考研数学二（线性代数）模拟试卷1（共267题）

考研数学二（线性代数）模拟试卷1（共9套）（共267题）考研数学二（线性代数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D等于()．A、0B、a2C、-a2D、na2标准答案：A知识点解析：不妨设第一列元素及余子式都是a，则D=a11A11+a21A21+…+a2n,1A2n,1=a2一a2+…一a2=0，应选(A)．2、行列式|A|非零的充分条件是()．A、A中所有元素非零B、A中至少有n个元素非零C、A的任意两行元素之间不成比例D、以|A|系数行列式的线性方程组有唯一解标准答案：D知识点解析：|A|≠0的充要条件是r(A)=n，r(A)=n的充要条件是AX=b有唯一解，应选(D)．3、假设A是n阶方阵，其秩(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中()．A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量线性无关C、任意r个行向量都构成极大线性无关向量组D、任何一个行向量列向量均可由其他r个列向量线性表示标准答案：A知识点解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由r(A)=r得A一定有，一个行向量线性无关，应选(A)．4、设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有()．A、|A|=|B|B、|A|≠|B|C、若|A|=0，则一定有|B|=0D、若|A|＞0，则一定有|B|＞0标准答案：C知识点解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即|B|=0，应选(C)．5、设向量组(I)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则()．A、若α1，α2，…，αr线性无关，则r≤sB、若α1，α2，…，αr线性相关，则r≤sC、若β1，β2，…，βs线性无关，则r≤sD、若β1，β2,…，βs线性相关，则r≤s标准答案：A知识点解析：因为(I)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，所以若α1，α2，…，αr线性无关，即(I)的秩=r，则r≤(Ⅱ)的秩≤s，应选(A)．6、设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位矩阵．若AB=E，则()．A、B的行向量组线性无关B、B的列向量组线性无关C、A-1=BD、|AB|=|A||B|标准答案：B知识点解析：由AB=E得r(AB)=n，从而r(A)≥n，r(B)≥n，又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，故B的列向量组线性无关，应选(B)．7、非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则()．A、r=m时，方程组AX=b有解B、r=n时，方程组AX=b有唯一解C、m=n时，方程组AX=b有唯一解D、r＜n时，方程组AX=b有无穷多解标准答案：A知识点解析：≥r(A)，当r=m时，≥r(A)=m；故AX=b有解，应选(A)．8、设A为m×n矩阵且r(A)=n(n＜m)，则下列结论中正确的是()．A、若AB=AC，则A=CB、若BA=CA，则B=CC、A的任意n个行向量线性无关D、A的任意n个行向量线性相关标准答案：B知识点解析：由BA=CA得(B一C)A=O，则r(A)+r(B一C)≤n，由r(A)=n得r(B-C)=0，故B=C，应选(B)．9、设α1，α2，α3是AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成()．A、α1，α2，α3的一个等价向量组B、α1，α2，α3的一个等秩向量组C、α1，α1+α2，α1+α2+α3D、α1一α2，α2一α3，α3一α1标准答案：A知识点解析：(B)显然不对，因为与α1，α2，α3等秩的向量组不一定是方程组的解；因为α1+(α2+α3)一(α1+α2+α3)=0，所以α1，α2+α3，α1+α2+α3线性相关，不选(C)；由(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0，所以α1一α2，α2一α3，α3一α1线性相关，不选(D)，应选(A)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、设n阶矩阵则|A|=_____．标准答案：(n一1)(一1)n-1知识点解析：11、标准答案：0知识点解析：=(一a)A12+bA13=aM12+bM13==一abc+abc=0．12、设A，B均为n阶方阵，|A|=2,|B|=一3，则|A-1B*一A*B-1|=_______．标准答案：知识点解析：A*=|A|A-1=2A-1，B*=|B|B-1=一3B-1，则|A-1B*一A*B-1|=|一3A-1B-1一2A-1B-1|=(一5)n|A-1|．|B-1|=13、设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式|A|=一2，则行列式|-A1一2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1|=_____．标准答案：12知识点解析：由(一A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1)=(A1，A2，A3)得|—A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1|=|A1，A2，A3|.14、设A是三阶方阵，且|A—E|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A*一3E|=______．标准答案：126知识点解析：由|A—E|=|A+2E|=|2A+3E|=0得|E-A|=0，|一2E-A|=0，矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=一2，|A|=3，A*的特征值为2A*一3E的特征值为3，一6，一7，故|2A*一3E|=126．15、设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵B，则B-1A=______．标准答案：知识点解析：16、设A为4×3矩阵，且r(A)=2，而B=，则r(AB)=______．标准答案：2知识点解析：因为=12≠0，所以B可逆，于是r(AB)=r(A)=2．17、向量组α1=[0，4，2一k]，α2=[2，3一k，1]，α3=[1一k，2，3]线性相关，则实数k=_______．标准答案：6知识点解析：由=0得k=6．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)18、设，求：(1)2A11+A12一A13；(2)A11+4A21+A31+2A41标准答案：2A11+A12一A13=2A11+A12一A13+0A14知识点解析：暂无解析19、设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，|A|=1／3，求|4A一(3A*)-1|．标准答案：由A*=|A|A-1=得|4A一(3A*)-1|=|4A—A|=|3A|=27|A|=9．知识点解析：暂无解析20、A是三阶矩阵，三维列向量组β1，β2，β3线性无关，满足Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2，求|A|．标准答案：令B=(β1，β2，β3)，由Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2得因为β1，β2，β3线性无关，所以B可逆，故|A|=2．知识点解析：暂无解析21、标准答案：由初等变换的性质得B=AP1P2，则B-1=P2-1P1-1A-1=P2P1A-1．知识点解析：暂无解析22、设A，B为三阶矩阵，满足AB+E=A2+B，E为三阶单位矩阵，又知求矩阵B．标准答案：由AB+E=A2+B得(A—E)B=A2一E．知识点解析：暂无解析23、已知，AP=PB，求A与A5．标准答案：由AP=PB得A=PBP-1，知识点解析：暂无解析24、设矩阵满足A-1(E—BBTA-1)-1C-1=E，求C．标准答案：由A-1(E—BBTA-1)-1C-1=E得C(E—BBTA-1)A=E，即C(A—BBT)=E，解得C=(A-BBT)-1．知识点解析：暂无解析25、解方程标准答案：令X=(X1，X2)，知识点解析：暂无解析26、设向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α4的秩分别为(I)=2，秩(Ⅱ)=3．证明向量组α1，α2，α3+α4的秩等于3．标准答案：由向量组(Ⅱ)的秩为3得α1，α2，α4线性无关，从而α1，α2线性无关，由向量组(I)的秩为2得α1，α2．α3线性相关，从而α3可由α1，α2线性表示，令α3=一k1α1+k2α2．