考研数学三（微积分）模拟试卷6（共247题）

考研数学三（微积分）模拟试卷6（共9套）（共247题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设ξ为f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，则为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令f(a)－f(0)=f’(ξ)a，即选C．2、下列说法正确的是()．A、f(x)在(a，b)内可导，若B、f(x)在(a，b)内可导，若C、f(x)在(－∞，+∞)内可导，若D、f(x)在(－∞，+∞)内可导，若标准答案：D知识点解析：设时，f’(x)=0，其中k∈Z，则A不对；设B不对；设f(x)=x，C不对，选D．3、设，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为所以两无穷小同阶但非等价，选C．4、对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B、若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续C、若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微D、若z=f(z，y)的偏导数不连续，则z=f(z，y)一定不可微标准答案：C知识点解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选C．5、累次积分rf(rcosθ，rsin0)dr等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，选D．6、设则()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r=－1D、r=1标准答案：C知识点解析：因为一定不是正项或负项级数，故r≤0．若｜r｜＜1，则绝对收敛，矛盾；若｜r｜＞1，则存在充分大的N，当n＞N时，{｜un｜}单调增加，v发散，矛盾，故｜r｜=1，再由r≤0得r=－1，选C．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、=______．标准答案：知识点解析：8、设在x=0处连续，则a=______．标准答案：知识点解析：因为函数f(x)在x=0处连续，所以9、设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f’(1)=－2，则=______．标准答案：1知识点解析：10、设则∫(x)dx=______．标准答案：知识点解析：由11、=______．标准答案：ln3知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，+∞)上连续，且存在．证明：f(x)在[a，+∞)上有界．标准答案：设取ε0=1，根据极限的定义，存在X0＞0，当x＞X1时，｜f(x)－A｜＜1，从而有｜f(x)｜≤｜A｜+1．又因为f(x)在[a，X0]上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在k＞0，当x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M=max{｜A｜+1，k)，对一切的x∈[a，+∞)，有｜f(x)｜≤M．知识点解析：暂无解析14、设f(x)连续，φ(x)=∫0xf(xt)dt，且求φ’(1)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．标准答案：当x≠0时，φ(x)=∫01f(xt)dt=∫01f(u)du，φ’(x)=[xf(x)－∫0xf(u)du]．当x=0时，φ(0)=∫01(0)dt=0，所以φ’(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析15、设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．标准答案：不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得两式相减得f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ1)－f’(ξ1)]a．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ2)－f’(ξ1)]a＞0，即f(a+b)＞f(a)+f(b)．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且证明：f’(x0)=M．标准答案：由微分中值定理得f(x)－f(x0)=f’(ξ)(x－x0)，其中ξ介于x0与x之间，则，即f’(x0)=M．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：17、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)－F(a)=F’(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，且f(c)=0．知识点解析：暂无解析18、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；标准答案：令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，ξ1存在(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知识点解析：暂无解析19、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；标准答案：令φ(x)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析20、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)－3f’(η)+zf(η)=0．标准答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)－f(η1)=0,f’(η2)－f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e－2x[f’’(x)－3f’(x)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f’’(η)－3f’(η)+2f(η)=0．知识点解析：暂无解析21、设f’(x)在[0，1]上连续且｜f’(x)｜≤M．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析22、设z=∫0x2+y2，求标准答案：=2ex2+y2+4x2ex2+y2，=2ex2+y2+4y2ex2+y2，则=4[1+(x2+y2)]ex2知识点解析：暂无解析23、计算其中D为单位圆x2+y2=1所围成的第一象限的部分．标准答案：令所以原式知识点解析：暂无解析24、求的和．标准答案：令S(x)=n(n=1)xn－2，显然其收敛域为(－1，1)，则知识点解析：暂无解析设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞>1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若求：25、f(x)标准答案：由题设知，π∫1af2(x)dx=[a2f(a)－f(1)]，两边对a求导，得3f2(a)=2af(a)+a2f’(a)=>知识点解析：暂无解析26、f(x)的极值．标准答案：因为又因为为极大值．知识点解析：暂无解析27、在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．标准答案：设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，m2(t)，在时间[t，t+dt]内有且满足初始条件m1(0)=150，解得在时间[t，t+dt]内有且满足初始条件m2(0)=150．