考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1（共219题）

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1（共9套）（共219题）考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是()A、A—E。B、2A—E。C、A+2E。D、A一4E。标准答案：C知识点解析：因为A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜A｜4—1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。那么，矩阵A的特征值是一2，2，一1，。因此A一E的特征值是一3，1，一2，。因为特征值非零，故矩阵A—E可逆。同理可知，矩阵A+2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆。故选C。2、三阶矩阵A的特征值全为零，则必有()A、秩r(A)=0。B、秩r(A)=1。C、秩r(A)=2。D、条件不足，不能确定。标准答案：D知识点解析：考查下列矩阵它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2。所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。故选D。3、设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P—1AP)T属于特征值A的特征向量是()A、P—1α。B、PTα。C、Pα。D、(P—1)Tα。标准答案：B知识点解析：设β是矩阵(PTAP)T属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵AT=A，有(P—1AP)Tβ=λβ，即PTA(P—1)Tβ=λβ。把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα=λα，可得选项B正确，即左端=PTA(P—1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。故选B。4、设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()A、λE—A=λE一B。B、A与B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一个对角矩阵。D、对任意常数t，tE一A与tE一B相似。标准答案：D知识点解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P—1AP=B，于是P—1(tE一A)P=tE—P—1AP=tE—B，可见对任意常数t，矩阵tE一A与tE一B相似。故选D。5、设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A—1～B—1。正确的个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P—1AP=B，于是P—1A2P=B2，PTAT(PT)—1=BT，P—1A—1P=B—1，故A2～B2，AT～BT，A—1～B—1。又由于A可逆，可知A—1(AB)A=BA，即AB～BA。即正确的命题有四个。故选D。6、已知P—1AP=，α1是矩阵A的属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量，则矩阵P不可能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α1—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。标准答案：D知识点解析：由题意可得Aα1=2α1，Aα2=6α2，Aα3=6α3。由于α2是属于特征值λ=6的特征向量，所以一α2也是属于特征值λ=6的特征向量，故选项A正确。同理，选项B，C也正确。由于α1，α2是属于不同特征值的特征向量，所以α1+α2，α1一α2均不是矩阵A的特征向量，故选项D一定错误。故选D。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、矩阵的非零特征值为______。标准答案：4知识点解析：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==λ2(λ—4)，所以非零特征值为4。8、已知矩阵的特征值的和为3，特征值的乘积是一24，则b=______。标准答案：一3知识点解析：矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即a+3+(一1)=3，所以a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以b=一3。9、设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—XXT的秩为______。标准答案：2知识点解析：由题设知，矩阵XXT的特征值为0，0，1，故E—XXT的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于其非零特征值的个数，即r(E—XXT)=2。10、设A是三阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值______。标准答案：5知识点解析：已知各行元素的和都是5，即化为矩阵形式，可得满足，故矩阵A一定有一个特征值为5。11、若矩阵只有一个线性无关的特征向量，则这个线性无关的特征向量是______。标准答案：k(1，0，1)T，k≠0知识点解析：因A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且r(λE—A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是显然a≠1。再由(3E一A)x=0的解得特征值λ=3对应的特征向量为(1，0，1)T。故线性无关的特征向量是k(1，0，1)T，k≠0。12、已知矩阵和对角矩阵相似，则a=______。标准答案：一2知识点解析：因为｜λE一A｜==(λ一2)(λ一3)2，所以矩阵A的特征值分别为2，3，3。因为矩阵A和对角矩阵相似，所以对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即(3E—A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E一A的秩为1。可见a=一2。13、设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=______。标准答案：知识点解析：设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得Q—1AQ=。而相似矩阵的行列式相等，所以一2=｜A｜==λ2，即λ2=一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0。方程组x1一x2=0的基础解系为α2=(1，1)T。令Q=(α1，α2)=，则三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。14、求关系式中的矩阵A；标准答案：由题意，人口迁移的规律不变xn+1=xn+qyn一pxn=(1一p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn，用矩阵表示为因此知识点解析：暂无解析15、设目前农村人口与城镇人口相等，即，求。标准答案：由，可知，由=(λ一1)(λ一1+p+q)，得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1一p—q。当λ1=1时，解方程(A—E)x=0，得特征向量p1=。当λ2=r时，解方程(A一rE)x=0，得特征向量p2=。令P=(p1，p2)=，则P—1AP==Λ，A=PΛP—1，An=PΛnP—1。于是因此知识点解析：暂无解析设三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。