考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷8（共225题）

考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷8（共9套）（共225题）考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第1套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设a1，a2，a3均为3维列向量，记矩阵A=(a1，a2，a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3a1+3a2+9a3)．如果｜A｜=1，那么｜B｜=___________．标准答案：2知识点解析：暂无解析2、＝_______．标准答案：知识点解析：当χ→0时，3、设a1，a2，…，am(m≥2)为正数，则=______。标准答案：max{a1，a2，…，am}知识点解析：不妨设a1为最大值，则原式=所以=max{a1，a2，…，am}。4、设=________．标准答案：12知识点解析：由题设及现利用等价无穷小因子替换5、已知=9，则a=________．标准答案：ln3知识点解析：6、一容器由y＝χ2绕y轴旋转而成，其容积为72πm3，其中盛满水，水的比重为μ，现将水从容器中抽出64πm3，问需作功多少________?标准答案：πμ知识点解析：暂无解析7、设α=(1，一1，a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=_________。标准答案：一1知识点解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=一1。8、设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=_________。标准答案：知识点解析：本题可以利用极坐标变换，，因此9、其中D由y轴，围成。标准答案：知识点解析：10、设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)=f(b)=0，且∫abf2(x)dx=1，则∫abxf(x)f’(x)dx=________．标准答案：知识点解析：因=f(x)f’(x)，所以11、实对阵矩阵A与矩阵B=合同，则二次型xTAx的规范形为_________。标准答案：y12+y22一y32知识点解析：矩阵A与B合同，说明二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。矩阵B的特征多项式为｜λE一B｜==(λ一2)(λ2一1)，所以矩阵B的特征值为1，2，一1。于是二次型xTBx的正惯性指数2，负惯性指数1，故二次型xTAx的规范形是y12+y22一y32。12、设φ(χ)＝(χ2－t)f(t)dt，其中f连续，则φ〞(χ)＝_______．标准答案：2f(t)dt＋4χ2f(χ2)知识点解析：φ(χ)＝χf(t)dt－tf(t)dtφ′(χ)＝2χf(t)dt＋2χ3f(χ2)－2χ3f(χ2)＝2χf(t)dtφ〞(χ)＝2f(t)dt＋4χ2f(χ2)．13、设，则=______。标准答案：知识点解析：由题意可知则可得14、=___________．标准答案：知识点解析：15、设y=y(x)，如果，y(0)=1，且当x→+∞时，y→0，则y=_______．标准答案：e-x知识点解析：由已知得由不定积分定义有16、设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_______标准答案：63知识点解析：由5A-2B=(5α，5γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得｜5A-2B｜=｜5α-2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α-2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜-2｜β，γ1，γ2｜)=63．17、设f(χ)连续，且f(χ)－2∫0χf(χ－t)dt＝eχ，则f(χ)＝_______．标准答案：2e2χ－eχ知识点解析：由∫0χ(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)－2∫0χ(u)du＝eχ，求导得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，解得f(χ)＝[∫eχ.e∫－2dχdχ＋C]e∫－2dχ＝(－e－χ＋C)e2χ＝ce2χ－eχ，由f(0)＝1得C＝2，故f(χ)＝2e2χ－eχ．18、若A=，则(A*)-1=________．标准答案：知识点解析：因为(A*)-1=所以(A*)-1=19、设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立．①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．④如果α1＝Aβ1，α2＝Aβ2，α3＝Aβ3，α4＝Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．其中成立的为________．标准答案：①，③，④．知识点解析：①直接从定理得到．②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3＝α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1，α2，α3，α4线性相关．③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)＝A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关，秩为4，于是α1，α2，α3，α4的秩也一定为4，线性无关．④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)＝r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)＝4．20、若，则X=______。标准答案：，其中x2，y2是任意常数知识点解析：矩阵不可逆，故可设。由可得线性方程组故x1=2一x2，y1=3一y2，所以，其中x2，y2是任意常数。21、标准答案：1一x2一y2—z2；知识点解析：暂无解析22、由方程χyz＋确定的隐函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的微分为dz＝_______．