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设函数在(一∞，+∞)内连续，且，则常数a、b满足()A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设f(0)=0，则f(x)在x=0可导的充要条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析3、设f(x)满足y’’+y’一esinx=0，且f’(x0)=0．则f(x)在()A、x0某邻域内单调增加．B、x0某邻域内单调减少．C、x0处取得极小值．D、x0处取极大值．标准答案：C知识点解析：暂无解析4、设等于()A、0B、1C、D、一1标准答案：A知识点解析：暂无解析5、设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上正值连续函数，a，b为常数，则等于()A、abπ．B、C、(a+b)π．D、标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设为正项级数，下列结论正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)7、设则f(x)的间断点为______．标准答案：x=0知识点解析：暂无解析8、设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则=_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析9、设∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C，则=______．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f(x)连续，则=______．标准答案：xf(x2)．知识点解析：暂无解析11、设f、φ具有二阶连续偏导数，则=_______．标准答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知识点解析：暂无解析12、[(x+1)2+2y2]dxdy=_______．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设幂级数在x=0收敛，在x=2处发散，则该幂级数的收敛域为______．标准答案：[0，2)知识点解析：暂无解析14、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为______．标准答案：y=e－x(C1cosx+C2sin2x)知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)15、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限记此极限函数为f(x)，求函数f(x)的间断点并指出其类型．标准答案：为f(x)的可去间断点，x=kπ(k=±1，±2…)为f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析17、设y=y(x)由y=tan(x+y)所确定，试求y’，y’’．标准答案：知识点解析：暂无解析18、做半径为R的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h取何值，其体积最小，最小值是多少?标准答案：h=4R，知识点解析：暂无解析19、已知f(x)的一个原函数为e－x2，求∫xf’(x)dx．标准答案：一2x2e－x2—e－x2+C知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)=∫－1x(1－｜t｜)dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围图形面积．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：=f11’’e2xsinycosy+2ex(ysiny+xcosy)f12’’+4xyf22’’+f1’excosy知识点解析：暂无解析23、计算二重积分其中D是由直线y=2，y=x和双曲线xy=1所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x，y)在单位圆x2+y2≤1有连续偏导数，且在边界上取值为零，f(0，0)=2001，试求极限标准答案：2001知识点解析：暂无解析25、设D是全平面，标准答案：知识点解析：暂无解析26、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：收敛域：[一2，2)和函数知识点解析：暂无解析27、试研究级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散．标准答案：当a＞1时绝对收敛；为0＜a≤1时条件收敛．知识点解析：暂无解析28、求幂级数的收敛区间与和函数f(x)．标准答案：收敛区间为(一1，1)．和函数为2xarctanx—ln(1+x2)+知识点解析：暂无解析29、求下列微分方程通解：1)y’’+2y’一3y=e－3x2)y’’一3y’+2y=xex3)y’+y=x+cosx4)y’’+4y’+4y=eax(a为实数)标准答案：1)y=C1ex+C2e－3x一xe－3x2)y=C1ex+C2e2x一(+x)ex3)y=C1cosx+C2sinx+x+sinx4)知识点解析：暂无解析30、设f(x)在x＞0上有定义，对任意的正实数x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)．f’(1)=2，试求f(x)．标准答案：f(x)=2xlnx，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设在(－∞，+∞)内连续，且则()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、以≤0，b＞0标准答案：C知识点解析：因为在(－∞，+∞)内连续，所以a≥0，又因为所以b＜0，选C．2、设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，则当x＞0时有()．A、f’’(x)＜0，f’(x)＜0B、f’’(x)＞0，f’(x)＞0C、f’’(x)＞0，f’(x)＜0D、f’’(x)＜0，f’(x)＞0标准答案：A知识点解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(－x)=－f(x)，f’(－x)=f’(x)，f’’(－x)=f’’(x)，即f’(x)为偶函数，f’’(x)为奇函数，故由x＜0时，有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，得当x＞0时有f’’(x)＜0，f’(x)＜0，选A．3、设f’(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+其中ξ介于a与x之间．而再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)4、设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则=______．标准答案：1知识点解析：5、设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为______．标准答案：知识点解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0．(1)当t=－1时，由∫0yeu2du+∫t21arcsinudu=0两边对t求导数得－2tarcsint2=0，则(2)当t=1时，由∫0yeu2du+∫t21arcsinudu=0两边对t求导得－2tarcsint2=0，则即法线方程为6、=______．标准答案：知识点解析：7、设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．标准答案：知识点解析：由∫0xtf(2x－t)dt∫x2x(2x－u)f(u)(－du)=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2，等式两边对x求导得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=整理得2∫x2xfud(u)－xf(x)=取x=1得2∫12f(u)du－f(1)=8、设y(x)为微分方程y’’－4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=______．