2025年上半年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力测试试卷及解答

2025年上半年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力测试试卷及解答一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）题目：在平面直角坐标系中，直线l的方程为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是y轴上的截距。若直线l经过点1,A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据两点式斜率公式，斜率k由两点x1,y1和x2,y2确定，公式为题目：已知函数fx=lnx2−3xA.A′=C.A′=答案：D解析：函数fx=lnx2−3x+2的定义域要求x2−3x+题目：在数列{an}中，若a1=1A.an=C.an=答案：B解析：由递推关系an+1=2an+1，我们可以得到an+1+题目：设函数fx=A.fx的最小值为1，且fx在B.fx的最小值为1，且fx在C.fx的最小值为0，且fx在D.fx的最小值为0，且fx在答案：A解析：首先，考虑二次函数t=x2二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第1题：题目：请简述高中数学课程标准中“数学建模”素养的基本含义及其在数学教育中的意义。答案：数学建模素养是指学生能在实际情境中，从数学的角度发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题的一种综合能力。它不仅仅是对数学知识和技能的简单应用，更是对数学思维、方法、语言、工具的综合运用和创新能力的体现。解析：数学建模素养的培养有助于学生增强应用数学的意识，提高解决实际问题的能力；促进学生数学思维的发展，培养其逻辑思维、抽象思维、创新思维等能力；同时，数学建模过程也是学生体验数学发现、创造历程的重要途径，有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，培养其探索精神和创新意识。第2题：题目：请解释什么是“函数的零点”，并说明如何利用二分法求解函数的零点。答案：函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即满足f(x)=0的x的值。二分法是一种求解函数零点的近似方法，其基本思想是：对于在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0的函数f(x)，通过不断地将区间[a,b]一分为二，并判断零点所在的子区间，逐步缩小零点所在的范围，直到达到所需的精度为止。解析：二分法求解函数零点的关键在于判断零点所在的子区间，这通常通过计算区间端点的函数值并比较其符号来实现。如果f(a)f(b)<0，则根据连续函数的中值定理，函数在区间[a,b]内至少有一个零点。然后，取区间的中点c=(a+b)/2，计算f(c)的值，并根据f(c)与f(a)、f(b)的符号关系，确定零点所在的子区间。重复这一过程，直到区间长度小于预定的精度或达到其他停止条件。第3题：题目：简述高中数学中“圆锥曲线”一章的主要内容和教学要求。答案：圆锥曲线一章主要介绍了椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线的定义、标准方程、几何性质以及它们在实际问题中的应用。教学要求包括：理解圆锥曲线的定义和形成过程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的标准方程和一般方程；会利用圆锥曲线的方程研究其几何性质（如顶点、焦点、准线、离心率等）；能够运用圆锥曲线的知识解决一些简单的实际问题。解析：圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它不仅在理论上具有重要地位，而且在实际应用中也有广泛的价值。因此，在教学中应注重学生对圆锥曲线基本概念和性质的理解和掌握，同时引导学生关注圆锥曲线在现实生活中的应用，培养其运用数学知识解决实际问题的能力。