平面直角坐标系中的距离公式 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版（2019）选择性必修第一册1.1.6平面直角坐标系中的距离公式学习目标LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge题型突破Breakthroughinquestiontypes当堂检测Classroomtest学习目录ParentConferenceDirectory壹叁贰肆学习目标PART01学习目标01掌握平面上两点间的距离公式01掌握点到直线的距离公式02会求两条平行线之间的距离03会运用坐标法证明简单的平面几何问题04探索新知PART02探索新知02复习回顾

思考：如果把上述问题拓展到平面直角坐标系内，又如何来求两点间的距离呢？如右图所示

两点间的距离公式

知识点1

两点间的距离探索新知02思考交流

知识点1

两点间的距离探索新知02思考交流

对于两点之间的距离公式，我们还有别的理解方式么？请大家结合前面学过的平面向量内容，谈谈自己的看法.知识点1

两点间的距离

方法1：向量法

探索新知02思考交流

对于两点之间的距离公式，我们还有别的理解方式么？请大家结合前面学过的平面向量内容，谈谈自己的看法.知识点1

两点间的距离

方法2：投影法

探索新知02知识剖析

(3)平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上的，是将既不平行也不垂直于坐标轴的线段进行分解，得到垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推出来的.这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想.知识点1

两点间的距离探索新知02

探索新知02

已知三点，三角形就是确定的，其各边长及各边的中线长都可求.

探索新知02

已知三点，三角形就是确定的，其各边长及各边的中线长都可求.

探索新知02思考交流

知识点2

点到直线的距离公式

探索新知02思考交流

知识点2

点到直线的距离公式思路一：直接法

思路简单运算繁琐探索新知02思考交流

知识点2

点到直线的距离公式思路一：直接法

探索新知02思考交流

知识点2

点到直线的距离公式思路二：面积法xyO

SR

N探索新知02思考交流

知识点2

点到直线的距离公式探究

我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？

探索新知02总结归纳

知识点2

点到直线的距离公式点到直线的距离公式

探索新知02总结归纳

知识点2

点到直线的距离公式

探索新知02

探索新知02

探索新知02思考交流

知识点3

两条平行直线间的距离

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

两平行直线间的距离

求两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离探索新知02思考交流

知识点3

两条平行直线间的距离两平行直线间的距离

在直线l1上任取一点P(x1,y1),则有Ax1+By1+C1=0，此时，两条平行直线l1，l2之间的距离也就是点P(x1,y1)到直线l2的距离.根据点到直线的距离公式，得：

探索新知02总结归纳

两条平行直线间的距离公式

知识点3

两条平行直线间的距离探索新知02

探索新知02

探索新知02

探索新知02拓展

1.坐标法的定义：根据图形的特点建立适当的平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，利用坐标把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决.这种解决问题的方法叫作坐标法，也称解析法.知识点3

两条平行直线间的距离2.用坐标法解决问题的一般步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标；(3)利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；(4)反演回去，得到几何问题的结论.探索新知02总结

知识点3

两条平行直线间的距离

一、两点间的距离公式

二、点到直线的距离公式

三、两平行线间的距离公式两平行直线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0（其中A,B不全为0，且C1≠C2），之间的距离：题型突破PART03题型突破03题型1三角形形状的判断例1.如图,已知△ABC的三顶点A(－3,1),B(3,－3),C(1,7).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.题型突破03题型1三角形形状的判断例1.如图,已知△ABC的三顶点A(－3,1),B(3,－3),C(1,7).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.题型突破03解题通法判断三角形的形状常用两种方法：一是利用边长关系（包括边相等、勾股定理等）.已知三角形的顶点坐标，可利用两点间的距离公式计算出各边的长.若长相等，可判定是等腰或等边三角形；若满足勾股定理，可判定是直角三角形；二是利用角的关系.题型1三角形形状的判断题型突破03题型2由两点间的距离求直线方程例2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直线l的方程.解由题意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，∴y1－y2＝k(x1－x2)，∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9，∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2，∴k2＝3，题型突破03解题通法从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程.这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形的几何性质，如对称、线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的.题型2由两点间的距离求直线方程题型突破03题型3平行直线间的距离的最值问题例3.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；解如图，显然有0<d≤|AB|.题型突破03题型3平行直线间的距离的最值问题例3.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(2)当d取最大值时，两条直线的方程.解由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.题型突破03解题通法应用数形结合思想求最值(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.题型3平行直线间的距离的最值问题题型突破03距离的最值问题的三种处理方法①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为两点距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题.题型3平行直线间的距离的最值问题题型突破03题型4直线关于点对称的问题线关于点的对称：斜率相等，求对称点拓展点

直线关于点的对称解题要点：法一：l

2上的任意一点的对称点在l

1上；

法二：l

1∥

l

2点斜式或对称两点式法三：l

1∥

l

2且P到两直线等距.

法四：过P作l

1的平行线l，到l

1,