考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷3（共265题）

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷3（共9套）（共265题）考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设，则()A、I1＞I2＞。B、I1＞＞I2。C、I2＞I1＞D、I2＞＞I1。标准答案：B知识点解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有＜1。从而，可见有I1＞I2，又由I2＜知，应选B。2、设f(x)=∫0x(ecost－e－cost)dt，则()A、f(x)=f(x+2π)。B、f(x)＞f(x+2π)。C、f(x)＜f(x+2π)。D、当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。标准答案：A知识点解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx＋2π(ecost一e－cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫－ππ(ecost一e－cost)dt=2∫0π(ecost一e－cost)dt一2∫0π(ecosμ+e－cosμ)dμ，因此f(x+2π)一f(x)=0，故选A。3、设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是()A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dt。B、∫0xt[f(t)+f(一t)]dt。C、∫0xf(t2)dt。D、∫0x[f(t)]2dt。标准答案：B知识点解析：易知f(t)+f(一t)为偶函数，t为奇函数，故t[f(t)+f(一t)]为奇函数，由函数及其导函数奇偶性的关系可知，其原函数∫0xt[f(t)+f(－t)]dt必为偶函数。同理可知，A，C为奇函数，D无法判断。故选B。4、曲线y=e－xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为()A、－∫03πe－xsinxdx。B、∫03πsinxdx。C、∫0πsinxdx一∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。D、∫02πe－xsinxdx一∫2π3πe－xsinxdx。标准答案：C知识点解析：当0≤x≤π或2π≤x≤3π时y≥0，当π≤x≤2π时y≤0。所以y=e－xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积为∫0πe－xsinxdx－∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。故选C。5、由曲线y=1一(x一1)2及直线y=0围成图形(如图1—3—3)绕y轴旋转一周而成的立体体积V是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：按选项，要把曲线表示成x=x(y)，于是要分成两部分x=1±(0≤y≤1)，则V是以下两个旋转体的体积之差：V1=π∫01(1+)2dy，V2=π∫01(1一)2dy，于是V=V1一V2=π∫01[]dy，故选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、=_________。标准答案：知识点解析：7、=_________。标准答案：知识点解析：8、=_________。标准答案：e2x+x一ex+C知识点解析：令t=ex+1，则ex=t一1，x=ln(t一1)，dx=dt。9、已知曲线y=f(x)过点(0，)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=_________。标准答案：(1+x2)[ln(1+x2)一1]知识点解析：由题设可知=xln(1+x2)，且y(0)=，则10、=_________。标准答案：知识点解析：11、设a＞0，则I=∫－aa=_________。标准答案：a2ln3知识点解析：由题干可知，原式可化为根据定积分的几何意义可得：∫－a0a2(半径为a的半圆的面积)。所以12、∫0＋∞=__________。标准答案：知识点解析：本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式。13、由曲线y=和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为_________。标准答案：4ln2知识点解析：先画图，作出y=4x与y=的交点(1，4)，直线y=x与y=的交点(2，2)，由图可知，面积S分两块(如图1—3—8)。S=∫01(4x一x)dx+∫12(一x)dx=2一=4ln2。14、设无界区域G位于曲线y=(e≤x＜+∞)下方，x轴上方，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为_________。标准答案：知识点解析：由题意15、设曲线的参数方程为的曲线段的弧长s=________。标准答案：ln2知识点解析：因为x’(t)=cost，y’(t)=－sint，因此当t∈时，曲线的弧微分为ds==cottdt。因此，相应的曲线段的弧长为s==ln2。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)16、求。标准答案：=一earcsinex一ln｜e－x＋｜+C。知识点解析：暂无解析17、设f(x)是区间[0，]上单调、可导的函数，且满足∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt，其中f－1是f的反函数，求f(x)。标准答案：在∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt的两边同时对x求导得f－1[f(x)]f’(x)=，也就是xf’(x)=，即f’(x)=，两边再分别积分得f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。(*)将x=0代入题中的已知方程可得∫0f(0)f－1(t)dt=∫00tdt=0。由于f(x)是区间[0，]上单调、可导的函数，则f－1(x)的值域为[0，]，且为单调非负的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。知识点解析：暂无解析18、计算∫01dx，其中f(x)=∫1xdt。标准答案：使用分部积分法和换元积分法。其中由题意，f(1)=0，因此知识点解析：暂无解析19、设f(x)连续可导，F(x)=∫0xf(t)f’(2a一t)dt。证明：F(2a)一2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)。标准答案：F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a—t)dt一2f∫0af(t)f’(2a一t)dt=一∫a2af(t)df(2a—t)一∫0af(t)f’(2a—t)dt=一f(t)f(2a—t)｜a2a+∫a2af’(t)f(2a一t)dx—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af’(t)f(2a一t)dx—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(2a)f(0)+∫0af’(2a一μ)dμ—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)－f(2a)f(0)。知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使(ξ1)=f(ξ2)=0。