考研数学二（高等数学）模拟试卷4（共111题）

考研数学二（高等数学）模拟试卷4（共4套）（共111题）考研数学二（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1-cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：A知识点解析：由m=6且x→0时，g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，应选(A)．2、设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处()．A、一定可导B、一定不可导C、不一定连续D、连续标准答案：D知识点解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以存在，于是f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数不一定相等，选(D)．3、设f(x)二阶连续可导，且，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且f’’(x)=0，即f’’(0)=0．又=-1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(-δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，则=______.标准答案：0知识点解析：当x→0时，f2(x)，∫0xlncos(x-t)dt=-∫0xlncos(x-t)d(x-t)d(x-t)-∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，5、设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f’≠1，则=______.标准答案：知识点解析：方程xef(y)=ey两边对x求导，得ef(y)+xef(y)f’(y)解得6、求=________.标准答案：知识点解析：7、=_______.标准答案：知识点解析：8、设连续非负函数f(x)满足f(x)f(-x)=1，则=________.标准答案：1知识点解析：9、设f(x)连续，则=______.标准答案：知识点解析：∫0rtf(r2-t2)dt=∫0x(r2-t2)d(r2-t2)=∫0r2f(u)du，cos(x+y)dσ=πr2cos(ξ+η)，其中ξ2+η2≤r2原式10、微分方程yy’’-2(y’)2=0的通解为_________．标准答案：y=C或者=C1x+C2知识点解析：令y’=p，得y’’=，代入原方程得，-2p2=0或=0．则p=0，或=0．当p=0时，y=C；当=0时，p=C1=C1y2，即=C1y2．由=C1y2，得=C1dx，从而=C1x+C2，所以原方程的通解为y=C或者=C1x+C2．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、求函数的反函数．标准答案：令f(x)=因为f(-x)==-f(x)，所以函数为奇函数，于是即函数的反函数为x=shy．知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续可导，标准答案：由∫0xf(x-t)dt∫xxf(u)(-du)=∫0xf(u)du，x→0时，x-ln(1+x)=x-[x-+o(x2)]～得知识点解析：暂无解析14、设且f’’(0)存在，求a，b，c．标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0，即f(x)=f’-(0)=f’+(0)=由f(x)在x=0处可导，得b=1，即f(x)=于是f’’-(0)=f’’+(0)=由f’’(0)存在，得a=，即a=，b=1，c=0．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(x)(4)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有｜f’’(x0)-(x-x0)2，其中x’为x关于x0的对称点．标准答案：由f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)3+(x-x0)4，f(x’)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(x’-x0)2+(x’-x0)3+(x’-x0)4，两式相加得f(x)+f(x’)-2f(x0)=f’’(x0)(x-x0)2+[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)](x-x0)4，于是｜f’’(x0)-[f(4)(ξ1)｜+｜f(4)(ξ2)｜](x-x0)2，再由｜f(4)(x)｜≤M，得｜f’’(x0)-(x-x0)2．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=-2．f’(0)=1，f’’(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．标准答案：因为f’’(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1．当x＞0时，f(x)-f(0)=f’(ξ)c，从而f(x)≥f(0)+x，因为[f(0)+x]=+∞，所以f(x)=+∞．由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=-2＜0，f(x)=+∞，则f(x)=0在(0，+∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得=a+b．标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，f(1)=1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端点介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得整理得知识点解析：暂无解析18、标准答案：因为所以知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：标准答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，即n∫0Tf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤(n+1)∫0Tf(t)dt，由，得注意到当x→+∞时，n→+∞，且由迫敛定理得知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：｜f(x)｜≤∫abf’(x)｜dx(a＜x＜b)．标准答案：因为且f(a)=f(b)=0，所以两式相加得｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx.知识点解析：暂无解析21、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫ab(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(c)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．标准答案：因为f’’(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxq>xφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]，上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知识点解析：暂无解析22、设讨论f(x，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性．标准答案：0≤｜f(x，y)｜≤｜xy｜，因为｜xy｜=0，由迫敛定理得f(x，y)=0=f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处连续．由得f’x(0，0)=0，同理f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导．令0≤≤｜x｜，由迫敛定理得=0，即f(x，y)在(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析23、计算，其中D={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1={(x，y)｜-1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)｜-1≤x≤1，x2≤y≤2}，知识点解析：暂无解析24、设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．