考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷1（共135题）

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷1（共9套）（共135题）考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第1套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、计算二重积分，其中D是由x轴，y轴与曲线所围成的区域，a＞0，b＞0。标准答案：积分区域D如图1—4—17的阴影部分所示。知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)=lnx+，求f(x)的最小值。标准答案：由题意f’(x)=，令f’(x)=0，得唯一驻点x=1。当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)单调递增。所以函数在x=1处取得最小值f(1)=1。知识点解析：暂无解析3、已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．标准答案：由AB=0知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3．(1)若k≠9，则，r(B)=2，于是r(A)≤1，显然r(A)≥1，故r(A)=1．此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2，矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为:，k1，k2为任意常数．(2)若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2．①若r(A)=2，则Ax=0的通解为：，k1为任意常数．②若r(A)=1，则Ax=0的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为k1，k2为任意常数．知识点解析：暂无解析4、设变换，求常数a标准答案：将u，v作为中间变量，则函数关系为z=f(u，v)，则有将上述式子代入方程=0．根据题意得解得a=3．知识点解析：暂无解析5、设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．标准答案：将u(x，2x)=x两边对x求导，由复合函数求导法及u’x(x，2x)=x2得u’x(x，2x)+2u’y(x，2x)=1，u’y(x，2x)=(1－x2)．现将u’x(x，2x)=x2，u’y(x，2x)=(1－x2)分别对x求导得u"xx(x，2x)+2u"xy(x，2x)=2x，①u"yx(x，2x)+2u"yy(x，2x)=－x．②①式×2－②式，利用条件u"xx(x，2x)－u"yy(x，2x)=0及u"xy(x，2x)=u"yx(x，2x)得3u"xy(x，2x)=5x，u"xy(x，2x)=．代入①式得u"xx(x，2x)=u"yy(x，2x)=知识点解析：暂无解析6、已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解。试证明线性方程组有解。标准答案：由已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b1x2+…+bnxn=0(2)的解，可知方程组(1)与方程组由r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT)，所以r(AT)=r(BT)，即方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，故线性方程组有解。知识点解析：暂无解析7、设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e-f(y)≥1．标准答案：知识点解析：暂无解析8、求微分方程yy"=y’2满足初始条件y(0)=y’(0)=1的特解．标准答案：令y’=P，则y"=，代入原方程得当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是，解得=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex．知识点解析：暂无解析9、设矩阵A与B相似，且求可逆矩阵P，使P一1AP=B。标准答案：由A～B有于是得a=5，b=6。且由A一B，知A与B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6。当λ=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0得到基础解系为α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，1)T，即属于λ=2的两个线性无关的特征向量。当A=6时，解齐次线性方程组(6E一A)x=0，得到基础解系是(1，一2，3)T，即属于λ=6的特征向量。令P=(α1,α2,α3)=则有P一1AP=B。知识点解析：暂无解析10、证明：n＞3的非零实方阵A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则A是正交矩阵．标准答案：由题设，aij=Aij，则A*=AT，即AA*=AAT=｜A｜E．两边取行列式，得｜A｜2=｜A｜n，得｜A｜2(｜A｜n一2一1)=0．因A是非零阵，设aij≠0，则｜A｜按第i行展开有｜A｜=＞0，故｜A｜≠0，从而由｜A｜2(｜A｜一1)=0，得｜A｜=1，故AA*=AAT=｜A｜E=E，A是正交矩阵．知识点解析：暂无解析11、设A，B是n阶方阵，B及E+AB可逆，证明：E+BA也可逆，并求(E+BA)-1．标准答案：(E+BA)=B(B-1+A)=B(E+AB)B-1，因B，E+AB可逆，故E+BA可逆，且(E+BA)-1=[B(E+AB)B-1]-1=B(E+AB)-1B-1．知识点解析：暂无解析设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1．12、确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；标准答案：直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0，0)，(a，a2)．当0＜a＜1时，S=S1+S2=令S’=a2-时，S1+S2取到最小值，此时最小值为当a≤0时，S=因为S’=＜0，所以S(a)单调减少，故a=0时S1+S2取最小值，而S(0)S1+S2时最小知识点解析：暂无解析13、求该最小值所对应的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：旋转体的体积为知识点解析：暂无解析14、解方程(3χ2＋2)y〞＝6χy′，已知其解与eχ－1(χ→0)为等价无穷小．标准答案：由(3χ2＋2)y〞＝6χy′得＝0，或＝0，从而y′＝C1(3χ2＋2)，解得y＝C1χ3＋2C1χ＋C2，因为C1χ3＋2C1χ＋C2～eχ－1～χ，所以C1＝，C2＝0，故所求的解为y＝χ3＋2χ．