标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0。又因为0=∫0πcosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0。由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0，再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，且f(ξ1)=f(ξ2)=0。知识点解析：暂无解析设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。21、试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；标准答案：本题可转化为证明x0，f(x0)=∫x01f(x)dx。令φ(x)=一x∫x1f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即φ’(x0)=x0f(x0)一∫x01f(t)dt=0。也就是x0f(x0)=∫x01f(x)dx。知识点解析：暂无解析22、又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(I)中的x0是唯一的。标准答案：令F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，且由f’(x)＞－有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此(I)中的点x0是唯一的。知识点解析：暂无解析椭球面S1是椭圆=1绕x轴旋转一周而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆=1相切的直线绕x轴旋转一周而成。23、求S1及S2的方程；标准答案：由题意得S1的方程为=1。计算得过点(4，0)与，所以S2的方程为y2+z2=知识点解析：暂无解析24、求S1与S2之间的立体体积。标准答案：知识点解析：暂无解析25、过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。标准答案：设切点坐标为A(x0，lnx0)，斜率为，因此该点处切线方程为y—lnx0=(x一x0)，又因为该切线过B(0，1)，所以x0=e2，故切线方程为y=+1，切线与x轴交点为(1，0)。因此直线AB的方程为y=(x一1)。区域的面积为旋转一周所围成的体积为知识点解析：暂无解析26、设有摆线试求L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积。标准答案：这是由参数方程给出的曲线，由于x’(θ)=1一cosθ，y’(θ)=sinθ，则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设下述命题成立的是()A、f(x)在[一1，1]上存在原函数。B、令F(x)=∫—1xf(t)dt，则f’(0)存在。C、g(x)在[一1，1]上存在原函数。D、g’(0)存在。标准答案：C知识点解析：由可知，g(x)在x=0处连续，所以g(x)在[一1，1]上存在原函数。故选C。以下说明选项A、B、D均不正确的原因：A项，由可知，x=0是f(x)的跳跃间断点，所以在包含x=0的区间上f(x)不存在原函数；B项，由，可知F’(0)不存在；D项，由且不存在，可知g’(0)不存在。2、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)()A、为正常数。B、为负常数。C、恒为零。D、不为常数。标准答案：A知识点解析：由分析可知，F(x)=F(0)，而F(0)=∫02πesintsintdt=—∫02πesintdcost=—esintcost｜02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0。故选A。3、设F(x)=∫—1xf(t)dt，则F(x)在x=0处()A、极限存在但不连续。B、连续但不可导。C、可导。D、可导性与a有关。标准答案：D知识点解析：当x≤0时，F(x)=∫—1xf(t)dt=ex一e—1；当x＞0时，F(x)=∫—10f(t)dt+∫0xf(t)dt=1一e—1++ax。因为=1一e—1=F(0)，所以F(x)在x=0处连续。而即F(x)在x=0处的可导性与a有关。故选D。4、设函数若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则()A、α＜一2。B、α＞2。C、一2＜α＜0。D、0＜α＜2。标准答案：D知识点解析：根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为其中当且仅当α一1＜1时才收敛；当且仅当α＞0才收敛。从而仅当0＜α＜2时，反常积分∫1+∞才收敛。故选D。5、如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积∫0axf’(x)dx等于()A、曲边梯形ABOD面积。B、梯形ABOD面积。C、曲边三角形ACD面积。D、三角形ACD面积。标准答案：C知识点解析：因为∫0axf’(x)dx=∫0axdf(x)=xf(x)｜0a—∫0af(x)dx=af(a)—∫0af(x)dx，其中af(a)是矩形ABOC的面积，∫0af(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以∫0axf’(x)dx为曲边三角形ACD的面积。故选C。6、半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1。若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：如图所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相应的小横条所受压力微元dP=ρ·x·2ydx=于是闸门所受压力P=2∫0R故选C。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)7、=______。标准答案：知识点解析：设计算可得A=4，B=2，C=一1。所以8、=______。标准答案：知识点解析：9、当a＞0时，=______。标准答案：知识点解析：令x=asint，则原式10、=______。标准答案：知识点解析：令x一1=sint，则11、∫—11x2016=______。标准答案：知识点解析：原式(在第一个积分式中令x=一t)12、=______。标准答案：知识点解析：令x=sint，则有13、设函数且λ＞0，则∫—∞+∞xf(x)dx=______。标准答案：知识点解析：已知x≤0时，函数f(x)值恒为0，因此可得∫—∞+∞xf(x)dx=∫0+∞λxe—λxdx=—∫0+∞xd(e—λx)=—xe—λx｜0+∞+∫0+∞e—λxdx=14、在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取______时，A=A1+A2取最小值。标准答案：知识点解析：如图所示，A1=∫0t(t2一x2)dx，A2=∫t1(x2一t2)dx，A(t)=A1(t)+A2(t)=2∫0t(t2—x2)dx+∫01(x2—t2)dx所以，当时，A=A1+A2取最小值。15、曲线y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧长s=______。标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)16、求标准答案：原式=一(e—2xarctanex+e—x+arctanex)+C。知识点解析：暂无解析17、设f(x)连续可导，F(x)=∫0xf(t)f’(2a一t)dt，证明F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)。