＞x2，y1＜y2B、x1＞x2，y1＞y2C、x1＜x2，y1＜y2D、x1＜x2，y1＞y2标准答案：D知识点解析：由＜0，需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f（x，y）关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有f（x1，y1）＜f（x2，y1）＜f（x2，y2），故选D。7、设函数f（x）连续，若F（u，υ）=，其中区域Duυ为图1—4—1中阴影部分，则A、υf（u2）B、f（u2）C、υf（u）D、f（u）标准答案：A知识点解析：题设图像中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤v，1≤r≤u因此可知根据变限积分求导可得=υf（u2）。8、下列命题成立的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于=0中至少有一个不成立，则级数中至少有一个发散，故选C。9、方程y"一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为（）A、y=axex+b+Aexcos2xB、y=aex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）C、y=aex+b+xex（Acos2x+Bsin2x）D、y=aex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）标准答案：D知识点解析：齐次微分方程y"一3y’+2y=0的特征方程为r2一3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，则方程y"-3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(4cos2x+Bsin2x)，故选D。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)10、标准答案：知识点解析：11、已知则y’=________。标准答案：知识点解析：等式两边取对数，则有等式两边分别对x求导，有12、设函数y=则y（n）（0）=________。标准答案：知识点解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。13、曲线的斜渐近线方程为________。标准答案：知识点解析：设所求斜渐近线方程为y=ax+b。因为于是所求斜渐近线方程为14、标准答案：知识点解析：设x—2=t，dx=dt，当x=1时，t=—1；当x=4时，t=2。于是15、设z=z（x，y）由方程z+ez=xy2所确定，则dz=________。标准答案：（y2dx+2xydy）知识点解析：方程两端对x求偏导，16、积分∫01dx标准答案：1—sin1知识点解析：积分区域D如图1—4—12所示17、设a1=1，an=2021，则级数（an+1一an）的和为________。标准答案：2020知识点解析：级数（an+1一an）的部分和数列为Sn=（a2—a1）+（a3—a2）+…+（an+1一an）=an+1—an=an+1—1。则an+1一1=2021一l=2020。18、微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解是________。标准答案：x=y2+y知识点解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y|x=2=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)19、标准答案：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，知识点解析：暂无解析20、证明4arctanx—x+=0恰有两个实根。标准答案：令f（x）=4arctanx—x+。则有又因为=一∞，根据介值定理可知，存在ξ∈（，+∞），使得f（ξ）=0。且当x＞时，f’（x）＜0，f（x）单调下降，可得x=ξ是区间（，+∞）内的唯一一个实根。因此4arctanx—x+=0恰有两个实根x=与x=ξ。知识点解析：暂无解析21、设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元／件，价格函数为P=60—（P是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（Ⅰ）该商品的边际利润；（Ⅱ）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义；（Ⅲ）使得利润最大的定价P。标准答案：已知P=60—，因此Q=1000（60—P）。由总成本C（P）=60000+20Q=1260000—20000P，总收益R（P）=PQ=—100P2+60000P，总利润L（P）=R（P）—C（P）=—1000P2+80000P—1260000。（Ⅰ）边际利润L’（P）=—2000P+80000。（Ⅱ）当P=50时的边际利润为L’（50）=—2000×50+80000=—20000，其经济意义为在P=50时，价格每提高1元，总利润减少20000元。（Ⅲ）由于L（P）在（0，40）递增，在（40，+∞）递减，故当P=40时，总利润最大。知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。标准答案：设F（x）=∫0xg（t）f’（t）dt+∫01f（t）g’（t）dt一f（x）g（1），则F（x）在[0，1]上的导数连续，并且F’（x）=g（x）．f’（x）—f’（x）g（1）=f’（x）[g（x）一g（1）]。由于x∈[0，1]时，f’（x）≥0，g’（x）≥0，因此F’（x）≤0，即F（x）在[0，1]上单调递减。注意到F（1）=∫01g（t）f’（t）dt+∫01（t）g’（t）dt—f（1）g（1），故F（1）=0。因此x∈[0，1]时，F（x）≥F（1）=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。∫0ag（x）f’（x）dx=g（x）f’（x）|0a一∫0af（x）g’（x）dx=f（a）g（a）一∫0af（x）g’（x）dx，∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx=f（a）g（a）一∫0af（x）g’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx=f（a）g（a）+∫a1f（x）g’（x）dx，由于x∈[0，1]时，g’（x）≥0，因此f（x）g’（x）≥f（a）g’（x），x∈[a，1]，∫a1f（x）g’（z）dx≥∫01f（a）g’（x）dx=f（a）[g（1）—g（a）]，从而∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（a）+f（a）[g（1）—g（a）]=f（a）g（1）。知识点解析：暂无解析24、设z=f（x，y），x=g（y，z）+，其中f，g，φ在其定义域内均可微，求标准答案：由z=f（x，y），有dz=f1’dx+f2’dy。知识点解析：暂无解析25、求曲线x3—xy+y3=1（x≥0，y≥0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。标准答案：构造函数L（x，y）=x2+y2+λ（x3—xy+y3—1），令得唯一驻点x=1，y=1，即M1（1，1）。考虑边界上的点，M2（0，1），M3（1，0），距离函数f（x，y）=在三点的取值分别为f（1，1）=，f（0，1）=1，f（1，0）=1，因此可知最长距离为，最短距离为1。知识点解析：暂无解析26、计算二重积分，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}。标准答案：D是正方形区域（如图1—4—20）。因在D上被积函数分块表示为max{x2，y2}=于是要用分块积分法，用y=x将D分成两块：D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，D2=D∩{y≥x}。