教案空间直线、平面的平行-教案课件-人教版高中数学必修第二册

空间直线、平面的平行

【第一课时】

直线与直线平行

【教学目标】

1.理解基本事实4,并会用它解决两直线平行问题

2.理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题

【教学重难点】

1.基本事实4

2.等角定理

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.基本事实4的内容是什么？

2.定理的内容是什么？

二、基础知识

1.基本事实4

（1）平行于同一条直线的两条直线壬丘.这一性质通常叫做平行线的传递

a//b

性.（2）符号表示：\=>a//c.

b//c.

2.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

名师点拨

定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两

边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的两

边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，

则这两个角互补.

三、新知探究

探究^5?___________

基本事实4的应用

例1：如图，E,♦分别是长方体ABCD-AiBiC箕的棱AiA,GC的中点.求

证：四边形81即尸为平行四边形.

【证明】如图所示，取。口的中点Q,连接E。，QG.

因为E是A4i的中点，所以E。幺AMi.

因为在矩形AiBCQi中，

所以EQ幺BG，

所以四边形EQGBi为平行四边形，所以SE幺GQ.

又Q，尸分别是。。，GC的中点,

所以。。幺GF,

所以四边形。QCF为平行四边形,

所以C\QJUD.

又BIEZCIQ,所以尸D.

故四边形BiEDF为平行四边形.

［规律方法］

证明空间中两条直线平行的方法

(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、

平行线分线段成比例定理等)来证明.

(2)利用基本事实4即找到一条直线c,使得。〃c,同时b〃c,由基本事

实4得到a〃b.

探究点&L

定理的应用

例2：如图所示，不共面的三条射线04OB,0C,点4,

B\,G分别是。4,OB,0C上的点，且第=嘿=等

(7/1UD(7C

求证：△4BiGs△ABC.

【证明】在△0AB中，因为第=黑,所以

U/iUD

同理可证4G〃AC,B\C\//BC.R

所以NGAiB］=NCAB,ZA\B\C\=ZABC.

所以△48Qs△ABC.

［规律方法］

运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向

是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角

则相等，反之则互补.

【课堂检测】

1.如图，长方体ABCD-48GD1中，M是AO的中点，N

是BiG的中点，求证：CM//A1N.

证明:取的中点P,连接GP,MP,则4尸

又N为MC的中点,BiCi^AiDi，

所以GN幺以1,四边形力WG为平行四边形，A\N//C\P.

又由PM幺。。।幺CG，得CP〃CM.所以CM〃4N.

2.如图，已知直线a,8为异面直线，A,B,C为直线a上三点，D,E,F

为直线匕上三点，4,B',C,D',E分别为AO,DB,BE,EC,CT的中点.求

证：NA'B'C'=NC'D'E'.

证明：因为A，，方分别是AO,OB的中点，所以AE〃/

同理同D'〃a,B'C'//b,D'E'//b,所以B'CZ/D'E'.

又NA5c的两边和NUDE的两边的方向都相同，

所以NA5C'=NCZ>'E'.

【第二课时】

直线与平面平行

【教学目标】

1.理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确

描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间

线面位置关系

2.理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直

线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题

【教学重难点】

1.直线与平面平行的判定

2.直线与平面平行的性质

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.直线与平面平行的判定定理是什么？

2.直线与平面平行的性质定理是什么？

二、基础知识

1.直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平

文字语言

任，那么该直线与此平面平行

符号语言Ha,bua,且“〃〃上

--------a

图形语言z一—

名师点拨

用该定理判断直线a和平面a平行时，必须同时具备三个条件:

(1)直线a在平面a外，即a<Ia.

(2)直线b在平面a内，即/?ua.

(3)两直线a,b平行，即

2.直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面

文字语言

与此平面相交，那么该直线与交线平行

符号语言a//a,auB，anB=b=a〃b

图形语言

/b/

名师点拨

(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个:

①直线。与平面a平行，即.〃/

②平面a,4相交于一条直线，即an£=A；

③直线a在平面尸内，即。＜=民

以上三个条件缺一不可.

（2）定理的作用：

①线面平行=线线平行；

②画一条直线与已知直线平行.

（3）定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与

平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中

的转化与化归的思想.

三、合作探究

探究点②____________________________

直线与平面平行的判定

例1：如图，在正方体ABCO-AIBIG。中，E,F,G分别是

BC,CC\,88的中点，求证：£尸〃平面AQiG.

【证明】连接8C，则由E,F分别是8C,CG的中点，知

EF//BC\.

又AB幺4囚幺DC，所以四边形ABC。是平行四边形,

所以BG〃A£h，所以

又E/过平面ADiG,Adu平面AOiG,

所以EF〃平面AOiG.