16、将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表示；标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1一2α2+α3。知识点解析：暂无解析17、求Anβ。标准答案：Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3，则由题设条件及特征值与特征向量的定义可得Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。知识点解析：暂无解析18、已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。标准答案：设λ是矩阵A的任一特征值，α(α≠0)是属于特征值A的特征向量，则Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A一Λ，则有A+E～Λ+E=，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。知识点解析：暂无解析设A，B为同阶方阵。19、若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；标准答案：若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P—1AP=B，则｜λE一B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1λEP—P—1AP｜=｜P—1(λE一A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜。所以A、B的特征多项式相等。知识点解析：暂无解析20、举一个二阶方阵的例子说明第一小题的逆命题不成立；标准答案：令，那么｜λE—A｜=λ2=｜λE一B｜。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P—1AP=B=O，从而A=POP—1=O与已知矛盾。也可从r(A)=1，r(B)=0，知A与B不相似。知识点解析：暂无解析21、当A，B均为实对称矩阵时，证明第一小题的逆命题成立。标准答案：由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有所以存在可逆矩阵P，Q，使P—1AP==Q—1BQ。因此有(PQ—1)—1A(PQ—1)=B，矩阵A与B相似。知识点解析：暂无解析A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且22、求矩阵A的所有特征值与特征向量；标准答案：由，得，即特征值λ1=一1，λ2=1对应的特征向量为又由r(A)=2<3可知，A有一个特征值为0。设λ3=0对应的特征向量为，则与两两正交，于是得由此得，即是特征值0对应的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次对应于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3为任意非零常数。知识点解析：暂无解析23、求矩阵A。标准答案：设有则有知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列选项中不正确的是()A、矩阵A—E是不可逆矩阵。B、矩阵A+E和对角矩阵相似。C、矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交。D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。标准答案：C知识点解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A一E的特征值是一1，0，一2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化(或由A～Λ=>A+E～Λ+E而知A+E可相似对角化)。由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。选项C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。故选C。2、设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有特征值()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为A为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)—1的特征值。因此的特征值为。故选B。3、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。标准答案：B知识点解析：令k1α1+k2A(α1+α1)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。故选B。4、设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中①A2；②P—1AP；③AT；④E一A。α肯定是其特征向量的矩阵个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：B知识点解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。由知α必是矩阵属于特征值的特征向量。关于②和③则不一定成立。这是因为(P—1AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α，按定义，矩阵P—1AP的特征向量是P—1α。因为P—1α与α不一定共线，因此α不一定是P—1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(λE—A)x=0与(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。故选B。5、已知矩阵，那么下列矩阵中与矩阵A相似的矩阵个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：C知识点解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此A一Λ=，那么只要和矩阵Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定与A相似。①和②分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于③和④，由可见④与A相似，而③与A不相似。故选C。6、设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，一α2)，则P—1AP=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。当P—1AP=Λ时，P由A的特征向量构成，Λ由A的特征值构成，且P与Λ的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵Λ应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵Λ中应当是第二列。故选A。7、设A为n阶实对称矩阵，则()A、A的n个特征向量两两正交。B、A的n个特征向量组成单位正交向量组。C、对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n一k。D、对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=k。标准答案：C知识点解析：实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值λ0的线性无关的特征向量必有k个，故r(λ0E—A)=n一k。需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；凡个特征向量不一定是单位正交向量组。故选C。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设矩阵有一特征值0，则a=______，A的其他特征值为______。