则知识点解析：暂无解析27、设an=tannxdx。（Ⅰ）求（an+an+2）的值；（Ⅱ）证明对任意的常数λ＞0，级数收敛。标准答案：（Ⅰ）因为知识点解析：暂无解析28、设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。标准答案：（Ⅰ）记n（n一1）anxn—2，代入微分方程y"一2xy’一4y=0有故有（n+2）（n+1）an+2—2nan一4an=0，即an+2=an，n=1，2，…。（Ⅱ）由初始条件y（0）=0，y’（0）=1，知a0=0，a1=1。于是根据递推关系式an+2=an，有a2n=0，a2n+1=。故知识点解析：暂无解析29、设f（u，υ）具有连续偏导数，且fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（12+υ）eu+υ，求y（x）=e—2xf（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：由y（x）=e2xf（x，x），有y’（x）=一2e—2xf（x，x）+e—2x[f1’（x，x）+f2’（x，x）]，由fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（u+υ）eu+υ可得f1’（x，x）+f2’（x，x）=（sin2x）e2x。于是y（x）满足一阶线性微分方程y’（x）+2y（x）=sin2x。通解为y（x）=e—2x[∫sin2x．e2xdx+C]，由分部积分公式，可得∫sin2x．e2xdx=（sin2x—cos2x）e2x，所以y（x）=（sin2x—cos2x）+Ce—2x。知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f’(0)=0，=1，则A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：由于又f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，所以f"(0)=0，但不能确定点(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．由=1＞0，根据极限的保号性可知，在x=0的某邻域内必有＞0，即f"(x)＞0，从而f’(x)在该邻域内单调增加．又因f’(0)=0，所以f’(x)在x=0两侧变号，且在x=0的空心邻域内，当x＜0时f’(x)＜f’(0)=0，当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0，由极值第一充分条件可知，x=0为f(x)的极小值点．即f(0)是f(x)的极小值，故选(B)．2、设f(x)，g’(x)，φ"(x)的图形分别为则曲线y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)中恰有两个拐点的是A、y=f(x)．B、y=f(x)，y=g(x)．C、y=f(x)，y=φ(x)．D、y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)．标准答案：D知识点解析：(1)由f(x)的图形可知，在(x0，1)上为凸弧，(1，x2)上为凹弧，(x2，+∞)为凸弧，故(1，f(1))，(x2，f(x2))是y=f(x)的两个拐点．又因f(x)在点x=x0处不连续，所以点(x0，f(x0))不是拐点．(拐点定义要求函数在该点处连续)(2)由g’(x)的图形可知，在x=1和x=x2处有g"(x)=0，且在x=1，x=x2的左右两侧一阶导数升降性相反或二阶导数异号，故有两个拐点(x1，g(1))与(x2，g(x2))．由于在x0附近，当x＜x0和x＞x0时g’(x)均单调上升或均有g"(x)＞0，故点(x0，g(x0))不是拐点．因此g(x)只有两个拐点．(3)由φ"(x)的图形可知，在点x=x0与x=x2处φ(x)的二阶导数等于零，且二阶导数在其左右异号，故点(x0，φ(x0))与(x2，φ(x2))为拐点．因为点1的附近二阶导数均为正，故点(1，φ(1))不是拐点．综上所述，曲线y=f(x)，y=g(x)，y=φ(x)均有两个拐点．故选(D)．3、曲线y=+ln(1+ex)的渐近线的条数为A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：D知识点解析：先考察垂直渐近线．间断点为x=0与x=1，因=∞，所以x=0，x=分别是该曲线的垂直渐近线．再考察水平渐近线．由于所以沿x→+∞方向无水平渐近线．又所以沿x→一∞方向有水平渐近线y=0．最后考察斜渐近线．由于所以沿x→+∞方向有一条斜渐近线y=x．因沿x→一∞方向有水平渐近线，当然就没有斜渐近线，所以共有4条，故选(D)．4、设f(x)在x=x0可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的()条件．A、充分非必要B、充分必要C、必要非充分D、既非充分也非必要标准答案：B知识点解析：按定义｜f(x)｜在x0可导存在．因｜f(x)｜在x=x0处的右导数与左导数分别是由可导的充要条件知｜f’(x0)｜=一｜f’(x0)｜←→｜f’(x0)｜=0，故选(B)．5、设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的()条件．A、充分必要B、充分非必要C、必要非充分D、既非充分也非必要标准答案：A知识点解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0．按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，则由商的求导法则即知φ(x)=在x=a可导，与假设条件φ(x)在x=a不可导矛盾．因此应选(A)．6、函数f(x)=(x2一x一2)｜x3一x｜的不可导点有A、3个．B、2个．C、1个．D、0个．标准答案：B知识点解析：函数｜x｜，｜x一1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=一1不可导且它们处处连续．因此只需在这些点考察f(x)是否可导．f(x)=(x2一x一2)｜x｜｜x一1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，一1是否可导．考察x=0，令g(x)=(x2一x一2)｜x2一1｜，则f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0连续但不可导，故f(x)在x=0不可导．考察x=1，令g(x)=(x2一x一2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x—1｜，则g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可导．考察x=一1，令g(x)=(x2一x一2)｜x2一x｜，φ(x)=｜x+1｜，则g’(一1)存在，g(一1)=0，φ(x)在x=一1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=一1可导．因此选(B)．7、设f(x+1)=af(x)总成立，f’(0)=b，其中a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A、不可导．B、可导且f’(1)=a．C、可导且f’(1)=b．D、可导且f’(1)=ab．标准答案：D知识点解析：按定义考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选(D)．二、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)8、设f(x)在(a，b)内可导，证明：对于x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x一x0)＞f(x)．(*)标准答案：充分性：设(*)成立，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，则f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2一x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1一x2)．