［规律方法］

应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有:

①空间直线平行关系的传递性法;

②三角形中位线法；

③平行四边形法；

④成比例线段法.

［提醒］线面平行判定定理应用的误区

（1）条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”.

（2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.

探究点且L

线面平行性质定理的应用

例2：如图，P是平行四边形ABCO所在平面外的一点，M是PC的中点,

在。M上取一点G,过点G和AP作平面，交平面8DM于GH.求证：AP//GH.

【证明】如图，连接AC,交BD于点、0,连接M0.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点。是AC的中点.

又因为点M是PC的中点，

所以AP〃OM

又因为APC平面8DM,OMu平面

所以AP〃平面BDM.

因为平面以"GA平面BDM=GH,

APu平面讯”G,所以AP〃G”.

［规律方法］

利

用：蓄乏破不找一）-二秦差或年行至二不争亩…：

线

面7

平

行

漏惠，良事或豆正泰看豆专正与■盲福

的

性5i

:交的平面

质

定

理

解悟兔爰逅…

题

的

步

骤俑夜鹿口而好毛.............［

【课堂检测】

1.已知人是平面a外的一条直线，下列条件中，可得出/7〃a的是（）

A.。与a内的一条直线不相交

B.8与a内的两条直线不相交

C.b与a内的无数条直线不相交

D.万与a内的所有直线不相交

解析：选D.若人与a内的所有直线不相交，即〃与a无公共点，故8〃a.

2.给出下列命题：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；

②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；

③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条

直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错.

3.三棱台山Ci中，直线AB与平面48cl的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.在平面内D.不确定

解析：选B.在三棱台48cAiBiCi中,AB//AiBx,ABC平面AliB,AiBg平

面48C，所以AB〃平面ABG.

4.如图，直三棱柱ABC-ABG中，。是43的中点.证明：8G〃平面4CD

证明：如图，连接AG交4c于点F,则尸为AG的中点.

又。是的中点，连接。F,则。尸〃AC.

因为。R=平面AC。，8G。平面4CO,所以BG〃平面4CD

【第三课时】

平面与平面平行

【教学目标】

1.理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确

描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面

位置关系

2.理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性

质定理解决有关的平行问题

【教学重难点】

1.平面与平面平行的判定

2.平面与平面平行的性质

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.面面平行的判定定理是什么？

2.面面平行的性质定理是什么？

二、基础知识

1.平面与平面5F行的判定定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,

文字语言

那么这两个平面平行

符号语言auB，bufj,a〃a,)〃a=>6〃a

图形语言

/7

名师点拨

（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”

是必不可少的.

（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为

线面平行.

2.平面与平面平行的性质定理

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相

文字语言

交，那么两条交线平行

符号语言a//P，aC\y=a,/3C]y=b=>a//_h

图形语言

/

名师点拨

(1)用该定理判断直线。与。平行时，必须具备三个条件:

①平面a和平面夕平行,即a〃夕；

②平面y和a相交，即aCly=a；

③平面？和/相交,即夕n尸尻

以上三个条件缺一不可.

(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，

但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能

是异面直线，但不可能是相交直线.

(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行

平面都相交的第三个平面.

三、合作探究

探究点②____________________________

平面与平面平行的判定

例1：如图所示，已知正方体ABC。A\B\C\D\.

(1)求证：平面〃平面BiDC；

(2)若E,尸分别是44”CC的中点，求证：平面EBOi〃

平面FBD.

【证明】(1)因为BiB幺DDi，

所以四边形BByDyD是平行四边形，

所以又平面BQC，

BiDiU平面HDC所以80〃平面81Q1C

同理40〃平面BiDC

又AiDCBD=D,

所以平面A13。〃平面B\DxC.

(2)由8。〃囱。1，

得平面EB\D\.

取88的中点G,

连接AG,GF,

易得AE〃5G,

又因为AE=8G,

所以四边形AE8G是平行四边形,

所以B\E//AG.

易得G/〃A。，又因为Gb=AO,

所以四边形ADFG是平行四边形，

所以AG所以8E〃OF,

所以OF〃平面EB\D\.

又因为8。口。/=。，

所以平面平面FBD.

［变条件］把本例（2）的条件改为“E,尸分别是44|与CG上的点，且AiE

=%法”，求F在何位置时，平面平面尸8。？

解：当/满足C/=；CG时，两平面平行，下面给出证案_____

明：金1

在DiD上取点M,［/亡/。

且DM=^DD\,AB

连接AM,FM,

则AE^DyM,

从而四边形AMDiE是平行四边形.