标准答案：1；2，2知识点解析：因A有一个零特征值，所以｜A｜=2(a—1)=0，即a=1。A的特征多项式为｜λE一A｜==(λ一2)2λ=0，解得A的其他特征值为λ=2(二重)。9、已知α=(1，3，2)T，β=(1，一1，一2)T，A=E—αβT则A的最大的特征值为______。标准答案：7知识点解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。10、设α=(1，一1，a)T是的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=______。标准答案：一1知识点解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=一1。11、设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______。标准答案：1知识点解析：根据题设条件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(α1，α2)。记P=(α1，α2)，因α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵。由，可得P—1AP=。记B=，则A与B相似，从而有相同的特征值。因为｜λE—B｜==λ(λ—1)，所以A的非零特征值为1。12、设矩阵A与相似，则r(A)+r(A一2E)=______。标准答案：3知识点解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。13、已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，则A=______。标准答案：知识点解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值为1，2，3。令P=(α1，α2，α3)=则有P—1AP=所以三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。14、求A2；标准答案：由αTβ=0可知α与β正交，则A2=(aβT)(αβT)=α(βTα)βT=0。知识点解析：暂无解析15、求矩阵A的特征值和特征向量。标准答案：设λ为A的特征值，则λ2为A2的特征值。因A2=0，所以A2的特征值全为零，故λ=0，即A的特征值全为零，于是方程组Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨设a1≠0，b2≠0，对A作初等行变换得则Ax=0的基础解系为(一b2，b1，0，…，0)T，(一b3，0，b1，…，0)T，…，(一bn，0，0，…，b1)T，故矩阵A的特征向量为k1(一b2，b1，0，…，0)T+k2(一b3，0，b1，…，0)T+…+kn—1(一bn，0，0，…，b1)T，其中k1，k2，…，kn—1不全为零。知识点解析：暂无解析16、设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。标准答案：设A的特征值为A，对应特征向量为η，则有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。又因A*A=｜A｜E，故有A*η=。于是有B(P—1η)=P—1A*P(P—1)=(B+2E)P—1η=因此，为B+2E的特征值，对应的特征向量为P—1η。由于｜λE—A｜==(λ一1)2(λ一7)，故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为η3=。由。因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。对应于特征值9的全部特征向量为k1P—1η1+k2P—1η2=其中k1，k2是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为k3P—1η3=，其中k3是不为零的任意常数。知识点解析：暂无解析17、设矩阵，行列式｜A｜=一1，又A*的属于特征值λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值。标准答案：AA*=｜A｜E=一E。对于A*α=λ0α，用A左乘等式两端，得λ0Aα=一α，即由此可得由(1)一(3)得λ0=1。将λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，a=c。由｜A｜=一1和a=c，有=a一3=一1，即得a=c=2。故a=2，b=一3，c=2，λ0=1。知识点解析：暂无解析18、已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明如果α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。标准答案：若α1+α2+α3，是矩阵A属于特征值入的特征向量，则A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(λ一λ1)α1+(λ一λ2)α2+(λ一λ3)α3=0。因为α1，α2，α3线性无关，故λ一λ1=0，λ—λ2=0，λ—λ3=0，即λ1=λ2=λ3。知识点解析：暂无解析19、设A为正交矩阵，且｜A｜=一1，证明λ=一1是A的特征值。标准答案：要证λ=一1是A的特征值，需证｜A+E｜=0。因为｜A+E｜=｜A+ATA｜=｜(E+AT)A｜=｜E+AT｜｜A｜=一｜A+E｜，所以｜A+E｜=0，故λ=一1是A的特征值。知识点解析：暂无解析已知是矩阵的一个特征向量。20、求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；标准答案：设A是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A一λE)p=0，即从而有方程组解得a=一3，b=0，且p所对应的特征值λ=一1。知识点解析：暂无解析21、问A能不能相似对角化?并说明理由。标准答案：A的特征多项式｜A—λE｜==一(λ+1)3，得A的特征值为A=一1(三重)。若A能相似对角化，则特征值λ=一1有三个线性无关的特征向量，而故r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。知识点解析：暂无解析22、设矩阵的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。则A的特征值是2，4，4，而r(4E一A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=2代入λ2一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ2一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。知识点解析：暂无解析23、已知是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。标准答案：A的特征多项式为=(λ一2n+1)(λ一n+1)n—1，则A的特征值为λ1=2n一1，λ2=n一1，其中λ2=n一1为n一1重根。当λ1=2n一1时，解齐次方程组(λ1E一A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有得到基础解系α1=(1，1，…，1)T。当λ2=n一1时，齐次方程组(λ2E一A)x=0等价于x1+x2+…+xn=0，得到基础解系α2=(一1，1，0，…，0)T，α3=(一1，0，1，…，0)T，…，αn=(一1，0，0，…，1)T，则A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同时为0。令，则有P—1AP=。知识点解析：暂无解析24、设矩阵A与B相似，且。求可逆矩阵P，使P—1AP=B。标准答案：由A～B有于是得a=5，b=6。由A～B，知A与B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6。当λ=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0得到基础解系为α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，1)T，即属于λ=2的两个线性无关的特征向量。