标准答案：知识点解析：y’’－4y’+4y=0的通解为y=(C1+C2x)e2x，由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，于是三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：10、存在c∈(0，1)，使得f(c)=1－2c；标准答案：令φ(x)=f(x)－1+2x，φ(0)=－1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1－2c．知识点解析：暂无解析11、存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．标准答案：因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知识点解析：暂无解析12、求函数的反函数．标准答案：令所以函数为奇函数，于是即函数的反函数为x=shy．知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续可导，标准答案：由∫0xf(x－t)dt∫x0f(u)(－du)=∫0xf(u)du，知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且又f(2)=f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0．标准答案：由得f(1)=－1，又所以f’(1)=0．由积分中值定理得由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析15、设0＜a＜b，证明：标准答案：首先证明=>φ(x)＜0(x＞a)，而b＞a，所以φ(b)＜0，即令f(x)=lnx，则存在ξ∈(a，b)，使得其中0＜a＜ξ＜b，则知识点解析：暂无解析16、求标准答案：因为(x2ex)’=(x2+2x)ex，所以知识点解析：暂无解析17、设标准答案：an+an+2=因为tannx，tann+2x在上连续，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以即an＞an+2，于是知识点解析：暂无解析18、设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f’’(x)≥0．证明：标准答案：由泰勒公式得其中ξ介于x与之间，因为f’’(x)≥0，所以有两边积分得∫abf(x)dx≥(b－a)f令φ(x)=[f(x)+f(a)]－∫axf(t)dt，且φ(a)=0，其中a≤η≤x，因为f’’(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)，由得φ(b)≥0，于是∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]，故知识点解析：暂无解析19、令f(x)=x－[x]，求极限标准答案：因为[x+m]=[x]+m(其中m为整数)，所以f(x)=x－[x]是以1为周期的函数，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表达式为对充分大的x，存在自然数n，使得n≤x＜n+1，则∫0nf(x)dx≤∫0xf(x)dx≤∫0n+1f(x)dx，而∫0nf(x)dx=n∫01f(x)dx=n∫01xdx=显然当x→+∞时，n→+∞，由夹逼定理得知识点解析：暂无解析20、设讨论f(x，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性．标准答案：0≤｜f(x，y)｜≤｜xy｜，因为=0－f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处连续．由得f’x(0，0)=0，同理f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导．即f(x，y)在(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析21、已知二元函数f(x，y)满足且f(x，y)=g(u，v)，若=u2+v2，求a，b．标准答案：所以有(a+b)(v2－u2)+4(au2－bv2)=u2+v2．知识点解析：暂无解析22、计算(x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤4，x2+y2≥2x}．标准答案：知识点解析：暂无解析23、交换积分次序并计算标准答案：知识点解析：暂无解析设24、求的值；标准答案：知识点解析：暂无解析25、证明：对任意常数λ＞0，收敛．标准答案：因为收敛．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且绝对收敛．标准答案：由得f(0)=0，f’(0)=00．由泰勒公式得其中ξ介于0与x之间．又f’’(x)在x=0的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有｜f’’(x)｜≤M，其中M>0为f’’(x)在该闭区间上的界．所以对充分大的n，有因为绝对收敛．知识点解析：暂无解析27、用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：的通解为y=C1cost+C2sint，故原方程的通解为y=C1cosex+C2sinex．知识点解析：暂无解析28、早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?标准答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则H(t)=a(t－T)，又b×H(t)×△s=c×△t，于是且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由v=>T2－26T+164=0，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设x=f(x，y)=，则f(x，y)在点(0，0)处A、可微．B、偏导数存在，但不可微．C、连续，但偏导数不存在．D、偏导数存在，但不连续．标准答案：C知识点解析：设△z=f(x，y)一f(0，0)，则可知△z=△z=0．这表明f(x，y)=在点(0，0)处连续．因f(x，0)=0f(x，0)｜x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z一f’x(0，0)△x一f’y(0，0)△y=，当(△x，△y)沿y=x趋于点(0．0)时2、设z=f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、偏导数存在且连续．B、偏导数不存在，但连续．C、偏导数存在，可微．D、偏导数存在，但不可微．标准答案：C知识点解析：由偏导数定义可知这说明f’x(0，0)存在且为0，同理f’y(0，0)存在且为0．所以f(x，y)在点(0，0)处可微分．故选C．3、设f(x，y)=｜x一y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处连续且φ(0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，但偏导数不存在．B、不连续，但偏导数存在．C、可微．D、不可微．标准答案：C知识点解析：直接按可微性定义．f(x，y)在(x0，y0)可微，即f(x，y)在(x0，y0)满足f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)=A△x+B△y+ο(ρ)(ρ=→0)，其中A，B是与△x，△y无关的常数．易知A=．特别是，若有f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)=ο(ρ)，则f(x，y)在(x0，y)可微(且=0)．这里，由于(△x，△y)=φ(0，0)=0，即f(△x，△y)=ο(ρ)(ρ→0)，故f(x，y)在点(0，0)处可微，选C．4、已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy为某二元函数f(x，y)的全微分，则常数A、a=一2，b=2．B、a=2，b=一2．C、a=一3，b=3．D、a=3，b=一3．