知识点解析：暂无解析15、设z=yf(x2-y2)，求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第2套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设A=，求An．标准答案：A的秩为2，不符合例2．5注的条件，不能用例2．5的方法直接求A的方幂．我们先求A2．A2=2A即AA=2A，A在乘A上的作用相当于2乘A，于是An=An－1A=2n－1A．知识点解析：暂无解析2、设f(x)二阶连续可导，且f(0)=f’(0)=0，f"(0)≠0，设u(x)为曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求标准答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))的切线为Y-f(x)=f’(x)(X-x)，令Y=0，则u(x)=X=x-知识点解析：暂无解析3、已知，AP=PB，求A与A5．标准答案：由AP=PB得A=PBP-1，知识点解析：暂无解析4、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值．标准答案：先求在D内的驻点，即再求f(x，y)在D边界上的最值(1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0．(2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0．(3)在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此fx’=6x2—24x=0．得x=0(舍)，x=4．所以y=6一x=2．于是得驻点相应的函数值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4,2)=一64．综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．知识点解析：暂无解析5、设f(χ)在[0，1]上连续，f(0)＝0，∫01f(χ)dχ＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ＝f(χ)dχ＝ξf(ξ)．标准答案：令φ(χ)＝因为f(χ)在[0，1]上连续，所以φ(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)＝0，φ(1)＝∫01f(χ)dχ＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(φ)＝，所以∫0ξf(χ)dχ＝ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析6、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析7、设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj.(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?标准答案：(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式Aij=Aij，，j，并且A-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是Aij／｜A｜，于是f(x1，2，…，xn)=XTA-1X．(2)A-1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A-1和A的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A-1和A合同，f(x1，x2，…，xn)和XTAX有相同的规范形．知识点解析：暂无解析8、设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明ATA+BTB正定．标准答案：用正定的定义证明．显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA+BTB也是n阶实对称矩阵由于r(A+B)=n，n元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解.于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A+n)a≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA+BTB)α=αTATAα+αTBTBα=‖Aα‖2+‖Bα‖2＞00．根据定义，ATA+BTB正定．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：9、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；标准答案：令F(x)=，则F(a)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(f)(b-a)=0，即f(c)=0．知识点解析：暂无解析10、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；标准答案：令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=(n)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知识点解析：暂无解析11、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；标准答案：令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f’’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析12、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．标准答案：令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’(η1)-f(η1)=0，f’(η2)-f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．知识点解析：暂无解析13、求下列幂级数的收敛域：标准答案：当x=-1时，级数为且un≥un+1，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，因此原级数的收敛域为[-1，1)．(3)由比值判别法，有(4)由比值判别法，有故当x2＜4，即|x|＜2时，原级数收敛．综上，原级数收敛域为(一2，2)．知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、设某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000(即P＝0时，Q=1000)，已知需求量的变化率(边际需求)为求需求量Q与价格P的函数关系．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第3套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图1一3—4)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg/m3。)