当λ=6时，解齐次线性方程组(6E—A)x=0，得到基础解系是(1，一2，3)T，即属于A=6的特征向量。令P=(α1，α2，α3)=，则有P—1AP=B。知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是()A、λ—1｜A｜n。B、λ—1｜A｜。C、λ｜A｜。D、λ｜A｜n。标准答案：B知识点解析：设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量，则Ax=λx。两边左乘A*，结合A*A=｜A｜E得A*Ax=A*(λx)，即｜A｜x=λA*x，从而A*x=可见A*有特征值=λ—1｜A｜。故选B。2、已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。标准答案：B知识点解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。r(A)=1，即r(0E一A)=1，(0E一A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故λ=0的重数大于等于2，其至少是二重特征值，也可能是三重。例如，r(A)=1，但λ=0是三重特征值。故选B。3、已知α=(1，一2，3)T是矩阵的特征向量，则()A、a=一2，b=6。B、a=2，b=一6。C、a=2，b=6。D、a=一2，b=一6。标准答案：A知识点解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有即有所以λ=一4，a=一2，b=6。故选A。4、设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。标准答案：D知识点解析：如果α是2A的特征向量，即(2A)α=λα，那么Aα=λα，所以α是矩阵A属于特征值的特征向量。由于(λE—A)x=0与(λE一AT)x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量。故选D。5、下列选项中矩阵A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选项A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。选项B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A和B不相似。选项D中，矩阵A的特征值为2，2，一3，而矩阵B的特征值为1，3，一3，故A和B不相似。由排除法可知应选C。事实上，在选项C中，矩阵A和B的特征值均为2，0，0。由于A和B均可相似对角化，即A和B均相似于对角矩阵，故由矩阵相似的传递性可知A和B相似。故选C。6、已知P—1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不可能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2一2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。标准答案：D知识点解析：若P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PΛ，即(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。故选D。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、设有二重特征根，则a=______。标准答案：2或知识点解析：｜λE一A｜==(λ一2)[λ2一2λ一2(a—2)]=0。如果λ=2是二重根，则λ=2是λ2—2A一2(a—2)=0的单根，故a=2。如果λ2一2λ一2(a—2)=0是完全平方，则有△=4+8(a一2)=0，满足λ=1是一个二重根，此时。8、已知λ=12是的特征值，则a=______。标准答案：4知识点解析：因为λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即｜12E—A｜==9(4—a)=0，所以a=4。9、设α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______。标准答案：k(1，一1，1)T，k≠0知识点解析：令B=αβT，则矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，一1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，所以矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是k(1，一1，1)T，k≠0。10、已知α=(a，1，1)T是矩阵的逆矩阵的特征向量，则a=______。标准答案：一1知识点解析：设α是矩阵A—1属于特征值λ的特征向量，则A—1α=λα，即α=λaα，于是解得，a=一1。11、已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是______。标准答案：2，2，2知识点解析：因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。12、已知有三个线性无关的特征向量，则x=______。标准答案：0知识点解析：由A的特征方程｜λE一A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根据得x=0。13、设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，一1，1)T，则特征值2对应的特征向量是______。标准答案：t(一1，0，1)T，t≠0知识点解析：设所求的特征向量为α(x1，x2，x3)T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有所以对应于特征值2的特征向量是t(一1，0，1)T，t≠0。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)已知矩阵与相似。14、求x与y的值；标准答案：相似矩阵有相同的特征值，由矩阵B的特征值为2，y，一1可知矩阵A的特征值也为2，y，一1，故｜A｜=2×y×(一1)=一2，且tr(A)=2+0+x=2+y+(一1)，解得y=1，x=0。知识点解析：暂无解析15、求一个满足P—1AP=B的可逆矩阵P。标准答案：A的特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=一1。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得矩阵A的属于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=一1的特征向量分别为α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，一1，1)T，令可逆矩阵P=(α1，α2，α3)=，则P—1AP=B。知识点解析：暂无解析16、设矩阵。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P—1AP为对角矩阵?并求出矩阵P和相应的对角矩阵。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ+1)2(λ一1)。则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=1。矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一E一A)x=0有两个线性无关的解向量，则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得当k=0时，r(A+E)=1。此时，由(一E一A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E一A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α3=(1，0，1)T。令可逆矩阵P=(α1，α2，α3)，则P—1AP=。