标准答案：B知识点解析：依题设由df(x，y)=f’x(x，y)dx+f’y(x，y)dy=(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy，可知f’x(x，y)=axy3一y2cosx，f’y(x，y)=1+bysinx+3x2y2，所以f"xy(x，y)=3axy2—2ycosx，f"yx(x，y)=bycosx+6xy2．由f"xy(x，y)和f"yx(x，y)的表达式可知它们都是连续函数，根据当混合偏导数连续时与求导次序无关的定理即得f"xy(x，y)≡f"yx(x，y)．从而a=2，b=一2．故应选B．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)5、已知函数z=f(x，y)在(1，1)处可微，且f(1，1)=1，=3．设φ(x)=f[x，f(x，x)]，则φ3(x)｜=___________．标准答案：51知识点解析：．又=f’1+f’2．(f’1+f’2)，φ(1)=f(1，1)=1，所以=3．1．[2+3(2+3)]=51．6、设f(x)=D={(x，y)｜一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞，则f(y)f(x+y)dxdy=___________．标准答案：知识点解析：由于故在区域D1={(x，y)｜0≤y≤1，一y≤x≤1一y}(如图4．2)上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)计算下列函数指定的偏导数：7、设u=f(2x—y)+g(x，xy)，其中f具有二阶连续导数，g具有二阶连续偏导数，求；标准答案：=2f’+g’1+yg’2，=一2f"+xg"12+g’2+xyg"22．知识点解析：暂无解析8、设u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定，其中φ可微，P连续，且φ’(u)≠1，求P(x)；标准答案：在u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边分别对x，y求偏导数可得知识点解析：暂无解析9、设z3一2xz+y=0确定z=z(x，y)，求z的三个二阶偏导数．标准答案：在方程两边分别对戈求偏导数得(3z2—2x)一2z=0，(*)即．将(*)式再对x求偏导数，得知识点解析：暂无解析10、已知函数z=u(x，y)eax+by，其中u(x，y)具有二阶连续偏导数，且．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)二阶可导，g(y)可导，且F(x，y)=f[x+g(y)]，求证：．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设函数f(x，y)=，且g有二阶导数，求证：，且r＞0．标准答案：知识点解析：暂无解析已知函数f(x，y，z)=x3y2z及方程x+y+z一3+e-3=e-(x+y+z)．(*)13、如果x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足x(1，1)=1，又u=f(x(y，z)，y，z)，求；标准答案：依题意，为f[x(y，z)，y，z]对y的偏导数，故有=2x3yz．①因为题设方程(*)确定x为y，z的隐函数，所以在(*)两边对y求导数时应将z看成常量，从而有知识点解析：f是x，y，z的函数，而x和z又分别是y，z和x，y的函数，所以在(Ⅰ)中把x看成中间变量，在(Ⅱ)中把z看成中间变量．14、如果z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足z(1，1)=1，又w=f(x，y，z(x，y))，求．标准答案：同(Ⅰ)一样，求得在题设方程(*)中将x看成常量，对y求导，可得=一1，故有知识点解析：暂无解析15、设z=f(x，y，u)，其中f具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程u5—5xy+5u=1确定．求．标准答案：将方程u5一5xy+5u=1两端对x求导数，得5u4u’x一5y+5u’x=0，解得u’x=，故z’x=f’1+f’3ux=f’1+f’3．在上式对x求导数时，应注意其中的f’1，f’3仍是x，y，u的函数，而u又是x，y的函数，于是知识点解析：z是x，y，u的函数，而u是由方程u5一5xy+5u=1所确定的x，y的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题．16、设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx确定了函数u=u(x)，其中f，φ都有一阶连续偏导数，且．标准答案：由复合函数求导法知①其中上式中的表示由方程φ(x2，esinx，z)=0所确定的函数z=z(x)的导数．由φ(x2，esinx，z)=0两端对x求导得φ’12x+φ’2esinxcosx+φ’3(2xφ’1+φ’2esinxcosx)．将dz代入①式即得(2xφ’1+φ’2eycosx)．知识点解析：将y=sinx代入φ(x2，ey，z)=0得φ(x2，esinx，z)=0，该式可确定z是x的函数，即z=z(x)，因此，u是x的一元函数，然后按复合函数求导法求解．17、设y=f(x，t)，且方程F(x，y，z)=0确定了函数t=t(x，y)，求．标准答案：由y=f(x，t(x，y))两端对x求导得①而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所确定，则知识点解析：由本题要求的知，y应该是x的一元函数，分析清楚这一点是解答本题的关键．由题设知F(x，y，t)=0确定了t=t(x，y)，将t=t(x，y)代入y=f(x，t)得y=f(x，t(x，y))，这是关于x和y的方程，它可确定y是x的一元函数．另一种方法是利用一阶全微分形式不变性求解．18、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数g(y)连续可导，且g(y)在y=1处取得极值g(1)=2．求复合函数z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数在点(1，1)处的值．标准答案：计算可得=g(y)f’1(xg(y)，x+y)+f’2(xg(y)，x+y)，=g’(y)f’1(xg(y)，x+y)+g(y)[f"11(xg(y)，x+y)．xg’(y)+f"12(xg(y)，x+y)]+f"21(xg(y)，x+y)．xg’(y)+f"22(xg(y)，x+y)．将x=1与y=1代入并利用g(1)=2，g’(1)=0即得=g’(1)f’1(2，2)+g(1)[f"11(2，2)g’(1)+f"12(2，2)]+f"21(2，2)g’(1)+f"22(2，2)=2f"12(2，2)+f"22(2，2)．知识点解析：暂无解析19、设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值，其中r(a，b)=．标准答案：y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0．按隐函数求导法，φ’(x)满足f’x(x，φ(x))+f’y(x，φ(x))φ’(x)=0．(*)因b=φ(a)，则有f(a，b)=0，φ’(a)==0，于是f’x(a，b)=0．将(*)式两边对x求导得f"xx(x，φ(x))+f"xy(x，φ(x))φ’(x)+[f’y(x，φ(x))]φ’(x)+f’y(x，φ(x))φ"(x)=0，上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得因此当＞0时，φ"(a)＜0，故b=φ(a)是极大值；当＜0时，φ"(a)＞0，故b=φ(a)是极小值．知识点解析：暂无解析20、求使得不等式≤ln(x2+y2)≤A(x2+y2)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内成立的最小正数A与最大负数B．标准答案：在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内ln(x2+y2)≤A(x2+y2)≤A，因此使上式成立的常数A的最小值就是函数f(x，y)=在区域D上的最大值．令r=x2+y2则A的最小值就是函数F(r)=在区间(0，+∞)内的最大值．计算可得这表明F(r)在(0，+∞)内的最大值是F(e)=．在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内＜ln(x2+y2)→B≤xyln(x2+y2)，因此使上式成立的常数B的最大值就是函数g(x，y)=xyln(x2+y2)在区域D上的最小值．