标准答案：代入原方程得y’’-y=sinx，特征方程为r2-1=0，特征根为r1,2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=，故y*=sinx，于是方程的通解为y=C1ex+C2e-x-sinx，由初始条件得C1=1，C2=-1，满足初始条件的特解为y=ex-e-x-sinx．知识点解析：暂无解析25、某人的食量是2500卡／天(1卡=4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时问变化．标准答案：输入率为2500卡／天，输出率为(1200+16w)，其中w为体重，根据题意得，w(0)=w0，由，代入初始条件得C=w0-于是知识点解析：暂无解析26、早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?标准答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则H(t)=a(t-T)，又b×H(t)×△s=c×△t，于是，且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由T2-26T+164=0，T=知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、当x→0时，下列四个无穷小中哪一个是比其它几个更高阶的无穷小量A、x2B、1一cosxC、D、x一sinx标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()条件．A、充分且必要．B、充分非必要．C、必要非充分．D、非充分非必要．标准答案：A知识点解析：暂无解析3、设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)=(x一b)∫axf(t)dt，则存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A、1B、0C、D、2标准答案：B知识点解析：暂无解析4、已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy为某一函数的全微分，则a，b取值分别为A、一2和2B、2和—2C、一3和3D、3和一3标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设平面域由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，则A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、设f’(3)=2，则=________．标准答案：一3知识点解析：暂无解析7、已知y=f’(x)=arctanx2，则|x=0=________．标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(lnx)=则∫f(x)dx=________．标准答案：x一(1+ex)ln(1+ex)+C知识点解析：暂无解析9、sin(x一t)2dt=________．标准答案：sinx2．知识点解析：暂无解析10、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=________．标准答案：1知识点解析：暂无解析11、交换积分次序∫02dx∫x2xf(x，y)dy=________．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、求极限标准答案：e2知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：0知识点解析：暂无解析15、设y=y(x)由标准答案：=2(t一1)(t2+1)知识点解析：暂无解析16、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析17、设a1，a2，…，an为任意实数，求证方程a1cosx+a2cos2x+…+ancosnx=0在(0，π)内必有实根．标准答案：构造辅助函数F(x)=a1sinx+，对F(x)在[0，π]上用罗尔定理．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使eη一ξ[f’(η)+f(η)]=1．标准答案：对F(x)=exf(x)和g(x)=ex分别在[a，b]上用拉格朗日中值定理．知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、求正常数a、b，使标准答案：a=2，b=1知识点解析：暂无解析23、设星形线方程为(a＞0)．试求：1)它所围的面积；2)它的周长；3)它围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积和表面积．标准答案：1)2)6a3)体积知识点解析：暂无解析24、设z=其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析25、求函数z=3axy一x3一y3(a＞0)的极值．标准答案：(0，0)点取得极大值a3．知识点解析：暂无解析26、计算标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(x)是以ω为周期的连续函数．证明：线性方程+ky=f(x)(k为非零常数)存在唯一的以ω为周期的特解，并求其解．标准答案：由通解公式知其通解为由y(x)以ω为周期确定C，可得知识点解析：暂无解析28、设f(x)连续，且∫01f(tx)dt=f(x)+1，求f(x)．标准答案：f(x)=Cx+2．令xt=u.知识点解析：暂无解析29、求方程y(4)一y"=0的一个特解，使其在x→0时与x3为等价无穷小．标准答案：y=一6x+3ex一3e一x知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第3套一、解答题(本题共31题，每题1.0分，共31分。)1、设，求∫01f(x)dx．标准答案：令∫01f(x)dx=A．则．两边在[0．1]上积分得知识点解析：暂无解析2、已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．标准答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，则f(x)=x2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得知识点解析：暂无解析3、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析4、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析5、计算定积分∫01xarcsinxdx．标准答案：知识点解析：暂无解析6、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析7、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析9、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析10、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析11、设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)=1，求标准答案：知识点解析：暂无解析12、计算定积分∫-12xe-|x|dx．标准答案：∫-12xe-|x|dx=∫-11xe-|x|dx+∫12xe-|x|dx=∫12xe-xdx=一∫12xd(e-x)=-xe-x|12+∫12e-xdx=2e-1-3e-2知识点解析：暂无解析13、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算积分∫0πxln(sinx)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析29、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析30、证明：∫01xm(1一x)ndx=∫01xn(1一x)mdx，并用此式计算∫01x(1一x)50dx．标准答案：∫01xm(1一x)ndx∫10(1-t)mtn(-dt)=∫01xn(1-x)mdx．I=∫01x(1一x)50dx=∫01x50(1一x)dx=∫01x50dx-∫01x51dx=知识点解析：暂无解析31、求微分方程y"一y=4cosx+ex的通解．