(α1，α2，α3+α4)=(α1，α2，k1α1+k2α2+α4)故r(α1，α2，α3+α4)=r(α1，α2，α4)=3．知识点解析：暂无解析27、已知线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解．标准答案：(1)当k1≠2时，方程组有唯一解；(2)当k1=2时，情形一：k2≠1时，方程组无解；情形二：k2=1时，方程组有无数个解，知识点解析：暂无解析28、设向量组试问：当a，b，c满足什么条件时(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一；(2)β不能由α1，α2，α3线性表出；(3)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式．标准答案：(1)当a≠一4时，B可由α1．α2，α3唯一线性表示．当a=一4时，(2)当c-3b+1=0时，β可由α1，α2，α3线性表示，但表示方法不唯一，(3)当c-3b+1≠0时，β不可由α1，α2，α3线性表示．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、向量组α1，α2，…αs线性无关的充要条件是()．A、α1，α2，…αs均不为零向量B、α1，α2，…αs中任意两个向量的分量不成比例C、α1，α2，…αs中任意一个向量均不能由其余s--1个向量线性表示D、α1，α2，…αs中有一部分向量线性无关．标准答案：C知识点解析：若α1，α2，…，αs线性无关，则α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs线性无关，应选(C)．2、设矩阵Am×n,r(A)=m＜n,Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()．A、A通过初等行变换必可化为[Em，O]的形式B、A的任意m阶子式不等于零C、A的任意m个列向量必线性无关D、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设若齐次方程组AX=0的任一非零解均可用α线性表示．则a=()．A、3B、5C、3或一5D、5或-3标准答案：C知识点解析：因为AX=0的任一非零解都可由α线性表示，所以AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而r(A)=2．a一5=一2或a+5=0，解得a=3或一5，应选(C)．4、设都是线性方程组AX=0的解向量，只要系数矩阵A为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为α1，α2线性无关，所以AX=0的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而r(A)≤1，5、设，则()不是A的特征向量．A、(一1，1，一1)TB、(1，2，0)TC、(0，1，1)TD、(2，4，一1)T标准答案：A知识点解析：6、下列矩阵中，不能相似对角化的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：的特征值为7，0，0，因为r(0E—A)=r(A)=2，所以λ=0对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选(C)．7、设A，B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则()．A、A与B有相同的特征值B、A与B有相同的秩C、A与B有相同的特征向量D、A与B有相同的行列式标准答案：B知识点解析：因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP=B，从而r(A)=r(B)，应选(B)．8、设则A与B()．A、合同且相似B、合同但不相似C、不合同但相似D、不合同且不相似标准答案：A知识点解析：因为A，B都是实对称矩阵，且特征值相同，所以A、B既相似又合同，应选(A)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)9、设三阶矩阵三维列向量α=(a，1，1)T．已知Aα与α线性相关，则a=_______标准答案：一1知识点解析：因为Aα与α线性相关，所以Aα与α成比例，10、设向量组线性无关，则a，b，c必满足关系式______．标准答案：abc≠0知识点解析：由=2abc≠0得a，b，c满足的关系式为abc≠0．11、若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件______．标准答案：a4一a1+a2一a3知识点解析：则方程组有解应满足的条件为a4一a1+a2一a3=0．12、若矩阵，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=_____．标准答案：1知识点解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．13、设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若行列式|2A|=-48，则λ=______．标准答案：一1知识点解析：|A|=6λ，由|2A|=8|A|=一48得|A|=一6，解得λ=一1．14、矩阵的非零特征值是_____．标准答案：4知识点解析：由|λE—A|==λ2(λ一4)=0得A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=4，非零特征值为4．15、已知有三个线性无关的特征向量，则a=_______．标准答案：一10知识点解析：由|λE—A|==(λ一1)(λ一2)2=0得λ1=1，λ2=λ3=2，因为A可对角化，所以r(2E—A)=1，16、若相似，则x=_____，y=_____．标准答案：x=一17，y=一12知识点解析：由A与B相似得tr(A)=tr(B)，即x+22=5，解得x=一17；由|A|=|B|得一374—31y=一2，解得y=一12．17、已知矩阵只有两个线性无关的特征向量，则A的三个特征值是______，a=______标准答案：λ1=λ2=λ3=2，a=一5知识点解析：|λE—A|==(λ-2)3=0，特征值为λ1=λ2=λ3=2，因为λ1=λ2=λ3=2只有两个线性无关的特征向量，所以r(2E—A)=1，三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)18、设线性方程组(1)求线性方程组(I)的通解；(2)m，n取何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有公共非零解；(3)m，n取何值时，方程组(I)与(Ⅱ)同解．标准答案：当m=一2或n=3时，两个方程组有公共的非零解．(3)当m=一2，n=3时，两个方程组同解．知识点解析：暂无解析19、设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T．(1)求方程组(I)的一个基础解系；(2)当a为何值时，方程组(I)与方程组(Ⅱ)有非零公共解?标准答案：知识点解析：暂无解析20、已知0是的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特征向量．标准答案：因为0为A的特征值，所以解得a=1．由|λE—A|==λ(λ一2)2=0得λ1=0，λ2=λ3=2．λ1=0代入(λE—A)X=0，λ2=λ3=2代入(2E—A)X=0，λ2=λ3=2对应的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析21、设A是三阶矩阵，其特征值是1，2，3，若A与B相似，求|B*+E|．标准答案：因为A～B，所以B的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，B*+E的特征值为7，4，3，故|B*+E|=84．知识点解析：暂无解析22、已知二次型f=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32．求参数a及所用的正交变换矩阵．标准答案：A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5，由|A|=2(9一a2)=10得a=2，λ1=1代入(λE—A)X=0，λ2=2代入(2E—A)X=0，λ2=2对应的线性无关的特征向量为λ3=5代入(λE—A)X=0，知识点解析：暂无解析23、设a是整数，若矩阵的伴随矩阵A*的特征值是4，一14，一14．求正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．标准答案：|A*|=4×(一14)×(一14)=282，由|A*|=|A|2得|A|=28或|A|=一28．λ1=一7代入(λE—A)X=0，λ2=λ3=2代入(λE—A)X=0，知识点解析：暂无解析24、n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O，证明A能相似对角化．