计算可得由此可知g(x，y)在D中有唯一驻点．因为在区域D的边界{(x，y)｜x=0，y≥0}与{(x，y)｜x≥0，y=0}上函数g(x，y)=0，而且当x2+y2≥1时g(x，y)≥0，从而就是g(x，y)在D内的最小值．即B的最大值是一．知识点解析：暂无解析21、试求多项式p(x)=x2+ax+b，使积分∫-11p2(x)dx取最小值．标准答案：本题是要确定a，b的值，使积分∫-11p2(x)dx取最小值，因此可把定积分看成a，b的二元函数求极值．记f(a，b)=∫-11p2(x)dx=∫-11(x2+ax+b2)dx所以点(0，一)是极小值点，由于驻点唯一，该点也就是最小值点，故p(x)=x2一．知识点解析：暂无解析某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y一4x2—2xy—y2，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万元．22、在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?标准答案：根据题设知该厂生产这两种产品的总利润函数L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)一2x一y=42x+27y一4x2—2xy—y2—36—8x一12y一2x—y=32x+14y一4x2—2xy—y2—36．求L(x，y)的驻点：令可解得唯一驻点(3，4)．因L(x，y)的驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为x=3(吨)与y=4(吨)时总利润L(x，y)取得最大值且maxL=L(3，4)=40(万元)．知识点解析：暂无解析23、当限制排污费用支出总额为8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?标准答案：当限制排污费用支出总额为8万元的条件时应求总利润函数L(x，y)在约束条件2x+y=8即2x+y一8=0下的条件最大值．可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y一8)，为求F(x，y，λ)的驻点，令由①，②两式消去参数λ可得2x—y一2=0，与③联立可得唯一驻点(2．5，3)．因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量分别为x=2．5(吨)与y=3(吨)时总利润取得最大值，最大利润maxL=L(2．5，3)=37(万元)．知识点解析：暂无解析24、生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x1和x2(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为Q=2xαxβ(单位：吨)，其中常数α＞0，β＞0且α+β=1．如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位：万元／吨)．试问，当投入两种原料的总费用为P(单位：万元)时，两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?标准答案：由题设知应求函数Q=2x1αx2β在条件p1x1+p2x2=P之下的最大值点．用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数F(x1，x2，λ)=2x1αx2β+λ(p1x1+p2x2一P)，为求F(x1，x2，λ)的驻点，解方程组因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故计算结果表明，在两种原料投入的总费用为P(万元)时，这两种原料的投入量分别为x1=(吨)时可使该产品的产出量最大．知识点解析：暂无解析25、已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．标准答案：设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图4．6)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为V=πh2b．又设三角形的面积为S，于是有问题化成求V(a，b，c)在条件a+b+c一2p=0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)=ln(p—a)(p一b)(p—c)=ln(p—a)+ln(p一b)+ln(p—c)一lnb在条件a+b+c一2p=0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c一2p)，求解方程组比较①，③得a=c，再由④得b=2(p一a)．⑤比较①，②得b(p一b)=(p—a)p．⑥由⑤，⑥解出b=．由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为的边旋转时，所得立体体积最大．知识点解析：暂无解析26、证明不等式：。标准答案：由以上分析知其中D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2，x≥0，y≥0}．知识点解析：由定积分与积分变量所选用的字母无关可知=dxdy．此二重积分的积分区域D为正方形，即D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．现将该积分区域D作放缩，取D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2，x≥0，y≥0}，显然D1＞0，根据二重积分性质，有再对不等式两端作极坐标变换，即可得到所要证明结果．考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设f（x）在（一∞，+∞）内有定义，且则（）A、x=0必是g（x）的第一类间断点B、x=0必是g（x）的第二类间断点C、x=0必是g（x）的连续点D、g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关标准答案：D知识点解析：因为又g（0）=0，所以当a=0时，有此时g（x）在点x=0处连续，当a≠0时，≠g（0），即x=0是g（x）的第一类间断点。因此，g（x）在x=0处的连续性与a的取值有关，故选D。2、设其中a2+c2≠0，则必有（）A、b=4dB、b=—4dC、a=4cD、a=—4c标准答案：D知识点解析：当x→0时，由佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln（1—2x）均为x的一阶无穷小；而1—cosx，1—e—x2均为x的二阶无穷小，因此有故有=2，即a=—4c，故选D。3、设函数f（x）在x=a的某邻域内有定义，则f（x）在x=a处可导的一个充分条件是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因如果此极限存在，则由导数定义可知，函数f（x）在x=a处可导，即该极限存在是f（x）在x=a处可导的一个充分条件。故选D。4、设f（x）=arctanx—（x≥1），则（）A、f（x）在[1，+∞）单调增加B、f（x）在[1，+∞）单调减少C、f（x）在[1，+∞）为常数D、f（x）在[1，+∞）为常数0标准答案：C知识点解析：按选项要求，先求f’（x）。又f（x）在[1，+∞）连续，则f（x）=常数=f（1）=。故选C。5、设函数f（x）在x=a的某邻域内有定义，且则在x=a处（）A、f（x）的导数存在，且f’（a）≠0B、f（x）取得极大值C、f（x）取得极小值D、f（x）的导数不存在标准答案：B知识点解析：利用赋值法求解。取f（x）—f（a）=一（x—a）2，显然满足题设条件，而此时f（x）为一开口向下的抛物线，必在其顶点x=a处取得极大值，故选B。6、使不等式＞lnx成立的x的范围是（）A、（0，1）B、C、D、（π，+∞）标准答案：A知识点解析：原问题可化为求成立时x的取值范围，由＞0，t∈（0，1）知，当x∈（0，1）时，f（x）＞0。故应选A。7、已知fx’（x0，y0）存在，则A、fx’（x0，y0）B、0C、2fx’（x0，y0）D、fx’（x0，y0）标准答案：C知识点解析：由题意=fx’（x0，y0）+fx’（x0，y0）=2fx’（x0，y0），故选C。