知识点解析：暂无解析17、设矩阵与相似，求x，y的值，并求一个正交矩阵P，P—1AP=Λ。标准答案：A与Λ相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ=5，λ=一4，λ=y是A的特征值。因为λ=一4是A的特征值，所以解得x=4。又因为相似矩阵的行列式相同，，｜Λ｜=一20y，解得y=5。当λ=5时，解方程(A一5E)x=0，得两个线性无关的特征向量和，将它们正交化、单位化得当λ=一4时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，单位化得则有P=(P1，P3，P2)=，所以P—1AP=Λ。知识点解析：暂无解析设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。18、求矩阵A的特征值；标准答案：由已知可得A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)，记P1=(α1，α2，α3)，B=，则有AP1=P1B。由于α1，α2，α3线性无关，即矩阵P1可逆，所以P1—1AP1=B，因此矩阵A与B相似，则矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。知识点解析：暂无解析19、求可逆矩阵P使得P—1AP=Λ。标准答案：由(E—B)x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β1=(一1，1，0)T，β2=(一2，0，1)T；由(4E—n)x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)=，得P2—1BP2=，则P2—1P1—1AP1P2=，即当P=P1P2=(α1，α2，α3)=(一α1+α2，一2α1+α3，α2+α3)时，有P—1AP=Λ=。知识点解析：暂无解析设A是三阶方阵，α1，α2，α3是三维线性无关的列向量组，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。20、求矩阵A的全部特征值；标准答案：α1，α2，α3线性无关，则α1+α2+α3≠0，α2一α1≠0，α3一α1≠0，且由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，A(α2一α1)=一(α2一α1)，A(α3一α1)=一(α3一α1)，可知矩阵A的特征值为2和一1。又由α1，α2，α3线性无关可知α2一α1，α3一α1也线性无关，所以一1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为2，一1，一1。知识点解析：暂无解析21、矩阵A是否可对角化?标准答案：因为α1，α2，α3线性无关，而(α1+α2+α3，α2一α1，α3一α1)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，且｜P｜=3≠0，所以α2一α1，α3一α1，α1+α2+α3线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对角化。知识点解析：暂无解析22、已知矩阵A与B相似，其中。求a，b的值及矩阵P，使P—1AP=B。标准答案：由A～B，得解得a=7，b=一2。由矩阵A的特征多项式｜λE—A｜==λ2一4λ一5，得A的特征值是λ1=5，λ2=一1。它们也是矩阵B的特征值。分别解齐次线性方程组(5E—A)x=0，(一E—A)x=0，可得到矩阵A的属于λ1=5，λ2=一1的特征向量依次为α1=(1，1)T，α2=(一2，1)T。分别解齐次线性方程组(5E—B)x=0，(一E—B)x=0，可得到矩阵B的属于λ1=5，λ1=一1的特征向量分别是β1=(一7，1)T，β2=(一1，1)T。令，则有P1—1AP1==P2—1AP2。取P=P1P2—1=，即有P—1AP=B。知识点解析：暂无解析某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成向量。23、求与的关系式并写成矩阵形式；标准答案：由题意得化成矩阵形式为可见知识点解析：暂无解析24、验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；标准答案：因为行列式｜η1，η2｜==5≠0，所以η1，η2线性无关。又Aη1==η1，故η1为A的特征向量，且相应的特征值λ1=1。，故η2为A的特征向量，且相应的特征值λ2=。知识点解析：暂无解析25、当时，求。标准答案：令P=(η1，η2)=。则由P—1AP=，有A=。于是因此知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是()A、A—E。B、2A—E。C、A+2E。D、A一4E。标准答案：C知识点解析：因为A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜A｜4－1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。那么，矩阵A的特征值是：一2，2，一1，一。因此，A一E的特征值是一3，1，一2，一。因为特征值非零，故矩阵A—E可逆。同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆。所以应选C。2、已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。标准答案：B知识点解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。r(A)=l，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故λ=0的重数大于等于2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值。所以应选B。3、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。标准答案：B知识点解析：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)，故应选B。4、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα＋2α。C、A2α一Aα。D、A2α+2Aα一3α。标准答案：C知识点解析：因为A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α一Aα≠0，所以A2α一Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量。所以应选C。5、设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()A、λE—A=λE—B。B、A与B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一个对角矩阵。D、对任意常数t，tE一A与tE一B相似。标准答案：D知识点解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P－1AP=B。于是P－1(tE—A)P=tE一P－1AP=tE一B，可见对任意常数t，矩阵tE一A与tE一B相似。所以应选D。6、下列选项中矩阵A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选项A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。选项B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A、和B不相似。选项D中，矩阵A的特征值为2，2，一3，而矩阵B的特征值为1，3，一3，故A和B不相似。由排除法可知应选C。事实上，在选项C中，矩阵A和B的特征值均为2，0，0。由于A和B均可相似对角化，也即A和B均相似于对角矩阵，故由矩阵相似的传递性可知A和B相似。所以选C。7、设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，一α2)，则P－1AP=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。