标准答案：如图1—3—11，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。记S1为下半椭圆面积，则，记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则S2=记y=bsint，则dy=bcostdt，则因此可知油的质量为知识点解析：暂无解析2、已知线性方程组的一个基础解系为(b11,b12,…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2…，bn,2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．标准答案：设方程组(I)与(Ⅱ)的系数矩阵分别为A和B，则由(I)的基础解系可知ABT=O，于是BAT=(ABT)T=O，所以A的n个行向量的转置也是方程组(Ⅱ)的n个解向量．由于(b11,b12，…，b1,2n)T，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bb,2n)T为方程组(I)的基础解系，所以该向量组线性无关，故r(B)=n，从而方程组(Ⅱ)的基础解系解向量的个数为2n—n=n．又由于方程组(I)的未知数的个数为2n，基础解系解向量的个数为n，所以方程组(I)的系数矩阵的秩r(A)=n，于是A的n个行向量的转置是线性无关的，从而构成方程组(Ⅱ)的一个基础解系，于是方程组(Ⅱ)的通解为y=k1(a11，a12，…，a1,2n)T+k2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+kn(an1，an2，…，an,2n)T，其中k1，k2，…，kn为任意常数．知识点解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构以及方程组系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系．3、设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证：∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．标准答案：连续利用分部积分有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x－b)=f(a)(b－a)－∫abf’(x)(x－b)d(x－a)=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)d[f’(x)(x－b)=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)df(x)+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx=f(a)(b－a)+f(b)(b－a)－∫abf(x)dx+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．移项后得∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．知识点解析：暂无解析4、设f(x，y)=其中D={(x，y)|x2+y2≥2x)．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设一∞＜x＜+∞，y＞0．证明xy≤ex-1+ylny，并指出何时等号成立．标准答案：由于y＞0，令f(x)=xy—ex-1-ylny，一∞＜x＜+∞，有f(x)=y一ex-1．令f’(x)=0，得唯一驻点x0=1+lny．又f"(x)=一ex-1＜0，所以f(x0)=y(1+lny)-y--ylny=0为f(x)的最大值，所以xy—ex-1一ylny≤0，当且仅当x=1+lny时等号成立．证毕．知识点解析：暂无解析6、设A为3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式，求行列式｜(3A)－1＝2A*｜的值．标准答案：；知识点解析：暂无解析7、求曲线y=的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成图形的面积最小．标准答案：知识点解析：暂无解析8、铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm．如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少?标准答案：由题设知阻力f=kx(其中k为比例系数)，设第二次锤击时击入了Lcm，则第一次锤击时所作的功W1=∫01kxdx=(2L+L2)．因W1=W2，故有L2+2L=1．解方程得L=一1±一1(cm)知识点解析：暂无解析9、用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．标准答案：(1)(2)由(1)得|P|.|Q|=|PQ|=|A|2(b一αTA-1α)|Q|=|A|(b一αTA-1α)．Q可逆|Q|≠0αTA-1α≠b．知识点解析：暂无解析11、已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．标准答案：设有数k1，k2，…，ks，使得k1β1+k2β2+…+ksβs=0成立，即k1(α1+tα2)+k2(α2+tα3)+…+ks(αs+tαs+1)=k1α1+(k1t+k2)α2+(k2t+k3)α3+…+(ks一1+ks)αs+kstαs+1=0．因α1，α2，…，αs+1线性无关，故得唯一解k1=k2=…=ks=0，故β1，β2，…，βs线性无关．知识点解析：暂无解析设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为，求：12、f(x)；标准答案：由题设知，[a2f(a)-f(1)]，两边对a求导，得3f2(a)=2af(a)+a2f’(a)知识点解析：暂无解析13、f(x)的极值．标准答案：因为f’(x)=知识点解析：暂无解析14、设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-Ax)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)．标准答案：由全微分方程的充要条件得到x2+2xy-f(x)=f"(x)+2xy，即f”(x)+f(x)=x2，解之得通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2．由f(0)=0，f’(0)=1，解得C1=2，C2=1，因此f(x)=2cosx+sinx+x2-2．知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求标准答案：知识点解析：暂无解析2、标准答案：因为当x→0时，知识点解析：暂无解析3、设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有的矩阵C．标准答案：设则AC—CA=B成立的充分必要条件为对方程组的增广矩阵施以初等行变换得当a≠一1或b≠0时，方程组(*)无解．