8、设I1=cos（x2+y2）dσ，I3=cos（x2+y2）2dσ，其中D={（x，y）|x2+y2≤1}，则（）A、I3＞I2＞I1B、I1＞I2＞I3C、I2＞I1＞I3D、I3＞I1＞I2标准答案：A知识点解析：在区域D={（x，y）|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有≥x2+y2≥（x2+y2）2≥0。已知函数cosx在上为单调减函数，于是≤cos（x2+y2）≤cos（x2+y2）2因此cos（x2+y2）dσ＜cos（x2+y2）2dσ故应选A。9、设函数f（t）连续，则二重积分dθ∫2cosθ2f（r2）rdr=（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即（x—1）2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=∫02dxf（x2+y2）dy。10、an和bn符合下列哪一个条件可由an发散得出bn发散？（）A、an≤bnB、|an|≤bnC、an≤|bn|D、|an|≤|bn|标准答案：B知识点解析：反证法。如果bn收敛，由|an|≤bn知，|an|收敛，从而an收敛与题设矛盾，故选B。11、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y|x=2=1的特解为（）A、xy2=4B、xy=4C、x2y=4D、一xy=4标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得两端积分得ln|y|=一2ln|x|+lnC，x2y=C，将y|x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4。应选C。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)12、若f（x）=在（一∞，+∞）内连续，则a=________。标准答案：0知识点解析：因为f（x）在（一∞，0）及（0，+∞）内连续，所以需要确定数a，使f（x）在x=0处连续。当时，f（x）在x=0处连续，因此a=0时，f（x）在（一∞，+∞）内连续。13、设函数f（x）在x=2的某邻域内可导，且f’（x）=ef（x），f（2）=1，则f"’（2）=________。标准答案：2e3知识点解析：由题设知，f’（x）=ff（x），两边对x求导得f"（x）=ef（x）f’（x）=e2f（x），f"’（x）=2e2f（x）f’（x）=2e3f（x）。又f（2）=1，故f"’（2）=2e3f（x）=2e3。14、设曲线y=f（x）与y=x2—x在点（1，0）处有公共的切线，则=________。标准答案：—2知识点解析：根据已知条件有15、标准答案：知识点解析：16、标准答案：知识点解析：17、设函数，则dz|（1，1）=________。标准答案：（1+2ln2）dx+（—1—2ln2）dy知识点解析：18、设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分xydσ=________。标准答案：知识点解析：本题可以利用极坐标变换，，0≤r≤2sinθ。因此19、无穷级数的收敛区间为________。标准答案：知识点解析：在原级数中令=t，原级数可化为ntn，只需讨论ntn的收敛半径和收敛区间即可。对于级数ntn，由于因此，ntn的收敛半径为1，收敛区间为（一1，1）。由于=t，t∈（0，1）所以x=，即原级数x2n的收敛区间为20、微分方程xy’+y=0满足初始条件y（1）=2的特解为________。标准答案：知识点解析：原方程可化为（xy）’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即21、设y=ex（asinx+bcosx）（a，b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为________。标准答案：y"一2y’+2y=0知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为（r—r1）（r—r2）=r2一（r1+r2）r+r1r2=r2一2r+2=0，故所求微分方程为y"一2y’+2y=0。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)22、求函数f（x）=的所有间断点及其类型。标准答案：函数f（x）有可疑间断点x=0，x=1，x=—1，且所以x=0为跳跃间断点，x=1为可去间断点，x=—1为无穷间断点。知识点解析：暂无解析23、标准答案：由f（x）=—1+，由基本初等函数的高阶导公式可知，知识点解析：暂无解析24、（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）一f（a）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且f’（x）=A，则f+’（0）存在，且f+’（0）=A。标准答案：（Ⅰ）作辅助函数φ（x）=f（x）—f（a）一，易验证φ（x）满足：φ（a）=φ（b）；φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ’（ξ）=0，即所以f（b）—f（a）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）任取x0∈（0，δ），则函数f（x）满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间（0，x0）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在，使得又由于f’（x）=A，对（*）式两边取x0→0+时的极限故f+’（0）存在，且f+’（0）=A。知识点解析：暂无解析25、设f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲线y=f（x）与x轴所围封闭图形的面积。标准答案：因为t|t|为奇函数，可知其原函数f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt为偶函数，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）与x轴有交点（—1，0），（1，0）。又由f’（x）=x|x|，可知x＜0时，f’（x）＜0，故f（x）单调减少，从而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；当x＞0时，f’（x）=x|x|＞0，故x＞0时f（x）单调增加，且y=f（x）与x轴有唯一交点（1，0）。因此y=f（x）与x轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积A=∫—11|f（x）|d=2∫—10|f（x）|dx。当x＜0时，f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10一t2dt=（1+x3），故A=2∫—10（1+x3）dx=。知识点解析：暂无解析26、设z=f（x+y，x—y，xy），其中f具有二阶连续偏导数，求dz与标准答案：由题意=f1"+f2"+yf3"，=f1’—f2’+xf3’，所以=（f1’+f2’+yf3’）dx+（f1’—f2’+xf3’）dy，=f11"．1+f12"．（—1）+f13"．x+f21"．1+f22"．（—1）+f23"．x+f3’+y[f31"．1+f32"．（—1）+f33"．x]=f3’+f11"—f22"+xyf33"+（x+y）f13"+（x—y）f23"。知识点解析：暂无解析27、已知函数z=f（x，y）的全微分出=2xdx—2ydy，并且f（1，1）=2。求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）|x2+≤1}上的最大值和最小值。标准答案：根据题意可知=—2y，于是f（x，y）=x2+C（y），且C’（y）=—2y，因此有C（y）=—y2+C，由f（1，1）=2，得C=2，故f（x，y）=x2一y2+2。令=0得可能极值点为x=0，y=0。且△=B2—AC=4＞0，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线x2+=1上的情形，令拉格朗日函数为得可能极值点x=0，y=2，λ=4;x=0，y=—2，λ=4;x=1，y=0，λ=—1;x=—1，y=0，λ=—1。将其分别代入f（x，y）得，f（0，±2）=一2f（±1，0）=3，因此z=f（x，y）在区域D={（x，y）|x2+≤1}内的最大值为3，最小值为—2。