两式相加可得[f’(x1)一f’(x2)](x2一x1)＞0，于是由x1＜x2知f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)单调减少．必要性：设f’(x)在(a，b)单调减少．对于x，x0∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得f(x)一[f(x0)+f’(x0)(x一x0)]=[f’(ξ)一f’(x0)](x一x0)＜0，其中ξ在x与x0之间，即(*)成立．知识点解析：暂无解析9、求y(x)=的极值点、拐点、凹凸区间与渐近线．标准答案：(Ⅰ)先求驻点与不可导点．由当x＜x1时y’＞0，y=y(x)：为增函数；当x1＜x＜1时y’＜0，y=y(x)为减函数；当x=1时函数无定义，y=y(x)不可导；当1＜x＜x2时y’＜0，y=y(x)为减函数；当x＞x2时y’＞0，y=y(x)为增函数．于是x=x1为极大值点，x=x2为极小值点，x=1为不可导点．(Ⅱ)再考虑凹凸区间与拐点．由令y"=0，解得x1=；在x=1处y"不存在．当x＜＜x＜1时y"＞0，y=y(x)图形为凹；当x＞1时y"(x)＞0，y=y(x)图形为凹，于是y=y(x)图形的拐点为．(Ⅲ)最后考察渐近线．由于因此x=1为曲线y=y(x)的垂直渐近线．又=∞，因此无水平渐近线．由可知曲线y=y(x)有斜渐近线y=x+1．知识点解析：暂无解析10、(Ⅰ)求曲线y=xe—x在点(1，)处的切线方程；(Ⅱ)求曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt上点(0，0)处的切线方程；(Ⅲ)设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，求常数a，b．标准答案：(Ⅰ)因为y’=(1一x)e—x，于是y’(1)=0．从而曲线y=xe—x在点(1，)．(Ⅱ)因y’(0)=[∫0x(t—1)(t一2)dt]’｜x=0=(x—1)(x一2)｜x=0=2，于是曲线在点(0，0)处的切线方程是y=2x．(Ⅲ)曲线y=x2+ax+b过点(1，一1)，所以1+a+b=一1，在点(1，一1)处切线的斜率为y’=(x2+ax+b)｜x=0=2+a．将方程2y=一1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在点(1，一1)处的斜率y’(1)满足2y’(1)=(一1)3+3y’(1)，解出得y’(1)=1．因这两条曲线在点(1，一1)处相切，所以在该点它们切线的斜率相同，即2+a=1，即a=一1．再由1+a+b=一1得b=一2—a=一1．因此a=一1，b=一1．知识点解析：暂无解析11、设总成本关于产量x的函数为C(x)=400+3x+x2，需求量x关于价格P的函数为P=．求边际成本，边际收益，边际利润以及收益对价格的弹性．标准答案：由边际成本的定义知，边际成本MC=C’(x)=3+x．又因总收益函数R=Px=．从而边际利润ML=MR—MC=一x一3．由于函数P=，由此可得收益对价格的弹性知识点解析：暂无解析12、设某产品的需求函数Q=Q(P)是单调减少的，收益函数R=PQ，当价格为P0，对应的需求量为Q0时，边际收益R’(Q0)=2，而R’(P0)=一150，需求对价格的弹性EP满足｜EP｜=．求P0和Q0．标准答案：因需求函数Q=Q(P)单调减少，故需求对价格的弹性EP＜0，且反函数P=P(Q)存在．由题设知Q0=Q(P0)，P0=P(Q0)，且．把它们代入分析中所得的关系式就有R’(Q0)=P0(1一)=一150，即Q0=300．知识点解析：为了解决本题，必须建立R’(Q)，R’(P)与EP之间的关系．因R=PQ=PQ(P)，于是R’(P)=Q(P)+=Q(1+EP)．设P=P(Q)是需求函数Q=Q(P)的反函数，则R=PQ=QP(Q)，于是13、设某商品需求量Q是价格p的单调减函数Q=Q(p)，其需求弹性η=＞0．(Ⅰ)设R为总收益函数，证明=Q(1—η)；(Ⅱ)求p=6时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义．标准答案：(Ⅰ)R(p)=pQ(p)，两边对p求导得经济意义：当价格p=6时，若价格上涨1％，则总收益将增加0．54％．知识点解析：暂无解析14、在椭圆=1内嵌入最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积．标准答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为M(x，y)，则矩形的面积为S(x)=4xy=(0≤x≤a)．下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S’(x)：令S’(x)=0解得x==2ab，所以S(x)在[0，a]的最大值即内接矩形最大面积为2ab．设f(x)在(a，b)内可导，又f(x)=+∞(一∞)，则f(x)在(a，b)存在最小(大)值．求这个最值归结为求f(x)在(a，b)的驻点．知识点解析：暂无解析15、求f(x)=在(0，+∞)内的最大、最小值．标准答案：由f’(x)=(2+lnx)=0，解得唯一驻点x0=e—2∈(0，+∞)．(分析单调性)．x∈(0，+∞)时f(x)可导．当x∈(0，e—2)时f’(x)＜0，f(x)在(0，e—2]单调减少；当x∈(e—2，+∞)时f’(x)＞0，f(x)在[e—2，+∞)单调增加，于是x0=e—2为f(x)在(0，+∞)的最小值点．f(x)在(0，+∞)内的最小值为f(e—2)=一2e—1，再由上述单调性可知f(x)在(0，+∞)无最大值．知识点解析：暂无解析16、求cosx的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求带皮亚诺余项的麦克劳林公式．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求极限I=．标准答案：知识点解析：暂无解析20、确定常数a和b的值，使f(x)=x一(a+b)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．标准答案：不难看出当1一a一b=0与一b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小量(x→0)．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．标准答案：1)再用当x→0时的等价无穷小替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得=4．2)用o(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n—1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．知识点解析：暂无解析22、设0＜x＜．标准答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b．标准答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f"(ξ)(x一c)2，(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0<θ<1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+f"(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f"(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)一f(0)=f，(c)+[f"(ξ2)(1一c)2一f"(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)一f(0)+[f"(ξ1)c2一f"(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．知识点解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c处展开．