当a=一1或b=0时，方程组(*)有解，通解为综上，当且仅当a=一1或b=0时，存在满足条件的矩阵C，且知识点解析：本题考查解矩阵方程．要求考生会将矩阵方程转化为非齐次线性方程组求解．4、求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β标准答案：已知不等式等价于即令g(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且g’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，故g’(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)-x2＜0，从而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为知识点解析：暂无解析5、已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)=求该微分方程的解y=y(x)满足y(0)=0．标准答案：当0≤x≤1时，y’+y=2的通解为y=C1e-x+2；当x＞1时，y’+y=0的通解为y=C2e-x，由y(0)=0得C1=-2，再由C1e-1+2=C2e-1得C2=2e一2，故所求的特解为知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明：存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．标准答案：因f(x)在[a，b]上连续，故m≤f(x)≤Mm∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx，知识点解析：暂无解析7、设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．标准答案：先证存在性．令g(x)=f(x)一∫0xf(t)dt，则g(x)在[0，1]上连续，又g(0)=f(0)＞0，g(1)=f(1)一∫01f(t)dt=∫01[f(1)-f(t))]dt＜0．由零点定理知，存在ξ∈(0，1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=∫0ξf(t)dt．再证唯一性，用反证法．假设存在ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)满足f(ξ)=∫0ξf(t)dt．不妨设ξ1＜ξ2．显然g(ξ1)=g(ξ2)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)使得g’(η)=0，即f’(η)-f(η)=0．这与条件f’(x)≠f(x)矛盾．即假设不成立．因此满足f(ξ)=∫0ξf(t)dt的ξ是唯一的．知识点解析：暂无解析8、设函数z=f(u)，方程u=ψ(u)+∫yxP(t)dt确定u是x，y的函数，其中f(u)，ψ(u)可微，P(t),ψ’(u)连续，且ψ(u)≠1．求标准答案：在方程u=ψ(u)+∫yxP(t)dt两边分别对x，y求偏导数，得知识点解析：暂无解析9、已知标准答案：记α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，γ=(c1，c2，c3)T，所求行列式相应的矩阵为：(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)．将它对(α，β，γ)做矩阵分解，得(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)=(α，β，γ)两边求行列式，得所求行列式的值：｜λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα｜=｜α，β，γ｜=3(λ3+μ3)．知识点解析：暂无解析10、已知y"+(x+e2y)y’3=0，若把x看成因变量，y看成自变量，则方程化为什么形式？并求此方程通解．标准答案：原方程化为xy"一x=e2y，通解为：x=C1ey+C2e一y+e2y知识点解析：暂无解析11、设矩阵的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。则A的特征值是2，4，4，而r(4E一A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=2代入λ2一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ2一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。知识点解析：暂无解析12、设f(χ)＝，且f(0)＝1，求f(χ)．标准答案：由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝≥＋1．知识点解析：暂无解析13、用配方法化下列二次型为标准型(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3．(2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．标准答案：(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3=[x12+2x1x2-2x1x3+(x2-x3)2]-(x2-x3)2+2x22+2x2x3=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3-x32=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3+4x32-5x32=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2-5x32.令原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12+y22-5y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换f(x1，x2，y3)=y12-y22+2y1y3．虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：．y12-y22+2y1y3=(y1+y3)2-y22-y32．令即则f(x1，x2，x3)=z12-z22-z32．变换公式为变换矩阵知识点解析：暂无解析设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，P=14、计算PQ；标准答案：PQ=知识点解析：暂无解析15、证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．标准答案：｜PQ｜=｜A｜2(b-αTA-1α)，PQ可逆的充分必要条件是｜PQ｜≠0，即αTA-1α≠b．知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第5套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、标准答案：根据迫敛定理，知识点解析：暂无解析2、设a＞1，f(t)=at一at在(一∞，+∞)内的驻点为t(a)。