考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷1（共255题）

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷1（共9套）（共255题）考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第1套一、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(χ)的一个原函数为ln2χ，则∫χf′(χ)dχ＝_______．标准答案：2lnχ—ln2χ＋C知识点解析：由题意得f(χ)＝，则∫χf′(χ)dχ＝∫χdf(χ)＝χf(χ)－∫f(χ)dχ＝2lnχ－ln2χ＋C．2、已知F(χ)为函数f(χ)的一个原函数，且f(χ)＝，则f(χ)＝_______．标准答案：C(1＋)知识点解析：暂无解析3、设f′(sin2χ)＝cos2χ＋tan2χ，则f(χ)＝_______(0＜χ＜1)．标准答案：－χ2－ln(1－χ)＋C知识点解析：由f′(sin2χ)＝1－2sin2χ＋得f′(χ)＝1－2χ＋－2χ，则f(χ)＝－χ2－ln(1－χ)＋C．二、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)4、设f′(lnχ)＝1＋χ，且f(0)＝1，求f(χ)．标准答案：由f′(lnχ)＝1＋χ得f′(χ)＝1＋eχ，f(χ)＝χ＋eχ＋C，由f(0)＝1得C＝0，故f(χ)＝＝＋eχ．知识点解析：暂无解析5、设f(χ)＝，且f(0)＝1，求f(χ)．标准答案：由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝≥＋1．知识点解析：暂无解析6、设f′(lnχ)＝又f(1)＝e，求f(χ)．标准答案：由f′(χ)连续得f(χ)连续，又由f(1－0)＝f(1)＝e＋C1，f(1＋0)＝e＋C2且f(1)＝e得C1＝C2＝0，故f(χ)＝知识点解析：暂无解析7、设χ＞0，可微函数y＝f(χ)与反函数χ＝g(y)满足∫0f(χ)g(t)dt＝，求f(χ)．标准答案：两边求导得g[f(χ)]f′(χ)＝，即f′(χ)＝，于是f(χ)＝＋C．由f(4)＝0得C＝－2，故f(χ)＝－2．知识点解析：暂无解析8、设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(χ)．若∫0f(χ)g(t)dt＝χ2e2,求f(χ)．标准答案：∫0f(χ)g(t)dt＝χ2eχ两边求导得g[f(χ)]f′(χ)＝(χ2＋2χ)eχ，整理得f′(χ)＝(χ＋2)eχ，则f(χ)＝(χ＋1)eχ＋C，由f(0)＝0得C＝－1，故f(χ)＝(χ＋1)eχ－1．知识点解析：暂无解析9、设f(χ)在(－∞，＋∞)内可微，且f(0)＝0，又f′(lnχ)＝求f(χ)的表达式．标准答案：由f(0)＝0得C1＝0，C2＝－2，故f(χ)＝知识点解析：暂无解析10、求标准答案：知识点解析：暂无解析11、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析12、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析13、求不定积分∫χ3dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求不定积分∫sin4χcos3χdχ．标准答案：∫sin4χcos3χdχ＝∫sin4χ(1－sin2χ)d(sinχ)＝∫(sin4χ－sin6χ)d(sinχ)＝知识点解析：暂无解析15、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析16、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析17、求不定积分标准答案：令由A(2χ－1)＋B(χ＋1)＝χ－1得知识点解析：暂无解析18、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析19、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析20、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、求不定积分∫cos(lnχ)dχ．标准答案：I＝∫cos(lnχ)dχ∫etcostdt＝∫et(sint)＝etsint－∫etsintdt＝etsint＋∫etd(cost)＝etsint＋etcost－I，则∫cos(lnχ)dχ＝et(sint＋cost)＋C＝sin(lnχ)＋cos(lnχ)]＋C．知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、设连续函数f(χ)满足∫0χtf(χ－t)dt－1－cosχ，求f(χ)dχ．标准答案：由∫0χtf(χ－t)dtχ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du得χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du＝1－cosχ两边求导得∫0χf(u)du＝sinχ，故f(χ)dχ＝1．知识点解析：暂无解析24、设f(χ)＝＋χ3∫01f(χ)dχ求∫01f(χ)dχ．标准答案：令∫01f(χ)dχ＝A，则f(χ)＝＋Aχ3，两边在[0，1]上积分得A＝，解得∫01f(χ)dχ＝．知识点解析：暂无解析25、已知f(χ)＝χ2－χ∫02f(χ)dχ＋2∫01f(χ)dχ，求f(χ)．标准答案：令∫02f(χ)dχ＝A，∫01f(χ)dχ＝B，则f(χ)＝χ2－Aχ＋2B，两边在[0，2]上积分得A＝∫02(χ2－Aχ＋2B)dχ＝－2A＋4B，即3A－4B＝；两边在[0，1]上积分得B＝＋2B，即3A－6B＝2，解得A＝，B＝，故f(χ)＝χ2－．知识点解析：暂无解析26、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)连续，f(0)=1，f’(0)=2，则下列曲线中与曲线y=f(x)必有公共切线的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：曲线y=f(x)在点(0，1)处切线为y=1+2z．选项(D)中函数记为y=F(x)．由F(0)=1，F’(0)=2f(0)=2，知曲线y=F(x)在点(0，1)处切线方程也为y=1+2x．故应选(D)．2、由曲线与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、抛物线y2=2z与直线y=x一4所围成的图形的面积为()A、B、18C、D、8标准答案：B知识点解析：选y为积分变量，如图1．