24、设函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f(0)=f(1)=0，f()=一1．证明：≥8．标准答案：将f(x)在x0=处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，有在上式中分别令x=0，x=1，并利用f(0)=f(1)=0即得将①式与②式相加消去未知的一阶导数值f’()可得知识点解析：为了得到f"(x)的估值可以利用泰勒公式找出它与f(0)，f(1)及minf(x)之间的关系．由于题设条件中给出了f(0)与f(1)的函数值，又涉及二阶导数f"(x)，因此可考虑利用f(0)和f(1)在展开点x0=处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式．25、设f’(0)=1，且f(0)=0，求极限．标准答案：这是型极限，因为在题目中没有假设当x≠0时f(x)可导，故不能使用洛必达法则求极限．由导数定义可得知识点解析：暂无解析26、已知函数f(x)在(0，+∞)内可导且f(x)＞0，f(x)=1，又满足求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设f(χ)＝则在点χ＝1处函数f(χ)【】A、不连续．B、连续但不可导．C、可导且导数不连续．D、可导且导数连续．标准答案：A知识点解析：暂无解析2、设f(χ)在χ＝a的某邻域内有定义，则f(χ)在χ＝a处可导的一个充要条件是：【】A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设f(0)＝0，则f(χ)在χ＝0可导的充要条件是【】A、f(1－cosh)存在．B、f(1－eh)存在．C、f(h－sinh)存在．D、[f(2h)－f(h)]存在．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设f(χ)可导，F(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)，则f(0)00是F(χ)在χ＝0处可导的【】A、充分必要条件．B、充分条件但非必要条件．C、必要条件但非充分条件．D、既非充分条件又非必要条件标准答案：A知识点解析：暂无解析5、函数f(χ)＝(χ2－χ－2)｜χ3－χ｜不可导点的个数是：【】A、3B、2C、1D、0标准答案：B知识点解析：暂无解析6、设函数f(χ)在定义域内可导，y＝f(χ)的图形如图2．2所示，则导函数y＝f′(χ)的图形如(图2．3)【】A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设f(χ)在(－∞，＋∞)上可导，且对任意的χ1和χ2，当χ1＞χ2时都有f(χ1)＞f(χ2)，则【】A、对任意χ，f′(χ)＞0．B、对任意χ，f′(－χ)≤0．C、函数f(－χ)单调增加．D、函数－f(－χ)单调增加．标准答案：D知识点解析：暂无解析8、已知f(χ)在χ＝0的某个邻域内连续，且f(0)＝0，＝2，则在点χ＝0处．f(χ)【】A、不可导．B、可导，且f′(0)≠0．C、取得极大值．D、取得极小值．标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设函数f(χ)在χ＝a的某邻域内连续，且f(a)为极大值．则存在δ＞0，当χ∈(a－δ，a＋δ)时必有：【】A、(χ－a)[f(χ)－f(a)]≥0B、(χ－a)[f(χ)－f(a)]≤0C、≥0(χ≠a)D、≤0(χ≠a)标准答案：C知识点解析：暂无解析10、设f(χ)满足y〞×y′－esinχ＝0，且f′(χ0)＝0．则f(χ)在【】A、χ0某邻域内单调增加．B、χ0某邻域内单调减少．C、χ0处取得极小值．D、χ0处取极大值．标准答案：C知识点解析：暂无解析11、已知函数y＝f(χ)对一切χ满足χf〞(χ)＋3χ[f′(χ)]2＝1－e－χ．若f′(χ0)＝0．(χ0≠0)，则【】A、f(χ0)是f(χ)的极大值．B、f(χ0)是f(χ)的极小值．C、(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点．D、f(χ0)不是f(χ)的极值，(χ0，f(χ0))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．标准答案：B知识点解析：暂无解析12、曲线y＝【】A、没有渐近线．B、仅有水平渐近线．C、仅有铅直渐近线．D、既有水平渐近线也有铅直渐近线．标准答案：D知识点解析：暂无解析13、设函数f(χ)在(－∞，＋∞)内连续，其导函数图形如图所示，则f(χ)有【】A、一个极小值点和两个极大值点．B、两个极小值点和一个极大值点．C、两个极小值点和两个极大值点．D、三个极小值点和一个极大值点．标准答案：C知识点解析：暂无解析14、设f(χ)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0，使得【】A、f(χ)在(0，δ)内单调增加．B、f(χ)在(－δ，0)内单调减少．C、对任意的χ∈(0，δ)有f(χ)＞f(0)．D、对任意的χ∈(－δ，0)有f(χ)＞f(0)．标准答案：C知识点解析：暂无解析15、若＝0，则为【】A、0．B、6．C、36．D、∞．标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、已知f′(3)＝2，_______．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(1＋χ)－3f(1－χ)＝8χ(1＋｜sinχ｜)，其中f(χ)连续，则f′(1)＝_______．标准答案：2知识点解析：暂无解析18、设f′(1)＝2．极限存在，则＝_______．标准答案：－2知识点解析：暂无解析19、设函数y＝y(χ)由方程ln(χ2＋y)＝χ3y＋sinχ确定，则＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析20、设f(a)＝1，f′(a)＝2．则＝_______．标准答案：e2知识点解析：暂无解析21、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(χ)＝χ(χ－1)(χ－2)…(χ－n)，则f′(0)＝_______，f(n+1)(χ)＝_______．标准答案：(－1)nn!，(n＋1)!知识点解析：暂无解析23、设函数y＝y(χ)由方程y－χey＝1所确定，试求＝_______和＝_______．标准答案：e，2e2知识点解析：暂无解析24、设y＝y(χ)由y＝tan(χ＋y)所确定，试求y′＝_______，y〞＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(χ)＝，求f(n)(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设y＝sin4χ＋cos4χ，求y(n)＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(χ)在(－∞，＋∞)上二阶导数连续f(0)＝0，g(χ)＝则a＝_______使g(χ)在(－∞，＋∞)上连续．标准答案：f′(0)知识点解析：暂无解析28、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析30、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析31、做半径为R的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h＝_______何值，其体积最小，最小值是_______．标准答案：4R；πR3．知识点解析：暂无解析32、设某产品的总成本函数为C(χ)＝400＋3χ＋χ2而需求函数p＝，其中χ为产量(假定等于需求量)，p为价格，试求：1)边际成本为_______；2)边际收益为_______；3)边际利润为_______；4)收益的价格弹性为_______．标准答案：1)3＋χ；2)；3)－3－χ；4)－1．知识点解析：暂无解析33、已知某厂生产χ件产品的成本是C＝25000＋200χ＋χ2(元)问(1)要使平均成本最小，应生产_______件产品．