标准答案：由A2一2A一3E=0得(E+A)(3E—A)=0，则r(E+A)+r(3E—A)≤n；由r(E+A)+r(3E—A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E—A)=n．(1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵；(2)当r(3E—A)=n时，为对角矩阵；(3)r(E+A)＜n，r(3E—A)＜n，则|E+A|=0，|3E—A|=0，A的特征值λ1=一1，λ2=3．λ1=一1对应的线性无关的特征向量个数为n一r(一E—A)=n一r(E+A)；λ2=3对应的线性无关的特征向量个数为n一r(3E—A)．因为n一r(E+A)+n一r(3E—A)=n，所以A可相似对角化．知识点解析：暂无解析25、设已知A有三个线性无关的特征向量且λ=2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：由λ1=λ2=2及λ1+λ2+λ3=tr(A)=10得λ3=6．因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以r(2E—A)=1，λ1=λ2=2代入(λE—A)X=0，知识点解析：暂无解析26、已知(1)t取何值时，A为正定矩阵?为什么?(2)t取何值时，A与B等价?为什么?(3)t取何值时，A与C相似?为什么?(4)t取何值时，A与D合同?为什么?标准答案：(1)得t＞0，当t＞0时，因为A的顺序主子式都大于零，所以A为正定矩阵．因为A与B等价，所以r(A)=r(B)=2＜3，故t=0．(3)C的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=5，由|λE—A|==(λ一1)(λ一3)(λ—t)=0得A的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=t，故t=5．矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=t，因为A与D合同，所以特征值中正、负个数一致，故t＜0．知识点解析：暂无解析27、考虑二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3，问λ取何值时，f为正定二次型?标准答案：因为A正定，所以解得一2＜λ＜1．知识点解析：暂无解析28、设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知r(A)=2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．标准答案：(1)令AX=λX，由A2+2A=O的(λ2+2λ)X=0，注意到X≠0，则λ2+2λ=0，解得λ=0或λ=一2．由r(A)=2得λ1=0，λ2=λ3=一2．(2)A+kE的特征值为k，k一2，k一2，当k＞2时，A+kE为正定矩阵．知识点解析：暂无解析29、求二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩，正负惯性指数p，q．标准答案：f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3—2x2x3，λ1=0，λ2=λ3=3，则二次型的秩为2，正惯性指数为2，负惯性指数为0．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B、若｜AB｜=0，则A=O或B=OC、｜A-B｜=｜A｜-｜B｜D、｜AB｜=｜A｜｜B｜标准答案：D知识点解析：(A)、(C)显然不对，设A=，显然A，B都是非零矩阵，但AB=O，所以｜AB｜=0，(B)不对，选(D)．2、设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=α1，α2，β2，α3=n，则｜α3，α2，α1，β1+β2｜为()．A、m+nB、m-nC、-(m+n)D、n-m标准答案：D知识点解析：｜α3，α2，α1，β1+β2｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜=-｜α2，α2，α3，β1｜-｜α1，α2，α3，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜=n-m.选(D)．3、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m＞n时，必有｜AB｜≠0B、当m＞n时，必有｜AB｜=0C、当n＞m时，必有｜AB｜≠0D、当n＞m时，必有｜AB｜=0标准答案：B知识点解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，选(B)．4、设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于()．A、A+BB、A-1+B-1C、A(A+B)-1BD、(A+B)-1标准答案：C知识点解析：A(A+B)-1B(A-1+B-1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以选(C)．5、设A，B都是n阶可逆矩阵，则()．A、(A+B)*=A*+B*B、(AB)*=B*A*C、(A-B)*=A*-B*D、(A+B)*一定可逆标准答案：B知识点解析：因为(AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A-1=B*A*，所以选(B)．6、设A为n阶矩阵，k为常数，则(ka)*等于()．A、kA*B、knA*C、kn-1A*D、kn(n-1)A*标准答案：C知识点解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n-1阶子式，所以(kA)*=kn-1A*，选(C)．7、设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是()．A、A=OB、A=EC、若A不可逆，则A=OD、若A可逆，则A=E标准答案：D知识点解析：因为A2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D)．8、设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m＜N，则()．A、A的任意m个列向量都线性无关B、A的任意m阶子式都不等于零C、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D、矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em┆O)标准答案：C知识点解析：显然由r(A)=m＜n，得r(A)=r(A)=m＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解．选(C)．9、设P1=，P2=，若P1mAP0n=则m，n可取()．A、m=3，n=2B、m=3，n=5C、m=2，n=3D、m=2，n=2标准答案：B知识点解析：P1mAP2n=经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==E12，P2==E13，且Eij2=E，P1mAP2=P1AP2n，则m=3，n=5，即选(B)．10、设，则B-1为()．A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1标准答案：C知识点解析：B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以B-1=P2-1P1-1A-1或B-1=P1-1P2-1A-1，注意到Eij-1=Eij，于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，选(C)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、设D=，则A31+A32+A33=_______．标准答案：0知识点解析：A31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A3312、设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，则｜B-1+2E｜=______．标准答案：60知识点解析：因为｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B-1的特征值为1，2，3，则B-1+2E的特征值为3，4，5，故｜B-1+2E｜=60．13、设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B-A｜=-4，则｜E-ABT｜=_______．标准答案：-4知识点解析：｜A｜＜0｜A｜=-1．｜E-ABT｜=｜AAT-AB｜=｜A｜｜(A-B)T｜=-｜A-B｜=｜B-A｜=-4．14、设A为n阶矩阵，且｜A｜=a≠0，则｜(kA)*｜=______．标准答案：kn(n-1)an-1知识点解析：因为(kA)*=k-1A*，且｜A*｜=｜A｜n-1，所以｜(kA)*｜=｜kn-1A*｜=kn(n-1)｜A｜n-1=kn(n-1)an-1．