知识点解析：暂无解析28、计算二重积分x（y+1）dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线y=所围成。标准答案：引入极坐标（r，θ）满足x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标（r，θ）中积分区域D可表示为知识点解析：暂无解析29、设正项数列{an}单调递减，且（一1）nan发散，试问级数是否收敛?并说明理由。标准答案：由于正项数列{an}单调递减有下界，由单调有界原理知极限an存在，将极限记为a，则有an≥a，且a≥0。又因为（一1）nan是发散的，根据交错级数的莱布尼茨判别法可知a＞0（否则级数（一1）nan是收敛的）。已知正项级数{an}单调递减，因此而收敛，因此根据比较判别法可知，级数也收敛。知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、微分方程y’’－4y＝x＋2的通解为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：微分方程y’’－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为－2，2，则方程y’’－4y＝0的通解为C1e－2x＋C2e2x，显然方程y’’－4y＝x＋2有特解，选(D)．2、极坐标下的累次积分dθ∫02cosθ(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：累次积分所对应的二重积分的积分区域为D：x2＋y2≤2x(y≥0)，则D＝{(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤)，选(D)．3、设f(x)连续，且＝－2，则()．A、f(x)在x＝0处不可导B、f(x)在x＝0处可导且f’(0)≠0C、f(c)在x＝0处取极小值D、f(x)在x＝0处取极大值标准答案：D知识点解析：由＝－2得f(0)＝1，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，即f(x)＜1＝f(0)，故x＝0为f(x)的极大点，选(D)．4、设f(x)＝，则f｛f[f(x)]｝等于()．A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：f[f(x)]＝因为｜f(x)｜≤1，所以f[f(x)]＝1，于是f{f[f(x)]}＝1，选(B)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、＝______．标准答案：2知识点解析：6、设f(x)在x＝a处可导，则＝______．标准答案：10f(a)f’(a)知识点解析：因为f(x)在x＝a处可导，所以f(x)在x＝a处连续，＝2f(a)×5f’(a)＝10f(a)f’(a)．7、＝______．标准答案：知识点解析：8、设z＝z(x，y)由z＋ez＝xy2确定，则dz＝______．标准答案：知识点解析：z＋ez＝xy2两边求微分得d(z＋ez)＝d(xy2)，即dz＋ezdz＝y2dx＋2xydy，解得dz＝．9、设函数φ(u)可导且φ(0)＝1，二元函数z＝φ(x＋y)exy满足，则φ(u)＝______．标准答案：知识点解析：令x＋y＝u，得＝φ’(u)exy＋yφ(u)exy，＝φ’(u)exy＋xφ(u)exy，＝2φ’(u)exy＋uφ(u)exy，由＝0得2φ’(u)＋uφ(u)＝0或φ’(u)＋φ(u)＝0，解得φ(u)＝，再由φ(0)＝1得C＝1，故φ(u)＝．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设曲线y＝xn在点(1，1)处的切线交x轴于点(ξn，0)，求ξn2n．标准答案：y＝x2在点(1，1)处的切线方程为y－1＝n(x－1)，令y＝0得ξn＝1－＝e－2．知识点解析：暂无解析13、设y＝，求y’．标准答案：y’＝．2sin(2x＋1)cos(2x＋1)．2sin(4x＋2)．知识点解析：暂无解析14、设f(x)二阶可导，f(0)＝0，令g(x)＝(1)求g’(x)；(2)讨论g’(x)在x＝0处的连续性．标准答案：(1)因为＝f’(0)＝g(0)，所以g(x)在x＝0处连续．当x≠0时，；当x＝0时，由所以g’(x)在x＝0处连续．知识点解析：暂无解析15、证明：1＋xln(x＋．标准答案：令f’(x)＝ln(x＋)＝0，得x＝0，因为f’’(x)＝＞0，所以x＝0为f(x)的最小值点，最小值为f(0)＝0，所以有1＋xlnx(x＋知识点解析：暂无解析16、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)＝dx．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)－f(y)｜≤｜arctanx－arctany｜又f(1)＝0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．标准答案：由｜f(x)｜＝｜f(x)－f(1)｜＝｜arctanx－arctan1｜＝｜arctanx－｜得｜∫01f(x)dx｜≤∫01｜f(x)｜dx≤∫01｜arctanx－arctanx)dx＝－∫01＝．知识点解析：暂无解析20、设z＝yf(x2－y2)，其中f可导，证明：．标准答案：＝2xyf’(x2－y2)，＝f(x2－y2)－2y2f’(x2－y2)，则＝2yf’(x2－y2)＋(x2－y2)－2yf’(x2－y2)．知识点解析：暂无解析21、设变换可把方程＝0，求常数a．标准答案：将u，v作为中间变量，则函数关系为z＝f(u，v)，，则有知识点解析：暂无解析22、计算(3xy＋y2)dσ，其中D由y＝x2，y＝4x2及y＝1围成．标准答案：(3xy＋y2)dσ＝．知识点解析：暂无解析23、设an＝2，an＋1＝(n＝1，2，…)．证明：(1)an存在；(2)级数收敛．标准答案：(1)因为an＋1＝，所以单调减少，而an≥0，即是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则an存在．(2)由(1)得0≤≤an－an＋1，对级数(an－an＋1)，Sn＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)＝2－an＋1，知识点解析：暂无解析24、求微分方程xy’＋(1－x)y＝e2x(x＞0)满足y(x)＝1的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求微分方程y’’＋y＝x2＋3＋cosx的通解．标准答案：特征方程为λ2＋1＝0，特征值为λ1＝－i，λ2＝i，方程y’’＋y＝0的通解为y＝C1cosx＋C2sinx．对方程y’’＋y＝x2＋3，特解为y1＝x2＋1；对方程y’’＋y＝cosx，特解为xsinx，原方程的特解为x2＋1＋xsinx，则原方程的通解为y＝C1cosx＋C2sinx＋x2＋1＋xsinx．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设un=(一1)nln(1+)，则下列结论成立的有()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为当n→∞时，un2=ln2un2发散，故选C．2、已知级数=()．A、3B、7C、8D、9标准答案：C知识点解析：故选C．3、若数项级数(an+an+1一an+2)收敛于()．A、S+a1B、S+a2C、S+a1一a2D、S+a2一a1标准答案：B知识点解析：=S+(S—a1)一(S—a1—a2)=S+a2．4、设正项级数也收敛．A、k＜0B、k=0C、0＜k＜1D、k＞1标准答案：D知识点解析：5、在(一1，1)内，幂级数(一1)nnxn+1的和函数为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设an＞0，p＞1，且收敛，则p的取值范围为_________．标准答案：p＞2．知识点解析：由于收敛，故p＞2．7、级数(a＞1)的收敛半径R=_________．标准答案：+∞．知识点解析：因为所以，R=+∞．8、幂级数的收敛域为_________．标准答案：[一3，1)．知识点解析：因为所以当｜x+1｜＜2，即一3＜x＜1时，原幂级数收敛．当x=一3时，原幂级数为发散．综上所述，原幂级数的收敛域为[一3，1)．