当P－1AP=时，P由A的特征向量构成，由A的特征值构成，且P与的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵中应当是第二列，所以应选A。8、已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3一2A2，则r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能确定。标准答案：A知识点解析：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得P－1AP=，于是P－1BP=P－1(A3一2A2)P=P－1A3P一2P－1A2P=(P－1AP)3一2(P－1AP)2则矩阵B的三个特征值分别为0，0，一1，故r(B)=1。所以选A。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)9、矩阵的非零特征值为________。标准答案：4知识点解析：矩阵A的特征多项式为｜λE一A｜==λ2(λ一4)，所以非零特征值为4。10、已知λ=12是A=的特征值，则a=_________。标准答案：4知识点解析：因为λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即｜12E—A｜==9(4一a)=0，所以a=4。11、已知α=(1，3，2)T，β=(1，一1，一2)T，A=E一αBT，则A的最大的特征值为_________。标准答案：7知识点解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。12、若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为_________。标准答案：2知识点解析：因为αTβ=2，所以(βαT)β=β(αTβ)=2β，故βαT的非零特征值为2。13、设A是三阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值_________。标准答案：5知识点解析：已知各行元素的和都是5，即化为矩阵形式，可得满足，故矩阵A一定有一个特征值为5。14、已知矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是_________。标准答案：2，2，2知识点解析：因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。15、设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A一2E)=_________。标准答案：3知识点解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。16、设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α1，α2，2α2)，则P－1AP=________。标准答案：知识点解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P－1AP=。17、设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λi=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=________。标准答案：知识点解析：设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得Q－1AQ=。而相似矩阵的行列式相等，所以一2=｜A｜==λ2，即λ2=一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0。方程组x1一x2=0的基础解系为α2=(1，1)T。令Q=(α1，α2)=，则三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)18、设矩阵A=，行列式｜A｜=一1，又A*的属于特征值λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值。标准答案：AA*=｜A｜E=一E。对于A*α=λ0α，用A左乘等式两端，得λ0Aα=一α，即，由此可得(1)一(3)得λ0=1。将λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，a=c。由｜A｜=一1和a=c，有=a—3=一1，即得a=c=2。故a=2，b=一3，c=2，λ0=1。知识点解析：暂无解析已知的一个特征向量。19、求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；标准答案：设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A—λE)p=0，即从而有方程组解得a=一3，b=0，且p所对应的特征值λ=一1。知识点解析：暂无解析20、问A能不能相似对角化?并说明理由。标准答案：A的特征多项式｜A—λE｜==一(λ+1)3，得A的特征值为λ=一1(三重)。若A能相似对角化，则特征值λ=一1有三个线性无关的特征向量，而A+E=，故r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。知识点解析：暂无解析21、设矩阵A=的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE一A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。则矩阵A的特征值是2，4，4，而r(4E—A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=2代入λ2一8λ+18+3a=0可得a=一2。于是λ2一8λ+18+3a=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=l，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。知识点解析：暂无解析22、设矩阵A=。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ+1)2(λ一1)，则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=1。矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一E—A)x=0有两个线性无关的解向量，则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得当k=0时，r(A+E)=1。此时，由(一E一A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E—A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α3=(1，0，1)T。令可逆矩阵P=(α1，α2，α3)，则P－1AP=。知识点解析：暂无解析设A是三阶方阵，α1，α2，α3是三维线性无关的列向量组，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。23、求A的全部特征值；标准答案：α1，α2，α3线性无关，则α1+α2+α3≠0，α2一α1≠0，α3一α1≠0，且由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，A(α2一α1)=一(α2一α1)，A(α3一α1)=一(α3一α1)可知矩阵A的特征值为2和一1。又由α1，α2，α3线性无关可知α2一α1，α3一α1也线性无关，所以一1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为2，一1，一1。知识点解析：暂无解析24、A是否可对角化?标准答案：因为α1，α2，α3线性无关，而(α1+α2+α3，α2一α1，α3一α1)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，且｜p｜=3≠0，所以α2一α1，α3一α1，α1+α2+α3线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对角化。