标准答案：dχ－dy知识点解析：两边求微分得yzdχ＋χzdy＋χydz＋(χdχ＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dχ－dy．23、设f(χ，y)可微，且f′1(－1，3)＝－2，f′2(－1，3)＝1，令z＝f(2χ－y，)，则dz｜(1,3)＝_______．标准答案：－7dχ＋3dy知识点解析：则＝2f′1(－1，3)－3f′2(－1，3)＝－7，＝－f′1(－1，3)＋f′2(－1，3)＝3，则dz｜(1，3)＝－7dχ＋3dy．24、已知=___________。标准答案：知识点解析：由题干可知，25、标准答案：知识点解析：考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第2套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、＝_______．标准答案：知识点解析：2、=__________。标准答案：secx一tanx+x+C知识点解析：3、已知方程组总有解，则λ应满足的条件是________。标准答案：λ≠1且λ≠知识点解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩为3，即｜A｜==(5λ+4)(λ一1)≠0，所以λ≠1且λ≠一。4、设(1，1，1)T，(2，2，3)T均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为________。标准答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R知识点解析：该线性方程组的系数矩阵为A=。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，也即r(A)＜3，又因为A的一个二阶子式=一2≠0，所以r(A)≥2。故r(A)=2。因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系。故原方程组的通解为k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。5、＝_______。标准答案：ln3；知识点解析：暂无解析6、设z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求_______．标准答案：－2f〞(2χ－y)＋χg〞12＋g′2＋yχg〞22知识点解析：暂无解析7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x),f(2)=1，则f’’(2)=____________．标准答案：2e3知识点解析：由题设知f’(x)=ef(x)，在此方程两边同时对x求导得f’’(x)=ef(x)f’(x)=e2f(x)，f’’(x)=2e2f(x)f’(x)=2e3f(x)，又f(2)=1，故f’’’(2)=2e3f(2)=2e3．9、设函数y＝f(χ)由方程χy＋2lnχ＝y4所确定，则曲线y＝f(χ)在(1，1)处的法线方程为_______．标准答案：y＝－χ＋2知识点解析：χy＋2lnχ＝y4两边对χ求导得，将χ＝1，y＝1代入得＝1，故曲线y＝f(χ)在点(1，1)处的法线为y－1＝－(χ－1)，即y＝－χ＋2．10、=_______(其中a为常数)标准答案：知识点解析：令I=11、设f(x)为连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)=___________．标准答案：知识点解析：由变限积分求导公式f(t)dt=f[φ(x)]φ’(x)一f[ψ(x)ψ’(x)即知．12、设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2一y)dxdy=______。标准答案：知识点解析：利用函数奇偶性及轮换对称性13、标准答案：知识点解析：则14、齐次方程组有非零解，则λ=___________。标准答案：一3或一1知识点解析：系数矩阵的行列式所以当λ=一3或一1时，方程组有非零解。15、已知齐次线性方程组有非零解，则a=___________。标准答案：2知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量的个数。由于因此有r(A)＜3→a=2。16、已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，一1)T，α3=(一1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(一1，1)T，Aα3=(3，一4)T，则A=______。标准答案：知识点解析：利用分块矩阵，得A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=，那么17、计算6阶行列式=_______．标准答案：(a1d1-b1c1)(a2d2-b2c2)(a3d3-b3c3)知识点解析：暂无解析18、微分方程xdy—ydx=ydy的通解是_________．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：原方程变形为积分即得通解其中C为任意常数．19、设A为三阶矩阵，且｜A｜＝3，则｜(－2A)*｜＝_______．标准答案：576知识点解析：因为(－2A)*＝(－2)2A*＝4A*，所以｜(－2A)*｜＝｜4A*｜＝43｜A｜2＝64×9＝576．20、已知且AXA*＝B，秩r(X)＝2，则a＝_______．标准答案：0．知识点解析：由A可逆，知A*可逆，那么r(AXA*)＝r(X)，从而r(B)＝2，｜B｜＝0．于是21、已知AB-B=A，其中则A=______．标准答案：知识点解析：22、设f(x)在x=a的邻域内二阶可导且f’(a)≠0，则=_______标准答案：知识点解析：23、设α＝是矩阵A＝的特征向量，则a＝_______，b_______．标准答案：2，3．知识点解析：由Aα＝λα得解得λ＝5，a＝2，b＝3．24、若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件________标准答案：a4-a1+a2-a3知识点解析：则方程组有解应满足的条件为α4-α1+α2-α3=025、=_______.标准答案：-10知识点解析：暂无解析考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第3套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、=______。