(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产_______件产品．标准答案：(1)1000；(2)6000知识点解析：暂无解析34、设函数y＝y(χ)由参数方程确定，则曲线y＝y(χ)向上凸的χ取值范围为_______．标准答案：(－∞，1)知识点解析：暂无解析35、已知f(χ)在(0，＋∞)上可导，f(χ)＞0，f(χ)＝1，且满足，求f(χ)＝_______．标准答案：f(χ)＝知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)36、已知某企业的总收入函数为R＝26χ－2χ2－4χ3．总成本函数为C＝8χ＋χ2．其中χ表示产品的产量，求利润函数．边际收入函数，边际成本函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润．标准答案：利润函数L＝18χ－3χ2－4χ3．边际收入函数MR＝26－4χ－12χ2．边际成本函数MC＝8＋2χ；产量为1时利润最大，最大利润为11．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)和φ(x)在(－∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()A、φ[f(x)]必有间断点．B、[φ(x)]2必有间断点．C、f[φ(x)]必有间断点．D、必有间断点．标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()A、充分必要条件．B、充分条件但非必要条件．C、必要条件但非充分条件．D、既非充分条件又非必要条件标准答案：A知识点解析：暂无解析3、已知函数y=f(x)对一切x满足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e－x．若f’(x0)=0．(x0≠0)，则()A、f(x0)是f(x)的极大值．B、f(x0)是f(x)的极小值．C、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：暂无解析5、设f(x，y)在(0，0)点连续，且则()A、点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B、点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C、点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D、根据所给条件无法判断(0，0)点是否为f(x，y)的极值点．标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设级数收敛，则必收敛的级数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、=______．标准答案：知识点解析：暂无解析8、当x→0时，a(x)=kx2与是等价无穷小，则k=______．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设f(a)=1，f’(a)=2．则=_______．标准答案：e2知识点解析：暂无解析10、______．标准答案：2(e2+1)知识点解析：暂无解析11、曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积是______．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x，y)=xy，则_______．标准答案：xy－1+yxy－1lnx知识点解析：暂无解析13、=_______．标准答案：知识点解析：暂无解析14、若幂级数的收敛半径为______．标准答案：0.2知识点解析：暂无解析15、差分方程6yt+1+9yt=3的通解为______．标准答案：知识点解析：暂无解析16、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为______．标准答案：y=ex(C1cosx+C2sinx+1)知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)17、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析18、已知试确定常数a，b，使得当x→0时，f(x)～axb．标准答案：a=2A，b=3知识点解析：暂无解析19、设求f(n)(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设某产品的总成本函数为而需求函数其中x为产量(假定等于需求量)，P为价格，试求：1)边际成本；2)边际收益；3)边际利润；4)收益的价格弹性．标准答案：1)3+x2)3)4)－1知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)有连续一阶导数，试求标准答案：f’(0)知识点解析：暂无解析23、已知曲线L的方程为1)讨论L的凹凸性；2)过点(一1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线方程；3)求此切线与L(对应x≤x0的部分)及x轴所围成平面图形的面积．标准答案：1)上凸．2)切点为(2，3)，切线方程为y=x+1．3)知识点解析：暂无解析24、设函数z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且f(1，1)=1，φ(x)=f(x，f(x，x))．求标准答案：51知识点解析：暂无解析25、计算二次积分标准答案：知识点解析：暂无解析26、求下列二重极限标准答案：(1)0(2)0知识点解析：暂无解析27、计算二重积分其中D由不等式0≤x≤y≤2π所确定．标准答案：4π知识点解析：暂无解析28、求幂级数的收敛域．标准答案：[0，6)知识点解析：暂无解析29、设正项数列{an}单调减少，且是否收敛?并说明理由．标准答案：收敛．知识点解析：暂无解析30、设y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条y｜x=ln2=0的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析31、设曲线L位于xoy平面韵第一象限内，L上任一点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A，已知求L的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、当χ→0时，变量是【】A、无穷小．B、无穷大．C、有界的，但不是无穷小．D、无界的，但不是无穷大．标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设数列χn与yn满足χnyn＝0，则下列断言正确的是【】A、若χn发散，则yn必发散．B、若χn无界，则yn必无界．C、若χn有界，则yn必为无穷小．D、若为无穷小，则yn必为无穷小．标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设χ→0时，etanχ－eχ是与χn同阶的无穷小，则n为【】A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：暂无解析4、设＝2，其中a2＋c2≠0，则必有【】A、b＝4dB、b＝－4dC、a＝4cD、a＝－4c标准答案：D知识点解析：暂无解析5、当χ→1时，函数的极限【】A、等于2．B、等于0．C、为∞．D、不存在但不为∞．标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设函数f(χ)＝在(－∞，＋∞)内连续，且f(χ)＝0，则常数a、b满足【】A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设f(χ)和φ(χ)在(－∞，＋∞)上有定义，f(χ)为连续函数，且f(χ)≠0，φ(χ)有间断点，则【】A、φf(χ)]必有间断点．B、[φ(χ)]2必有间断点．C、f[φ(χ)]必有间断点．D、必有间断点．