标准答案：F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a一t)dt一2∫0af(t)f’(2a一t)dt=一∫a2af(t)df(2a一t)一∫0af(t)f’(2a一t)dt=一f(t)f(2a一t)｜02a+∫02af’(t)f(2a一t)dx一∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af’(t)f(2a—t)dx一∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(2a)f(0)+∫0af’(2a一u)f(u)du—∫0af(t)f’(2a—t)dt=f2(a)一f(2a)f(0)。知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x—b)dx。标准答案：连续利用分部积分法有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫abf’(x)(x一b)d(x一a)=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f’(x)(x一b)]=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx=f(a)(b一a)+f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx，移项并整理得∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx。知识点解析：暂无解析19、(I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(l>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx；(Ⅱ)求标准答案：(I)证明必要性设φ(a)=∫aa+lf(x)dx一∫0lf(x)dx，由题设φ’(a)=f(a+1)一f(a)=0，则φ(a)=c(常数)。设a=0，则c=φ(0)=0，那么∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx。充分性在∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期。(Ⅱ)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是在上式第2项中作变量替换x=π—t，即可化为第1项，故原式=知识点解析：暂无解析计算下列反常积分(广义积分)。20、标准答案：由于x2—2x=(x一1)2一1，因此为去掉被积函数中的根号，可令x一1=sect则有知识点解析：暂无解析21、标准答案：采用分解法与分部积分法，由于，故可将被积函数分解，并用分部积分法有知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosdx=0。证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。标准答案：令F(x)=∫0xf(x)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0。又因为0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0。由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0，再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，+∞]连续，且∫01f(x)dx证明至少存在一点ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。标准答案：作函数F(x)=f(x)+x，有∫01F(x)dx=∫01[f(x)+x]dx=∫01f(x)dx+＜0。所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因为所以，由极限的保号性，存在b＞a，使，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一点ξ∈[a，b](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0af(x)dx=af(0)+。标准答案：由已知∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x一a)=[(x一a)f(x)]｜0a一∫0a(x一a)f’(x)dx=af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx。因为f’(x)连续，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则m(a一x)≤(a—x)f’(x)≤M(a一x)，故≤∫0a(a—x)f’(x)dx≤，则再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0a(a一x)f’(x)dx=，于是∫0af(x)dx=af(0)+。知识点解析：暂无解析25、设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足f(b)·cosb=证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)·tanξ。标准答案：由f(x)在区间[a，b]上可导，知f(x)在区间[a，b]上连续，从而F(x)=f(x)·cosx在上连续，由积分中值定理，知存在一点c∈使得在[c，b]上，由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(c，b)(a，b)，使即得f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。知识点解析：暂无解析26、证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。标准答案：(I)设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。根据定积分性质，有m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b—a)，根据连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]，使得即有∫abf(x)dx=f(η)(b—a)。(Ⅱ)由上题的结论可知至少存在一点η∈[2，3]，使∫23φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η)，又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，知2＜η≤3。对φ(x)在[1，2]，[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并结合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)得1＜ξ1＜2，2＜ξ1＜η≤3，在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)。知识点解析：暂无解析设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。27、试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；标准答案：本题可转化为证明x0f(x0)=∫x01。令φ(x)=一x∫x1f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在一点x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即φ’(x0)=x0f(x0)一∫x01dt=0。