标准答案：知识点解析：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，则有又有故原式=2、设＝_______。标准答案：；知识点解析：暂无解析3、求极限＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析4、设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是________。标准答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2是任意常数知识点解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，则由n—r(A*)=2可知，A*x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为k1η1+k2η2。又因为A*A=｜A｜E=0，所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T。5、设＝_______．标准答案：知识点解析：6、＝_______．标准答案：1知识点解析：注意到＝1，由洛必达法则得7、设y=xarctanx+=_______标准答案：知识点解析：8、设，则t=0对应的曲线上点处的法线为_________标准答案：y=-2x．知识点解析：t=0对应的曲线上点为(0，0)，又故法线方程为y-0=-2(x-0)，即y=-2x．9、曲线在t=1处的曲率k=_____．标准答案：知识点解析：10、设f(χ)连续，则tf(χ－t)dt＝_______．标准答案：f(χ)知识点解析：∫0χtf(χ－t)dt∫χ0(χ－u)f(u)(－du)＝∫0χ(χ－u)f(u)duχ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du于是tf(χ－t)dt＝∫0χf(u)du，故tf(χ－t)dt＝f(χ)．11、设f(x，y，z)一eCyz。，其中z＝z(x，y)是由x＋y＋z＋xyz＝0确定的隐函数，则f’x(0，1，＝1)＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析12、(a＞0)=_________．标准答案：知识点解析：利用分部积分法．13、设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2－2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈________．标准答案：知识点解析：二次型矩阵A=，顺序主子式△1=1，△2==1－t2＞0，△3=｜A｜=－5t2－4t＞0，所以t∈(，0)．14、曲线y＝的斜渐近线为_______．标准答案：y＝2χ－4知识点解析：曲线y＝的斜渐近线为y＝2χ－4．15、设z＝z(χ，y)满足方程2z－ez＋2χy＝3且z(1，2)＝0，则dz｜(1，2)＝_______．标准答案：－4dχ－2dy．知识点解析：方程两边求全微分得2dχ－ezdχ＋2ydχ＋2χdy＝0．令χ＝1，y＝2，z＝0得dz｜(1，2)＝－4dχ－2dy．16、函数f(x，y)=ln(x2+y2一1)的连续区域是__________．标准答案：x2+y2＞1知识点解析：一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．17、已知A，B，C都是行列式值为2的三阶矩阵，则=______。标准答案：知识点解析：根据行列式按行(列)展开法则，得18、设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=_______．标准答案：2知识点解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．19、设方程组有解，则a1，a2，a3，a4满足的条件是_______标准答案：a1+a2+a3+a4=0．知识点解析：因为原方程组有解，所以r(A)=，于是a1+a2+a3+a4=0．20、设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3线性相关，则a＝_______．标准答案：5知识点解析：(α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3)(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，而α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－aα3，α2＋α3线性相关，所以解得a＝5．21、设f(x)可导且f(x)≠0，则=_______标准答案：知识点解析：22、方程组有解的充要条件是______________．标准答案：知识点解析：故AX=b有解23、设f(x)在(-∞，+∞)上可导，，则a=______标准答案：1知识点解析：，由f(x)-f(x-1)=f’(ξ)，其中ξ介于x-1与x之间，令x→∞，由=e2，即e2a=e2，所以a=1．24、＝_______．标准答案：知识点解析：因为Eij-1＝Eij，所以Eij2＝E，于是25、表示不超过x的最大整数，=___________.标准答案：2知识点解析：考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第4套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设a是非零常数，则标准答案：e2a知识点解析：暂无解析2、设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．标准答案：-27知识点解析：暂无解析3、设在x=0处连续，则a=________，b=__________．标准答案：-1，1知识点解析：=a+4b，f(0)=3，因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=-1，b=1．4、=______。标准答案：知识点解析：将分子化简后用等价无穷小因子代换。易知则原式=5、=__________。标准答案：知识点解析：6、在点M0处的法线方程为________．标准答案：知识点解析：将方程对x求导在M0处y’=，法线方程为7、设函数，则y(n)(0)=__________．标准答案：知识点解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解．