问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值。标准答案：令f’(t)=atlna—a=0，解得f(t)的驻点为t(a)=1—。对t(a)关于a求导，可得t’(a)=，令t’(a)＞0，解得a＞ee。则当a＞ee时，t(a)单调递增；当1＜a＜ee时，t(a)单调递减。所以当a=ee时，t(a)最小，且最小值为t(ee)=1一。知识点解析：暂无解析3、求微分方程y"+5y’+6y=2e一x的通解．标准答案：所给微分方程的特征方程为r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=一2，r2=一3．于是，对应齐次微分方程的通解为(x)=C1e一2x+C2e一3x．设所给非齐次方程的特解为y*=Ae一x．将y*代入原方程，可得A=1．由此得所给非齐次方程的特解y*=e一x．从而，所给微分方程的通解为y(x)=C1e一2x+C2e一3x+e一x，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析4、设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．标准答案：设有x1，x2，…，xn，使x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0，即(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以有，该方程组系数行列式Dn=1+(-1)n+1，n为奇数α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．知识点解析：暂无解析5、为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／S的速度从抓斗中漏掉，现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?标准答案：设拉力对空斗所做的功为W1，则W1=400×30=12000J．设拉力对绳所做的功为W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30-x)dx，则W2=∫030dW2=22500J．设拉力对污泥做功为W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000-20t)×3dt，则W3=∫010dW3=57000J，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91500J．知识点解析：暂无解析6、位于上半平面的上凹曲线y＝y(χ)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(χ，y)处的曲率与及1＋y′2之积成反比，比例系数为k＝，求y＝y(χ)．标准答案：因为p(2)＝0，所以C1＝0，故y′＝P＝±，进一步解得，因为y(0)＝2，所以C2＝0，故曲线方程为y＝＋2．知识点解析：暂无解析7、讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．标准答案：D＝＝－(a＋1)(b＋2)．(1)当a≠－1，b≠－2时，因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a＝－1，b≠－2时，当b≠－1时，方程组无解当b＝－1时，方程组的通解为X＝(k为任意常数)．(3)当a≠一1，b＝－2时，方程组的通解为X＝(k为任意常数)．当a≠1时，显然r(A)＝2≠r()＝3，方程组无解．知识点解析：暂无解析8、设且A～B．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP＝B．标准答案：(1)因为A～B，所以tr(A)＝tr(B)，即2＋a＋0＝1＋(－1)＋2，于是a＝0．(2)由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)(λ－2)＝0得A，B的特征值为λ1＝－1，λ2＝－1，λ3＝2．当λ＝－1时，由(－E－A)X＝0即(E＋A)X＝0得ξ1＝(0，－1，1)T；当λ＝1时，由(E－A)X＝0得ξ2＝(0，1，1)T；当λ＝2时，(2E－A)X＝0得毒ξ3＝(1，0，0)T，取P1＝，则P1-1AP1＝当λ＝－1时，由(－E－B)X＝0即(E＋B)X＝0得η1＝(0，1，2)T；当λ＝1时，由(E－B)X＝0得η2(1，0，0)T；当λ＝2时，由(2E－B)X＝0得η3＝(0，0，1)T，取P2＝，则P1-1BP2＝由P1-1AP1＝P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)＝B，取P＝P1P2-1＝，则P-1AP＝B．知识点解析：暂无解析设线性方程组9、求线性方程组(Ⅰ)的通解；标准答案：令A=由A=方程组(Ⅰ)的通解为X=知识点解析：暂无解析10、m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有公共非零解；标准答案：当m=-2或n=3时，两个方程组有公共的非零解．知识点解析：暂无解析11、m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．标准答案：当m=-2，n=3时，两个方程组同解．知识点解析：暂无解析12、设a是整数，若矩阵A=的伴随矩阵A*的特征值是4，-14，-14．求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．标准答案：｜A*｜=4×(-14)×(-14)=282，由｜A*｜=｜A｜2得｜A｜=28或｜A｜=-28．=-6a-40．若-6a-40=28，则a=，不合题意，舍去；若-6a-40=-28，则a=-2，从而A=A的特征值为λ1=-7代入(λE-A)X=0，由-7E-A=得λ1=-7对应的线性无关的特征向量为α1=知识点解析：暂无解析13、设(1)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分；(2)求出u(x，y)；(3)计算标准答案：(1)故当x2+y2≠0时,为某个二元函数的全微分．(2)不定积分法，设则φ’(y)=0，即φ(y)=C．(3)=u(0，4)一u(一3，0)=4-3=1．知识点解析：暂无解析14、判断下列函数的奇偶性(其中a为常数)：标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：按第一列展开，得：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第6套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设AP＝PB，其中求A及A5．标准答案：A5＝(PBP-1)(PBP-1)…(PBP-1)＝PB5P-1＝PBP-1＝A知识点解析：暂无解析2、证明：当x∈＞cosx成立．标准答案：但是，2xcosx一2sinx+x3的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcosx一2sinx+x3，则g(0)=0，且g’(x)=x2+2x(x—sinx)＞0，所以，当x∈(0，)时，g(x)=2xcosx一2sinx+x3＞0．知识点解析：暂无解析3、设常数α≤α＜β≤b，曲线Γ：y＝(χ∈[α，β])的孤长为l．