也就是x0f(x0)=∫x01f(x)dx。知识点解析：暂无解析28、又设f(x)在区间(0，1)内可导，且，证明上题中的x0是唯一的。标准答案：令F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，且由有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此上题中的点x0是唯一的。知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、若f(x)的一个原函数是arctanx，则∫xf(1一x2)dx=________．A、arctan(1一x2)+CB、xarctan(1一x2)+CC、arctan(1一x2)+CD、xarctan(1一x2)+C标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)连续，F(x)=，则F’(x)=_______．A、f(x3)一f(cosx)B、3x2f(x3)+sinxf(cosx)C、3x2f(x3)一sinxf(cosx)D、3x2f(x3)+f(cosx)标准答案：B知识点解析：暂无解析3、设f(x)，φ(x)在点x=0某邻域内连续，且x→0时，f(x)是φ(x)的高阶无穷小，则x→0时，∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的()无穷小．A、低阶．B、高阶．C、同阶非等价．D、等价．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设f(x)有一阶连续导数，f(0)=0，当x→0时，∫0ff(x)f(t)dt与x2为等价无穷小，则f’(0)等于A、0B、2C、D、标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A、AB、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)=(x-b)∫abf(t)dt，则存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A、1B、0C、D、2标准答案：B知识点解析：暂无解析7、设等于A、0B、1C、D、一1标准答案：A知识点解析：暂无解析8、下列广义积分中发散的是A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)9、标准答案：知识点解析：暂无解析10、设∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C，则标准答案：知识点解析：暂无解析11、设f(lnx)=则∫f(x)dx=_____．标准答案：x一(1+e-x)ln(1+ex)+C知识点解析：暂无解析12、标准答案：1知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(5)+∫05f(t)dt=______．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)=则∫01f(x)dx=______．标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：ln3知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)连续，且标准答案：6知识点解析：暂无解析18、标准答案：sinx2知识点解析：暂无解析19、由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成平面图形的面积为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(χ)为可导函数，F(χ)为其原函数，则()．A、若f(χ)是周期函数，则F(χ)也是周期函数B、若f(χ)是单调函数，则F(χ)也是单调函数C、若f(χ)是偶函数，则F(χ)是奇函数D、若f(χ)是奇函数，则F(χ)是偶函数标准答案：D知识点解析：令f(χ)＝cosχ－2，F(χ)＝sinχ－2χ＋C，显然f(χ)为周期函数，但F(χ)为非周期函数，A不对；令f(χ)＝2χ，F(χ)＝χ2＋C，显然f(χ)为单调增函数，但F(χ)为非单调函数，B不对；令f(χ)＝χ2，F(χ)＝χ＋2，显然f(χ)为偶函数，但F(χ)为非奇非偶函数，C不对；若f(χ)为奇函数，F(χ)＝∫aχf(t)dt，因为：所以F(χ)为偶函数，选D．2、设∫f(χ)dχ＝χ2＋C，则∫χf(1－χ2)dχ等于()．A、(1－χ2)2＋CB、－(1－χ2)2＋CC、2(1－χ2)2＋CD、－2(1－χ2)2＋C标准答案：B知识点解析：∫χf(1－χ2)dχ＝－∫f(1－χ2)d(1－χ2)＝－(1－χ2)2＋C，选B．3、设M＝cos4χdχ，N＝(sin3χ＋cos4χ)dχ，P＝(χ2sinχ3－cos4χ)dχ，则有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N标准答案：D知识点解析：M＝cosχ4dχN＝(sin3χ＋cos4χ)dχ＝cos4χdχ＞0，P＝(χ2sin3χ－cos4χ)dχ＝－cos4χdχ＜0，P＜M＜N，选D．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、＝_______．标准答案：ln｜2χ＋3｜＋5ln｜χ－3｜＋C知识点解析：因为所以＝ln｜2χ＋3｜＋5ln｜χ－3｜＋C．5、＝_______．标准答案：ln｜χ＋2｜－＋C知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：2arctan＋C知识点解析：8、＝_______．标准答案：2arcsin＋C知识点解析：9、＝_______．标准答案：2arcsin＋C知识点解析：10、＝_______．标准答案：－2arcsin＋C知识点解析：三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)11、标准答案：令sinχ－cosχ＝a(sinχ＋2cosχ)＋b(sinχ＋2cosχ)′，则知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、∫χtanχsec4χdχ标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、∫arcsinχarccosχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：令eχ＝t，dχ＝dt，知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、∫arctan(1＋)dχ．标准答案：令＝t，则知识点解析：暂无解析24、标准答案：＝－∫lnsinχd(cotχ)＝－cotχlnsinχ＋∫cotχdχ＝－cotχlnsinχ＋∫(csc2χ－1)dχ＝－cotχlnsinχ－cotχ－χ＋C知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：令＝t，则χ＝ln(1＋t2)，dχ＝dt，则知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：令＝t，dχ＝6t5dt，则知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设则有()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I2＜I1＜I3标准答案：D知识点解析：首先，由可得I2＜I1．其次，其中故I3＞I1，从而I2＜I1＜I3，故选(D)．