所以D\E//AM.

同理，FM^CD,

又因为A3幺C。，所以幺A3,

从而四边形b是平行四边形.所以AM〃8F.

即有D\E//BF.又8R=平面FBD,

。1版平面FBD,

所以〃平面FBD.

又BiB幺DiD,从而四边形BBIDIO是平行四边形.故而

又BOu平面EBO,8。/平面F8O,

从而8。1〃平面FBD,

又。

所以平面EBiDi〃平面FBD.

［规律方法］

证明面面平行的方法

(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于

另一个平面即可.

(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即

先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.

探究点酉__________________________

面面平行性质定理的应用

例2：如图所示，两条异面直线3A,0c与两平行平面a,4分别交于点8,

A和O,C,点M,N分别是AB,的中点，求证：〃平面a.

【证明】如图，过点A作AE〃C。交a于点E,取AE的

中点尸，连接MP,PN,BE,ED,BD,AC.

因为AE〃C。，所以AE,CO确定平面AEQC.

则平面AEDCna=OE,AEDC^［i=AC,因为a〃尸，

所以AC〃O£

又P，N分别为AE,CO的中点，

所以PN〃DE,PNQa,DEs,所以PN〃a.

又M,P分别为A8,AE的中点，

所以且MEa,BEua.

所以MP〃a,因为MPnPN=P,

所以平面MPN//a.

又MNu平面MPN,所以MN〃平面a.

1.［变条件］在本例中将M，N分别为AB,C。的中点换为M,N分别在线

段AbCO上，且A髭M=悬CN，其他不变.

证明：MN〃平面a./c/

证明：作AE〃C。交a于点E,连接AC,BD,如图.

因为a〃4且平面AEDC与平面a,4的交线分别为ED'

AC,所以AC〃皮＞,所以四边形AEDC为平行四边形，作NP

〃DE交AE于点P,

连接MP,BE,于是筮=募.

lyLJre.

又因为MB_ND'加以而后所以MP//BE.

而BEua,MRta,所以MP〃a.同理PN//a.

又因为MPCNP=P,所以平面MPN〃平面a.

又MNu平面MPN,所以MN〃平面a.

2.［变条件、变问法］两条异面直线与三个平行平面a,夕，/分别交于4B,

C和。，E,F,求证：金=臆.

£）CtLr

证明：连接A/7交平面夕于点

连接MB,ME,BE,AD,CF,因为a〃4,

所以ME//AD.

所以区=迪

"以EFMF-

同理，BM//CF,

ABAM

所以~BC=~MF,

ABDE

即~BC~EF-

［规律方法］

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

〔审题看是否有平面与平面平行:

（JYS）_（找（或作）第三个平面与已知两个平面相交:

--1确定交线位置;

——（得两条交线互相平行［

［提醒］面面平行性质定理的实质：面面平行n线线平行，体现了转化思想.与

判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.

探究点庖L

平行关系的综合问题

，c

例3：在正方体ABC。AIBICQI中，如图.人产2^^|'

(1)求证：平面〃平面C8£＞；/I

(2)试找出体对角线AC与平面ABQi和平面CBO於】右。的

交点、E,F,并证明：A\E=EF=FC.

【解】(1)证明：因为在正方体ABC。AiBiGOi中，AD幺BiG，

所以四边形AB\C\D是平行四边形，

所以A8〃GD

又因为CQu平面CiBD,ABC平面CiBD.

所以AB〃平面G8D

同理31。1〃平面CiBD.

又因为AB\^B\D\=5,ABC平面AB\D\,8D|U平面AB\D\，所以平面ABXD\

〃平面GBDn

以点E就是AC与平面ABMi的交点；

连接AC交BD于0,连接GO与AiC交于点凡则点/就是AiC与平面

CiBD的交点.证明AiE=EF=FC的过程如下：

因为平面AiGCn平面ABQ1=EO1,

平面4GCn平面C\BD=C\F,

平面ABMi〃平面G8D,所以E0I〃GF

在△4GF中，。1是4cl的中点，

所以E是的中点，即4E=E/；

同理可证。尸〃4应

所以E是CE的中点，

即Cb=RE,所以4|£：=//=尸。.

［规律方法］

解决平行关系的综合问题的方法

(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,

以便运用线面平行的性质.

（2）要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、

相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转

化思想是解决这类问题的最有效的方法.

【课堂检测】

1.已知a,4是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面a与平面

夕平行的是（）

A.平面a内有一条直线与平面夕平行

B.平面a内有两条直线与平面夕平行

C.平面a内有一条直线与平面夕内的一条直线平行