15、设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则B=________．标准答案：知识点解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A-1=-3A-1，则(A*)-1B=ABA+2A2化为AB=ABA-2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，则B=-6A(E+3A)-1，E+3A=，(E+3A)-1=则B=-6A(E+3A)-1=16、设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，且A=，则B=______．标准答案：知识点解析：由A*BA=2BA-8E，得AA-1BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)-1=17、=______.标准答案：知识点解析：=E13，=E12，因为Eij-1-Eij，所以Eij2=E，于是=E1318、设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=_________．标准答案：6知识点解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．19、设A=，B≠O为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=__________．标准答案：1知识点解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1．三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)20、设A是正交矩阵，且｜A｜＜0．证明：｜E+A｜=0．标准答案：因为A是正交矩阵，所以ATA=E，两边取行列式得｜A｜2=1，因为｜A｜＜0，所以｜A｜=-1．由｜E+A｜=｜ATA+A｜=｜(AT+E)A｜=｜A｜｜AT+E｜=-｜AT+E｜=-｜(A+E)T｜=-｜E+A｜得｜E+A｜=0．知识点解析：暂无解析21、设A=(aij)n×n是非零矩阵，且｜A｜中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：｜A｜≠0．标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=ak12+ak22+…+akn2＞0．知识点解析：暂无解析22、计算D2n=标准答案：D2n=a2D2n-2=b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=…=(a2-b2)n．知识点解析：暂无解析23、计算(ai≠0，i=1，2，…，n)．标准答案：Dn==a1a2…an-1+anDn-1=a1a2…an-1+an(a1a2…an-2+an-1Dn-2)=a1a2…an-1+a1a2…an-2an+anan-1Dn-2=…=+anan-1…a2(1+a1)=a1a2…an知识点解析：暂无解析24、设D=，求Ak1+Ak2+…+Akn．标准答案：令A=，C=(n)，｜A｜=(-1)n+1n!，则得A*=｜A｜A-1=(-1)n+1n!A-1，所以Ak1+Ak2+…+Akn=知识点解析：暂无解析25、设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，｜B｜=2，求标准答案：因为A～B，所以A，B特征值相同，设另一特征值为λ3，由｜B｜=λ1λ2λ3=2得λ3=1，A+E的特征值为2，3，2，(A+E)-1的特征值为，则｜(A+E)-1｜=．因为B的特征值为1，2，1，所以B*的特征值为，即为2，1，2，于是｜B*｜=4，｜(2B)*｜=｜4B*｜=43｜B*｜=256，故=｜(A+E)-1｜｜(2B)*｜=知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设A=，则A与B()．A、合同且相似B、相似但不合同C、合同但不相似D、既不相似又不合同标准答案：C知识点解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE-A｜=0，得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=9，由｜λE-B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，b惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选(C)．2、设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX=0，则()．A、｜A｜=0B、｜A｜＞0C、｜A｜＜0D、以上都不对标准答案：A知识点解析：设二次型f=XTAXλ1y12+λ2y22+λ3y32，其中Q为正交矩阵．取Y=，则f=XTAX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选(A)．二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2-2A=O，该二次型的规范形为______．标准答案：y12+y22知识点解析：A2-2A=Or(A)+r(2E-A)=4A可以对角化，λ1=2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1=2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12+y22．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)4、设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明α，Aα线性无关；(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；标准答案：(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，可设k2≠0，所以Aα=，矛盾，所以α，Aα线性无关．(2)由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，因为α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，从而｜A2+A-6E｜=0，即｜3E+A｜.｜2E-A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E-A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E-A｜≠0，则2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E-A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值-3，2，故A可对角化．知识点解析：暂无解析5、设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A可否对角化．标准答案：(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一个特征值为λ1=2；又由A(α1-α2)=-(α1-α2)，A(α2-α3)=-(α2-α3)，得A的另一个特征值为λ2=-1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1-α2与α2-α3也线性无关，所以λ2=-1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，-1，-1．(2)因为α1-α2，α2-α3为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．知识点解析：暂无解析6、设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB=BA：(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．标准答案：(1)由AB=A-B得A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，即E-B与E+A互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故AB=BA．(2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi=λiBλi，i=1，2，3．若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi=μiξi；若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP，P-1BP同为对角阵．