3—2所示，两条曲线的交点坐标可由方程组解得，为所求面积4、曲线上相应于x从3到8的一段弧的长度为()A、B、C、9D、6标准答案：A知识点解析：故弧长5、曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形的面积是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当时，lnx≤0；当x∈[1，e]时，lnx≥0．所以面积二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)6、标准答案：2(e2+1)知识点解析：7、设f’(sin2x)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=_____________．标准答案：一ln(1一x)一x2+C，其中C为任意常数知识点解析：所以因此8、标准答案：sinx知识点解析：令x一t=u，9、曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为_________．标准答案：知识点解析：平面图形面积10、抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围面积为则a=____________．标准答案：1知识点解析：所围面积所以a=1．11、由曲线y=x3，y=0及x=1所围图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积为___________．标准答案：知识点解析：该旋转体体积12、函数y=lnx在区间[1，e]上的平均值为____________．标准答案：知识点解析：平均值13、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：14、标准答案：ln2(tanx)+C其中C为任意常数知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)15、设计算标准答案：设lnx=t，则x=et，所以知识点解析：暂无解析16、求标准答案：设x=tanu，则dx=sec2udu，所以知识点解析：暂无解析17、求标准答案：本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好u和dv．令u==ln(sinx)，则于是知识点解析：暂无解析18、计算标准答案：方法一设则所以方法二设令x=sect，则则知识点解析：暂无解析19、求积分：标准答案：本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数、偶函数在对称区间上的积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式．知识点解析：暂无解析20、求积分：标准答案：由于(x一lnx)’≠1一lnx，分子分母同时除以x2，则因知识点解析：暂无解析21、计算积分：其中[x]表示不超过x的最大整数．标准答案：因分段函数则由定积分的分段可加性得知识点解析：暂无解析22、计算积分：标准答案：因分段函数则由定积分的分段可加性得知识点解析：暂无解析23、求标准答案：知识点解析：暂无解析24、设求标准答案：令u=sin2x，则有当时，当时，因此有于是知识点解析：暂无解析25、设函数x=x(y)由方程x(y—x)2=y所确定，试求不定积分标准答案：令y—x=t，由题可得(y一t)t2=y，故从而有由得t3一3t=A(t3+t2一t一1)+B(t2+2t+1)+C(t3一t2一t+1)+D(t2—2t+1)=(A+C)t3+(A+B—C+D)t2+(一A+2B—C一2D)t—A+B+C+D．比较t的同次幂的系数得解出所以知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若求f(x)．标准答案：令t—x=u，则dt=du，于是将等式两边对x求导，同时注意到g[f(x)]=x，于是有当x≠0时，有对上式两端积分，得到可知由于f(x)在x=0处连续，又f(0)=0，解得C=0，于是f(x)=ln(1+x)+2xln(1+x)一x．知识点解析：暂无解析27、计算定积分标准答案：令1一x=sint，则知识点解析：暂无解析28、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析29、计算其中，当x≥0时，f(x)=x，且标准答案：方法一令x=u一t，则于是当时，有所以当时，有当时，有方法二令x—t=u，则当时，有当时，有知识点解析：暂无解析30、证明：标准答案：在上有：①2x一1＜0；②(1+x)(2一x)＞0；③故可知左式一右式＞0，于是原不等式成立．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、已知则在(一∞，+∞)内，下列结论中正确的是()A、f(x)不连续且不可微，F(x)可微且为f(x)的一个原函数B、f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C、f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D、f(x)连续，且F’(x)=f(x)标准答案：A知识点解析：可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为故x=0为f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数．通过计算，有故F(x)可微．容易证明F’(x)=f(x)，故(A)正确．2、设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当g(x+T)=g(x)时，因为若则反之，若则因为f(x)是以T为周期的函数，且所以是以T为周期的函数，即(D)正确；(A)不正确，因为不一定有(B)，(C)显然也不正确．3、设f(x)是以2为周期的连续函数，则()A、G(x)是以2为周期的周期函数，G’(x)也是以2为周期的周期函数B、G(x)是以2为周期的周期函数，G’(x)不是以2为周期的周期函数C、G(x)不是以2为周期的周期函数，G’(x)是以2为周期的周期函数D、G(x)不是以2为周期的周期函数，G’(x)也不是以2为周期的周期函数标准答案：A知识点解析：因为对任意的x，有所以G(x)也是以2为周期的周期函数．又显然，G’(x)也是以2为周期的周期函数．故选择(A)．4、设常数a＞0，积分则()A、I1＞I2B、I1＜I2C、I1=I2D、I1与I2的大小与α有关标准答案：A知识点解析：当时，cosx＞sinx，所以I1一I2＞0．