标准答案：D知识点解析：暂无解析8、设f(χ)＝－eχ，则当χ→0时【】A、f(χ)是χ的等价无穷小．B、f(χ)与χ是同阶但非等价无穷小．C、f(χ)是比χ更高阶的无穷小．D、f(χ)是比χ较低阶的无穷小．标准答案：B知识点解析：暂无解析9、设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且＝∞，则必有【】A、an＜bn对任意n成立．B、bn＜cn对任意n成立．C、极限ancn不存在．D、极限bncn不存在标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)10、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设函数f(χ)＝aχ(a＞0，a≠1)，则[f(1)f(2)…f(n)]＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析12、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析13、＝_______．标准答案：2知识点解析：暂无解析14、已知当χ→0时，－1与cos－1是等价无穷小，则常数a＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析15、已知f(χ)＝在χ＝0处连绥，则a＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析16、确定a＝________、b＝_______，使得当χ→0时，a－cosbχ＋sin3χ与χ3为等价无穷小．标准答案：1；0．知识点解析：暂无解析17、求极限＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求极限＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求极限＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求极限＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析21、已知＝0，求a＝________、b＝________的值．标准答案：1；．知识点解析：暂无解析22、求极限＝________．标准答案：3知识点解析：暂无解析23、求极限＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析24、已知＝A(A≠0)，试确定常数a＝_______，b＝_______，使得当χ→0时，f(χ)～aχb．标准答案：2A，3．知识点解析：暂无解析25、设f(χ)＝，则f(χ)的间断点为_______．标准答案：χ＝0知识点解析：暂无解析26、当χ→0时，α(χ)＝kχ2与β(χ)＝是等价无穷小，则k＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)28、求极限，记此极限函数为f(χ)，求函数f(χ)的间断点并指出其类型．标准答案：f(χ)＝，χ＝0为f(χ)的可去间断点，χ＝kπ(k＝±1，±2…)为f(χ)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析29、设f(χ)＝，f[φ(χ)]＝1－χ，且φ(χ)≥0，求φ(χ)．标准答案：φ(χ)＝知识点解析：暂无解析30、求f(χ)＝的间断点，并判定类型．标准答案：χ＝0是无穷间断点，χ＝1是跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、若正项级数an收敛，则()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：C知识点解析：2、设区域D由x＝0，y＝0，x＋y＝，x＋y＝1围成，若I1＝[ln(x＋y)]3dxdy，I2＝(x＋y)3dxdy，I3＝sin3(x＋y)dxdy，则()．A、I1≥I2≥I3B、I2≥I3≥I1C、I1≤I2≤I3D、I2≤I3≤I1标准答案：B知识点解析：由≤x＋y≤1得[ln(x＋y)]3≤0，于是I1＝[ln(x＋y)]3dxdy≤0；当≤x＋y≤1时，由(x＋y)3≥sin3(x＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，选(B)．3、设f(x)具有二阶连续可导，且＝2，则()．A、x＝1为f(x)的极大点B、x＝1为f(x)的极小点C、(1，f(1))是曲线y＝f(x)的拐点D、x＝1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y＝f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由＝2及f(x)二阶连续可导得f’’(1)＝0，因为＝2＞0，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x－1｜＜δ时，＞0，从而，故(1，f(1))是曲线y＝f(x)的拐点，选(C)．4、函数f(x)＝｜xsinx｜ecosx，－∞＜x＜＋∞是()．A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案：D知识点解析：显然函数为偶函数，选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：6、设f(x)＝可导，则a＝______，b＝______．标准答案：3，－2知识点解析：f(1－0)＝f(1)＝a＋b，f(1＋0)＝1，因为f(x)在x＝1处连续，所以a＋b＝1．，且f(x)在x＝1处可导，所以a＝3．故a＝3，b＝－2．7、设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＝＋∫01，则f(x)＝______．标准答案：知识点解析：8、设z＝f(x＋y，y＋z，z＋x)，其中f连续可偏导，则＝______．标准答案：知识点解析：z＝f(x＋y，y＋z，z＋x)两边求x求偏导得9、连续函数f(x)满足f(x)＝3∫0xf(x－t)dt＋2，则f(x)＝______．标准答案：2e3x知识点解析：由∫0xf(x－t)dt∫x0f(u)(－du)＝∫0xf(u)du得f(x)＝3∫0xf(u)du＋2，两边对x求导得f’(x)－3f(x)＝0，解得f(x)＝＝Ce3x，取x＝0得f(0)＝2，则C＝2，故f(x)＝2e3x．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1＋bx＋cx2)＝1＋ax＋ο(x3)．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求下列函数的一阶导数：(3)y＝x(sinx)cosx标准答案：(1)由y＝得(2)lny＝[ln(x2＋1)－ln(1－x)]，两边对x求导得，故y’＝．(3)lny＝lnx＋cosxlnsinx，两边对x求导得故y’＝x(sinx)cosx．知识点解析：暂无解析14、设f(x)＝求f’(x)．标准答案：当｜x｜＜1时，f’(x)＝；当x＜－1时，f’(x)＝－1；当x＞1时，f’(x)＝1；又则f(x)在x＝－1处不连续，故也不可导．由f(1＋0)＝f(1－0)＝f(1)－0得f(x)在x＝1处连续．因为所以f(x)在x＝1处也不可导，知识点解析：暂无解析15、求f(x)＝∫01｜x－t｜dt在[0，1]上的最大值、最小值．标准答案：f(x)＝∫01｜x－t｜dt＝∫0x(x－t)dt＋∫x1(t－x)dt＝－x(1－x)＝x2－x＋．由f’(x)＝2x－1＝0得x＝，因为f(0)＝，所以f(x)在[0，1]上的最大值为，最值为．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设y’＝arctan(x一1)2，y(0)＝0，求∫01y(x)dx．标准答案：∫01y(x)dx＝xy(x)｜01－∫01xarctan(x－1)2dx＝y(1)－∫01(x－1)arctan(x－1)2d(x－1)－∫01arctan(x－1)2dx＝∫01arctan(x－1)2d(x－1)2＝∫01arctantdt知识点解析：暂无解析19、设f(x)＝f(b)＝0，∫abf2(x)dx＝1，f’(x)∈С[a，b]．