8、设矩阵A=的一个特征值为λ1=一3，且A的三个特征值之积为一12，则a=_________；b=________；A的其他特征值为_________。标准答案：1；2或一2；λ2=λ3=2知识点解析：由题意可得｜A｜=一4a—2b2=一12，所以2a＋b2=6。又A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)[λ2一(a一2)λ一6]，而A有特征值一3，所以λ1=一3必是方程λ2一(a—2)λ一6=0的根，故a=1，b=2或一2。由｜λE一A｜=(λ一2)(λ2+λ一6)=(λ一2)2(λ+3)可得矩阵A的另外两个特征值为λ2=λ3=2。9、当χ→0时，－1～cos2χ－1，则a＝_______．标准答案：－3知识点解析：因为χ→0时，，cos2χ－1一(cosχ＋1)(cosχ－1)～－χ2，且－1～cos2χ－1，所以a＝－3．10、曲线y=x4(x≥0)与x轴围成的区域面积为_______．标准答案：知识点解析：11、设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若行列式|2A|=-48，则λ=______．标准答案：一1知识点解析：|A|=6λ，由|2A|=8|A|=一48得|A|=一6，解得λ=一1．12、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：13、设f(χ)二阶连续可导，且＝1，f〞(0)＝e，则＝_______．标准答案：知识点解析：由＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1，于是14、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______。标准答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x知识点解析：显然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x。15、微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．标准答案：知识点解析：由，两边积分，得ln｜y｜=一In｜x｜+C，代入条件y(1)=1，得C=0．所以16、设D为两个圆：χ2＋y2≤1及(χ－2)2＋y2≤4的公共部分，则I＝ydχdy＝________．标准答案：0．知识点解析：暂无解析17、z＝f(χy)＋yg(χ2＋y2)，其中f，g二阶连续可导，则＝_______．标准答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g(χ2＋y2)知识点解析：暂无解析18、设函数y＝y(χ)由e2χ＋y－cosχy＝e－1确定，则曲线y＝y(χ)在χ＝0对应点处的法线方程为_______．标准答案：y＝χ＋1知识点解析：当χ＝0时，y＝1，e2χ＋y－cosχy＝e－1两边对χ求导得将χ＝0，y＝1代入得＝－2，故所求法线方程为y－1＝(χ－0)，即y＝χ＋1．19、若的代数余予式A12=-1，则代数余子式A21=________．标准答案：2知识点解析：按代数余子式定义A12=(-1)1+2=-(5x-4)=-1z=1．故A21=(-1)2+1=2．20、设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=________。标准答案：知识点解析：A=αβT==2，且矩阵的乘法满足结合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。21、设A=，A*为A的伴随矩阵，则(A*)－1=_________。标准答案：知识点解析：由A*=｜A｜A－1可得(A*)－1=。22、设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为α1=，则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为_______．标准答案：知识点解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2=λ3=5对应的特征向量为得λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为23、∫max{χ＋2，χ2}dχ＝_______．标准答案：知识点解析：max{χ＋2，χ2}＝，当χ≤－1时，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝C1；当－1＜χ＜2时，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋2χ＋C2；当χ≥2时，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋C3．取C2＝C24、=________标准答案：2ln2-1．知识点解析：25、=_____________.标准答案：知识点解析：考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第5套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设=______标准答案：知识点解析：2、设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=__________.标准答案：2知识点解析：暂无解析3、已知线性方程组无解，则a=_______．标准答案：-1知识点解析：A→，当a≠3且a≠-1时有唯一解；当a=3时，秩(A)=秩=2＜3，有无穷多解；当a=-1时，秩(A)=2，秩=3，故无解．4、＝________．标准答案：4－π知识点解析：暂无解析5、设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则=__________。标准答案：1知识点解析：将x=0代入原方程可得y=0。方程x2一y+1=ey两端同时对x求导，有(*)将x=0，y=0代入上式，可得=0。式(*)再次对x求导得6、设曲线y=f(x)与y=x2一x在点(1，0)处有公共的切线，则=_________.标准答案：一2知识点解析：本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线．7、设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是________.