故应选(A)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)5、标准答案：知识点解析：6、标准答案：π知识点解析：7、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：8、设f(x)连续，且为常数，则标准答案：a知识点解析：f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理．然后再计算极限．所以9、设两曲线y=f(x)与在点(0，0)处有相同的切线，则标准答案：2知识点解析：由已知条件知f(0)=0，故得10、设n是正整数，则标准答案：知识点解析：由得故11、标准答案：知识点解析：则12、位于x轴上区间[一a，a]内质量为m的均匀细棒对位于y轴上点(0，一a)处质量为m0的质点的引力为___________．标准答案：k为引力系数知识点解析：对于任意[x，x+dx][一a，a]，将此小区间看作质点，其质量元素为对应的引力元素为其中k为引力系数．由对称性可知，其在x轴上的分力被对称于y轴的小区间上分力所抵消，而所以13、设函数f(x)在(0，+∞)上连续且对任意正值a与b，积分的值与a无关，且f(1)=1，则f(x)=______________．标准答案：知识点解析：由与a无关，所以即f(ab)b一f(a)≡0．上式对任意a成立，所以令a=1亦应成立，有f(b)b一f(1)=0，即有可以验算，与a无关．14、标准答案：为任意常数知识点解析：C为任意常数．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)15、设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0，试证明：标准答案：因为而所以知识点解析：暂无解析16、设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有标准答案：令则F’(a)=g(a)f’(a)一f’(a)g(1)=f’(a)[g(a)一g(1)]．因为x∈[0，1]时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以F’(a)=f’(a)[g(a)一g(1)]≤0，即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又所以F(a)≥F(1)=0，即即知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明：存在一点ξ∈[a，b]，使标准答案：因f(x)在[a，b]上连续，故m≤f(x)≤M．因为g(x)＞0，所以mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，故从而由介值定理得，存在ξ∈[a，b]，使得知识点解析：暂无解析设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．18、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；标准答案：对任意x∈[-a，a]，有知识点解析：暂无解析19、证明：在[一a，a]上存在η，使标准答案：由上题易得因为f"(x)在[一a，a]上连续，故m≤f"(x)≤M，x∈[-a，a]．故mx2≤f"(ξ)x2≤Mx2，由介值定理知，存在η∈[一a，a]，使得知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．标准答案：令且有由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f?＞0，则f(1)＜0，f(0)＜0．由连续函数的零点定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即由得f’(ξ)=ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析21、f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．标准答案：令F(x)=xe-xf(x)，则由中值定理得F(1)=e-1f(1)=ηe-ηf(η)=F(η)，故在[η，1][0，1]上，对F(x)运用罗尔定理，可得存在ξ∈(η，1)(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．知识点解析：暂无解析22、铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少?标准答案：由题设知阻力f=kx(其中k为比例系数)，设第二次锤击时击入了Lcm，则第一次锤击时所做的功第二次锤击时所做的功因W1=W2，故有L2+2L=1，解方程得舍去负值，则得知识点解析：暂无解析23、设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，问做多少功?标准答案：如图1．3—3所示建立坐标系，取x为积分变量，[0，15]为积分区间，由图上数据可知由此可知锥型贮水池在x处截面半径为区间[x，x+dx]上所对应之体积元素做功元素故所做功为知识点解析：暂无解析24、设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力．标准答案：如图1．3—4所示建立坐标系，并把质点M放在原点O，取θ作为积分变量，为积分区间，典型区间为[θ，θ+dθ]所对应的圆弧形细棒小段可近似看作质点，其质量为ρRdθ，与M相距为R，它对于质点M的引力△F的大小为其中k为引力系数．在x轴上的投影，从而得出于是由对称性可知Fy=0．知识点解析：暂无解析25、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析26、设常数0＜a＜1，求标准答案：对后者作积分变换x=π－t，得所以知识点解析：暂无解析27、设a，b均为常数，a＞一2，a≠0，求a，b为何值时，使标准答案：而若b一a≠0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须有a=b，那么所以解得a=b=8e-2一2．知识点解析：暂无解析28、设求曲线y=f(x)与直线所围成平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积．标准答案：先求f(x)的表达式，注意到函数ex在x→+∞与x→一∞的极限，可知当x＞0时，y=f(x)与的交点横坐标为x=1，且当0＜x＜1时，所以所求旋转体体积其中，令x=tant得，知识点解析：暂无解析29、设a＜b，证明：不等式标准答案：构造辅助函数则F(a)=0，且所以F(b)≤0，即即知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、双纽线(χ2＋y2)2＝χ2－y2所围成的区域面积可表示为()．