(Ⅰ)求证：l＝；(Ⅱ)求定积分J＝．标准答案：(Ⅰ)Г：y2＝(χ－a)(b－χ)＝－χ＝2(a＋b)χ－ab，两边对χ求导得(Ⅱ)曲线Г：y＝是以(，0)为圆心，半径为．由题(Ⅰ)：α＝a，β＝，则对应的Г长l＝圆周长的倍知识点解析：暂无解析4、计算二次积分标准答案：知识点解析：暂无解析5、设f(χ)在χ＝0处n(n≥2)阶可导且＝e4，求f(0)，f′(0)，…，f(n)(0)．标准答案：1)先转化已知条件．由＝e4知再用当χ→0时的等价无穷小因子替换ln[1＋f(χ)]－f(χ)，可得＝4．2)用o(1)表示当χ→0时的无穷小量，由当χ→0时的极限与无穷小的关系＝4＋o(1)，并利用χn(1)＝o(χn)可得f(χ)＝4χn＋o(χn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)＝0，f′(0)＝0，f′(0)＝0，…f(n-1)＝0，＝4，故f(n)(0)＝4n!知识点解析：暂无解析6、设z=。标准答案：由已知分别带入可得=0。知识点解析：暂无解析7、已知函数f(μ，ν)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2是f(μ，ν)的极值，已知z=f[(x+y)，f(x，y)]。求。标准答案：因为=f1’[(x+y)，f(x，y)]+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)，所以=f11’’[(x+y)，f(x，y)]+f12’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)+f21’’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)+f22’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)．f1’(x，y)+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f12’’(x，y)，又因为f(1，1)=2是f(μ，ν)的极值，故f1’(1，1)=0，f2’(1，1)=0。因此=f11’’(2，2)+f12’’(2，2)．f2’(1，1)+f21’’(2，2)．f1’(1，1)+f22’’(2，2)．f2’(1，1)．f1’(1，1)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)=f11’’(2，2)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)。知识点解析：暂无解析8、当a，b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有(Ⅰ)当a≠0，且b≠3时，方程组有唯一解．(Ⅱ)当a＝0时，b方程组均无解．(Ⅲ)当a≠0，b＝3时，方程组有无穷多解(，1，0)T＋k(0，－3，2)T．知识点解析：暂无解析9、设f(χ)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f′(0)＝2．(1)证明：对0＜χ＜a，存在0＜0＜1，使得∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]，(2)求标准答案：(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt，显然F(χ)在[0，χ]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜0＜1，使得F(χ)＝F(χ)－F(0)＝F′(θχ)χ，即∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]．(2)令＝A，由知识点解析：暂无解析10、设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．标准答案：线性无关．证明如下：由题设条件有b1a11+b2ai2+…+bnam=βTα1=0(i=1，2，…，r)，设k1α1+…+krαr，+kr+1β=0，用βT左乘两端并利用βTαi=0及βTp=||β||2＞0，得kr+1=0，k1α1+…+krαr=0，又αr，…，αr线性无关，k1=…=kr=0．故α1，…，αr，β线性无关．知识点解析：暂无解析11、计算I＝χydχdy，其中D由y＝－χ，y＝及y＝围成．标准答案：将D分成两部分D1，D2，知识点解析：暂无解析12、设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得标准答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)积分得(1)当f(x，y)g(x，y)dσ=0，则对任意的(ξ，η)∈D，有(2)当(x，y)dσ＞0时，由由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得f(ξ，η)=即知识点解析：暂无解析设A=相似于对角阵．求：13、a及可逆阵P，使得P-1AP=A，其中A为对角阵标准答案：｜λE-A｜=0λ1=λ2=1，λ3=-1．因为A相似于对角阵，所以r(E-A)=(E-A)X=0基础解系为ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(-E-A)X=0基础解系为ξ3=(1，2，-1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP=diag(1，1，-1)．知识点解析：暂无解析14、A100．标准答案：P-1A100P=EA100=PP-1=E．知识点解析：暂无解析15、设A是三阶矩阵，其特征值是1，2，3，若A与B相似，求｜B*＋E｜．标准答案：因为A～B．所以B的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，B*的特征值为B*＋E的特征值为7，4，3，故｜B*＋E｜＝84．知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第7套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、证明=(n+1)an．标准答案：本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法．记此行列式为Dn，对第1行展开，得递推公式Dn=2aDn－1－a2Dn－2．用数列技巧计算．Dn=2aDn－1－a2Dn－2．改写为Dn－aDn－1=a(Dn－1－aDn－2)，记Hn=Dn－aDn－1(n≥2)，则n≥3时Hn=aHn－1，即{Hn}是公比为a的等比数列．而H2=D2－aD1=3a2－2a2=a2，得到Hn=an，于是得到一个新的递推公式Dn=aDn－1+an，两边除以an，得Dn／an=Dn－1／an－1+1．于是{Dn／an}是公差为1的等差数列．D1／a=2，则Dn／an=n+1，Dn=(n+1)an．知识点解析：暂无解析2、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点及分类．标准答案：χ＝0及χ＝1为f(χ)的间断点．