知识点解析：暂无解析设三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3对应的特征向量依次为α1=(1，l，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。25、将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表示；标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1—2α2+α3。知识点解析：暂无解析26、求Anβ。标准答案：Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3，则由题设条件及特征值与特征向量的定义可得Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。27、求A的特征值与特征向量；标准答案：因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全为零的常数。知识点解析：暂无解析28、求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。标准答案：因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β2=α2－。再将α，β1，β2单位化，得令Q=(η1，η2，η3)，则Q－1=QT，且QTAQ=。知识点解析：暂无解析29、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求A。标准答案：设矩阵A的属于特征值λ=1的特征向量为x=(x1，x2，x3)T。实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以ξ1Tx=0，即x2+x3=0。方程组x2+x3=0的基础解系为ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，一1，1)T。知识点解析：暂无解析30、28．已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q－1AQ=A。标准答案：因λ=5是矩阵A的特征值，则由｜5E一A｜==3(4一a2)=0，可得a=±2。当a=2时，矩阵A的特征多项式｜λE一A｜==(λ一2)(λ一5)(λ一1)，矩阵A的特征值是1，2，5。由(E一A)x=0得基础解系α1=(0，1，一1)T；由(2E一A)x=0得基础解系α2=(1，0，0)T；由(5E—A)x=0得基础解系α3=(0，1，1)T。即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α1，α2，α3。由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是()A、AT。B、A2。C、A—1。D、A—E。标准答案：A知识点解析：由于｜λE—AT｜=｜(λE—A)T｜=｜λE—A｜，A与AT有相同的特征多项式，所以A与AT有相同的特征值。由Aα=λα，α≠0可得到A2α=λ2α，A—1α=λ—1α，(A—E)α=(λ一1)α，说明A2，A—1，A—E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)。故选A。2、已知α1=(一1，1，a，4)T，α2=(一2，1，5，a)T，α3=(a，2，10，1)T是四阶方阵A的三个不同特征值对应的特征向量，则()A、a≠5。B、a≠一4。C、a≠一3。D、a≠一3且a≠一4。标准答案：A知识点解析：矩阵A的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以r(α1，α2，α3)=3。由于所以a≠5。故选A。3、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α—Aα。D、A2α+2Aα一3α。标准答案：C知识点解析：因为A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α—Aα)=0=0(A2α一Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α一Aα≠0，所以A2α—Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即A2α一Aα是矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量。故选C。4、n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()A、充分必要条件。B、必要而非充分条件。C、充分而非必要条件。D、既非充分也非必要条件。标准答案：B知识点解析：由A～B，即存在可逆矩阵JP，使P—1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1(λE—A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，即A与B有相同的特征值。但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似。例如虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值。故选B。5、下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。选项C是秩为1的矩阵，由｜λE—A｜=λ3一4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r(OE—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE一A)x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由可知齐次线性方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化。故选D。6、已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3一2A2，则r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能确定。标准答案：A知识点解析：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得P—1AP=Λ=于是P—1BP=P—1(A3一2A2)P=P—1A3P一2P—1A2P=(P—1AP)3一2(P—1AP)2则矩阵B的三个特征值分别为0，0，一1，故r(B)=1。故选A。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、设矩阵的一个特征值为λ1=—3，且A的三个特征值之积为一12，则a=______，b=______，A的其他特征值为______。标准答案：1，2或一2，λ2=λ3=2知识点解析：由题意可得｜A｜=一4a一2b2=一12，所以2a+b2=6。又A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)[λ2一(a—2)λ一6]，而A有特征值一3，所以λ1=一3必是方程λ2一(a—2)λ一6=0的根，故a=1，b=2或一2。由｜λE一A｜=(λ一2)(λ2+λ一6)=(λ一2)2(λ+3)可得矩阵A的另外两个特征值为λ2=λ3=2。8、已知，A*是A的伴随矩阵，那么A*的特征值是______。标准答案：1，7，7知识点解析：由矩阵A的特征多项式｜λE—A｜==(λ一7)(λ一1)2可得矩阵A的特征值为7，1，1。所以｜A｜=7×1×1=7。如果Aα=λα，则有A*α=，因此A*的特征值是1，7，7。9、若三维列向量α，β满足αβT=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为______。标准答案：2知识点解析：因为αTβ=2，所以(βαT)β=β(αTβ)=2β，故βαT的非零特征值为2。10、设A是三阶可逆矩阵，A的各行元素之和为k，A*的各行元素之和为m，则｜A｜=______。