A、2cos2θdθB、4cos2θdθC、D、(cos2θ)2dθ标准答案：A知识点解析：双纽线(χ2＋y2)2＝χ2－y2的极坐标形式为r2＝cos2θ，再根据对称性，有A＝4×cos2θdθ，选A．2、设f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且g(χ)＜f(χ)＜m，则由曲线y＝g(χ)，y＝f(χ)及直线χ＝a，χ＝b所围成的平面区域绕直线y＝m旋转一周所得旋转体体积为()．A、π∫ab[2m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχB、π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχC、π∫ab[m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχD、π∫ab[m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ标准答案：B知识点解析：由元素法的思想，对[χ，χ＋dχ][a，b]，dv＝{π[m－g(χ)]2－π[[m－f(χ)]2}dχ＝π[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，则V＝∫abdv＝π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＝＋∫01χf(χ)dχ，则f(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：令∫01χf(χ)dχ＝k，则f(χ)＝＋k，χf(χ)＝＋kχ，两边积分得∫11χf(χ)dχ＝＋∫01kχdχ，即k＝，所以k＝2(－1)，从而f(χ)＝．4、设f(χ)∈C[1，＋∞)，广义积分∫0＋∞f(χ)dχ收敛，且满足f(χ)＝f(χ)dχ，则f(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：令∫1＋∞f(χ)dχ＝A，则由f(χ)＝f(χ)dχ，得A＝，解得A＝，所以f(χ)＝．5、设f(χ)＝，则＝_______．标准答案：e-1－1知识点解析：6、设f(χ)二阶连续可导，且f(0)＝1，f(2)＝3，f′(2)＝5，则∫01χf〞(2χ)dχ＝_______．标准答案：2知识点解析：7、设f(χ)＝则∫-15f(χ－1)dχ＝_______．标准答案：＋ln3知识点解析：8、＝_______(其中a为常数)．标准答案：知识点解析：9、＝_______．标准答案：3知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)10、求标准答案：因为ln(χ＋)为奇函数，所以知识点解析：暂无解析11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(2)＝，f′(2)＝0，∫02f(χ)dχ＝1，求∫01χf〞(2χ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算标准答案：知识点解析：暂无解析14、求函数f(χ)＝＝(2－t)e-tdt的最大值与最小值．标准答案：因为f(χ)为偶函数，所以只研究f(χ)在[0，＋∞)内的最大值与最小值即可．令f′(χ)＝2χ(2－χ2)＝0，得f(χ)的唯一驻点为χ＝，当χ∈(0，)时，f′(χ)＞0，当χ∈(，＋∞)时，f′(χ)＜0，注意到驻点的唯一性，则χ＝及χ＝－为函数f(χ)的最大值点，最大值为，因为f(＋∞)＝f(－∞)＝∫0＋∞(2－t)e-tdt＝1及f(0)＝0，所以最小值为0．知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算标准答案：χ＝1为被积函数的无穷间断点，则知识点解析：暂无解析19、设f(χ)在[a，b]上连续，且f(χ)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(χ)dχ＝∫ξbf(χ)dχ．标准答案：令g(χ)＝∫aχf(t)dt－∫χbf(t)dt，因为f(χ)在[a，b]上连续，且f(χ)＞0，所以g(a)＝－∫abf(t)dt＜0，g(b)＝∫abf(t)dt＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)＝0，即∫aξf(χ)dχ＝∫ξbf(χ)dχ．知识点解析：暂无解析20、设f(χ)在[a，b]上连续，证明：∫abf(χ)dχ＝∫abf(a＋b－χ)dχ．标准答案：∫abf(χ)dχ∫abf(a＋b－t)(－dt)＝∫abf(a＋b－t)dt＝∫abf(a＋b－χ)dχ．知识点解析：暂无解析21、设f(χ)为连续函数，证明：(1)∫0π(sinχ)＝f(sinχ)dχ＝πf(sinχ)dχ；(2)∫02π(｜sinχ｜)dχ＝4f(sinχ)dχ．标准答案：(1)令I＝∫0πχf(sinχ)dχ，则知识点解析：暂无解析22、证明：sinnχcosnχdχ＝2-nsinnχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(χ)连续，证明：∫0χ[∫0tf(u)du]dt＝∫0χf(t)(χ－t)dt．标准答案：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，则F′(χ)＝f(χ)，于是∫0χ[∫0tf(u)du]dt＝∫0χF(t)dt，∫0χf(t)(χ－t)dt＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＝χF(χ)－∫0χtdF(t)＝χF(χ)－tF(t)｜0χ＋∫0χF(t)dt＝∫0χF(t)dt．命题得证．知识点解析：暂无解析24、设f(χ)连续且关于χ＝T对称，a＜T＜b．证明：∫abf(χ)dχ＝2∫Tbf(χ)dχ＋∫a2T-bf(χ)dχ．标准答案：由f(χ)关于χ＝T对称得f(T＋χ)＝f(T－χ)，于是知识点解析：暂无解析25、设f(a)＝f(b)＝0，∫abf2(χ)dχ＝1，f′(χ)∈C[a，b]．(1)求∫abχf(χ)f′(χ)dχ；(2)证明：∫abf′2(χ)dχ∫abχ2f2(χ)dχ≥．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(χ)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2χ2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．标准答案：令φ(χ)＝χ2f(χ)，由积分中值定理得f(1)＝2χ2f(χ)dχ＝c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(χ)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)一0．