知识点解析：暂无解析7、(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*；(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．标准答案：(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，而A*=A｜A-1，B*=｜B｜B-1，于是由P-1AP=B，得(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1，故P-1｜A｜A-1P=｜A｜B-1或P-1A*P=B*，于是A*～B*．(2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P-1AP=B，即AP=PB.于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故AP～BP.知识点解析：暂无解析8、设A=有三个线性无关的特征向量，求a及An．标准答案：由｜λE-A｜==0，得λ1=λ2=1，λ3=2．因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E-A)=1，即a=1，故由λ=1时，由(E-A)X=0，得ξ1=，ξ2=由λ=2时，由(2E-A)X=0，得ξ3=令P=(ξ1，ξ2，ξ3)=，则P-1AP=，两边n次幂得P-1AnP=从而An=PP-1知识点解析：暂无解析9、设方程组，有无穷多个解，α1=，α2=α3=为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．(1)求A；(2)求｜A*+3E｜．标准答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2-2a+1=0，解得a=1．令P=(α1，α2，α3)=，则P-1AP=从而(2)｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，-1，-2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知识点解析：暂无解析10、设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(-1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．标准答案：(1)因为A的每行元素之和为5，所以有，即A有特征值λ2=5，对应的特征向量为又因为Ax=0有非零解，所以r(A)＜3，从而A有特征值0，设特征值0对应的特征向量为，根据不同特征值对应的特征向量正交得解得特征值0对应的特征向量为(2)令P=，P-1=，由P-1AP=，得知识点解析：暂无解析11、设A=，求a，b及正交矩阵P，使得PTAP=B．标准答案：因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，｜A｜=｜B｜，即解得a=1，b=0，则因为A～B，所以矩阵A，B的特征值都为λ1=1，λ2=0，λ3=6．当λ=1时，由(E-A)X=0，得ξ1=当λ=0时，由(0E-A)X=0，得ξ2=当λ=6时，由(6E-A)X=0，得ξ3=令再令P=(γ1，γ2，γ3)=，则有PTAP=B．知识点解析：暂无解析12、设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．标准答案：因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B公共的特征值，A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解；B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，因为≤r(A)+r(B)＜n，所以方程组有非零解，即A，B有公共的特征向量．知识点解析：暂无解析13、设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．标准答案：(1)令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，则x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0x1α2+x2α3+…+xn-1αn=0x1Aα2+x2Aα3+…+xn-1Aαn=0x1α3+x2α4+…+xn-2αn=0…x1αn=0因为αn≠0，所以x1=0，反推可得x2=…xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．(2)A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)，令P=(α1，α2，…，αn)，则P-1AP==B，则A与B相似，由｜λE-B｜=0λ1=…=λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．知识点解析：暂无解析14、设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为k1+k2，设β=，求Aβ．标准答案：因为A的每行元素之和为5，所以有，即A有一个特征值为λ1=5，其对应的特征向量为ξ1=，Aξ1=5ξ1．又AX=0的通解为k1+k2，则r(A)=1λ2=λ3=0，其对应的特征向量为ξ2=，ξ3=，Aξ2=0，Aξ3=0．令x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3=β，解得x1=8，x2=-1，x3=-2，则Aβ=8Aξ1-Aξ2-2Aξ3=8Aξ1=知识点解析：暂无解析15、A=，求a，b及可逆矩阵P，使得P-1AP=B．标准答案：由｜λE-B｜=0，得λ1=-1，λ2=1，λ3=2，因为A～B，所以A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=2．由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由｜A｜=b=λ1λ2λ3=-2，得b=-2，即由(-E-A)X=0，得ξ1=(1，1，0)T；由(E-A)X=0，得ξ2=(-2，1，1)T；由(2E-A)X=0，得ξ3=(-2，1，0)T，令P1=，则P1-1AP1=由(-E-B)X=0，得η1=(-1，0，1)T；由(E-B)X=0，得η2=(1，0，0)T；由(2E-B)X=0，得η3=(8，3，4)T，令P2=，则P2BP2=由P1-1AP1=P2-1BP2，得(P1P2-1)-1AP1P2-1=B，令P=P1P2-1=，则P-1AP=B．知识点解析：暂无解析16、设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．标准答案：｜λE-A｜==(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1-a，λ2=a，λ3=1+a．(1)当1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．λ1=1-a时，由[(1-a)E-A]X=0得ξ1=；λ2=a时，由(aE-A)X=0得ξ2=；λ3=1+a时，由[(1+a)E-A]X=0得ξ3=P=，P-1AP=(2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．(3)当a=时，λ1=λ2=，因为=2，所以方程组的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．知识点解析：暂无解析17、设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．标准答案：首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)=n，对任意的X＞0，XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)=αTα=｜α｜2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．知识点解析：暂无解析18、设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．标准答案：首先AT=A，因为(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP为对称矩阵，对任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因为P可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以αTAα＞0，即XT(PTAP)X＞0，故XT(PTAP)X为正定二次型，于是PTAP为正定矩阵．知识点解析：暂无解析19、设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵．标准答案：显然AT=A，对任意的X≠0，XTAX=(PX)T(PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是XTAX=(PX)T(PX)=｜PX｜2＞0，即XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．知识点解析：暂无解析20、设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．标准答案：因为A，B正定，所以AT=A，BT=B，从而(A+B)T=A+B，即A+B为对称矩阵．对任意的X≠0，XT(A+B)X=XTAX+XTBX，因为A，B为正定矩阵，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A+B)X＞0，于是A+B为正定矩阵．知识点解析：暂无解析21、三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．标准答案：因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为f=y12+y22-2y32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2．由｜A｜=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值为μ1=μ2=-2，μ3=1，从而A*+2E的特征值为0，0，3，即α1为A*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量．令A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为α=，因为A为实对称矩阵，所以有α1Tα=0，即x1+x3=0故矩阵A的属于λ1=λ2=1的特征向量为α2=，α3=令P=(α2，α3，α1)=，由P-1AP=，得A=PP-1=，所求的二次型为f=XTAX=x12+x22-x32+3x1x3．知识点解析：暂无解析22、设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．标准答案：二次型f=2x1+2x2+ax3+2x1x2+2bx1x3+2x2x3的矩阵形式为f=XTAX其中A=，因为QTAQ=B=，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而｜λE-A｜=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)，所以有λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4)，解得a=2，b=1．当λ1=λ2=1时，由(E-A)X=0得ξ1=，ξ2=由λ3=4时，由(4E-A)X=0得ξ3=．显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为知识点解析：暂无解析23、设齐次线性方程组有非零解，且A=为正定矩阵，求a，并求当｜X｜=时XTAX的最大值．标准答案：因为方程组有非零解，所以=a(a+1)(a-3)=0，即a=-1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以aij＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由｜λE-A｜==(λ-1)(λ-4)(λ-10)=0得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得f=XTAX=y12+4y22+10y32≤10(y22+y22+y32)而当｜X｜=时．y12+y22+y32=TTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=｜X｜2=2所以当｜X｜=时，XTAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1=y2=0，y3=)．知识点解析：暂无解析24、设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．标准答案：A所对应的二次型为f=XTAX，因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得f=XTAXλ1y1+λ2y2+…+λnyn，其中λi＞0(i=1，2，…，n)，对任意的X≠0，因为X-QY，所以Y=QTX≠0，于是f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2＞0，即对任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．知识点解析：暂无解析25、设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．标准答案：因为(BTAB)T=BTAT(B)T=BTAB，所以BTAB为对称矩阵，设BTAB是正定矩阵，则对任意的X≠0，XTBTABX=(BX)TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n．反之，设r(B)=n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，所以BTAB为正定矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，则P-1AP等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，-1的特征向量，所以P-1AP=，选(C)．2、设A，B为行阶矩阵，且A，B的特征值相同，则()．A、A，B相似于同一个对角矩阵B、存在正交阵Q，使得QTAQ=BC、r(A)=r(B)D、以上都不对标准答案：D知识点解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)．所以(A)，(B)，(C)都不对，选(D)．3、设A是n阶矩阵，下列命题错误的是()．A、若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值B、若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值C、若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值D、若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值标准答案：A知识点解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是-1为A的特征值；若A的每行元素之和为-1，则，根据特征值特征向量的定义，-1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2-1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负，得-1为A的特征值，选(A)．4、与矩阵A=相似的矩阵为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选(D)．5、设A为n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B、若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C、若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D、若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等标准答案：D知识点解析：(A)不对，如A=，A的两个特征值都是0，但r(A)=1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A=，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能，化为因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=于是r(A)=，故选(D)．6、设A，B为n阶可逆矩阵，则()．A、存在可逆矩阵P，使得P-1AP=BB、存在正交矩阵Q，使得QTAQ=BC、A，B与同一个对角矩阵相似D、存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B标准答案：D知识点解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、设A=，｜A｜＞0且A*的特征值为-1，-2，2，则a11+a22+a33=________，标准答案：-2知识点解析：因为｜A*｜2=｜A｜=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A-1=A*，从而A-1的特征值为，-1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为-2，-1，1，于是a11+a22+a33=-2-1+1=-2．