第4题：题目：请解释“导数”在函数研究中的作用，并给出一个利用导数研究函数单调性的例子。答案：导数在函数研究中具有极其重要的作用，它是研究函数性质（如单调性、极值、凹凸性等）的重要工具。通过求导，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，从而了解函数在该点附近的变化趋势。此外，导数还可以帮助我们找到函数的极值点、判断函数的单调性等。例子：三、解答题（本大题有1小题，共10分）题目：已知函数fx=ln求函数fx若函数fx在[1,答案：首先确定函数的定义域。由于有对数函数lnx，所以x>0计算导数。f′判断单调性。当a≥0时，f′x=1x当a<0时，令f′x=0，解得x=由于fx在[1,+∞代入x≥1到f′因为在[1,+∞)上，−x的最大值为解析：(1)部分主要考查了对数函数和一次分式函数的导数计算，以及利用导数判断函数单调性的方法。注意到对数函数的导数形式为1x(2)部分则是利用了函数单调性的定义，即如果函数在某区间上单调递增，那么其导数在该区间上非负。通过解这个不等式，我们得到了参数a的取值范围。这里还涉及到了函数在闭区间上的最值问题，即利用函数的性质找到使不等式成立的最小的a值。四、论述题（本大题有1小题，共15分）题目：请论述在高中数学课堂教学中，如何有效融入数学建模思想，以提升学生的数学素养和解决实际问题的能力，并给出具体的教学案例。答案与解析：论述：数学建模是将实际问题抽象化为数学模型，并通过数学方法进行求解，最后验证解的正确性与合理性的过程。在高中数学教学中融入数学建模思想，不仅能够加深学生对数学概念和方法的理解，还能培养学生的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的能力，从而提升学生的数学素养。创设问题情境：首先，教师应根据学生的认知水平和兴趣点，设计贴近生活实际或具有挑战性的数学问题情境，激发学生探索的兴趣和动力。这些问题情境可以是真实的生活案例，也可以是学科交叉的综合性问题。引导抽象建模：在问题情境的基础上，引导学生对问题进行深入分析，提取关键信息，忽略非本质因素，逐步将实际问题抽象化为数学语言描述的数学模型。这一过程需要教师适时提供指导，帮助学生克服思维障碍。数学模型求解：得到数学模型后，指导学生运用已学的数学知识（如代数、几何、概率统计等）进行求解。这一过程不仅考验学生的数学基础知识，还锻炼了学生的计算能力、推理能力和问题解决策略。模型验证与应用：求解后，引导学生对结果进行验证，确保模型的合理性和解的正确性。同时，鼓励学生将模型应用于更广泛的实际情境中，进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。反思与评价：最后，组织学生进行反思和评价，总结建模过程中的得失，提炼数学建模的一般方法和步骤，为今后的学习打下基础。同时，教师应给予学生积极的反馈，肯定他们的努力和成果，激发他们持续学习的兴趣和动力。教学案例：案例名称：“优化问题——最短路径问题”

背景介绍：假设学校计划在校园内建设一条从教学楼到图书馆的新路，为了节约成本和方便师生，需要找到一条最短的路径。教学过程：创设问题情境：展示校园地图，标出教学楼和图书馆的位置，提出问题：“如何找到从教学楼到图书馆的最短路径？”引导抽象建模：引导学生分析校园地形，忽略建筑、树木等非本质因素，将校园地图抽象化为二维平面上的点线图。将教学楼和图书馆分别视为两个点，其他路径视为线，从而构建出一个数学模型——求两点间的最短距离。数学模型求解：引导学生回忆并应用两点间线段最短的原理，直接连接教学楼和图书馆两个点，得到最短路径。模型验证与应用：实地测量或利用GIS工具验证模型的正确性。同时，鼓励学生思考如果将教学楼、图书馆和其他重要设施（如食堂、宿舍等）都考虑在内，如何规划整个校园的路径网络，使得任意两点间的平均距离最短。反思与评价：组织学生分享建模过程中的心得和体会，讨论模型的局限性（如未考虑地形起伏、障碍物等）和改进方向。教师对学生的表现给予积极评价，鼓励他们在未来的学习和生活中继续运用数学建模思想解决实际问题。五、案例分析题（本大题有1小题，共20分）第1题：案例背景：在一堂高中数学课上，教师张老师正在讲解“等差数列”的概念及性质。