而φ′(χ)＝2χf(χ)＋χ2f′(χ)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f′(ξ)＝0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析27、设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．标准答案：令φ(χ)＝∫aχf(t)dt∫bχg(t)dt，显然φ(χ)在[a，b]上可导，又φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f(χ)∫bχg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(χ)dχ＋g(ξ)∫aξf(χ)dχ＝0，即f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．知识点解析：暂无解析28、设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．标准答案：令F(χ)＝∫0χf(t)sintdt，因为F(0)＝F(π)＝0，所以存在χ1∈(0，π)，使得F′(χ1)＝0，即f(χ1)sinχ1＝0，又因为sinχ1≠0，所以f(χ1)＝0．设χ1是f(χ)在(0，π)内唯一的零点，则当χ∈(0，π)且χ≠χ1时，有sin(χ－χ1)f(χ)恒正或恒负，于是∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ≠0．而∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ＝cosχ1∫0πf(χ)sinχdχ－sinχ1∫0πf(χ)cosχdχ＝0，矛盾，所以f(χ)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(χ1)＝f(χ2)＝0，χ1，χ2∈(0，π)且χ1＜χ2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(χ1，χ2)(0，π)，使得f′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析29、设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)＝f(2)＝0，且｜f′(χ)｜≤2．证明：｜∫02f(χ)dχ｜≤2．标准答案：由微分中值定理得f(χ)－f(0)＝f′(ξ1)χ，其中0＜ξ1＜χ，f(χ)＝f(2)＝f′(ξ2)(χ－2)，其中χ＜ξ2＜2，于是从而｜∫02f(χ)dχ｜≤∫02｜f(χ)｜dχ＝∫01｜f(χ)｜dχ＋∫12｜f(χ)｜dχ≤∫012χdχ＋∫122(2－χ)dχ＝2．知识点解析：暂无解析30、设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)．标准答案：令F(χ)＝∫aχf(t)dt，则F(χ)在[a，b]上三阶连续可导，取χ0＝，由泰勒公式得F(a)＝F(χ0)＋F′(χ0)(a－χ0)＋(a－χ0)3，ξ1∈(a，χ0)，F(b)＝F(χ0)＋F′(χ0)(b－χ0)＋(b－χ0)3，ξ2∈(χ0，b)两式相减得F(b)－F(a)＝F′(χ0)(b－a)＋[F″′(ξ1)＋F″′(ξ2)]，即因为f〞(χ)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f〞(ξ)＝[f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，从而知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为()A、1+sinx。B、1一sinx。C、1+cosx。D、1一cosx。标准答案：B知识点解析：由f’(x)=sinx，得f(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=一cosx+C1，所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数。令C1=0，C2=1得F(x)=1一sinx。故选B。2、定积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：这是无界函数的反常积分，x=±1为瑕点，与求定积分一样，作变量替换x=sint，则故选B。3、设F(x)=∫0xf(t)dt，则()A、F(x)在x=0处不连续。B、F(x)在(一∞，+∞)内连续，但在x=0处不可导。C、F(x)在(一∞，+∞)内可导，且满足F’(x)=f(x)。D、F(x)在(一∞，+∞)内可导，但不一定满足F’(x)=f(x)。标准答案：B知识点解析：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理。设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外的其他点都连续，且x=c为f(x)的跳跃间断点。又设F(x)=∫cxf(t)dt，则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]且x≠c时，F’(x)=f(x)；③F’(c)必不存在，且F’+(c)=f(c+)，F’—(c)=f(c—)。直接利用上述结论(本题中的c=0)，故选B。4、设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性()A、仅与m的取值有关。B、仅与n的取值有关。C、与m，n的取值都有关。D、与m，n的取值都无关。标准答案：D知识点解析：显然x=0，x=1是该积分可能的两个瑕点，因此有对于当x→0+时等价于因为m，n均为正整数，有成立，因此收敛，故收敛。对于当x∈(1—δ，1)(0＜δ＜)时，有而积分显然收敛，因此积分也是收敛的。故选D。5、由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由曲线y=f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得Vx=∫0ππf2(x)dx==π∫0πsin3xdx=一π∫0π(1一cos2x)dcosx故选B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、已知∫f’(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=______。标准答案：知识点解析：对等式∫f’(x3)dx=x3+C两边求导得f’(x3)=3x2。