则χ＝0为f(χ)的可去间断点；因为f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝0为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析3、设，求n，c的值．标准答案：由得知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[a，b]上连续，c，d∈(a，b)，t1＞0，t2＞0．证明：在[a，b]内必有点ξ，使得t1f(c)+t2f(d)=(t1+t2)f(ξ).标准答案：利用闭区间上连续函数的最大最小值定理和介值定理．知识点解析：暂无解析5、设f(x)在(-∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=∫0xf(x)dt，求证：(Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数；(Ⅱ)∫0xf(t)dt=∫0Tf(x)dx；(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(-∞，+∞))，n为自然数，则当nT≤x＜(n+1)T时，有n∫0Tf(x)dx≤∫0xf(t)dt＜∫0T(n+1)f(x)dx.标准答案：(Ⅰ)即确定常数k，使得φ(x)=F(x)-kx以T为周期．由于φ(x+T)=F(x+T)-k(x+T)=∫0xf(x)dt-kx+∫0x+Tf(t)dt-kT=φ(x)+∫0Tf(t)dt-kT，因此，取k=∫0Tf(t)dt，φ(x)=F(x)-kx,则φ(x)是以T为周期的周期函数．此时F(x)=[∫0Tf(t)dt]x+φ(x).(Ⅱ)不能用洛必达法则．因为不存在，也不为∞．但∫0x(t)dt可表示成∫0x(t)dt=∫0Tf(t)dt+φ(x)．φ(x)在(-∞，+∞)连续且以T为周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(-∞，+∞)也有界．因此(Ⅲ)因f(x)≥0，所以当nT≤x＜(n+1)T时，n∫0Tf(t)dt=∫0nTf(t)≤∫0xf(t)＜∫0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫0Tf(t)知识点解析：暂无解析6、设x∈(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)．标准答案：(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．当x∈(0，1)时，φ"(x)=[x一ln(1+x)]＞0。则φ’(x)单调递增．从而φ’(x)＞φ’(0)=0，则φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．知识点解析：暂无解析7、A=，正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．标准答案：Q－1AQ=QTAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)T也是A的特征向量．(1，2，1)T和(2，5+a，4+2a)T相关，得a=－1，并且(1，2，1)T的特征值为2．A的特征值为2，5，－4．下面来求它们的单位特征向量．α1=是属于2的单位特征向量．则(1，－1，1)T是属于5的特征向量，单位化得α2=(1，－1，1)T．则(1，0，－1)T是属于－4的特征向量，单位化得α3=(1，0，－1)T．则Q=(α1，α2，α3)．(不是唯一解，例如(α1，α3，α2)，(α1，－α2，－α3)，(α1，－α3，－α2)等也都适合要求．)知识点解析：暂无解析8、三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．标准答案：因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为f=y12+y22-2y32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2．由｜A｜=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值为μ1=μ2=-2，μ3=1，从而A*+2E的特征值为0，0，3，即α1为A*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量．令A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为α=，因为A为实对称矩阵，所以有α1Tα=0，即x1+x3=0故矩阵A的属于λ1=λ2=1的特征向量为α2=，α3=令P=(α2，α3，α1)=，由P-1AP=，得A=PP-1=，所求的二次型为f=XTAX=x12+x22-x32+3x1x3．知识点解析：暂无解析9、设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。标准答案：曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为Y一y=(X一x)，令X=0，则它与y轴的交点为(0，y+)。由题意，此点与点P(x，y)所连的线段被x轴平分，由中点公式得=0，即2ydy+xdx=0，上式两端积分得+y2=C(C为任意常数)，代入初始条件，故曲线y=f(x)的方程为，即x2+2y2=1。知识点解析：暂无解析10、n元非齐次线性方程组AX＝β如果有解，则解集合的秩为＝n－r(A)＋1．标准答案：(1)设ξ为(Ⅰ)的一个解，η1，η2，…，η3为导出组的基础解系，则ξ不能用η1，η2，…，ηs线性表示，因此ξ，η1，η2，…，ηs线性无关．ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的s＋1个解，并且它们等价于ξ，η1，η2，…，ηs．于是r(ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs)＝r(ξ，η1，η2，…，ηs)＝s＋1，因此ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的．s＋1个线性无关的解．(2)AX＝β的任何s＋2个解都可用ξ，η1，η2，…，ηs这s＋1向量线性表示，因此一定线性相关．知识点解析：暂无解析11、设A是主对角元为0的四阶实对称阵，E是四阶单位阵，B=且E+AB是不可逆的对称阵，求A．标准答案：，因(E+AB)T=(E+AB)，故有b=c=d=e=0．又E+AB不可逆，有|E+AB|==1—4f2=0，得从而得其中a是任意常数．知识点解析：暂无解析设求12、A的特征值，特征向量；标准答案：由特征方程，得即A的特征值为λ1=2，λ2=一2(三重根)．当λ1=2时，(2E一A)x=0，即得ξ1=[1，1，1，1]T(只有一个线性无关特征向量)．故全部特征向量为k1ξ1(其中k1不为0)．当λ2=一2时，(一2E一A)x=0，即同解方程为x1+x2+x3+x4=0，对应特征向量(取正交特征向量)为ξ2=[1，一1，0，0]T，ξ3=[1，1，一2，0]T，ξ4=[1，1，1，-3]T．故全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+k4ξ4(其中k2，k3，k4不全为0)．知识点解析：暂无解析13、正交矩阵Q，使得QTAQ=Q-1AQ=A，其中A是对角矩阵．