8、设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=，λ3=，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，则P-1(A-1+2E)P=____．标准答案：知识点解析：P-1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，而P-1A-1P=，所以P-1(A-1+2E)P=9、设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足______．标准答案：λ2λ3≠0知识点解析：令x1α1+x2A(α1+α2)+x3A2(α1+α2+α3)=0，即(x1+λ1x2+λ12x3)α1+(λ2x2+λ2x32)α2+λ32x3α3=0，则有x1+λ1x2+λ12x3=0，λ1x3+λ22x3=0，λ32x3=0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以λ2λ3≠0．10、若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜=______．标准答案：2知识点解析：令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，由AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α2，α3)得P-1AP=所以11、设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，-a，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1-a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．标准答案：1知识点解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1=0，λ2=-1为矩阵A的特征值，α1=(a，-a，1)T，α2=(a，1，1-a)T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2=a2-a+1-a=0，解得a=1．12、设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________．标准答案：4知识点解析：由｜λE-A｜==(λ+1)(λ-1)2=0得λ1=-1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E-A)=1，解得a=4．13、设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________．标准答案：0知识点解析：由｜λE-A｜=0得A的特征值为λ1=-2，λ2=λ3=6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E-A)=1，解得a=0．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．标准答案：D==-(a+1)(b+2)．(1)当a≠-1，b≠-2时，因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，方程组的通解为X=(k为任意常数)．(3)当a≠-1，b=-2时，当a=1时方程组的通解为X=(k为任意常数)．当a≠1时，显然r(A)=2≠=3，方程组无解．知识点解析：暂无解析15、设A=，问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．标准答案：令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程组AX=B等价于则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)，由r(A)=r(A┆B)得a1，b=2，c=-2，此时(A┆B)→AX1=β1的通解为X1=k1AX2=β2的通解为X2=k2AX3=β3的通解为X3=k3则X=(X1，X2，X3)=，其中k1，k2，k3为任意常数．知识点解析：暂无解析16、设A为n阶非零矩阵，且A-1=A，r(A)=r(0＜r＜n)．求｜5E+A｜．标准答案：因为A2=AA(E-A)=Or(A)+r(E-A)=nA可以对角化．由A2=A，得｜A｜.｜E-A｜=0，所以矩阵A的特征值为λ=0或1．因为r(A)=r且0＜r＜n，所以0和1都为A的特征值，且λ=1为r重特征值，λ0为n-r重特征值，所以5E+A的特征值为λ=6(r重)，λ=5(n-r重)，故｜5E+A｜=5n-r×6r．知识点解析：暂无解析17、设A=相似于对角阵．求：(1)a及可逆阵P，使得P-1AP=A，其中A为对角阵；(2)A100．标准答案：(1)｜λE-A｜=0λ1=λ2=1，λ3=-1．因为A相似于对角阵，所以r(E-A)=1(E-A)X=0基础解系为ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(-E-A)X=0基础解系为ξ3=(1，2，-1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP=diag(1，1，-1)．(2)P-1A100P=EA100=PP-1=E．知识点解析：暂无解析18、设A=有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E-A)=1，而2E-A=，所以x=2，y=-2．由｜λE-A｜==(λ-2)2(λ-6)=0得λ1=λ2=2，λ3=6由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α1=，α2=由(6E=A)X=0得λ=6对应的线性无关的特征向量为α3=令P=，则有P-1AP=知识点解析：暂无解析19、设A=有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．标准答案：因为A为上三角矩阵，所以A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=λ4=-1．因为A有四个线性无关的特征向量，即A可以对角化，所以有于是a=0，b=0．当λ=1时，由(E-A)X=0得ξ1=，ξ2=当λ=-1时，由(-E-A)X=0得ξ3=，ξ4=令P=，因为P-1AP=所以P-1A2010P=E，从而A2010=E．知识点解析：暂无解析20、设A=，方程组AX=β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．标准答案：(1)因为方程组AX=β有解但不唯一，所以｜A｜0，从而a=-2或a=1．当a=-2时，，方程组有无穷多解；当a=1时，，方程组无解，故a=-2．(2)由｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0，λ2=3，λ3=-3．由(0E-A)X=0得λ1=0对应的线性无关的特征向量为ξ1=由(3E-A)X=0得λ2=3对应的线性无关的特征向量为ξ2=由(-3E-A)X=0得λ3=-3对应的线性无关的特征向量为ξ3=令P=，则P-1AP=(3)令γ1=，γ2=，γ3=则QTAQ=知识点解析：暂无解析21、设矩阵A=(1)若A有一个特征值为3，求a；(2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．标准答案：(1)｜λE-A｜=(λ-1)[λ-(a+2)λ+2a-1]，把λ=3代入上式得a=2，于是A=，A2=(2)由｜λE-A2｜=0得A2的特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．当λ=1时，由(E-A2)x=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，-1，1)T；当λ=9时，由(9E-A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．将α1，α2，α3正交规范化得β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，β3=，将α4规范化得β4=令P=(β1，β2，β3，β4)=，则PTA2P=知识点解析：暂无解析22、设矩阵A=可逆，α=为A*对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A*的特征值；(2)判断A可否对角化．标准答案：(1)显然α也是矩阵A的特征向量，令Aα=λα，则有｜A｜=12，设A的另外两个特征值为λ2，λ3，由得λ2=λ3=2．α对应的A*的特征值为=4.(2)2E-A=，因为r(2E-A)=2，所以λ2=λ3=2只有一个线性无关的特征向量，故A不可以对角化．知识点解析：暂无解析23、设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1=-ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1-ξ2-2ξ3，Aξ3=2ξ1-2ξ2-ξ3．