令t=x3()，则，等式两边积分，故7、=______。标准答案：知识点解析：设计算可得因此8、=______。标准答案：secx一tanx+x+C知识点解析：=∫tanxsecxdx一∫(sec2x一1)dx=secx一tanx+x+C。9、=______。标准答案：知识点解析：令x=tant，则dx=sec2tdt，于是原式10、∫01e—xsinxdx=______。标准答案：0知识点解析：令In=∫e—xsinnxdx=一e—xsinnx+n∫e—xcosnxdx=一e—xsinnx一ne—xcosnx一n2In。所以则有11、sinxln(1+esinx)dx=______。标准答案：知识点解析：原式12、=______。标准答案：知识点解析：令，则有13、已知∫—∞+∞ek｜x｜dx=1，则k=______。标准答案：一2知识点解析：1=∫—∞+∞ek｜x｜dx=2∫0+∞ekxdx=已知要求极限存在，所以k＜0。那么，所以k=一2。14、曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为______。标准答案：知识点解析：直接利用旋转体的体积公式可得，如图所示，x的积分从1到2。V=一π∫12(x2—1)dx=15、曲线pθ=1相应于的一段弧长s=______。标准答案：知识点解析：由已知可得。则三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)16、求标准答案：由则原式知识点解析：暂无解析17、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。标准答案：令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫abF(t)dt，由题设G(x)≥0，x∈[a，b]，且G(a)=G(b)=0，G’(x)=F(x)。从而∫abxF(x)=∫abxdG(x)=xG(x)｜ab一∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx。由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有一∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。因此可得∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。知识点解析：暂无解析18、设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。标准答案：设有F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且F’(x)=g(x)f’(x)—f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]，由于x∈[0，1]时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。注意到F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一g(1)g(1)，而又因为∫01g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t)=g(t)f(t)｜∫01一∫01f(t)g’(t)dt=f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt，故F(1)=0。因此x∈[0，1]时，F(x)≥F(1)=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx。标准答案：可设{｜f(x)｜}=｜f(x0)｜，即证(b一a)f(x0)≤｜∫abf(x)dx｜+(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx，即有｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤(b—a)∫ab｜f’(x)｜dx。事实上｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤｜∫ab[f(x0)—f(x)]dx｜=｜∫ab[∫xx0f’(t)dt]dx｜≤∫ab[∫ab｜f’(t)｜dt]dx=(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx。故得证。知识点解析：暂无解析20、设，证明曲线y=f(x)在区间(ln2，+∞)上与x轴围成的区域有面积存在，并求此面积。标准答案：考虑广义积分的收敛性。因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在。取变换ex=sect，则x=ln(sect)，exdx=secttantdt，知识点解析：暂无解析21、设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。标准答案：因为t｜t｜为奇函数，可知其原函数f(x)=∫—1xt｜t｜dt=∫—10t｜t｜dt+∫0xt｜t｜dt为偶函数，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。又由f’(x)=x｜x｜可知x＜0时，f’(x)＜0，故f(x)单调减少，因此f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。当x＞0时，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，所以当x＞0时，y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积A=∫—11｜f(x)｜dx=2∫—10｜f(x)｜dx。当x＜0时，f(x)=∫—1xt｜t｜dt=∫—1x一t2dt=(1+x3)，因此知识点解析：暂无解析椭球面S1是椭圆绕x轴旋转一周而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕x轴旋转一周而成。22、求S1及S2的方程；标准答案：由题意得S1的方程为计算得过点(4，0)与的切线为，所以S2的方程为y2+x2=。知识点解析：暂无解析23、求S1与S2之间的立体体积。标准答案：记y1=—2，由，记则有V=∫14πy12dx—∫12πy22dx知识点解析：暂无解析24、设D是由曲线，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy=10Vx，求a的值。标准答案：由微元法可知Vx=π∫0ay2dx=Vy=2π∫0axf(x)dx=由已知条件10Vx=Vy，解得。