标准答案：λn-λn-1知识点解析：暂无解析8、设α1＝(1，0，－2)T和α2(2，3，8)T都是A的属于特征值2的特征向量，又向量β＝(0，－3，－10)T，则Aβ＝_______．标准答案：(0，－6，－20)T．知识点解析：暂无解析9、设函数φ(u)可导且φ(0)=1，二元函数z=φ(x+y)exy满足则φ(u)=________。标准答案：知识点解析：令x+y=u，则10、设曲线y＝lnχ与y＝k相切，则公共切线为_______．标准答案：y＝χ＋1知识点解析：设当χ＝a时，两条曲线相切，由得a＝e2．两条曲线的公其切线为y＝lne2＝(χ－e2)，整理得切线为y＝χ＋1．11、设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．标准答案：0；知识点解析：暂无解析12、设三阶矩阵三维列向量α=(a，1，1)T．已知Aα与α线性相关，则a=_______标准答案：一1知识点解析：因为Aα与α线性相关，所以Aα与α成比例，13、设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足=y2(x2—1)，则dz=______。标准答案：(2x—y)dx—xdy知识点解析：利用变量替换，设，则有即f(x，y)=x2一xy，因此dz=(2x—y)dx—xdy。14、设则a=___________．标准答案：2知识点解析：所以ea=(a一1)ea，a=2．15、下列微分方程中(填序号)_____是线性微分方程．标准答案：②、③知识点解析：这四个方程中只有②、③对未知函数y及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的．16、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为_________．标准答案：y=e-x(C1cosx+C2sin2x)知识点解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0．解得则原方程的通解为y=e-x(C1cosx+C2sin2x)．17、设z=z(x，y)满足方程2z-ez+2xy=3且z(1，2)=0，则dz｜(1,2)=_______．标准答案：-4dx-2dy知识点解析：方程两边求全微分得2dz-ezdz+2ydx+2xdy=0．令x=1，y=2，z=0得dz｜(1,2)=-4dx-2dy．18、设A＝，则｜－2A-1｜＝_______．标准答案：－4．知识点解析：用｜kA｜＝knA及｜A-1｜＝，可知｜－2A-1｜＝(－2)3｜A-1｜－8.．又｜A｜＝2，从而｜－2A-1｜＝－4．19、设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=_______．标准答案：(A+4E)知识点解析：由A2+A=3E，得A2+A-3E=0，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)[(A+4E)]=E，则(A-3E)-1=(A+4E)．20、设A＝，则A(A－2E)-1＝_______．标准答案：知识点解析：21、设n维向量α1，α2，α3满足2α1一α2+3α3=0，对于任意的n维向量β，向量组l1βα1，l2β+α2，l3β+α3都线性相关，则参数l1，l2，l3应满足关系____________．标准答案：2l1一l2+3l3=0知识点解析：因l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3线性相关甘存在不全为零的k1，k2，k3，使得k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0，即(k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0．因β是任意向量，α1，α2，α3满足2α1一α2+3α3=0，故令2l1一l2+3l3=0时上式成立，故l1，l2，l3应满足2l1一l2+3l3=0．22、方程组的通解是____________．标准答案：k[1，1，1，1]T，其中k是任意常数知识点解析：暂无解析23、＝_______．标准答案：知识点解析：24、设函数y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且y(1)＝1，则∫01y(χ)dχ＝_______．标准答案：知识点解析：25、设A～B，其中，则χ＝_______，y_______．标准答案：3；1．知识点解析：因为A～B，所以，解得χ＝3，y＝1．考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第6套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、=_______.标准答案：知识点解析：2、arctan(x－lnx.sinx)=________．标准答案：知识点解析：x－lnx.sinx=，由于x→+∞时，，x－lnx.sinx→+∞，于是3、设＝∫－∞atetdt，则a＝_______．标准答案：2知识点解析：由ea＝aea－ea得a＝2．4、设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{｜X—Y｜＞6}≤__________．标准答案：知识点解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(x)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而E(X-Y)=2-2=O，D(X-Y)=D(X)+D(Y)一2ρXY=1+4-2×0．5×1×2=3．由切比雪夫不等式，P{｜X—Y｜≥6≤．5、设A＝矩阵B满足A2－AB＝2B＋4E，则B＝_______．标准答案：知识点解析：B＝(A＋2E)-1(A2－4E)＝(A＋2E)-1(A＋2E)(A－2E)＝A－2E＝6、设φ(χ)＝(χ－t)f(t)dt，其中f连续，则φ〞(χ)＝_______．标准答案：2f(t)dt＋4χ2f(χ2)知识点解析：φ(χ)＝χ2f(t)dt－tf(t)dt,φ′(χ)＝2χf(t)dt＋2χ3f(χ2)－2χ3f(χ2)＝2χf(t)dtφ〞(χ)＝2f(t)dt＋4χ2f(χ2)．7、已知A=有三个线性无关的特征向量，则x=________。标准答案：0知识点解析：由A的特征方程｜λE—A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根据8、设矩阵A满足A2＋A－4E＝O，其中E为单位矩阵，则(A－E)-1＝_______．