2、A、arctan(cos2x)+CB、arctan(cos2x)+CC、arctan(一cos2x)+CD、标准答案：B知识点解析：3、设则f(x)=()A、B、C、lnx一2exD、lnx+2ex标准答案：A知识点解析：由题中所给式子变形得则在上式两端作[1，e]上的积分，得解得故应选(A)．4、积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设x=t5，则dx=6t5dt．所以二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、已知是f(x)的原函数，则标准答案：其中C为任意常数知识点解析：因为是f(x)的原函数，所以7、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：8、xx(1+lnx)的全体原函数为___________．标准答案：xx+C，其中C为任意常数知识点解析：因为(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以9、若且x=at+b(a≠0)，则标准答案：F(t)+C，其中C为任意常数知识点解析：因F’(x)=f(x)，故F’(t)=f(t)，于是其中C为任意常数．10、设f’(ex)=1+x，则f(x)=___________．标准答案：xlnx+C，其中C为任意常数知识点解析：设u=ex，则x=lnu，由f’(ex)=1+x，得因此f(x)=xlnx+C，其中C为任意常数．11、将分解为部分分式乘积的形式为___________．标准答案：知识点解析：由因式分解易得：同项对比系数可得：故答案如上所填．12、设f(x)的一个原函数为lnx，则f’(x)=___________．标准答案：知识点解析：由题设知则13、标准答案：知识点解析：此极限属型，用洛必达法则．因此14、函数的递减区间为____________．标准答案：[e2，+∞)知识点解析：需要考虑F(x)的导函数令f’(x)≤0，即得x≥e2．15、已知f(1)=0，则标准答案：一1知识点解析：用分部积分法．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、求不定积分标准答案：方法一方法二知识点解析：暂无解析18、已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求标准答案：由于又由于(1+sinx)lnx为f(x)的一个原函数，因此f(x)=[(1+sinx)lnx]’=cosxlnx+且故知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：利用表格的形式：所以知识点解析：暂无解析22、求不定积分标准答案：令有dx=tdt，于是知识点解析：暂无解析23、求积分标准答案：本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方．知识点解析：暂无解析24、求积分标准答案：因x=一[(1一x)一1]，从而可凑微分法．知识点解析：暂无解析25、计算积分：设求标准答案：令t=x一2，则由定积分的分段可加性得，知识点解析：暂无解析26、计算积分：已知求标准答案：令t=x一2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得，知识点解析：暂无解析27、计算标准答案：令则x=t2，dx=2tdt，故知识点解析：暂无解析28、计算其中标准答案：由分部积分法可知又因为f(1)=0．故知识点解析：暂无解析29、若f(x)在(一∞，+∞)上连续，且试证：f(x)≡0(一∞＜x＜+∞)．标准答案：由可知f’(x)=f(x)，其通解为f(x)=Cex，又f(0)=0，故f(x)≡0．知识点解析：暂无解析30、判别积分的敛散性．标准答案：因为而收敛，所以绝对收敛．知识点解析：暂无解析设f(x)为连续函数，试证明：31、F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反；标准答案：设f(x)为奇函数，所以是偶函数．设f(x)为偶函数，则所以F(x)是奇函数．知识点解析：暂无解析32、若f(x)为奇函数，则f(x)的一切原函数均为偶函数；若f(x)为偶函数，则有且仅有一个原函数为奇函数．标准答案：f(x)的一切原函数可以表示成的形式．若f(x)为奇函数，由上题知为偶函数，故都是偶函数．若f(x)为偶函数，由上题知为奇函数，f(x)的一切原函数当且仅当C=0时为奇函数，故偶函数f(x)的原函数中仅有一个为奇函数．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2、设则当x→0时，f(x)与g(x)相比是()A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：需要计算f(x)与g(x)比值的极限．故当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小．3、设则()A、N≤P≤QB、N≤Q≤PC、Q≤P≤ND、P≤N≤Q标准答案：D知识点解析：x2sin3x是奇函数，故N=0，x3ex2是奇函数，故所以P≤N≤Q．4、若[x]表示不超过x的最大整数，则积分的值为()A、0B、2C、4D、6标准答案：D知识点解析：5、设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数()A、在(a，b)内的图形为凸B、在(a，b)内的图形为凹C、在(a，b)内有拐点D、在(a，b)内有间断点标准答案：B知识点解析：先将Φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有因为φ(t)在[a，b]上连续，所以Φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．要讨论其余三个选项，只需求出Φ(x)，讨论Φ(x)在(a，b)内的符号即可．因故y=Φ(x)在(a，b)内的图形为凹．应选(B)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)6、积分标准答案：其中C为任意常数知识点解析：7、积分标准答案：其中C为任意常数知识点解析：8、已知函数F(x)的导函数为且则F(x)=___________．标准答案：知识点解析：由题意有故9、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：10、若则f(x)=___________．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：令t=x2，则因此其中C为任意常数．11、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：12、设f(x)连续，则标准答案：知识点解析：是形如形式的变上限积分，由知，13、标准答案：0知识点解析：显然积分难以积出．考虑积分中值定理，其中ξx介于x，x+a之间．所以14、设，则标准答案：知识点解析：令3x+1=t，可知所以三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)设证明：15、并由此计算In；标准答案：当n=2k时，当n=2k+1时，其中知识点解析：暂无解析16、标准答案：由当时，0＜tanx＜1，于是则知识点解析：暂无解析17、已知求积分标准答案：当a≠0，±1时，当α=1时，当α=一1时，当α=0时，综上，故知识点解析：暂无解析18、已知f(x)连续，求的值．标准答案：令x一t=u，有于是两边对x求导，得在上式中，令得知识点解析：暂无解析19、计算标准答案：知识点解析：暂无解析对于实数x＞0，定义对数函数依此定义试证：20、标准答案：令则有知识点解析：暂无解析21、ln(xy)=lnx+lny(x＞0，y＞0)．标准答案：令t=ξx，则有知识点解析：暂无解析22、计算标准答案：由分部积分可得故递推得又所以知识点解析：暂无解析23、若试证：f’(0)=0．标准答案：因为所以知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)连续，且已知f(1)=1，求的值．