张老师首先通过日常生活中的例子（如每个月的存款增加相同金额）引出等差数列的概念，然后详细讲解了等差数列的通项公式和求和公式。为了加深学生对这些公式的理解和应用，张老师设计了一个小组合作学习的活动。活动设计：将学生分为四人小组，每组分配一个等差数列的实例（如首项为2，公差为3的数列前10项）。要求学生小组内讨论，利用等差数列的通项公式和求和公式计算出数列的特定项和总和。每组派一名代表上台展示计算结果，并解释计算过程。案例分析问题：请分析张老师在这节课中采用了哪些教学策略来促进学生的数学学习？这种小组合作学习的方式对学生的学习有何积极影响？假设在小组展示环节，某个小组的计算结果出现错误，张老师应该如何处理以最大限度地发挥此次错误的教育价值？答案与解析：教学策略分析：生活化教学：张老师通过日常生活中的例子引入等差数列的概念，使抽象的数学概念变得具体生动，有助于学生的理解和记忆。公式讲解与示范：张老师详细介绍了等差数列的通项公式和求和公式，并进行了必要的示范，这是学生掌握新知识的基础。小组合作学习：通过分组合作，学生可以在互动中相互学习、交流思路，促进思维碰撞，加深理解。展示与反馈：通过小组代表上台展示，张老师可以及时获得学生的学习反馈，了解学生的学习情况，为后续教学提供依据。小组合作学习的积极影响：增强沟通能力：小组成员间的讨论和协作有助于提高学生的沟通能力和团队协作能力。促进主动学习：在小组中，学生需要主动思考、解决问题，从而激发学习兴趣和动力。多样化学习：不同学生可能拥有不同的解题思路和方法，小组合作学习可以让学生在交流中接触到更多的解题策略。加深理解：通过实际操作和讨论，学生对等差数列的概念、公式及其应用的理解会更加深刻。错误处理策略：肯定努力：首先，张老师应肯定该小组在解题过程中的努力和尝试，保护学生的自尊心和积极性。引导发现：接着，张老师可以引导学生一起检查计算过程，发现错误所在。这个过程比直接指出错误更能加深学生对错误原因的认识。错误分析：在发现错误后，张老师可以组织全班一起分析错误的原因，讨论如何避免类似错误再次发生。鼓励改进：最后，张老师应鼓励该小组根据错误分析进行改进，并再次尝试解题。同时，也可以将这次错误作为教学案例，提醒全班同学注意类似问题。通过这种方式，张老师不仅纠正了学生的错误，还利用错误资源进行了有效的教学，提高了学生的数学素养和问题解决能力。六、教学设计题（本大题有1小题，共30分）题目：请设计一堂关于“三角函数图像的变换”的高中数学课，包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程（至少包含导入、新知讲授、例题解析、巩固练习、总结提升五个环节）和作业布置。答案与解析：一、教学目标：知识与技能：学生能够理解并掌握三角函数图像（以正弦函数为例）的平移变换、伸缩变换规律，能够准确描述并绘制出变换后的图像。过程与方法：通过观察、分析、讨论和动手实践，培养学生逻辑推理、抽象思维以及数形结合的能力。情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神和团队合作意识，体验数学在解决实际问题中的应用价值。二、教学重难点：重点：掌握正弦函数图像平移、伸缩变换的法则，并能准确绘制变换后的图像。难点：理解并灵活运用变换规律解决实际问题，特别是当多种变换组合时，能够正确判断图像的变化趋势。三、教学方法：采用讲授法、讨论法、演示法和实践操作法相结合的教学模式。通过多媒体展示图像变换的动态过程，引导学生观察分析，鼓励学生自主探索、合作交流，最后通过练习巩固所学知识。四、教学过程：导入环节（约5分钟）情境导入：展示一个简化的弹簧振动或简谐运动的动画，引导学生观察并思考其运动轨迹与正弦函数图像的关系，引出课题——三角函数图像的变换。提问激疑：如何改变正弦函数的参数（如振幅、周期、相位等）来模拟不同的物理现象？新知讲授（约15分钟）理论讲解：详细讲解正弦函数图像平移（左右、上下）、伸缩（横轴、纵轴）的变换规律，结合数学表达式和图像直观展示。示例演示：利用多媒体工具，动态展示几个典型的变换过程，如y=sinx到y例题解析（约10分钟）呈现例题：给出几个具体的变换题目，如“将函数y=sinx分析解答：引导学生逐步分析题目，根据变换规律写出新函数的表达式，并画出变换后的图像。巩固练习（约15分钟）分组练习：将学生分成小组，每组分配几道不同类型的变换题目