标准答案：(A＋2E)知识点解析：O＝A2＋A－4E＝(A－E)(A＋2E)＋2E－4E＝(A－E)(A＋2E)－2E，9、设y=y(x)是由方程2y3一2y2+2xy一x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是_________。标准答案：x=1知识点解析：方程两边对x求导，可得y’(3y2一2y+x)=x一y(*)令y’=0，有x=y，代入2y3一2y2+2xy一x2=1中，可得(x一1)(2x2+x+1)=0，那么x=1是唯一的驻点。下面判断x=1是否是极值点：对(*)式求导得y’’(3y2一2y+x)+y’(3y2一2y+x)’x=1一y’。把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得y’’(1)=＞0。故y(x)只有极值点为x=1，且它是极小值点。10、=_______标准答案：知识点解析：因为对[-a，a]上连续的函数f(x)有∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx，所以11、设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足=y2(x2—1)，则dz=______。标准答案：(2x—y)dx—xdy知识点解析：利用变量替换，设，则有即f(x，y)=x2一xy，因此dz=(2x—y)dx—xdy。12、曲线y＝3χ＋χ＋1的渐近线方程为_______．标准答案：y＝3χ＋1．知识点解析：只有间断点χ＝0，χ＝0为垂直渐近线．又则有斜渐近线y＝3χ＋1．13、定积分中值定理的条件是f(x)在[a，b]上连续，结论是___________。标准答案：在[a，b]上至少存在一点ξ，使∫abf(x)dx=f(ξ)(b一a)，a≤ξ≤b知识点解析：暂无解析14、已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，一1)T，α3=(一1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(一1，1)T，Aα3=(3，一4)T，则A=____________。标准答案：知识点解析：利用分块矩阵，得A(α1,α2,α3)=(Aα1,Aα2,Aα3)=，那么15、设z=，其中f(u)可导，则=_______标准答案：2z知识点解析：16、由方程χyz＋确定的隐函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的微分为dz＝_______．标准答案：dχ－dy知识点解析：χyz＋两边求微分得yzdχ＋χzdy＋χydz＋(χdχ＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dχ－dy．17、设D为圆域x2+y2≤x，则I==______.标准答案：知识点解析：D如图8．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：于是18、满足f’(x)+xf’(一x)=x的函数f(x)=____________．标准答案：ln(1+x2)+x—arctanx+C，其中C为任意常数知识点解析：在原方程中以(一x)代替x得f’(一x)一xf’(x)=一x，与原方程联立消去f’(一x)项得f’(x)+x2f’(x)=x+x2，所以f’(x)=，积分得f(x)=ln(1+x2)+x一arctanx+C，其中C为任意常数．19、＝_______．标准答案：知识点解析：20、设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1=1，λ2=一1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=_________．标准答案：18知识点解析：由|2E+A|=|A一(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值，由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1=1，λ2=一1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1=1，λ2=一1，λ3=一2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=-1，1+2×(-2)=一3，从而|E+2B|=3×(一1)×(一3)=9，|A|=λ1λ2λ3=2．故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=18．21、标准答案：知识点解析：22、设A为n阶矩阵，且｜A｜=a≠0，则｜(kA)*｜=_______标准答案：kn(n-1)an-1．知识点解析：因为(kA)*=kn-1A*，且｜A*｜=｜A｜n-1，所以｜(kA)*｜=｜kn-1A*｜=kn(n-1)｜A｜n-1=kn(n-1)an-1．23、设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX＝b的一组解，则k1η1＋…＋ksηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是_______．标准答案：k1＋k2…＋ks＝1知识点解析：k1＋k2＋…ks＝1．显然k1η1＋k2η2＋…＋ksηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是A(k1η2＋k2η2＋…＋ksηs)＝b，因为Aη1＝Aη2＝…＝Aηs＝b，所以(k1＋k2＋…＋ks)b＝b，注意到b≠0，所以k1＋k2＋…＋ks＝1，即k1η1＋k2η2＋…＋ksηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是是k1＋k2…＋ks＝1．24、函数z=1一(x2+2y2)在点处沿曲线C：x2+2y2=1在该点的内法线方向n的方向导数为________．标准答案：知识点解析：令F(x，y)=x2+2y2—1，则曲线C在点的法向量是25、4阶行列式D=|aij|的展开式中带负号，且含因子a12和a21的项是________．标准答案：-a12a21a33a44知识点解析：暂无解析考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第7套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、对充分大的一切x，给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，x1010，则其中最大的是______________．