标准答案：令u=2x—t，则t=2x一u，dt=一du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故由已知得两边对x求导，得即令x=1，得故知识点解析：暂无解析25、设在区间[e，e2]上，数p，q满足条件px+q≥lnx，求使得积分取得最小值时p，q的值．标准答案：方法一设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t，lnt)，则有于是I(p,q)=I(p)=(px-lnp-1-lnx)dx=p(e4-e2)-(lnp+1)(e2-e)-e2.令得唯一驻点所以为极小值点，即最小值点．此时方法二设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t，lnt)，则有于是令得唯一驻点所以为极小值点，即最小值点．此时知识点解析：要使最小，直线y=px+q应与曲线y=lnx相切，从而可得到p，q的关系，消去一个参数．通过积分求出I(p)后再用微分方法求I(p)的极值点P0，然后再求出q的值．或将p，q都表示成另一个参数t的函数形式，求出I(t)的极值点后，再求出p，q的值．26、设xOy平面上有正方形区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形区域D位于直线l左下方部分的面积，试求标准答案：由题设知所以当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，当x＞2时，因此知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，+∞)上连续，0＜a＜b，且收敛，其中常数A＞0．试证明：标准答案：因为所以知识点解析：积分对于A＞0收敛，由于对于B＞0，积分总是存在的，所以对任意B＞0，积分也收敛．按定义，便可计算．28、求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成图形的面积最小．标准答案：因为所以处的切线l方程为即所围面积令得t=1．又S"(1)＞0，故t=1时，S取最小值，此时l的方程为知识点解析：暂无解析29、如图1．3—1所示，设曲线方程为梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0，证明：标准答案：由题意可得故又所以知识点解析：暂无解析30、设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．标准答案：由题设，当x≠0时，据此，并由f(x)在x=0处的连续性，得又由已知条件即C=4一以．因此，旋转体的体积为令得a=一5．又故当a=一5时，旋转体体积最小．知识点解析：暂无解析31、计算标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设一元函数f(x)有下列四条性质：①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]存在原函数；④f(x)在[a，b]可导。若用“P=>Q”表示可由性质P推出性质Q，则有()A、①=>②=>③。B、①=>③=>④。C、④=>①=>②。D、④=>③=>①。标准答案：C知识点解析：这是讨论函数f(x)在区间[a，b]上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由f(x)在[a，b]可导，则f(x)在[a，b]连续，那么f(x)在[a，b]可积且存在原函数。故选C。2、设则I，J，K的大小关系为()A、I＜J＜K。B、I＜K＜J。C、J＜I＜K。D、K＜J＜I。标准答案：B知识点解析：当时，因为0＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此同时，又因为因为所以综上可知，I，J，K，的大小关系是I＜K＜J。故选B。3、设g(x)=∫0xf(u)du，其中则g(x)在区间(0，2)内()A、无界。B、递减。C、不连续。D、连续。标准答案：D知识点解析：因为f(x)在区间[0，2]上只有一个第一类间断点(x=1为f(x)的跳跃间断点)，所以f(x)在该区间上可积，因而g(x)=∫0xf(u)du在该区间内必连续。故选D。4、如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：结合定积分的几何意义，可知F(一2)=∫0—2=f(x)dx=一∫0—2f(x)dx=∫02f(x)dx=所以故选C。5、曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的平面图形的面积可表示为()A、一∫02x(x一1)(2一x)dx。B、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12(x一1)(2一x)dx。C、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2—x)dx。D、∫02x(x一1)(2一x)dx。标准答案：C知识点解析：由于所求平面图形在x轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查B、C选项中的每一部分是否均为正即可，显然C正确。事实上，有S=∫02｜y｜dx=∫02｜x(x一1)(2一x)｜dx=∫01｜(x一1)(2一x)｜dx+∫12｜x(x一1)(2一x)｜dx=一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。故选C。6、曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，有故选A。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、=______。标准答案：知识点解析：设计算可得于是8、=______。标准答案：cos2x一2cosx+3ln(cosx+2)+C知识点解析：令t=cosx，则9、=______。标准答案：x一ln(1+e2x)+C知识点解析：10、=______。标准答案：一4π知识点解析：令，原式为=2∫0πt2costdt=2(t2sint｜0π一∫0πsintdt)=一4∫0πtsintdt=4(tcost｜0π一∫0πtcostdt)=一4π。11、设则=______。标准答案：知识点解析：已知函数可化为令，得。所以12、设则=______。标准答案：知识点解析：令x一1=t，则有13、=______。标准答案：ln2知识点解析：14、设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ，则L所围平面图形的面积是______。标准答案：知识点解析：直接利用封闭曲线图形的面积公式可得15、当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为______。标准答案：知识点解析：利用极坐标的弧长公式16、设有摆线x=a(t—sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=______。标准答案：知识点解析：根据旋转面面积公式可得三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)17、求标准答案：令则故又因为所以知识点解析：暂无解析18、证明I=sinx2dx＞0。标准答案：令x2=t，则对于I2，令t=s+π，则于是I=I1+I2=上述积分中被积函数注意到，若补充定义f(0)=0，则f(t)在[0，π]上连续，且f(t)＞0。根据定积分的性质可得I＞0。知识点解析：暂无解析设19、证明f(x)是以π为周期的周期函数；标准答案：由题设条件可得设t=u+π，则有因此f(x)是以π为周期的周期函数。知识点解析：暂无解析20、求f(x)的值域。标准答案：因为｜sinx｜周期为π，故只需在[0，π]上讨论值域。