(1)求∫abf(x)f’(x)dx；(2)证明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥．标准答案：(1)∫abxf(x)f’(x)dx＝．(2)∫abxf(x)f’(x)dx＝(∫abxf(x)f’(x)dx)2＝≤∫abf’2(x)dx∫abx2f2(d)dx．知识点解析：暂无解析20、已知u(x，y)＝，其中f，g具有二阶连续导数，求xu’’xx＋yu’’xy．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设z＝f[x＋φ(x－y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求．标准答案：z＝f[x＋Pφ(x－y)，y]两边对y求偏导得＝－f’1．φ’＋f’2＝－(－f’’11＋f’’12)φ’＋f’1φ’’－f’’21φ’＋f’’22＝f’’11(φ’)2－2φ’f’’12＋f’1φ’’＋f’’22知识点解析：暂无解析22、设f(x,y)＝f(x,y)dxdy．其中D＝{(x，y)｜a≤x＋y≤b)(0＜a＜b)．标准答案：令D1＝{(x，y)｜0≤x≤a，a－x≤y≤b－x}，D2＝{(x，y)｜a≤x≤b，0≤y≤b－x}，则f(x,y)dxdy＝∫0ae－xdx∫a－xb－xe－ydy＋∫abe－xdx∫0b－xe－ydy＝∫0aee－x(ex－a－ex－b)dx＋∫abe－x(1－ex－b)dx＝(a＋1)(e－a－e－b)－(b－a)e－b．知识点解析：暂无解析23、设un＞0(n＝1，2，…)，Sn＝u1＋u2＋…＋un．证明：收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求微分方程xy’＝yln的通解．标准答案：ln(lnu－1)＝ln｜x｜＋lnC，即lnu－1＝Cx，或u＝eCx＋1，故原方程的通解为y＝xeCx＋1．知识点解析：暂无解析25、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t＝0＝v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F＝ma＝解此微分方程得v(t)＝v0e－t．由v0e－t＝,得t＝ln3，从开始到t＝ln3的时间内质点所经过的路程为知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(x)＋φ2(x)]B、C[φ1(x)－φ2(x)]C、C[φ1(x)－φ2(x)]＋φ2(x)D、[φ1(x)－φ2(x)]＋Cφ2(x)标准答案：C知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’＋P(x)y＝Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)－φ2(x)为方程y’＋P(x)y＝0的一个解，于是方程y’＋P(x)y＝Q(x)的通解为C[φ1(x)－φ2(x)]＋φ2(x)，选(C)．2、设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)，(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(xy＋cosxsiny)dσ等于()．A、2cosxsinydxdyB、2xydxdyC、4(xy＋cosxsiiny)dzdyD、0标准答案：A知识点解析：令A(1，1)，B(0，1)，C(－1，1)，D(－1，0)，E(－1，－1)，记三角形△OAB，△OBC，△OCD，△ODE所在的区域分别记为D1，D2，D3，D4，3、设＝－1，则在x＝a处()．A、f(x)在x＝a处可导且f’(a)≠0B、f(a)为f(x)的极大值C、f(a)不是f(x)的极值D、f(x)在x＝a处不可导标准答案：B知识点解析：由＝－1，根据极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x－a｜＜δ时，有＜0，从而有f(x)＜f(a)，于是f(a)为f(x)的极大值，选(B)．4、设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f’(x)g(x)－f(x)g’(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)标准答案：A知识点解析：f’(x)g(x)－f(x)g’(x)＜0得从而为单调减函数，由a＜x＜b得，故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：当x→0时，．6、∫01sin2xtdt＝______．标准答案：知识点解析：7、＝______．标准答案：知识点解析：8、设y＝y(x，z)是由方程ex＋y＋z＝x2＋y2＋z2确定的隐函数，则＝______．标准答案：知识点解析：ex＋y＋z＝x2＋y2＋z2两边对x求偏导得ex＋y＋z，从而9、幂级数的收敛域为______．标准答案：(0，4)知识点解析：令x－2＝t，对级数，所以收敛半径为R＝2，当t＝±2时，的收敛域为(－2,2)，于是原级数的收敛域为(0，4)．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求下列极限：标准答案：(6)当x→0时，1－，由sinx＝x＋ο(x2)，ex＝1＋x＋＋ο(x2)得sinx－ex＋1～，故．(7)由ln(1＋x)＝x－＋ο2(x2)得ln(1－2x)＝－2x－2x2＋ο(x2)，于是当x→0时，arctan2x[2x＋ln(1－2x)]～－2x4．知识点解析：暂无解析11、．标准答案：因为当x→0时，知识点解析：暂无解析12、．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)＝sinx，求f(x)的间断点及分类．标准答案：显然x＝0及x＝1为f(x)的间断点．则x＝0为f(x)的可去间断点；因为f(1－0)≠f(1＋0)，所以x＝1为f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析14、设对一切的x，有f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)＝x(x2－1)，讨论函数f(x)在x＝0处的可导性．标准答案：当x∈[一1，0]时，f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)(x2＋2x)，因为f’－(0)≠f’＋(0)，所以f(x)在x＝0处不可导．知识点解析：暂无解析15、证明：当0＜x＜1时，(1＋x)ln2(1＋x)＜x2．标准答案：令f(x)＝x2－(1＋x)ln2(1＋x),f(0)＝0；f’(x)＝2x－ln2(1＋x)－2ln(1＋x)，f’(0)＝0；f’’(x)＝2－＞0(0＜x＜1)，由得f’(x)＞0(0＜x＜1)；再由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故当0＜x＜1时，(1＋x)ln2(1＋x)＜x2．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在。证明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得．(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt＝ξ(ξ一1)f’(η)ln2．标准答案：(1)令h(x)＝lnx，F(x)＝∫1xf(t)dt，且F’(x)＝f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1,2)，使得(2)由得f(1)＝0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)＝f(ξ)－f(1)＝f’(η)(ξ－1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt＝ξ(ξ－1)f’(η)ln2．