标准答案：km知识点解析：由A的各行元素之和为k，A*的各行元素之和为m可知A(1，1，1)T=k(1，1，1)T，A*(1，1，1)T=m(1，1，1)T，在A(1，1，1)T=k(1，1，1)T两边同时左乘A*可得A*A(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T，即｜A｜(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T=km(1，1，1)T，故｜A｜=km。11、已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=______。标准答案：一1知识点解析：A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ+1)3，所以矩阵A的特征值是一1，且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，故r(一E—A)=1，因此a=一1。12、设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P—1AP=______。标准答案：知识点解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P—1AP=。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)13、n阶矩阵，求A的特征值和特征向量。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==[λ一1一(n一1)b][λ一(1—b)]n—1，则A的特征值为1+(n一1)b和1—b(n一1重)。①当b=0时，A的特征值是1(n重)，任意n维非零列向量均为A的特征向量。②当b≠0时，对方程组{[1+(n一1)]bE—A}x=0的系数矩阵作初等行变换得解得上述方程组的基础解系为ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的属于λ=1+(n一1)b的全部特征向量为kξ1=k(1，1，1，…，1)T，k≠0。对方程组[(1一b)E—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得解得上述方程组的基础解系为ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T，所以A的属于λ=1一b的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全为零的常数。知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。14、求矩阵A的特征值与特征向量；标准答案：因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全为零的常数。知识点解析：暂无解析15、求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=Λ。标准答案：因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β1=再将α，β1，β2单位化，得令Q=(η1，η2，η3)，则Q—1=QT，且QTAQ==Λ。知识点解析：暂无解析16、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求矩阵A。标准答案：设矩阵A的属于特征值λ=1的特征向量为x=(x1，x2，x3)T。实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以ξ1Tx=0，即x2+x3=0。方程组x2+x3=0的基础解系为ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，一1，1)T。令P=(ξ1，ξ2，ξ3)=，则P—1AP=，所以知识点解析：暂无解析17、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=一1，λ3=0；对应λ1，λ2的特征向量依次为p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，一2)T，求矩阵A。标准答案：因为A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵Q=(q1，q2，q3)，使QTAQ=Q—1AQ==Λ。将对应于特征值λ1，λ2的特征向量单位化，得由正交矩阵的性质，q3可取为的单位解向量，则由可知，因此知识点解析：暂无解析18、设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A。标准答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因为λ1=λ2=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个，因此α1，α2，α3必线性相关，显然α1，α2线性无关。设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系α=(一1，1，1)T。根据A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，α)—1=知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。19、验证α1是矩阵B的特征向量，并求矩阵B的全部特征值与特征向量；标准答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。由关系式B=A5一4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2，μ2=1，μ3=1。设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即得其基础解系为，故可取。B的全部特征向量为，其中k1≠0，k2，k3不同时为零。知识点解析：暂无解析20、求矩阵B。标准答案：令P=(α1，α2，α3)=，则P—1BP=，于是知识点解析：暂无解析21、已知矩阵有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=Λ。标准答案：因A=5是矩阵A的特征值，则由=3(4一a2)=0，可得a=±2。当a=2时，矩阵A的特征多项式=(λ一2)(λ一5)(λ一1)，矩阵A的特征值是1，2，5。由(E—A)x=0得基础解系α1=(0，1，一1)T，由(2E—A)x=0得基础解系α2=(1，0，0)T，由(5E—A)x=0得基础解系α3=(0，1，1)T。矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α1，α2，α3。由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则令Q=(γ1，γ2，γ3)=，则有Q—1AQ=。知识点解析：暂无解析22、设，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。标准答案：按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1，那么又因=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩阵A的特征值是2，5，一4。对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，一1，1)T。对λ=一4，由(一4E—A)x=0得基础解系α3=(一1，0，1)T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即则令则有QTAQ=Q—1AQ=知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。标准答案：D知识点解析：由于(λE—A)x=0与(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定同时是AT和A的特征向量。例如该例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量不一定是A的特征向量。若α是