因为f’(x)=｜sin(x+)｜—｜sinx｜=｜cosx｜—｜sinx｜，令f’(x)=0，得x1=，x2=，且又有因此可知f(x)的最小值是，最大值是，故f(x)的值域是。知识点解析：暂无解析21、设f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足∫0f(x)f(—1)(t)dt=其中f—1是f的反函数，求f(x)。标准答案：在∫0f(x)f—1(t)dt=的两边同时对x求导得也就是，即两边再分别积分得f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。(*)将x=0代入题中的已知方程可得∫0(0)f—1(t)d=由于f(x)是区间上单调、可导的函数，则f—1(x)的值域为，且为单调非负的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。知识点解析：暂无解析22、设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3，f(1)=1，求∫12f(x)dx。标准答案：令2x一t=u，则原等式变为∫x2x(2x一u)f(u)du=arctanx3，即2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=arctan(x3)，两边同时对x求导，可得2∫x2xf(u)du—xf(x)=令x=1，则上面的等式可化为2∫12f(u)du一f(1)=，由已知条件f(1)=1可知∫12f(x)dx=。知识点解析：暂无解析23、求标准答案：令arcsinx=t，有x=sint，t∈，则因此可得原式=。知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[一π，π]上连续，且有f(x)=+∫—ππf(x)sinxdx，求f(x)。标准答案：由于∫—ππf(x)sinxdx存在，且记为A，于是可得，则有从而有对等式右边积分作积分变量变换：x=π—t。当x=0时，t=π；当x=π时，t=0。于是则有从而知识点解析：暂无解析25、求其中标准答案：使用分部积分法和换元积分法。其中由题意，f(1)=0，因此上式知识点解析：暂无解析26、设f(x)=∫x—12e—y2，求I=∫13f(x)dx。标准答案：f’(x)=一e—(x—1)2，由分部积分公式可得I=x·f(x)｜13—∫13x·f’(x)dx=3f(3)一f(1)+∫13xe—(x—1)2dx=∫13xe—(x—1)2dx一∫02e—y2dy(在第一个积分式中令x一1=y)=∫02(y+1)e—y2dy—∫02e—y2dy=∫02ye—y2dy知识点解析：暂无解析27、设f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx。标准答案：由题意∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x一1)=(x一1)f(x)｜01—∫01(x一1)f’(x)dx=f(0)一∫01(x一1)f’(x)dx=一∫01(x一1)arcsin(x一1)2dx=一∫01arcsin(x一1)2d(x—1)2，令(x一1)2=t，则上式可化为知识点解析：暂无解析28、已知f(2)=f’(2)=0及∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx。标准答案：原式知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设a＝，β＝，则当χ→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为≠1，所以两无穷小同阶但非等价，选C．2、设g(χ)＝∫0χf(u)du，其中f(χ)＝，则g(χ)在(0，2)内()·A、单调减少B、无界C、连续D、有第一类间断点标准答案：C知识点解析：因为f(χ)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(χ)在(0，2)内连续，选C．3、设f(χ)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()．A、∫aχf(t)dtB、∫－χaf(t)dtC、∫－χ0f(t)dt－∫χ0f(t)dtD、∫－χχtf(t)dt标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)4、＝_______．标准答案：知识点解析：5、＝_______．标准答案：知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、∫max{χ＋2，χ2}dχ＝_______．标准答案：知识点解析：max{χ＋2，χ2}＝，当χ≤－1时，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝C1；当－1＜χ＜2时，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋2χ＋C2；当χ≥2时，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋C3．取C2＝C9、＝_______．标准答案：知识点解析：10、＝_______．标准答案：知识点解析：11、＝_______．标准答案：ln3知识点解析：12、＝_______．标准答案：知识点解析：13、＝_______．标准答案：4－π知识点解析：14、设f(χ)满足等式χf′(χ)－f(χ)＝，且f(1)＝4，则∫01f(χ)dχ＝_______．标准答案：2－知识点解析：15、设函数y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且y(1)＝1，则∫01y(χ)dχ＝_______．标准答案：知识点解析：16、设，则a＝_______．标准答案：ln2知识点解析：因为故a＝ln2．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)17、设f(χ)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f′(0)＝2．(1)证明：对0＜χ＜a，存在0＜0＜1，使得∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]，(2)求标准答案：(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt，显然F(χ)在[0，χ]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜0＜1，使得F(χ)＝F(χ)－F(0)＝F′(θχ)χ，即∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]．(2)令＝A，由知识点解析：暂无解析18、设an＝tannχdχ(n≥2)，证明：标准答案：an＋an+2＝同理an＋an-2＝因为tannχ，tann+2χ在[0，]上连续，tannχ≥tann+2χ，且tannχ，tann+2χ不恒等，所以，即an＞an+2，于是＝an＋an+2＜2an，即an＞，同理可证an＜知识点解析：暂无解析19、设f(χ)有界，且f′(χ)连续，对任意的χ∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1．证明：｜f(χ)｜≤1．标准答案：令φ(χ)＝eχf(χ)，则φ′(χ)＝eχ[f(χ)＋f′(χ)]，由｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1得｜φ′(χ)｜≤eχ，又由f(χ)有界得φ(－∞)＝0，则φ(χ)＝φ(χ)－φ(－∞)＝∫－∞χφ′(χ)dχ，两边取绝对值得eχ｜f(χ)｜≤∫－∞χ｜φ′(χ)｜dχ≤∫－∞χeχdχ＝eχ，所以｜f(χ)｜≤1．