标准答案：知识点解析：当x充分大时，有重要关系：eαx＞＞xβ＞＞lnγx,其中α，β，γ＞0，故本题填2、设随机变量X的概率密度为f(x)=，且aX+b服从N(0，1)(a＞0)，则常数A=__________，a=__________，b=__________．标准答案：由已知，f(x)=．又aX+b～N(一a+b，2a2)，得一a+b=0，2a2=1，从而a=b=．知识点解析：考查正态分布密度函数的形式和其线性函数的分布，将f(x)与正态分布的密度表达式做对应分析．3、设函数y=y(x)由e2x+y-cosxy=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为______．标准答案：知识点解析：当x=0时，y=1，e2x+y一cosxy=e一1两边对x求导得4、设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-An｜=_______．标准答案：a2(a-2n)知识点解析：An=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)…(αTα)αT=2n-1ααT=，aE-An=｜aE-A｜=a[(a-2n-1)2-22(n-1)]=a2(a-2n)5、=________．标准答案：知识点解析：暂无解析6、＝_______．标准答案：知识点解析：因为当χ→0时，，7、=_______标准答案：知识点解析：由8、已知函数y＝e2χ＋(χ＋1)eχ是二阶常系数线性非齐次方程y〞＋ay′＋by＝ceχ的一个特解，试确定常数a＝_______，b＝_______，c＝_______及该方程的通解为_______．标准答案：a＝－3，b＝2，c＝－1，y＝C1e2χ＋C2eχ＋χeχ知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)=且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)=___________．标准答案：一知识点解析：利用洛必达法则，=b，由于f(x)在x=0处可导，则在该点处连续，就有b=f(0)=一1，再由导数的定义及洛必达法则，有10、设y=cosx2sin2，则y’=___________．标准答案：一2xsinx2sin2cosx2知识点解析：11、∫01xarcsinxdx=________．标准答案：知识点解析：12、微分方程y’’一4y=e2x的通解为__________。标准答案：知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为λ2一4=0，解得λ1=2，λ2=一2。故y’’一4y=0的通解为y1=C1e+C2eh，其中C1，C2为任意常数。由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解为13、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，，则｜C｜_______。标准答案：(－1)mnab；知识点解析：暂无解析14、设f(x)二阶连续可导，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则=_____标准答案：2知识点解析：15、标准答案：知识点解析：16、设f(x，y)有连续偏导数，满足f(1，2)=1，f’x(1，2)=2，f’y(1，2)=3，φ(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，则φ’(1)=_______．标准答案：302知识点解析：φ(x)=f(x，u(x))，u(x)=2f(x，v(x))，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2／(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1))=2f(1，2)=2，φ’(1)=f’1(1，2)+f’2(1，2)u’(1)=2+3u’(1)，u’(1)=2[f’1(1，2)+f’2(1，2)v’(1)]=2[2+3v’(1)]，v’(1)=2[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=2(2+2.3)=16．往回代u’(1)=2(2+3.16)=100，φ’(1)=2+3×100=302．17、设三阶行列式D3的第二行元素分别为1、一2、3，对应的代数余子式分别为一3、2、1，则D3=_________。标准答案：一4知识点解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(一3)+(一2)×2+3×1=一4。18、已知三维向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1一α2，α2一kα3，α3一α1也线性无关的充要条件是k____________．标准答案：≠1知识点解析：[α1一α2，α2一kα3，α3一α1]=[α1，α2，α3]．因α1，α2，α3线性无关，故α1一α2，α2一kα3，α3一α1线性无关的充要条件是=1一k≠0，k≠1．19、设．则(A*)-1=_________．标准答案：知识点解析：20、＝_______．标准答案：ln3知识点解析：21、设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是______．标准答案：0(n一1重根)，n(单根)知识点解析：λ=0(n一1重特征值)，λ=n(单根)．22、设f(x)==__________标准答案：e2-e知识点解析：23、若，则a=_________标准答案：-4知识点解析：由24、设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝_______．标准答案：4知识点解析：由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)2＝0得λ1＝1，λ2＝λ3＝1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E－A)＝1，解得a＝4．25、标准答案：-(1/11)知识点解析：考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第8套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、标准答案：2知识点解析：2、设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，则f’(0)=______。