知识点解析：暂无解析设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求25、D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；标准答案：由题意知，y=ax2与y=1一x2的交点为，直线OA的方程为旋转体的体积知识点解析：暂无解析26、a的值，使V(a)取得最大值。标准答案：当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V’(a)＞0；当a＞4时，V’(a)＜0。故a=4为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第6套一、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、＝_______．标准答案：知识点解析：2、＝_______．标准答案：＋C知识点解析：3、＝_______．标准答案：知识点解析：4、＝_______．标准答案：(arcsin)2＋C知识点解析：5、＝_______．标准答案：知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：ln(χ2＋2χ＋5)＋arctan＋C知识点解析：二、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)8、求标准答案：知识点解析：暂无解析9、求标准答案：知识点解析：暂无解析10、求标准答案：知识点解析：暂无解析11、求标准答案：由A(χ－4)(χ－3)2＋B(χ－2)(χ－3)2＋C(χ－2)(χ－3)(χ－4)＋D(χ－2)(χ－4)＝1得解得A＝－，B＝，C＝0，D＝－1，知识点解析：暂无解析12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：因为[ln(tanχ)]′＝，所以＝∫ln(tanχ)d[ln(tanχ)]＝ln2(tanχ)＋C．知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、求∫arcsin2χdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：因为(3＋sinχcosχ)′＝cos2χ，所以知识点解析：暂无解析25、求标准答案：知识点解析：暂无解析26、求标准答案：知识点解析：暂无解析27、求标准答案：知识点解析：暂无解析28、求标准答案：知识点解析：暂无解析29、求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)]，则()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1标准答案：B知识点解析：因为函数f(χ)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选B．2、曲线y＝χ(χ－1)(2－χ)与χ轴所围成的图形面积可表示为()．A、－∫02(χ－1)(2－χ)dχB、∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ－∫12χ(χ－1)(2－χ)dχC、－∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ＋∫12χ(χ－1)(2－χ)dχD、∫02χ(χ－1)(2－χ)dχ标准答案：C知识点解析：曲线y＝(χ－1)(2－χ)与χ轴的三个交点为χ＝0，χ＝1，χ＝2，当0＜χ＜1时，y＜0；当1＜χ＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为C的形式，选C．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、∫χcos2χdχ＝_______．标准答案：知识点解析：4、设f(χ)是以T为周期的连续函数，且F(χ)＝∫0χf(t)dt＋bχ也是以T为周期的连续函数，则b＝_______．标准答案：－∫0Tf(t)dt知识点解析：∫0χ+Tf(t)dt＋b(χ＋T)＝∫0χf(t)dt＋bχ＋∫χχ+Tf(t)dt＋Bt＝F(χ)＋∫χχ+Tf(t)dt＋bT＝F(χ)＋∫0Tf(t)dt＋bT，由F(χ＋T)＝F(χ)，得b＝－∫0Tf(t)dt．5、＝_______．标准答案：知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：因为ln(χ＋)为奇函数，所以χ2ln(χ＋)为奇函数，所以原式＝2×．7、＝_______．标准答案：知识点解析：因为对[－a，a]上连续的函数f(χ)有∫－aaf(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]dχ，所以8、＝_______．标准答案：知识点解析：因为＝1且＜1，所以广义积分收敛．9、＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)10、设f(χ)＝χ－∫01f(χ)dχ，求∫01f(χ)dχ．标准答案：令∫01f(χ)dχ＝A，对f(χ)＝χ－∫01f(χ)dχ两边积分得A＝∫01χdχ－A，于是知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(χ)＝f(χ－π)＋sinχ，且当χ∈[0，π]时，f(χ)＝χ，求∫π3πf(χ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(χ)＝，求．标准答案：因为，所以原式等于arctan．知识点解析：暂无解析15、设y′＝arctan(χ－1)2，y(0)＝0，求∫01y(χ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(t)＝∫1tdχ，求∫01t2f(t)dt．标准答案：因为f(1)＝0，所以知识点解析：暂无解析17、设f(χ)＝∫0χcostdt，求∫0πf(χ)cosχdχ．标准答案：∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)d(sinχ)＝f(χ)sinχ｜0π－∫0πf′(χ)sinχdχ＝－∫0πf′(χ)sinχdχ＝－∫0πecosχsinχdχ＝∫0πecosχd(cosχ)＝ecosχ｜0π＝e-1－e．知识点解析：暂无解析18、设f(χ)＝sin3χ＋∫－ππχf(χ)dχ，求∫0πf(χ)dχ．标准答案：令∫-ππχf(χ)dχ＝A，则f(χ)＝sin3χ＋A，χf(χ)＝χsin3χ＋Aχ两边积分得∫-ππχf(χ)dχ＝∫-ππχsinχdχ＋∫-ππAχdχ，即A＝∫-ππχsin3χdχ＝2∫0πχsin3χdχ＝π∫0πsin3χdχ＝2πsin3χdχ＝，从而f(χ)＝sin3χ＋，故知识点解析：暂无解析19、求∫-11(｜χ｜＋χ)e-｜χ｜dχ．