(1)求矩阵A的全部特征值；(2)求｜A*+2E｜．标准答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～=B．由｜λE-A｜=｜λE-B｜=(λ+5)(λ-1)2=0，得A的特征值为-5，1，1．(2)因为｜A｜=-5，所以A*的特征值为1，-5，-5，故A*+2E的特征值为3，-3，-3．从而｜A*+2E｜=27．知识点解析：暂无解析24、设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为O，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．标准答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2-4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A*｜=36=｜A｜3-1，所以｜A｜=6．由=6，得λ1=3，λ2=2，λ3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化．知识点解析：暂无解析25、设A=的一个特征值为λ1=2，其对应的特征向量为ξ1=(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．标准答案：(1)由Aξ1=2ξ1，得(2)由｜λE-A｜==0，得λ1=λ2=2，λ3=-1．由(2E-A)X=0，得α1=，α2=，由(-E-A)X=0，得α3=显然A可对角化，令P=，则P-1AP=知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第6套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=O，则A和B的秩()A、必有一个等于零B、都小于nC、一个小于n，一个等于nD、都等于n标准答案：B知识点解析：AB=Or(A)+r(B)≤n．又A≠0，B≠O，即r(A)≥1，r(B)≥1，则r(A)2、设A为4阶矩阵，其秩r(A)=3，那么r((A*)*)为()A、0B、1C、2D、3标准答案：A知识点解析：由于(A*)*=|A|n-2A，由于A不满秩，故|A|=0．于是(A*)*=O，r((A*)*)=0，故应选A.3、设则必有()A、AP1P2=BB、AP2P1=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B标准答案：C知识点解析：B由A第一行加到第三行(A左边乘P2)再将第一、二行对换(P2A左边乘P1)得到，故C成立．4、设其中A可逆，则B-1等于()A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1标准答案：C知识点解析：因B=AP2P1，所以B-1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1．5、A是n阶矩阵，则()A、(一2)n|A*|nB、2n|A*|nC、(2)n|A|n-1D、2n|A|n-1标准答案：D知识点解析：6、A是n阶矩阵，则()A、(一2)n|A|nB、(4|A|)nC、(一2)2n|A*|nD、|4A|n标准答案：B知识点解析：7、已知A是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，且A3=E，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：记则故又A100=A3×33×1=(A3)33A=EA=A．所以得答案选(C)．8、设则(P-1)100A(Q99)-1=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：易知p2=E，故P-1=P，进一步有(P-1)100=P100=(P2)50=E．利用归纳法易证则故由于右边乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将A第2列的99倍加到第1列，计算可知应选(B)．9、已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论中：①如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关；②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；③如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．正确的个数为()A、0B、lC、2D、3标准答案：C知识点解析：如果α1，α2，α3线性无关，由于α1，α2，α3，α4为4个3维向量，故α1，α2，α3，α4线性相关，则α4必能由α1，α2，α3线性表出，可知①是正确的．令则α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，但α1，α2，α4线性无关．可知②是错误的．由向量组等价[α1，α1+α2，α2+α3]→[α1，α2，α2+α3]→[α1，α2，α3]，[α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4]→[α4，α1，α2，α3]→[α1，α2，α3，α4]，可知r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α2，α3)，r(α4，α1+α4，α2+a4，α3+α4)=r(α1，α2，α3，α4)，故当r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α1+α4，α2+α4，α3+α4)时，也有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3线性表出．可知③是正确的．故选(C)．10、设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2—4α3，是导出组Ax=0的解向量的个数为()A、4B、3C、2D、1标准答案：A知识点解析：由Aα1=Aα2=Aα3=b可知A(α1一α2)=Aα1一Aα2=b—b=0，A(α1一2α2+α3)=Aα1一2Aα2+Aα3=b—2b+b=0，A(α1+3α2—4α3)=Aα1+3Aα2—4Aα3=b+3b—4b=0，因此这4个向量都是Ax=0的解，故选(A)．11、设向量组(I)α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示，则()A、当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关B、当r＜s时，向量组(I)必线性相关C、当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关D、当r＞s时，向量组(I)必线性相关标准答案：D知识点解析：利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组(Ⅱ)线性表示，则r≤s”的逆否命题即知．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)12、已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是___________．标准答案：知识点解析：f的对应矩阵f正定，即A正定A的顺序主子式大于0，即解得取公共部分，知t的取值范围是13、已知则A-1=___________．标准答案：知识点解析：因为所以又于是则14、设A，B均是3阶矩阵，其中|A|=2，|B|=-3，A*，B*分别是矩阵A，B的伴随矩阵，则标准答案：知识点解析：A*=|A|A-1，则|A*|=|A|3|A|=|A|2，同理，|B|=|B|2．15、设3阶方阵A，B满足关系式A-1BA=6A+BA，且则B=________________．标准答案：diag(3，2，1)知识点解析：由A-1BA=6A+BA得B=6(E-A)-1A=diag(3，2，1)．16、设A是n阶矩阵，且|A|=5，则|(2A)*|=____________．标准答案：2n2-n·5n-1知识点解析：由(2A)(2A)*=|2A|E，(2A)*=|2A|(2A)-1，得17、设则(A*)-1=_____________．标准答案：知识点解析：18、已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的一2倍加到第2行得矩阵A1，将B中第1列和第2列对换得到B1，又则AB=__________．标准答案：知识点解析：因为所以三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)19、(1)A，B为n阶方阵，证明(2)计算标准答案：(1)(2)知识点解析：暂无解析设有矩阵Am×n，Bn×m，且Em+AB可逆．20、验证En+BA也可逆，且(En+BA)-1=En—B(Em+AB)-1A；标准答案：(En+BA)[En-B(Em+AB)-1A]=E