标准答案：n!知识点解析：由于f’(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x[(x+2)…(x+n)+…+(x+1)(x+2)…(x+n一1)]，所以f’(0)=n!。3、设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．标准答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx知识点解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．4、设z=z(x,y)由方程x-mz=φ(y一nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则=______.标准答案：1知识点解析：暂无解析5、设f(x)在x=a处可导，则=_______标准答案：10f(a)f’(a)知识点解析：因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．6、设f(x)在x=2处可导，且=2，则f(2)=_______，f’(2)=_______．标准答案：0，8知识点解析：因为=2，所以=0，再由f(x)在x=2处的连续性得f(2)=0．由=2，得f’(2)=8．7、已知方程组无解，则a=__________．标准答案：一1．知识点解析：本题考查非齐次线性方程组无解的充分必要条件．所涉及的知识点是Am×nx=b无解r(A)≠r(Ab)和用初等变换求矩阵的秩．设方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为A和B，对它们施以初等行变换由此知，当a=一1时，r(A)=2，r(B)=3，方程组无解．8、求=__________.标准答案：5π知识点解析：9、∫-11=_________．标准答案：2知识点解析：原式=∫-11[x2++(1-x2)]dx=∫-11dx+2∫-11=2．10、设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分则f(x)=_______标准答案：知识点解析：令11、已知∫－∞＋∞ek｜x｜=1，则k=________。标准答案：一2知识点解析：1=∫－∞＋∞ek｜x｜dx=2∫0＋∞ekxdx=2ekx｜0b，已知要求极限存在，所以k＜0。那么1=0一，所以k=一2。12、＝_______．标准答案：2ln()＋C知识点解析：13、标准答案：1知识点解析：14、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f’x(0，1，-1)=_______．标准答案：1知识点解析：f’x(x，y，z)=，x+y+z+xyz=0两边对x求偏导得=0，将x=0，y=1，z=-1代入得解得f’x(0，1，-1)=1．15、设f(x，y)连续，且f(x，y)=xy+f(x，y)dσ，其中D由y=0，y=x2及x=1围成，则f(x，y)=_______．标准答案：知识点解析：令f(x，y)dσ=k，则f(x，y)=xy+k，两边在D上积分得16、计算行列式=________。标准答案：(a1c2—a2c1)(b1d2—b2d1)知识点解析：根据行列式按行(列)展开法则，按照第一行展开，=a1c2(b1d2—b2d1)一a2c1(b1d2—b2d1)=(a1c2—a2c1)(b1d2—b2d1)。17、向量组α1＝(1，0，1，2)T，α2＝(1，1，3，1)T，α3＝(2，－1．a＋1，5)T线性相关，则a＝_______．标准答案：－1．知识点解析：α1，α2，α3线性相关(α1，α2，α3)＜3．故a＝－1．18、设y＝y(χ)过原点，在原点处的切线平行于直线y＝2χ＋1，又y＝y(χ)满足微分方程y〞－6y′＋9y＝e3χ，则y(χ)＝_______．标准答案：2χe3χ＋χ2e3χ知识点解析：由题意得y(0)＝0，y′(0)＝2，y〞－6y′＋9y＝e3χ的特征方程为λ2－6λ＋9＝0，特征值为λ1＝λ2＝3，令y〞－6y′＋9y＝e3χ的特解为y0(χ)＝aχ2e3χ，代入得a＝，故通解为y＝(C1＋C2)e3χ＋χ2e3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C1＝0，C2＝2，则y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ．19、设α1=线性相关，则a=_____标准答案：知识点解析：α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是｜α1，α2，α3｜=20、设A＝，则(A*)-1＝_______．标准答案：知识点解析：｜A｜＝10，因为A*＝｜A｜A-1，所以A*＝10A-1，故(A*)-1＝21、标准答案：(x2一y2)(b2一c2)知识点解析：22、设A=．n≥2为正整数，则An-2An-1=_______．标准答案：O知识点解析：A2==2A。An=2n-1A．An一2An-1=O23、求=_______标准答案：知识点解析：24、设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a＋1，a－2，a－1，则a＝_______．标准答案：1知识点解析：由(a＋1)＋2(a－2)＋3(a－1)＝0得a＝1．25、设f(x)=，则f(x)的间断点为x=________标准答案：0知识点解析：当x≠0时，f(x)=当x=0时，f(0)-0，即f(x)=因为，所以x=0为f(x)的间断点，且为第二类间断点．考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第9套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、已知当x→0时，一1与cosx一1是等价无穷小，则常数a=_______．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设f(x)=．则f(x)的间断点为x=_____．标准答案：0知识点解析：当x≠0时，f(x)=当x=0时，f(0)=0，即因为所以x=0为f(x)的间断点，且为第二类间断点．3、设其中f(x)可导且f’(0)≠0，则标准答案：3知识点解析：暂无解析4、极限=_____________。标准答案：2知识点解析：5、设n维向量a=(a，0，…，0，a)T，a<0，E是n阶单位矩阵，A=E-aaTB=E+1/aaaT.其中A的逆矩阵为B，则a=_________．标准答案：-1知识点解析：暂无解析6、设y=y(x)是由