标准答案：由定积分的奇偶性得知识点解析：暂无解析20、计算标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、求∫-22(3χ＋1)max{2，χ2)dχ标准答案：因为max(1，χ2)是偶函数，所以∫-22(3χ＋1)max{2，χ2}dχ＝∫-22max{2，χ2}dχ＝2∫02max{2，χ2}dχ，由max{2，χ2}＝得知识点解析：暂无解析24、设f(χ)＝求∫02πf(χ－π)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求∫013χ2arcsinχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求标准答案：知识点解析：暂无解析27、求标准答案：知识点解析：暂无解析28、求标准答案：知识点解析：暂无解析29、求标准答案：知识点解析：暂无解析30、求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第8套一、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)1、标准答案：知识点解析：暂无解析2、已知f(x)的一个原函数为求∫xf’(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(x)=求∫f(x)dx标准答案：知识点解析：暂无解析9、设F(x)是f(x)的原函数，若当x＞0时，有f(x)F(x)=试求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析10、标准答案：4—π知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算∫01x2f(x)dx，其中f(x)=标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt,且=A，(A为常数)，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．标准答案：，φ’(x)在x=0连续．知识点解析：暂无解析18、已知f(x)连续，∫0xtf(x—t)dt=1一cosx，求标准答案：1知识点解析：暂无解析19、求正常数a、b，使标准答案：a=2，b=1知识点解析：暂无解析20、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xtn-1(xn一tn)dt，试求标准答案：知识点解析：暂无解析22、设星形线方程为试求：(1)它所围的面积；(2)它的周长；(3)它围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积和表面积．标准答案：[*1](2)6a(3)知识点解析：暂无解析23、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2．并且a＜1．(1)试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值．(2)求该最小值对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)=∫-1x(1一|t|)dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围图形面积．标准答案：知识点解析：暂无解析25、一容器由y=x2绕y轴旋转而成，其容积为72πm3，其中盛满水，水的比重为μ，现将水从容器中抽出64πm3，问需做功多少?标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算下列广义积分标准答案：(3)ln2；(4)2(1一ln2)知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设函数f(χ)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．A、∫1χt[f(t)－f(－t)]dtB、∫0χt[f(t)＋f(－t)]dtC、∫0χf(t2)dtD、∫0χf2(t)dt标准答案：B知识点解析：因为t[f(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫0χt[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，A不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0χf(t2)dt为奇函数，C不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以D不对；令F(χ)＝∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt，F(－χ)＝∫0－χt[f(t)＋f(－t)]dt＝∫0χ(－u)[f(u)＋f(－u)](－du)＝F(χ)，选B．2、sinχ2dχ为()．A、等于0B、大于0C、小于0D、不能确定标准答案：B知识点解析：故选B．3、若由曲线y＝2，曲线上某点处的切线以及χ＝1，χ＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、y＝B、y＝＋2C、y＝χ＋1D、y＝标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)4、＝_______．标准答案：知识点解析：5、求＝_______．标准答案：5π知识点解析：6、计算＝_______．标准答案：知识点解析：7、计算(a＞0)＝_______．标准答案：知识点解析：8、计算(a＞1)＝_______．标准答案：知识点解析：9、计算＝_______．标准答案：知识点解析：10、设f(χ)＝∫0χecostdt，求∫0πf(χ)cosχdχ．标准答案：e-1－e知识点解析：∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)d(sinχ)＝f(χ)sinχ｜0π－∫0πf′(χ)sinχdχ＝－∫0πecosχsinχdχ＝ecosχ｜0π＝e-1－e．11、设f(χ)连续，且∫0χtf(2χ－t)dt＝arctanχ2，f(1)＝1，求∫12f(χ)dχ．标准答案：知识点解析：等式两边对χ求导得2∫χ2χf(u)du＋2χ[2f(2χ)－f(χ)]－4χf(2χ)＋χf(χ)＝，整理得2∫χ2χf(u)du－χf(χ)＝取χ＝1得2∫f(u)du－f(1)＝，故∫f(χ)d