标准答案：将ξ1，ξ2，ξ3，ξ4单位化，合并成正交矩阵得则知识点解析：暂无解析14、设实对称矩阵A满足A2—3A+2E=0，证明：A为正定矩阵．标准答案：设λ为A的任一特征值，则存在X≠0，使AX=λX，于是(A2—3A+2E)X=(λ2—3λ+2)X=0，λ2一3λ+2=0λ=1或λ=2，因此A的特征值均大于0，故A正定．知识点解析：暂无解析15、经过长期观察，人们发现鲑鱼在河中逆流行进时，如果相对于河水的速度为v，那么游T小时所消耗的能量E＝cv3T，其中c是一个常数．假设水流的速度为4km／h，鲑鱼逆流而上200km，问它游多快才能使消耗的能量最少?标准答案：鲑鱼相对于河水的速度是v，而相对于河岸的速度是v－4，于是游200km，用知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第8套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求标准答案：知识点解析：暂无解析2、求极限：ai＞0，且ai＞≠1，i=1,2,…n,n≥2.标准答案：故原极限=知识点解析：暂无解析3、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析4、设函数f(χ)和g(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0’试证明存在ξ∈(a，b)使＝0．标准答案：令φ(χ)＝f(χ)∫χbg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，φ(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且φ′(χ)＝[f′(χ)∫χbg(t)dt－f(χ)g(χ)]＋[g(χ)f(χ)＋g′(χ)∫aχf(t)dt]＝f′(χ)∫χbg(t)dt＋g′(χ)∫aχ(t)dt，因为φ(a)＝φ(b)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ′(ξ)＝0，即f′(ξ)∫ξbg(t)dt＋g′(ξ)∫aξf(t)dt＝0，由于g(b)＝0及g′(χ)＜0，所以区间(a，b)内必有g(χ)＞0，从而就有∫χbg(t)dt＞0，于是有＝0．知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[0，]上具有连续的二阶导数，且f’(0)=0．证明：存在ξ，η，ω∈(0，)，使得f’(ξ)=ηsin2ξf"(ω)．标准答案：因f(x)和g(x)=cos2x在内可导，且g’(x)=(cos2x)’=一2sin2x≠0，故由柯西中值定理知，存在使得知识点解析：暂无解析6、设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(2)求矩阵B．标准答案：(1)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α3，A5α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量．由关系式B=A5-4A3+E及A的3个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的3个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1．设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0．因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，｜1一x｜}。标准答案：积分区域如图所示，在极坐标中知识点解析：暂无解析9、设矩阵A的伴随矩阵且ABA一1=BA一1+3E，其中E为四阶单位矩阵，求矩阵B。标准答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n-1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA-1=BA-1+3E两边先右乘A，再左乘A，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是知识点解析：暂无解析10、设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：其中E是r阶单位阵．标准答案：A2=A，A的特征值的取值为1，0，由A一A2=A(E一A)=O知r(A)+r(E—A)≤n，r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，故r(A)+r(E一A)=n，r(A)=r，从而r(E一A)=n一r．对λ=1，(E—A)X=0，因r(E一A)=n—r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξs；对λ=0，(0E一A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n一r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2，…，ξn．故存在可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，使得P一1AP=知识点解析：暂无解析11、设且f"(0)存在，求a，b，c．标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0，即f(x)=知识点解析：暂无解析12、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．标准答案：由f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f(x’)≡f(x0)+f’(x0)x-x0)+两式相加得知识点解析：暂无解析13、设n阶矩阵A满足(aE－A)(bE－A)＝O且a≠b．证明：A可对角化．标准答案：由(aE－A)(bE－A)＝O，得｜aE－A｜.｜bE－A｜＝0，则｜aE－A｜＝0或者｜bE－A｜＝0．又由(aE－A)(bE－A)＝O，得r(aE－A)＋r(bE－A)≤n．同时r(aE－A)＋r(bE－A)≥r[(aE－A)－(bE－A)]＝r[(a－b)E]＝n．所以r(aE－A)＋r(bE－A)＝n．(1)若｜aE－A｜≠0，则r(aE－A)＝n，所以r(bE－A)＝0，故A＝bE．(2)若｜bE－A｜≠0，则r(bE－A)＝n，所以r(aE－A)＝0，故A＝aE．(3)若｜aE－A｜＝0且｜bE－A｜＝0，则a，b都是矩阵A的特征值．方程组(aE－A)X＝0的基础解系含有n－r(aE－A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n－r(aE－A)个；方程组(bE－A)X＝0的基础解系含有n－r(bE－A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n－r(bE－A)个．因为n－r(aE－A)＋n－r(bE－A)＝n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．知识点解析：暂无解析设曲线y=在点(x0，y0)处有公共的切线，求