知识点解析：暂无解析20、设f(χ)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)－f(y)｜≤｜χ－y｜．证明：｜∫abf(χ)dχ－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．标准答案：因为(b－a)f(a)＝∫abf(a)dχ，所以知识点解析：暂无解析21、设f(χ)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(χ)≤M，对任意的χ∈[0，1]，证明：标准答案：因为0≤0于是f(χ)＋≤M＋m，两边积分得知识点解析：暂无解析22、设f(χ)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abχf(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ．标准答案：令φ(χ)＝因为f(χ)在[a，b]上单调增加，所以∫abφ(χ)dχ≥0，知识点解析：暂无解析23、设f(χ)在(0，＋∞)内连续且单调减少．证明：∫1n+1f(χ)dχ≤f(k)≤f(1)＋∫1nf(χ)dχ．标准答案：∫1n+1f(χ)dχ＝∫12f(χ)dχ＋∫23f(χ)dχ＋…＋∫nn+1f(χ)dχ，当χ∈[1，2]时，f(χ)≤f(1)，两边积分得∫12f(χ)dχ≤f(1)，同理∫f(χ)dχ≤f(2)，…，∫f(χ)dχ≤f(n)，相加得；当χ∈[1，2]时，f(2)≤f(χ)，两边积分得f(2)≤∫12f(χ)dχ，同理f(3)≤∫23f(χ)dχ，…，f(n)≤∫n-1nf(χ)dχ，相加得f(2)＋…＋f(n)≤∫1nf(χ)dχ，于是f(k)≤f(1)＋∫1nf(χ)dχ．知识点解析：暂无解析24、设f(χ)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(χ)dχ≥k∫01f(χ)dχ．标准答案：∫0kf(χ)dχ－k∫01f(χ)dχ＝∫0kf(χ)dχ－k[∫0kf(χ)dχ＋∫k1f(χ)dχ]＝(1－k)∫0kf(χ)dχ－k∫k1f(χ)dχ＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(χ)单调减少，所以∫0kf(χ)dχ－k∫01f(χ)dχ＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0，故∫0kf(χ)dχ≥k∫01f(χ)dχ．知识点解析：暂无解析25、设f′(χ)在[0，1]上连续且｜f′(χ)｜≤M．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(χ)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)＝0，令｜f′(χ)｜＝M证明：｜∫0af(χ)｜dχ≤M．标准答案：由微分中值定理得f(χ)＝f(0)＝f′(ξ)χ，其中ξ介于0与χ之间，因为f(0)＝0，所以｜f(χ)｜＝｜f′(ξ)χ｜≤Mχ，χ∈[0，a]，从而｜∫0af(χ)dχ｜≤∫0a｜f(χ)｜dχ≤∫0aMχdχ＝M．知识点解析：暂无解析27、设f′(χ)在[0，1]上连续，且f(1)＝f(0)＝1．证明：∫01f′2(χ)dχ≥1．标准答案：由1＝f(1)－f(0)＝∫01f′(χ)dχ，得12＝1＝(∫01f′(χ)dχ)2≤∫0112dχ∫01f′2(χ)dχ＝∫01f′2(χ)dχ，即∫01f′2(χ)dχ≥1．知识点解析：暂无解析28、设f(χ)在[a，b]上连续可导，且f(a)＝0．证明：∫abf2(χ)dχ≤∫ab[f′(χ)]2dχ．标准答案：由f(a)＝0，得f(χ)－f(a)＝f(χ)＝∫aχf′(t)dt，由柯西不等式得知识点解析：暂无解析29、设f(χ)在[a，a]上连续可导，且f(a)＝f(b)＝0．证明：｜f(χ)｜≤∫ab｜f′(χ)｜dχ(a＜χ＜b)．标准答案：因为且f(a)＝f(b)＝0，所以两式相加得｜f(χ)｜≤｜f′(χ)｜dχ．知识点解析：暂无解析30、设f(χ)在[a，b]上连续可导，证明：｜f(χ)｜≤＋∫ab｜f′(χ)｜dχ．标准答案：因为f(χ)在[a，b]上连续，所以｜f(χ)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜＝｜f(χ)｜．根据积分中值定理，f(χ)dχ＝f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)＝f(ξ)＋∫ξcf′(χ)dχ，取绝对值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜＋｜∫ξcf′(χ)dχ｜≤｜f(ξ)｜＋∫ab｜f′(χ)｜dχ，即知识点解析：暂无解析31、设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且f〞(χ)＜0．证明：∫01f(χ2)dχ≤f()．标准答案：由泰勒公式，得f(t)＝，其中ξ介于与t之间，从而知识点解析：暂无解析32、设f(χ)在区间[a，b]上二阶可导且f〞(χ)≥0．证明：(b－a)f()≤∫abf(χ)dχ≤[f(a)＋f(b)]．标准答案：由泰勒公式得f(χ)＝其中ξ介于χ与之间，因为f〞(χ)≥0，所以有两边积分得∫abf(χ)dχ≥(b－a)令φ(χ)＝[f(χ)＋f(a)]－∫aχf(t)dt，且φ(a)＝0，其中a≤η≤χ，因为f〞(χ)≥0，所以f′(χ)单调不减，于是φ′(χ)≥0(a≤χ≤b)，知识点解析：暂无解析33、设f(χ)∈C[0，1]，f(χ)>0．证明积分不等式：ln∫01f(χ)dχ≥∫01lnf(χ)dχ．标准答案：令g(t)＝lnt(t＞0)，g〞(t)＝－＜0，再令χ0＝∫01f(χ)dχ，则有g(t)≤g(χ0)＋g′(χ0)(t－χ0)g[f(χ0)]≤g′(χ0)＋g′(χ0)[f(χ)－χ0]，两边积分，得∫01lnf(χ)dχ≤ln∫01f(χ)dχ．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、记P＝∫-11ln｜χ＋｜dχ，Q＝∫-11(χ3cosχ－e－χ)dχ，R＝，则()．A、P＜Q＜RB、Q＜R＜PC、Q＜P＜RD、R＜P＜Q标准答案：C知识点解析：暂无解析2、(1)下列广义积分收敛的是()．A、∫1＋∞edχB、C、D、∫－∞-1e－χdχ标准答案：A知识点解析：暂无解析3、下列广义积分发散的是()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、设封闭曲线L的极坐标方程为r＝cos3θ()，则L所围成的平面图形的面积为_______．标准答案：知识点解析：曲线所围成的平面图形的面积为5、区域D：(χ2＋y2)2≤χ2－y2所围成的面积为_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)6、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析7、证明：∫01χm(1－χ)ndχ＝∫01χn(1－χ)mdχ，并用此式计算∫01(1－χ)50dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(χ)＝，求∫02πf(χ－π)dχ．标准答案：∫02πf(χ－π)dχ＝∫02πf(χ－π)d(χ－π)＝∫-ππf(χ)dχ＝∫-π0f(χ)dχ＋∫0πf(χ)dχ＝∫-π0(－1)dχ＋∫0πχsinχdχ＝－π＋∫sinχdχ＝0．知识点解析：暂无解析9、设f(χ)＝，求∫13f(χ－2)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f′(χ)＝arcsin(χ－1)2且f(0)＝0，求I＝∫01f(χ)dχ．标准答案：由f(0)＝0得f(χ)＝∫0χarcsin(t－1)2dt，则∫01f(χ)dχ＝χf(χ)｜－∫χarcsin(χ－1)2dχ＝f(1)－∫01[(χ－1)＋1]arcsin(χ－1