知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)为连续函数，(1)证明：∫0π(sinx)dx＝[∫0πinx]dx＝πf(sinx)dx；(2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx＝4f(sinx)dx；(3)求．标准答案：(1)令I＝∫0πxf(sinx)dx，则I＝∫0πxf(sinx)dx∫π0(π－t)f(sint)(－dt)＝∫0π(π－t)f(sint)dt＝∫0π(π－x)f(sinx)dx＝π∫0πf(sinx)dx－∫0πxf(sinx)dx＝π∫0πf(sinx)dx－I则I＝∫0πxf(sinx)dx＝．(2)∫02πf(｜sinx｜)dx＝∫－ππf(｜sinx｜)dx＝2∫0πf(｜sinx｜)dx＝2∫0πf(sinx)dx＝4f(sinx)dx．知识点解析：暂无解析20、设一抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．标准答案：因为曲线过原点，所以c＝0，又曲线过点(1，2)，所以a＋b＝2，b＝2－a．因为a＜0，所以b＞0，抛物线与x轴的两个交点为0，，所以令S’(a)＝0，得a＝－4，从而b＝6，所以当a＝－4，b＝6，c＝0时，抛物线与x轴所围成的面积最小．知识点解析：暂无解析21、设y＝y(x)，z＝z(x)是由方程z＝xf(x＋y)和F(x，y，z)＝0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求．标准答案：z＝xf(x＋y)及F(x，y，z)＝0两边对x求导数，得知识点解析：暂无解析22、计算I＝y2dσ，其中D由X＝－2，y＝2，X轴及曲线x＝围成．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设级数收敛，又an≤bn≤cn(n＝1，2，…)．证明：级数bn收敛．标准答案：由an≤bn≤cn，得0≤bn－an≤cn－an．因为(cn－an)收敛，根据正项级数的比较审敛法得(bn－an)收敛，又bn＝(bn－an)＋an，则bn收敛．知识点解析：暂无解析24、将f(x)＝lnx展开成x－2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求微分方程y’’＋2y’－3y＝(2x＋1)ex的通解．标准答案：特征方程为λ2＋2λ－3＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝－3，则y’’＋2y’－3y＝0的通解为y＝C1ex＋C2e－3x．令原方程的特解为y0＝x(ax＋b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为y＝C1ex＋C2e－3x＋(2x2＋x)ex．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第8套一、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)1、求函数y=(x∈(0，+∞))的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．标准答案：函数y=在定义域(0，+∞)上处处连续，先求y’，y"和它们的零点及不存在的点．由y’=0得x=1；x=时y"不存在；无y"=0的点．现列下表：因此得y=单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+∞)，x=1是极小值点，凹区间是(0，，0)是拐点．最后求渐近线．因y==0，所以无垂直渐近线．由于因此只有斜渐近线y=x．知识点解析：暂无解析2、作函数y=x+的图形．标准答案：1°定义域x≠±1，间断点x=±1，零点x=0，且是奇函数．2°求y’，y"和它们的零点．由y’=0得三个驻点x=0，x=，由y"=0得x=0，用这些点及间断点x=±1把函数的定义域分成六个区间(一∞，一，+∞)．由此可列出函数如下分段变化表：3°求渐近线．有两个间断点x=±1，由∞→x=±1为垂直渐近线．又即y=x是斜渐近线，无水平渐近线．综上所述，作函数图形在x≥0部分如图2．11．(由于奇函数图形关于原点对称，所以只作右半平面的图形，列表也可以只列右半部分．)知识点解析：暂无解析3、设f(x)在(a，b)内可导，且又f(x0)＞0(＜0)，f(x)＜0(＞0)(如图2．12)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点．标准答案：由x1∈(a，x0)使f(x1)＜0，]x2∈(x0，b)使f(x2)＜0，又f(x0)＞0，则f(x)在(x1，x0)与(x0，x2)内各至少存在一个零点．因f’(x)＞0(x∈(a，x0))，从而f(x)在(a，x0)单调增加；f’(x)＜0(x∈(x0，b))，从而f(x)在(x0，b)单调减少．因此，f(x)在(a，x0)，(x0，b)内分别存在唯一零点，即在(a，b)内恰有两个零点．知识点解析：暂无解析4、求证：方程lnx=在(0，+∞)内只有两个不同的实根．标准答案：即证f(x)=lnx一在(0，+∞)只有两个零点．先考察它的单调性：由于f(x)在(0，e)与(e，+∞)分别单调上升与下降，3f(e)=＞0，故只需证明：x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因则x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别只有一个零点，即在(0，+∞)内只有两个零点．知识点解析：暂无解析5、就a的不同取值情况，确定方程lnx=xa(a＞0)实根的个数．标准答案：令f(x)=lnx—xa，即讨论f(x)在(0，+∞)有几个零点．用单调性分析方法．求f(z)的单调区间．则当0＜x≤x0时，f(x)单调上升；当x≥x0时，f(x)单调下降；当x=x0时，f(x)取最大值f(x0)=(1+lna)．从而f(x)在(0，+∞)有几个零点，取决于y=f(x)属于图2．13中的哪种情形．万程f(x)=0的买根个数有下列三种情形：(Ⅰ)当f(x0)=一x∈(0，+∞))，故f(x)=0没有根．(Ⅱ)当f(x0)=一时，由于x∈(0，+∞)，当x≠x0=ee时，f(x)＜0，故f(x)=0只有一个根，即x=x0=ee．(Ⅲ)当f(x0)=一时，因为故方程f(x)=0在(0，x0)，(x0，+∞)各只有一个根．因此f(x)=0在(0，+∞)恰有两个根．知识点解析：暂无解析6、讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．标准答案：令f(x)=2x+ln2x+k一2lnx(x∈(0，+∞))，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数．由f’(x)=2+(x+lnx一1)，令f’(x)=0，可解得唯一驻点x0=1∈(0，+∞)．当0＜x＜1时f’(x)＜0，f(x)在(0，1]单调减少；而当x＞1时f’(x)＞0，f(x)在[1，+∞)单调增加．于是f(1)=2+k为f(x)在(0，+∞)最小值．因此f(x)的零点个数与最小值f(1)=2+k的符号有关．当f(1)＞0即k＞一2时，f(x)在(0，+∞)内恒为正值函数，无零点．当f(1)=0即k=一2时，f(x)在(0，+∞)内只有一个零点x0=1．当f(1)＜0即k＜一2时，需进一步考察f(x)在x→0+与x→+∞的极限：由连续函数的零点定理可得，x1∈(0，1)与x2∈(1，+∞)使得f(x1)=f(x2)=0，且由f(x)在(0，1)与(1，+∞)内单调知f(x)在(0，1)内与(1，+∞)内最多各有一个零点，所以当k＜一2时，f(x)在(0，+∞)内恰有两个零点．知识点解析：暂无解析7、某商品的需求价格弹性为｜Ep｜，某人的收入为M，全部用于购买该商品，求他的需求收入弹性．标准答案：当某人的收入M全部用于购买该商品时，M=pQ．由需求收入弹性EM的定义知道EM=．在M=pQ时，两边求微分可得dM=pdQ+Qdp．因此知识点解析：设Q为需求量，则｜Ep｜=一，找出EM与｜Ep｜的关系即可．8、设某厂商生产某种产品，其产量与人们对该产品的需求量Q相同，其价格为p．试利用边际收益与需求价格弹性之间的关系解释：当｜Ep｜＜1时价