标准答案：特征方程为λ2一1=0，特征值为λ1=一1，λ2=1，y"一y=0的通解为y=C1e-x+C2ex，令y"一y=4cosx的特解为y1=acosx+bsinx，代入得a=一2，b=0；令y"一y=ex的特解为y3=cxex，代入得知识点解析：暂无解析考研数学二（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、下列命题正确的是()．A、若｜f(x)｜在x=s处连续，则f(x)在x=a处连续B、若f(x)在x=a处连续，则｜f(x)｜在x=a处连续C、若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a的一个邻域内连续D、若[f(a+h)-f(a-h)]=0，则f(x)在x=a处连续标准答案：B知识点解析：令f(x)=显然｜f(x)｜≡1处处连续，然而f(x)处处间断，(A)不对；令f(x)=显然f(x)在x=0处连续，但在任意x=a≠0处函数f(x)都是间断的，故(C)不对；令f(x)=[f(0+h)～f(0-h)]=0，但f(x)在x=0处不连续，(D)不对；若f(x)在x=a处连续，则=f(a)，又0≤｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤｜f(x)-f(a)｜，根据迫敛定理，｜f(x)｜=｜f(a)｜，选(B)．2、下列命题成立的是()．A、若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x-x0｜＜δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x-x0｜＜δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)=D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：设f(x)=显然f(x)在x=0处连续，对任意的x0≠0，因为f(x)不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；因为=f’(ξ)，其中ξ介于x0与x之间，且f’(x)存在，所以也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)=，选(C)；令不存在，(D)不对．3、设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有()．A、两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B、两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C、三个极大值点，两个极小值点，两个拐点D、两个极大值点，三个极小值点，两个拐点标准答案：C知识点解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小值点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大值点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小值点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大值点，即f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又f’’(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．4、设a=∫05xdt，β=∫0sinxdt，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为，所以两无穷小同阶但非等价，选(C)．5、设，其中D：x2+y2≤a2，则以值为()．A、1B、2C、D、标准答案：B知识点解析：令(0≤θ≤2π，0≤r≤a)，由解得a=2，选(B)．6、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选(D)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、=_______.标准答案：知识点解析：因为当x→0时，所以由于又于是原式=8、设f(x)可导且f(x)≠0，则=__________.标准答案：知识点解析：9、设f(x)二阶连续可导，且=0，f’’(0)=4，则=____.标准答案：e2知识点解析：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，则而f’’(0)=2，所以=e2．10、设f(x)在(-∞，+∞)上可导，f’(x)=e2，又[f(x)-f(x-1)]，则a=______．标准答案：1知识点解析：=e2a，由f(x)-f(x-1)=f’(ξ)，其中ξ介于x-1与x之间，令x→∞，由f’(x)=e2，得[f(x)-f(x-1)]=f’(ξ)=e2，即e2u=e2，所以a=1．11、求=________.标准答案：知识点解析：12、求=__________.标准答案：5π知识点解析：13、设u=u(x，y)二阶连续可偏导，且，若u(x，3x)=x，u’x(x，3x)=x3，则u’’xy(x，3x)=_______．标准答案：知识点解析：u(x，3x)=x两边对x求导，得u’x(x，3x)+3u’y(x，3x)=1，再对x求导，得u’’xx(x，3x)+6u’’xy(x，3x)+9u’’yy(x，3x)=0．由，得10u’’xx(x，3x)+6u’’xy(x，3x)=0，u’x(x，3x)=x3两边对x求导，得u’’xx(x，3x)+3u’’xy(x，3x)=3x2，解得u’’xy(x，3x)=三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛并求其极限．标准答案：令f(x)=(x＞0)，所以数列{an}单调．又因为a1=1，0≤an+1≤1，所以数列{an}有界，从而数列{an}收敛，令an=A，则有知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn-1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．标准答案：xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f’(ξn)(xn-xn-1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1-xn，与xn-xn-1同号，故{xn}单调．｜xn｜=｜f(xn-1)｜=｜f(x1)+∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+｜∫x1xn-1f’(x)dx｜≤｜f(x1)｜+∫-∞+∞dx=｜f(x1)｜+πk，即{xn}有界，于是xn存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞，得xn=f(xn)，原命题得证．知识点解析：暂无解析16、一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和术速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．标准答案：设运动规律为S=S(t)，显然S(0)0，S’(0)=O，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式两式相减，得S’’(ξ2)-S’’(ξ1)=-8S’’(ξ1)｜+｜S’’(ξ2)｜≥8．当｜S’’(ξ1)｜≥｜S’’(ξ2)｜时，｜S’’(ξ1)｜≥4；当｜S’’(ξ1)｜＜｜S’’(ξ2)｜时，｜S’’(ξ2)｜≥4．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x＞0)．标准答案：令φ(x)=e-x-xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．知识点解析：暂无解析18、设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0，f’’(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求标准答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f’(x)(X-x)，令Y=0得u=x-，由泰勒公式得f(u)=f’’(ξ1)u2，其中ξ1介于0与u之间，f(x)=f’’(ξ2)x2，其中ξ2介于0与x之间，于是知识点解析：暂无解析19、设x3-3xy+y3=3确定隐函数y=y(x)，求y=y(x)的极值．标准答案：x3-3xy+y3