9、将函数f(x)=x4一2x3+3x2+1改写为(x一1)的幂函数f(x)=_________标准答案：(x一1)4+2(x一1)3+3(x一1)2+4(x一1)+3．知识点解析：因为f’(x)=4x3一6x2+6x，f’(1)=4；f"(x)=12x2一12x+6，f"(1)=6；f"’(x)=24x一12，f"’(1)=12；f(4)(z)=24，f(4)(1)=24．所以，f(x)=f(1)+f’(1)(x—1)+(x—1)4=(x一1)4+2(x一1)3+3(x一1)2+4(x一1)+3．10、级数的和是_________．标准答案：cos1—sin1．知识点解析：级数的和三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、讨论级数的敛散性．标准答案：知识点解析：所给级数是交错级数．若用交错级数的判别法，则比较复杂．若改用等价无穷小及收敛级数的线性关系则较为容易．12、证明级数收敛，且其和数小于1．标准答案：由微分的中值定理，知，其中ξ∈(n，n+1)．于是，知识点解析：首先，判断该级数是正项级数．其次，利用正项级数的比较判别法，判别其收敛，且其和小于1．13、判定级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析14、判别级数+…的收敛性．标准答案：知识点解析：暂无解析15、讨论级数(p＞0)的敛散性．标准答案：根据比值判别法，因为由交错级数的莱布尼兹判别法与取绝对值后的正项级数判敛法知：知识点解析：本题首先要讨论常数a的取值情况．当｜a｜=1时，还要进一步讨论p的取值情况．16、已知函数y=y(x)满足关系式y’=x+y，且y(0)=1．试讨论级数的敛散性．标准答案：因为y’=x+y，所以y"=1+y’．由y(0)=1，得y’(0)=1，y"(0)=2．根据麦克劳林公式，得知识点解析：因为y(x)是已知微分方程的一个特解，则由麦克劳林公式讨论级数的敛散性．17、已知{an}是单调增加且有界的正数列，证明：级数收敛．标准答案：且其部分和数列有界，因此它收敛．知识点解析：暂无解析18、设数列{an}，{bn}满足0＜an＜收敛．标准答案：知识点解析：第一问利用夹逼定理，第二问利用正项级数比较判别法的极限形式可得．19、证明：正项级数an与数列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同敛散的．标准答案：因为级数an的前n项的部分和Sn为Sn=a1+a2+…+an≤(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)≤，由此可见，前n项的部分和Sn与单调增加数列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同时有界或同时无界．因此，正项级数an与数列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同敛散的．知识点解析：暂无解析20、设偶函数f(x)的二阶导数f"(x)在点x=0的一个邻域内连续，且f(0)=1．试证：级数绝对收敛．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)=一f’(一x)，且f’(0)=0．根据二阶台劳公式展开式，有由于f"(x)在点x=0的邻域内连续，知存在正数M＞0，使得在点x=0的一个邻域知识点解析：暂无解析21、求级数的收敛域．标准答案：当u=一1时，新级数为发散，根据比较判别法的极限形式知，新级数发散．当u=1时，新级数为单调有界，则新级数收敛．于是，新级数的收敛域为(一1，1]，从而原级数的收敛域为一1＜≤1．解此不等式，即得原级数的收敛域为{x｜x≤一1，或x＞一}．知识点解析：求形如anxn幂级数的收敛域．22、求级数的和S．标准答案：知识点解析：暂无解析23、已知a0=3，a1=5，对任意的n＞1，有nan=an—1—(n一1)an—1．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：知识点解析：由此幂级数的构成知，本题可以先求收敛域再求和函数；也可以先通过几何级数求导和求积分得到和函数，再由幂级数的性质得收敛半径，然后讨论端点处的收敛性，得幂级数的收敛域．25、设数列{an}=0满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，S(x)是幂级数anxn的和函数．(1)证明S"(x)一S(x)=0；(2)求S(x)的表达式．标准答案：故S"(x)一S(x)=0．(2)由(1)得关于S(x)的微分方程S"(z)一S(x)=0，对应的特征方程为λ2一1=0解得特征根为λ1=一1，λ2=1，所以方程通解为S(x)=C1e—x+C2ex．由S(0)=a0=3，有C1+C2=3，S’(0)=a1=1，有一C1+C2=1，易知C1=1，C2=2．所以S(x)的表达式为S(x)=e—x+2ex．知识点解析：利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解．26、将函数f(x)=ln(4—3x—x2)展开成x的幂级数．标准答案：因为函数f(x)=ln(4—3x—x2)=ln(4+x)+ln(1一x)，而知识点解析：暂无解析27、将函数f(x)=展开成x的幂级数．标准答案：=1一x+x16一x17…+x16n一x16n+1+…，x∈(一1，1)．知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)=的和．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第8套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在x＝a处二阶可导，则等于()．A、－f’’(a)B、f’’(a)C、2f’’(a)D、f’’(a)标准答案：D知识点解析：2、设f(x)二阶连续可导，，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y＝f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y＝f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由＞0，则存在δ＞0，当0＜｜x－2｜＜δ时，有＞0，即当x∈(2－δ，2)时，f’(x)＜0；当x∈(2，2＋δ)时，f’(x)＞0，于是x＝2为f(x)的极小值点，选(A)．3、若由曲线y＝，曲线上某点处的切线以及x＝1，x＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：曲线y＝2处的切线方程为y＝，由于切线位于曲线y＝2的上方，所以由曲线y＝2，切线及x＝1，x＝3围成的面积为S＝S(t)＝∫13S’(t)＝t＝2．当t∈(0，2)时，S’(t)＜0；当t∈(2，3)时，S’(t)＞0，则当t＝2时，S(t)取最小值，此时切线方程为y＝，选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、＝______．标准答案：知识点解析：5、设函数y＝f满足f’(x)＝arctan＝______．标准答案：知识点解析：6、设f(xin2)＝＝______．标准答案：arcsin2＋C知识点解析：7、＝______．标准答案：ln3知识点解析：8、设u＝u(x，y)二阶连续可偏导，且，若u(x，3x)＝x，u’x(x，3x)＝x3，则u’’xy(x，3x)＝______．标准答案：知识点解析：u(x，3x)＝x两边对x求导，得u’x(x，3x)＋3u’y(x，3x)＝1，再对x求导，得u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＋9u’’yy(x，3x)＝0．由，得10u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＝0，u’x＝x3两边对x求导，得u’’xx(x，3x)＋3u’’xy(x，3x)＝3x2，解得u’’xy(x，3x)＝．9、微分方程xy’＝＋y(x＞0)的通解为______．标准答案：lnx＋C知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[a,＋∞)上连续，f(x)＜0，而f(x)存在且大于零．证明：f(x)在(a，＋∞)内至少有一个零点．标准答案：令f(x)＝k＞0，取ε0＝＞，因为f(x)＝k＞0，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有｜f(x)－k｜≤，