新高考数学一轮复习讲义第5章　§5.5　复　数（原卷版）

§5.5复数考试要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位．(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.))(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).常用结论1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.()(2)复数可以比较大小．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()教材改编题1．已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________．3．已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是________．题型一复数的概念例1(1)(多选)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是()A．复数z的虚部为eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,z)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)iC．z2＝z＋1D．复数z的共轭复数为－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i(2)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|等于()A．1B．5C．7D．25(3)已知复数z满足eq\f(z＋i,z)＝i，则eq\x\to(z)＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1(1)若复数z＝eq\f(2＋i,a＋i)的实部与虚部相等，则实数a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)若z＝1＋i，则|iz＋3eq\x\to(z)|等于()A．4eq\r(5)B．4eq\r(2)C．2eq\r(5)D．2eq\r(2)(3)若i(1－z)＝1，则z＋eq\x\to(z)等于()A．－2B．－1C．1D．2题型二复数的四则运算例2(1)若z＝－1＋eq\r(3)i，则eq\f(z,z\x\to(z)－1)等于()A．－1＋eq\r(3)i B．－1－eq\r(3)iC．－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i D．－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),3)i(2)(多选)设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则下列结论错误的是()A．z1＝±z2 B．zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3|思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2(1)(2＋2i)(1－2i)等于()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i(2)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则eq\x\to(z)的虚部为()A．1B．－1C．2D．－2题型三复数的几何意义例3(1)棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos

\f(π,6)＋isin

\f(π,6)))7在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)(3)设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是()A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±iB．若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆C．若1≤|z|≤eq\r(2)，则点Z的集合所构成的图形的面积为πD．若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合中有且只有两个元素思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．跟踪训练3(1)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为()A．1B．2C.eq\r(3)D.eq\r(5)课时精练1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则()A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝32．复数z＝eq\f(2,i＋1)(i为虚数单位)的虚部是()A．－1B．1C．－iD．i3．若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则eq\x\to(z)等于()A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－i4．复数z＝eq\f(－i,2＋i)－i5在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数eq\x\to(z)的虚部为()A．1B．－1C．iD．－i6．已知复数z＝eq\f(2＋6i,1－i)，i为虚数单位，则|z|等于()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)7．非零复数z满足eq\x\to(z)＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于()A．实轴 B．虚轴C．第一或第三象限 D．第二或第四象限8．已知复数z＝eq\f(a＋2i,i)(a∈R，i是虚数单位)的虚部是－3，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.10．若复数z满足z·i＝2－i，则|z|＝________.11．欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是()A．eiπ的实部为0B．e2i在复平面内对应的点在第一象限C．|eiθ|＝1D．eiπ的共轭复数为112．(多选)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是()A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B.eq\f(1,z1)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)iC．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值为3eq\r(2)＋213．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则eq\f(y,x)的最大值为()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(2,3)14．在数学中，记表达式ad－bc为由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))所确定的二阶行列式．若在复数