新高考数学一轮复习讲义第2章　§2.8　对数与对数函数（原卷版）

§2.8对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，SKIPIF1<0＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1，SKIPIF1<0＝eq\f(n,m)logab.2．如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.()(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．()(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(4)函数y＝log2x与y＝SKIPIF1<0的图象重合．()教材改编题1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为()A．[0,1] B．(0,1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．3．eln2＋eq\f(log202216,log20224)＝________.题型一对数式的运算例1(1)若2a＝5b＝10，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值是()A．－1B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,10)D．1(2)计算：log535＋SKIPIF1<0－log5eq\f(1,50)－log514＝________.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋eq\f(1,2)lg4－log34×log23＝________.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1(2)已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝SKIPIF1<0的图象可能是()(2)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为()题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<a<b命题点2解对数方程、不等式例4若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．命题点3对数函数的性质及应用例5设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)()A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1,3] B．(1,3)C．(0,1) D．(1，＋∞)(2)若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．课时精练1．函数f(x)＝eq\r(log0.52x－1)的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D．[1，＋∞)2．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于()A．－1B．1C．2D．33．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为()4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20A时，放电时间t＝20h；当放电电流I＝30A时，放电时间t＝10h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为()(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(8,3)D．25．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．∅6．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上的最小值为0D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]7．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋SKIPIF1<0＝______.8．函数f(x)＝SKIPIF1<0的最小值为________．9．已知f(x)＝SKIPIF1<0(1)若a＝2，求f(x)的值域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．10．已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数．(1)求k；(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)．11．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c) B.eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,c)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c) D.eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)12．(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是()A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(0,2)上为增函数C．f(x)的图象关于直线x＝2对称D．f(x)的图象关于点(2,0)对称13．已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为()A．(ln2，＋∞) B．(－∞，ln2)C．(ln2,1) D．(0，